最新人教版八年级数学上册培优辅导资料(最新全13-15章)

2017年下学期八年级数学上册辅导讲义

第1讲等腰三角形性质及判定

【学习目标】

1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．

2. 掌握等腰三角形的判定定理．

3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三

角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直

角）.

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180

2

A

︒-∠

.

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关度数的计算题

1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

E

A

C

F 举一反三：

【变式】已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC ＝BC ＝BD ，AD ＝AE ，DE ＝CE ，

求∠B 的度数．

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

举一反三：

【变式】已知等腰三角形的底边BC ＝8cm ，且|AC －BC|＝2cm ，那么腰AC 的长为( )． A ．10cm 或6cm B ．10cm C ．6cm D ．8cm 或6cm

类型三、等腰三角形性质和判定综合应用

4、已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，∠BAD ＝∠FCD ． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．

举一反三：

【变式】如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD ． (1)求证：BE ＝AD ；

(2)求证：AC 是线段ED 的垂直平分线；

(3)△DBC 是等腰三角形吗?并说明理由．

【巩固练习】

一.选择题

1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )

A ．16

B ．17

C ．16或17

D ．10或12

2. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直

角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论正确的有( )

①△BDF ，△CEF 都是等腰三角形； ②DE ＝DB ＋CE ；

③AD ＋DE ＋AE ＝AB ＋AC ； ④BF ＝CF. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5. 如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠度数是（ ） A ．60° B．70° C．80° D．不确定

6. 如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，若AD 、AE 三等分∠BAC ，则图中等腰三角形有 （ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个

二.填空题

7．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，AD ＝BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠CBD ＝_____°．

8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为 ．

9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，BD 平分∠CBA

交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB ＝_________cm．

10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .

11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝

______cm．

12. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，

则BC＝______．

三.解答题

13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至

E，使AE＝AD．

试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

14. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.

求证：EF平分∠AEB．

15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、

∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．