高中数学必修四《两角差的余弦公式》

学 例3.已知
sinα=
54，α
2
,
，
cosβ=
-
153，
以 β是第三象限角，求cos(α-β)的值
致
用
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
1
练习：1.cos1750 cos550 sin1750 sin 550 2
2 2.cos( 210 ) cos( 240 ) sin( 210 ) sin( 240 ) 2
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
思考题：已知α，β都是锐角, cosα=
4， 5
cosα+β 5 求cosβ的值 13
变角: β= α+β α
分析：cos cos
cosαβcosαsinαβsinα
5 4 12 3 13 5 135
16 65
小结
两角差的余弦公式
3.1.1两角差的余弦公式
两个向量的数量积
温 a b a b cosθ 其中θ∈[0，π ]
故
知 新
a x1, y1 b x2, y2
a b x1x2 y1y2
两角差的余弦公式
问
如何用任意角α与β 的正弦、
题
余弦来表示cos(α-β)？
探 思考：你认为会是 究
cos(α-β)=cosα-cosβ吗?
OA cosα,sinα OB cosβ,sinβ
OA OB OA OB cos( )
cos( )
A
∵ OA OB
-1
cos cos sin sin
y 1
α -β
B
α
β
o
1x
-1
∴ cos(αBaidu Nhomakorabeaβ)=cosαcosβ+sinαsinβ
思考：以上推导是否有不严谨之处？
当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到 一个角θ∈[0，2π），使cosθ=cos(α-β)
对于任意角α,β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β).
再见
若θ∈[0，π ]，则 OAOB cos cos( )
若θ∈[π,2π)，则2π -θ∈[0，π ]，且
OA OB cos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)
对于任意角 α,β
结 论
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
归 差角的余弦公式 纳
Cα-β
注意：1.公式的结构特点；
学 例2.已知
cosα=
-
3 5
α
2
,
求cos
4
α
的值.
以
解:
∵
cosα=
-
3 5
α
2
,
致
∴ sinα= 1 cos2α 4
用
5 cos( -α) cos cosα+ sin sinα
4
4
4
2 2
3 5
24 25
2 10
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β)
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
学
例1.利用差角余弦公式求cos15 的值
分析: cos15 cos 45 30
以
cos15 cos60 45
致
用
思考：你会求sin75 的值吗?
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ