平面问题有限元解法(公式推导讲解)

ldsmds fx 0 2

其中，fx为体力分量。将上式除以ds，并令ds趋于0（斜面AB趋于P点），即得：
px l x m xy

由y轴平衡条件，得：
2013-7-28
p y m x \ y l xy
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几何方程

u
v
u
经过弹性体内的任意一点P，沿x 轴和y轴的正方向取两个微小长度 的线段PA＝dx和PB＝dy。假定弹 性体受力后，P,A,B三点分别移动 到P’,A’,B’. 线段PA的线应变是： u u dx u

节点

节 点

节点力

节点力

载荷
作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力）

载荷

约束

限制某些节点的某些自由度


弹性模量（杨式模量）E 泊松比（横向变形系数）μ 密度
2013-7-28
约束
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平面问题有限单元法基本概念


有限单元法(FEM)是20世纪50年代以来随着计算机的广泛应用而发展起 来的一种数值解法。简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学问题。 平面问题的有限单元法求解

u y , y
xy
v u x y
(1-2)
根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程：
x
1 1 2(1 ) ( x y ), y ( y x ), xy xy E E E
(1-3)
1 2 1 2 2(1 ) x ( x y ), y ( y x ), xy xy (1-3‘) E 1 E 1 E
K＝F

引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。
通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是 为了进行单元分析，合是为了对整体的结构进行综合分析。
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弹性力学中的几个基本概念

作用于物体的外力可以分为体积力和表面力。 体力：分布在物体体积内的力，如重力、惯性 力。 为了表明物体在某一点P所受体力的大小和方 向，在这一点取物体的一小部分，它包含P点， 而它的体积为△V，作用于其上的体力为△F， 则体力的平均集度为△F/ △V。当△V不断减 小，假定体力为连续分布，则△F/ △V将趋于 一定的极限f，即:
F lim S ＝f S 0

这个极限矢量 f 就是该物体在P点所受面力在集度。 f 的方向就是 △F的方向，矢量 f 在坐标轴x,y,z上的投影 f x , f y , f z 称为该物体 在P点的面力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为 负。
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2013-7-28

0, zy yz 0
由胡克定律，相应的切应变：
zx＝ zy 0
x , y , xy
由于z方向的位移处处为0，所以： z 0 ，由于z方向的伸缩被阻止，一般 z 0
只剩下平行于xy面的三个形变分量，即： 这种问题成为平面应变问题。
2013-7-28 南京农业大学工学院机械工程系
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F
x
0
y
y y
dy
平面问题中一点的应力状态



假定已知任一点P处坐标面上的应力分量ζx，ζ y ，ηx y = η y x 。求经过该点的，平行于z轴而 倾斜于x轴和 y轴的任何倾斜面上应力。 从在P点附近取一个平面AB，它平行于上述斜 面，并经过P点划出一个微小的三棱柱PAB。当 AB无限小而趋于P点时，平面AB上的应力就成 为斜面上的应力。 用n表示斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：

面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和 接触力。 为了表明物体在某一点P所受面力的大小和方 向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含 P点，而它的面积为△S，作用于其上的面力为 △F，则面力的平均集度为△F/ △S。当△S不 断减小，假定体力为连续分布，则△F/ △S将 趋于一定的极限 f，即:
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平面应变问题


设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化， 在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化 的面力或约束。同时，体力也平行于横截面不 沿长度变化。 假想该柱体为无限长，以任一横截面为xy面， 以任一纵线为z轴，则所有一切应力分量、形 变分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是xy 的函数，所有各点的位移矢量都平行于xy面， 这种问题称为平面位移问题。 由对称条件可知： zx＝ xz
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弹性力学中的基本假定




连续性——假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质 所填满，不留任何空隙。 完全弹性——假定物体在引起形变的外力被除去之后能恢 复原形，而没有任何剩余形变。 均匀性——假定整个物体有同一材料组成的，物体的所有 各部分具有相同的弹性。 各向同性——假定物体的弹性在所有各个方向都相同。 小变形——假定位移和形变是微小的，物体受力之后，整 个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，因而 应变和转角都远小于1。
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平衡微分方程


从弹性体中取出一个微分体，根据平衡条 件导出应力分量与体力分量之间的关系式， xy 也就是平面问题的平衡微分方程。 从弹性体中取出一个微小的正平行六面体， x 它在x和y方向的尺寸分别为dx和dy，在z方 向的尺寸为一个单位长度。 以x为投影轴，列出投影的平衡方程：



单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、 节点自由度数等。 单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算 量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应 力变化平缓区域不必要细分网格。 节点编码。
注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材 料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。所以，用有限元分析计 算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。
即：
三大方面
三大方程

求解方法

经典解析 半解析 传统数值解法 现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）
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有限元单元模型中几个重要概念

单元

网格划分中每一个小的块体 单元 单元 确定单元形状、单元之间相互联结的 点 单元上节点处的结构内力
yx
xy
x
fy
y
fx
px
cos(n, x) l ,cos(n, y ) m

n
py
n

设斜面AB 的长度为ds，则PB面及A面的长度 分别为 lds及mds，而PAB的面积为 ldsmds/2， 棱柱的厚度设为1。 px ds xlds xy mds 由x轴平衡条件，得：

物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
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物体变形及受力情况的描述

基本变量 基本方程

u
（位移）
ε
ζ
ζ =E ε
E 弹性模量
（应变） （应力）

力的平衡方程 几何方程 物理方程
F lim V ＝f V 0

这个极限矢量f就是该物体在P点所受体力在集度。 f的方向就是 △F的方向，矢量f在坐标轴x,y,z上的投影fx,fy,fz称为该物体在P点 的体力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
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弹性力学中的几个基本概念
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有限元单元法分析步骤（三）

整体分析
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集成整体节点载荷矢量 F 。结构离散化后，单元之间通过节点传递 力，作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移 到节点上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编 码顺序组集成整体节点载荷矢量。 组成整体刚度矩阵K ，得到总体平衡方程：
平面应力问题


设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受 有平行于板面并不沿厚度变化的面力或 约束。同时，体力也平行于板面不沿厚 度变化。 设薄板的厚度为δ。以薄板的中面为xy 面，以垂直于中面的任何一直线为z轴。 所以有：
( z )

z=

＝0,( zx )
2
z=

＝0,( zy )
2
z=

三大基本方程

根据静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程。

平面问题中，根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程：
x yx fx 0 x y

y y

xy x
fy 0
(1-1)
根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程：
u x , x
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平面问题的基本理论

任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题，但是如 果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的 是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为 近似的平面问题。 两种典型的平面问题


平面应力问题
平面应变问题

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将连续体变换成为离散化结构。即将连续体划分为有限多个有限大小的单元， 这些单元仅在一些结点连接起来，构成一个所谓离散化结构。（对于平面问 题，常用的单元是三角形单元） 用结构力学方法进行求解
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有限元单元法分析步骤（一）

结构离散化

将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。 结构的离散化是有限元法分析地第一步，关系到计算精度和效率，包括以下 三个方面：

＝0
2
由于板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿板的厚度又是连续分布的，所以可以认 为在整个薄板的所有各点：
z 0, zx xz 0, zy yz 0

只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即：
x , y , xy yx

这种问题成为平面应力问题。
2013-7-28
yx
y
C
fy
fx
x
xy
yx

yx y
x dx x xy dx x
dy
yx x dy )dx 1 yx dx 1 f x dxdy 1 0 ( x dx)dy 1 x dy 1 ( yx y x x yx 约简以后，两边除以dxdy，得： fx 0 x y y xy 同理，以y为投影轴，列出投影的平衡方程，化简得： fy 0 y x
弹性力学中应力的方向规定

每一个面上的应力可以分解为一个正应力和两个切应力。 正应力用ζ表示，加上一个下标字母，表示作用面和作用方向。 切应力用η表示，并加上两个下标字母，表示作用面和作用方向。前 一个字母表示作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表示作用方 向沿着哪一个坐标轴。
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平面问题的有限单元解法
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有限元单元法基本思想


有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一 定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从 而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解 的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元 分析，最终得到对整个物体的分析。 有限单元法的分析步骤如下：
2013-7-28
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有限元单元法分析步骤（二）

单元特性分析



选择未知量模式 选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法； 选节点力作为基本未知量时，称为力法； 取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。 分析单元力学性质 根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元 节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位 移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。 计算等效节点力 作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到 节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。