3-3热学课件(计算题)
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根据帕斯卡定律可知，同一液体中的相同高度处压强一定 相等，所以密闭气体压强 p＝p0＋ph.通常以 cmHg 为压强单位。
(2)合理选取气体变化所遵循的规律列方程 ①若气体质量一定，p、V、T 均发生变化，则选用理想气体状态方程 列式求解。 ②若气体质量一定，p、V、T 中有一个量不发生变化，则选用对应的 实验定律列方程求解。 (3)多个研究对象的问题 由活塞、液柱相联系的“两团气”问题，要注意寻找两团气之间的压 强、体积或气柱长度关系，列出辅助方程，最后联立求解。
常考模型
(一)“汽缸”模型 【例 1】 (2018·全国卷Ⅱ)如图，一竖直放置的汽缸上端开口，汽缸 壁内有卡口 a 和 b，a、b 间距为 h，a 距缸底的高度为 H；活塞只能在 a， b 间移动，其下方密封有一定质量的理想气体，已知活塞质量为 m，面积 为 S，厚度可忽略；活塞和汽缸壁均绝热，不计它们之间的摩擦，开始时 活塞处于静止状态。上、下方气体压强均为 p0 温度均为 T0。现用电热丝缓 慢加热汽缸中的气体，直至活塞刚好到达 b 处，求此时汽缸内气体的温度 以及在此过程中气体对外所做的功。重力加速度大小为 g。
由理想气体状态方程有：
p0 V0 T0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p1V1 T1
联立得到 T =1 1＋Hh 1＋pm0gST0
从开始加热到活塞到达 b 处的过程中，汽缸中的气体对外做的功为
W＝(p0S＋mg)h。
(例 2)如图所示，透热的汽缸内封有一定质量的理想气体，缸体质量 M＝ 200 kg，活塞质量 m＝10 kg，活塞横截面积 S＝100 cm2。活塞与汽缸壁无摩擦 且不漏气。此时，缸内气体的温度为 27 ℃，活塞位于汽缸正中，整个装置都 静止。已知大气压恒为 p0＝1.0×105 Pa，重力加速度为 g＝10 m/s2。求：
解析（1）分过程列式： 开始时活塞位于 a 处，加热后，汽缸中的气体先 经历等容过程，直至活塞开始运动。设此时汽缸中气体的温度为 T1，压强为 p1，根据查理定律有
Tp00＝Tp11，① 根据力的平衡条件有 p1S＝p0S＋mg，② 联立①②式可得 T1＝1＋pm0gST0，③ 此后，汽缸中的气体经历等压过程，直至活塞刚好到达 b 处，设此时汽 缸中气体的温度为 T2；活塞位于 a 处和 b 处时气体的体积分别为 V1 和 V2。根 据盖—吕萨克定律有VT11＝VT22，④ 式中 V1＝SH，⑤ V2＝S(H＋h)，⑥
解析 对气体Ⅰ，初态：T1＝300 K， p1＝1.0×105 Pa，V1＝lS，
末态：T2＝440 K， p2＝p0＋mSg＝1.1×105 Pa，V2＝l′S， 根据理想气体状态方程：pT1V1 1＝pT2V2 2， 解得末态气体Ⅰ的长度为 l′＝1.6 m。 对气体Ⅱ，初态：T3＝300 K， p3＝p0＋2mS g＝1.2×105 Pa，V3＝lS， 末态：T4＝440 K，
p4＝p2＋mSg＝1.2×105 Pa，V4＝l″S，
根据理想气体状态方程：pT3V3 3＝pT4V4 4，
l′
解得末态气体Ⅱ的长度为 l″＝1.76 m。
l″
故活塞 A 上升的高度为 Δh＝(l′－l)＋(l″－l)＝
(1.6 m－1.2 m)＋(1.76 m－1.2 m)＝0.96 m。
【例 3】 如图所示，劲度系数为 k＝100 N/m 的轻质弹簧与完全相同的 导热活塞 A、B 不拴接，一定质量的理想气体被活塞 A、B 分成两部分封闭在 可导热的汽缸内。活塞 A、B 之间的距离与 B 到汽缸底部的距离均为 l＝1.2 m， 初始时刻，气体Ⅰ与外界大气压强相同，温度为 T1＝300 K，将环境温度缓慢 升高至 T2＝440 K，系统再次达到稳定，A 已经与弹簧分离，已知活塞 A、B 的质量均为 m＝1.0 kg。横截面积为 S＝10 cm2；外界大气压强恒为 p0＝1.0×105 Pa。不计活塞与汽缸之间的摩擦且密封良好，g 取 10 m/s2，求活塞 A 相对初 始时刻上升的高度。
VT11＝VT22或VT＝C(常数)．
2．热力学第一定律 ΔU＝W + Q
3．利用气体实验定律解决问题的基本思路
4．弄清三个常见问题 (1)压强的计算 被活塞或液柱封闭的气体，通常分析活塞或液柱的受力，应用平衡条 件或牛顿第二定律求解得到相应气体的压强。
活塞模型(如图甲)
对“活塞模型”类求压强的问题，其基本的方法就是先对 活塞进行受力分析，然后根据平衡条件或牛顿第二定律列方 程． 连通器模型(如图乙)
(ⅱ)设缸内气体温度升到 T2 时，活塞恰好会静止在汽缸口。 该过程是等压变化过程，由盖—吕萨克定律得：
VT11＝VT22， 其中 T1=(273+27)K=300K, V2=2V1 解得 T2＝600K， 气体体积增大，对外做功，同时温度升高内能增大，根据热力学第一定 律透热的汽缸一定从外界吸收热量。
(ⅰ)汽缸内气体的压强 p1； (ⅱ)汽缸内气体的温度升高到多少时，活塞恰好会静止在汽缸缸口 AB 处？ 此过程中汽缸内的气体是吸热还是放热？
解析 (ⅰ)以汽缸为研究对象，受力分析如图所示， 列平衡方程：Mg＋p0S＝p1S，
解得，p1＝Mg＋S p0S， 代入数据得，p1＝3.0×105 Pa。
联立③④⑤⑥式解得 T2＝1＋Hh 1＋pm0SgT0， 从开始加热到活塞到达 b 处的过程中，汽缸中的气体对外做的功为 W＝ (p0S＋mg)h。
（2）始末状态直接列式：
初：压强 p0 体积 V0 温度 T0 末：压强 P1 体积 V1 温度 T1 期中压强 P1 由末态的活塞受力平衡有：p1S＝p0S＋mg 体积 V1=S(H＋h)
热学计算题基础知识
1．三大气体实验定律+一个理想气体状态方程
(1)玻意耳定律(等温变化)
（4）理想气体状态方程
p1V1＝p2V2 或 pV＝C(常数)．
(2)查理定律(等容变化) Tp11＝Tp22或Tp＝C(常数)． (3)盖—吕萨克定律(等压变化)
p1 V1 p2V2 T1 T2
以上各实验定律或状 态方程的适用条件为： 1：一定质量 2：理想气体
(2)合理选取气体变化所遵循的规律列方程 ①若气体质量一定，p、V、T 均发生变化，则选用理想气体状态方程 列式求解。 ②若气体质量一定，p、V、T 中有一个量不发生变化，则选用对应的 实验定律列方程求解。 (3)多个研究对象的问题 由活塞、液柱相联系的“两团气”问题，要注意寻找两团气之间的压 强、体积或气柱长度关系，列出辅助方程，最后联立求解。
常考模型
(一)“汽缸”模型 【例 1】 (2018·全国卷Ⅱ)如图，一竖直放置的汽缸上端开口，汽缸 壁内有卡口 a 和 b，a、b 间距为 h，a 距缸底的高度为 H；活塞只能在 a， b 间移动，其下方密封有一定质量的理想气体，已知活塞质量为 m，面积 为 S，厚度可忽略；活塞和汽缸壁均绝热，不计它们之间的摩擦，开始时 活塞处于静止状态。上、下方气体压强均为 p0 温度均为 T0。现用电热丝缓 慢加热汽缸中的气体，直至活塞刚好到达 b 处，求此时汽缸内气体的温度 以及在此过程中气体对外所做的功。重力加速度大小为 g。
由理想气体状态方程有：
p0 V0 T0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p1V1 T1
联立得到 T =1 1＋Hh 1＋pm0gST0
从开始加热到活塞到达 b 处的过程中，汽缸中的气体对外做的功为
W＝(p0S＋mg)h。
(例 2)如图所示，透热的汽缸内封有一定质量的理想气体，缸体质量 M＝ 200 kg，活塞质量 m＝10 kg，活塞横截面积 S＝100 cm2。活塞与汽缸壁无摩擦 且不漏气。此时，缸内气体的温度为 27 ℃，活塞位于汽缸正中，整个装置都 静止。已知大气压恒为 p0＝1.0×105 Pa，重力加速度为 g＝10 m/s2。求：
解析（1）分过程列式： 开始时活塞位于 a 处，加热后，汽缸中的气体先 经历等容过程，直至活塞开始运动。设此时汽缸中气体的温度为 T1，压强为 p1，根据查理定律有
Tp00＝Tp11，① 根据力的平衡条件有 p1S＝p0S＋mg，② 联立①②式可得 T1＝1＋pm0gST0，③ 此后，汽缸中的气体经历等压过程，直至活塞刚好到达 b 处，设此时汽 缸中气体的温度为 T2；活塞位于 a 处和 b 处时气体的体积分别为 V1 和 V2。根 据盖—吕萨克定律有VT11＝VT22，④ 式中 V1＝SH，⑤ V2＝S(H＋h)，⑥
解析 对气体Ⅰ，初态：T1＝300 K， p1＝1.0×105 Pa，V1＝lS，
末态：T2＝440 K， p2＝p0＋mSg＝1.1×105 Pa，V2＝l′S， 根据理想气体状态方程：pT1V1 1＝pT2V2 2， 解得末态气体Ⅰ的长度为 l′＝1.6 m。 对气体Ⅱ，初态：T3＝300 K， p3＝p0＋2mS g＝1.2×105 Pa，V3＝lS， 末态：T4＝440 K，
p4＝p2＋mSg＝1.2×105 Pa，V4＝l″S，
根据理想气体状态方程：pT3V3 3＝pT4V4 4，
l′
解得末态气体Ⅱ的长度为 l″＝1.76 m。
l″
故活塞 A 上升的高度为 Δh＝(l′－l)＋(l″－l)＝
(1.6 m－1.2 m)＋(1.76 m－1.2 m)＝0.96 m。
【例 3】 如图所示，劲度系数为 k＝100 N/m 的轻质弹簧与完全相同的 导热活塞 A、B 不拴接，一定质量的理想气体被活塞 A、B 分成两部分封闭在 可导热的汽缸内。活塞 A、B 之间的距离与 B 到汽缸底部的距离均为 l＝1.2 m， 初始时刻，气体Ⅰ与外界大气压强相同，温度为 T1＝300 K，将环境温度缓慢 升高至 T2＝440 K，系统再次达到稳定，A 已经与弹簧分离，已知活塞 A、B 的质量均为 m＝1.0 kg。横截面积为 S＝10 cm2；外界大气压强恒为 p0＝1.0×105 Pa。不计活塞与汽缸之间的摩擦且密封良好，g 取 10 m/s2，求活塞 A 相对初 始时刻上升的高度。
VT11＝VT22或VT＝C(常数)．
2．热力学第一定律 ΔU＝W + Q
3．利用气体实验定律解决问题的基本思路
4．弄清三个常见问题 (1)压强的计算 被活塞或液柱封闭的气体，通常分析活塞或液柱的受力，应用平衡条 件或牛顿第二定律求解得到相应气体的压强。
活塞模型(如图甲)
对“活塞模型”类求压强的问题，其基本的方法就是先对 活塞进行受力分析，然后根据平衡条件或牛顿第二定律列方 程． 连通器模型(如图乙)
(ⅱ)设缸内气体温度升到 T2 时，活塞恰好会静止在汽缸口。 该过程是等压变化过程，由盖—吕萨克定律得：
VT11＝VT22， 其中 T1=(273+27)K=300K, V2=2V1 解得 T2＝600K， 气体体积增大，对外做功，同时温度升高内能增大，根据热力学第一定 律透热的汽缸一定从外界吸收热量。
(ⅰ)汽缸内气体的压强 p1； (ⅱ)汽缸内气体的温度升高到多少时，活塞恰好会静止在汽缸缸口 AB 处？ 此过程中汽缸内的气体是吸热还是放热？
解析 (ⅰ)以汽缸为研究对象，受力分析如图所示， 列平衡方程：Mg＋p0S＝p1S，
解得，p1＝Mg＋S p0S， 代入数据得，p1＝3.0×105 Pa。
联立③④⑤⑥式解得 T2＝1＋Hh 1＋pm0SgT0， 从开始加热到活塞到达 b 处的过程中，汽缸中的气体对外做的功为 W＝ (p0S＋mg)h。
（2）始末状态直接列式：
初：压强 p0 体积 V0 温度 T0 末：压强 P1 体积 V1 温度 T1 期中压强 P1 由末态的活塞受力平衡有：p1S＝p0S＋mg 体积 V1=S(H＋h)
热学计算题基础知识
1．三大气体实验定律+一个理想气体状态方程
(1)玻意耳定律(等温变化)
（4）理想气体状态方程
p1V1＝p2V2 或 pV＝C(常数)．
(2)查理定律(等容变化) Tp11＝Tp22或Tp＝C(常数)． (3)盖—吕萨克定律(等压变化)
p1 V1 p2V2 T1 T2
以上各实验定律或状 态方程的适用条件为： 1：一定质量 2：理想气体