一元三次函数的图象和性质-三次函数的性质

（ △ ０ 对Ｖ ｅ ， ） ０ 成 且 ，（ ） ２ ＝ 时， ｘＲ ｆ ≥ 恒 立， 除 ＝ ） 一
收稿 日期 ：２ １ — ３ １ ０ １０—４ 教 学及其研 究工作．
ｆ（） 减函数 极小值ｆ ｘ） 增函数 极大值ｒ ） 减函数 ｘ （： （－
’
作者简介 ：张国坤 （ ６一 ，男 ，云南曲靖会 泽人 ，中学高级教师 ，云 南省数 学特级教师 ，云南省曲靖 市学术技 术带头人 。主要从 事高 中数学 １ ７） ９
） （： 中学数学 教材 “ 数 ”一 章仅对 三次 函数 的极值 、区间上的最 ，（） 增函数 极大值，（－ 减函数 极小值， ） 增函数 导 当 一 时，（ 一一 ０ ∞ ） Ｏ，当 圹 ＋ ∞ 时，（ ） ∞， ｘ ｆ ￣ ＋ 一＋ ｆ（ ）Ｃ ｌ Ｊ 值 、图象 切线作 了非常简 单的应用 示例 ，但每年 （ 文科 ）高考
对三 次函数的考查都非常突 出． “ 三次 函数 和 三次方 程 问题 ”对 “ 导数 ”知识 和 “ 三个二
次”知识 有着非 常典 型的应用 ，与高等数 学紧 密联系 ，能较好
象如 图 ３ 所示 ．
地 拓展学 生的视 野 ，它是 培养学 生数学 素养 、检查学生 数学能
力 的很好的素材．因此 ，在 “ 导数”一章的教学中 ，有必要对三 次 函数 、三次方 程问题 作一些 拓展 ，在 高三备 考复 习教 学 中有 必要 对三次 函数 问题作 系统 的探讨．下文对三次函数的 图象 和性
３ ９
， 的图象如图６ 形象地说，方程 （） 的实根 （） ． ＝０
将区间（ ∞，＋ （ 一 ∞）即 轴） 两刀三段 ” ， 从左到右在三段上 “ ， （） 依次是减 函数 、增函数 、减 函数 ．
．
可作与 ｎ ０ ＞ 情形类似 的讨论 ， 结果如下 ： （） １ △≤ ０ ， （） 一 时 厂 在（ ∞，＋ 上是减 函数 ， 中 △＜ 时 ∞） 其 ０
厂 图象如图 ４所示 ，△＝０时．（ 图象如 图 ５所示． （） 厂 ）
分两类情形讨论 ．
１ ｏ＞０的情形 ．
（ ） ０时 ，二次方程 厂 （） 有两个不等实根 ： ＝ ２ △＞ ＝０
Ｎ。 ０１ Ｏ９ ２ １
Ｊ ｕ ａ ｆＣｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒ ｌｏ ｉｅ ｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｎ ｃ ｏ
— —
２１ ０ １年
第 ９期
摘要 ：“ 一元三 次函数、三次方程 ”问题在 中学数 学中具 有 重要地位 。与 高等数 学具有 紧密联 系 ，文章 以 “ 导数 ”和 “ 三
３ ａ
（ ＞ 知 ＜ ２， 函 Ｊ 的单调性和极值情况列表如下 ： 由ａ ０ 。 ） 对 数 ｒ ） （
（ ∞，衲） 一 ，（ ） ＋ Ｘ ｌ ０ （ｌ ｘ，勋） ２ ０ （ 耽，＋ ∞） ＋
数 、三次方程 ” 的问题在 中学数学 中 占居 了重要 的地位 ，尽 管
、
一
元 三次 函数 的图象和性质
函数 ｆ（ ＝Ｏ。 ｘ ＋ｃ ） ． ＋ｂ ＋ｄ ≠０ Ｘ ）称作 关于 的一元三
次函数． 用导数知识和二次函数知识对三次函数的性质和图象探
讨如下 ：
厂（ ） ａ ｂ ＝３ ｘ＋２ｘ＋ｃ ，记 △＝（ ｂ ２ ）一４・ ａ・ ４ ｂ 一 ａ ） ３ ｃ＝ （ ３ｃ ．
质进行 系统探讨 ，并分 析几道 应用 的例 子 ，可 供备考教 学 中对
“ 导数 ”复习时作参考．
一
形象地说 ， 二次方程， （） ０ ＝ 的实根 耽将区间（ａ，＋ ） 一。 ∞
（ 即 轴） “ 两刀 三段 ” ．（ 从 左到右 在三段上 依次是增 函数 、 ，厂 ） 减函数 、增 函数． ２口 ． ＜０的情形
个二 次 （ 即二 次函数 、二次方程、二次 不等 式） ”知识 为工具对
一
ຫໍສະໝຸດ Baidu
霉
， 一 ：外 有 ）０， ）（ ， 是 函 ， ０ 恒 ， ＞，（在一 ＋） 增 数 （ｂ） （ ∞ 上
， ）图 有 只 一 与 轴 行 重 的 线 ｙ （ ， 的 象 且 有 条 平 或 合 切 ：＝ 一 ， 蚤）
极点 分布 和函数单调性研 究．
－
关键词 ：一元三次 函数 ；函数 图象；图象性质 中学 数学对一元二次方程问题研究得 比较透彻 ， 三个二次 ” “ 的知识在 中学数 学 中得 到 了 比较广 泛 的应 用 ．近年来 “ 次函 三
２ －ｘ Ｅ ｂ ／
＝
土
３ ａ
互
－ｂ ｘ－ ＝ ２＋ ／ 韭 堑 Ｅ
百 ｂ ｘＥ ＝ － －／ － ２ 土 ａ ３
＝ ２＋ ｂ －
＝ 韭 夏
（） １ △＜０时 ，对 Ｖ Ｒ， ）＞０恒 成立 ，ｆ（ ） 区间 ∈ ｆ （ 在
。ｘ 的单调性 和极值情况列表如下 ： （ ∞，＋ 。上 递增 ，厂 ） 一 ａ） （ 的图象没有 与 轴平行或 重合 的切线 ， （ 。 ０ 由 ＜ 知 ＞ ９，对函数， ）
当 圹一 时 ｆ ｘ－ｉ ，当 扩＋∞ 时． — ＋ ． 在（ ∞，＋ （）－ ． － ＋ 厂 ）＋ ∞，厂 （ ） 一 ∞）
（ ∞， ） 一 ２
， （）
Ｘ ２
０
（２ １ ，Ｘ ）
＋
筇 ｌ
Ｏ
（１ ∞） 蓐，＋
上连续 ， 厂 的值域是（。 ＋ ， （） 故． ） （ 一ｏ ∞） ． 的图象如图 ｌ ， 厂 所示．
元 三次 函数 图 象和 性质作 全 面深 刻探 讨 并获得 了一般 性 的结 且当 一一 ∞时，（ ） ａ，当 ＋ ∞时，（ ） ∞， ） 一一。 ＋ 一＋ ，（ ｌ 虱象如 论 。对一元 三次方程 实根 情 况进行 了深入 的探 讨 ，对一元 三次 图 ２所示． 函数 图象的切 线作例 示探 讨 ，文章 列举 了若干典 型例题进行 分 （） ３ △＞０时 ，二次 方 程 ， （ ）：０有 两个 不 等实 根 ： Ｉ ＝