高中数学必修四《两角差的余弦公式》
人教A版必修四《两角差的余弦公式》教案及教学反思
人教A版必修四《两角差的余弦公式》教案及教学反思一、教学目标1.掌握余弦定理的两角差公式；2.能够通过两角差公式解决相关问题；3.培养学生运用数学方法解决实际问题的能力；4.培养学生基本的计算技能和思维能力。
二、教学重点难点教学重点：掌握余弦定理的两角差公式。
教学难点：能够通过两角差公式解决相关问题。
三、教学过程1. 导入教师通过学生已经掌握的知识，引出余弦定理的推导过程，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解通过解释“两角差的余弦公式”的概念和应用，让学生了解余弦定理的两角差公式的基本形式和运用方法。
3. 练习通过讲解例题，带领学生一步一步地掌握余弦定理的两角差公式，培养学生对于公式的理解和灵活运用能力。
例如，教师可以通过如下例题的讲解来帮助学生掌握两角差公式：已知$\\tan A =\\frac{1}{3}$，$\\tan B=\\frac{1}{2}$，且$A−B=\\frac{π}{4}$，求$\\sin A$。
解析：设$A=\\alpha+B$，则$\\alpha=\\frac{π}{4}+B$。
由$\\tan A =\\frac{1}{3}$和$\\tan B=\\frac{1}{2}$得$\\frac{\\tan A}{\\tanB}=\\frac{2}{3}$。
又因为$\\tan(\\alpha+B)=\\frac{\\tan \\alpha+\\tan B}{1- \\tan \\alpha \\tanB}=\\frac{\\frac{1}{3}+\\frac{1}{2}}{1-\\frac{1}{6}}=1$，所以$\\alpha+B=kπ+\\frac{π}{4}$，其中k为整数。
又因为$0<B<\\frac{π}{2}$，所以$\\alpha$在$\\fr ac{π}{4}$和$\\frac{5π}{4}$之间。
由余弦定理的两角差公式可得：$\\cos(\\frac{π}{4})=\\cos(\\alpha-B)$$\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\cos\\alpha \\cosB+\\sin\\alpha \\sin B$$\\frac{1}{\\sqrt{2}}=(\\cos B+\\sinB)(\\frac{1}{3}\\cos B+\\frac{1}{2}\\sin B)$$2\\sqrt{2} =6\\cos^2B+8\\sin^2B+5\\sin B \\cos B$令$u=\\cos B$，则$2\\sqrt{2}=6u^2+8(1-u^2)+5u\\sqrt{1-u^2}$。
人教版高中数学两角差的余弦公式教案和教案说明
人教版高中数学两角差的余弦公式教案和教案说明教案内容：一、教学目标：1. 让学生理解两角差的余弦公式的概念和意义。
2. 引导学生掌握两角差的余弦公式的推导过程。
3. 培养学生运用两角差的余弦公式解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：两角差的余弦公式的推导过程及其应用。
2. 难点：两角差的余弦公式的灵活运用。
三、教学方法与手段：1. 采用讲授法、探究法、练习法等教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。
四、教学过程：1. 导入：回顾上一节课所学的两角和的余弦公式，引导学生思考两角差的余弦公式。
2. 新课讲解：（1）介绍两角差的余弦公式的概念和意义。
（2）引导学生推导两角差的余弦公式。
（3）通过例题讲解两角差的余弦公式的应用。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
4. 总结与拓展：回顾本节课所学内容，引导学生思考两角差的余弦公式的拓展应用。
五、课后作业：1. 抄写并理解两角差的余弦公式。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
教案说明：本教案旨在帮助学生掌握两角差的余弦公式，通过导入、新课讲解、课堂练习、总结与拓展等环节，让学生逐步理解两角差的余弦公式的概念和意义，并能够灵活运用到实际问题中。
在教学过程中，教师应注重引导学生主动探究，培养学生的动手实践能力和思维能力。
课后作业的布置有助于巩固所学知识，提高学生的学习效果。
六、教学评价：1. 评价目标：检查学生对两角差的余弦公式的理解程度和应用能力。
2. 评价方法：（1）课堂问答：通过提问方式检查学生对两角差的余弦公式的概念和推导过程的理解。
（2）课后作业：布置相关的习题，评估学生对两角差的余弦公式的应用能力。
（3）单元测试：进行一次单元测试，全面评估学生对两角差的余弦公式的掌握情况。
七、教学反思：在教学过程中，教师应根据学生的反馈情况及时进行调整教学方法和节奏。
针对学生的薄弱环节，加强针对性训练，提高学生的理解和应用能力。
必修4两角差的余弦公式
两角差的余弦公式（选自人教版高中数学必修4第三章3.1.1节）一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、学情分析1．本节课的授课对象是高二学生，他们已经了解高中数学的教学模式，并形成自己独特的掌握新知识的方法，具有强烈的好奇心和求知欲；2．在知识水平上，高二学生之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，教师在教学新内容前可以先对这些知识进行适当回顾，为学生本节课的学习奠定良好的基础；3．教师在学生已经掌握三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用的基础上，引导学生如何利用差角的正弦余弦值来表示任意角，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
三、教学目标（一）知识与技能引导学生建立两角差的余弦公式，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
（二）过程与方法通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
（三）情感态度与价值观在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
四、教学重难点1．教学重点通过探索得到两角差的余弦公式以及两角差余弦公式的应用。
2．教学难点探索过程中的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程所必备的基础知识是否已掌握的问题以及运用已学知识和方法的能力问题等等。
五、教学方法与手段启发式讲授法，并用多媒体展示、计算机辅助教学。
六．教学关键注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比，联系，化归的观点去分析，处理问题，使他们能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换，还包括式子中角的变换，以及不同三角函数之间的变换，引导学生逐渐拓广有关公式在变换过程中的作用，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识，并且也注意了这种引导的渐进性和层次性。
数学必修四 第3章 3.1.1 两角差的余弦公式
填一填·知识要点、记下疑难点
两角差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ，其中 α、β 为任意角.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一
两角差余弦公式的探索
问题 1 有人认为 cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试 举两例加以说明．
研一研·问题探究、课堂更高效
→ → 当 α，β 均为任意角时，α－β 和〈OP，OQ〉的关系是： → → α－β＝2kπ±〈OP，OQ〉 ，k∈Z . → → → → → → → → (3)向量OP与OQ的数量积OP· OQ＝|OP||OQ|cos〈OP，OQ〉＝ → → cos(α－β)；另一方面，OP 与 OQ 的数量积用点坐标形式表示： → → OP· OQ＝(cos α，sin α)· (cos β，sin β)＝ cos αcos β＋sin αsin β 从而，对任意角 α，β 均有 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. .
π π 所以－2<α－β<－6， 所以 cos α＝ 1－sin α＝
2 2
8 15 2 1－17 ＝17， 21 20 2 1－ 29 ＝－29，
sin(α－β)＝－ 1－cos α－β＝－
研一研·问题探究、课堂更高效
所以 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
15 21 8 20 155 ＝17×29＋17×－29＝493.
小结 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、
函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最 基本的变换．常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 1 1 α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ，α＝2[(β＋α)－(β－α)] 等．
新人教A版必修4 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
π π π [自主解答] (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos － 3 3 3 π 2π 2π 2cos xsin － 3cos cos x－ 3sin sin x 3 3 3 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[悟一法]
1．解决此类问题的关键是熟练掌握和差公式的结构特征， 并灵活地正用、逆用、变形用． 2．对于正切公式，要熟悉以下常用的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)， tan α＋tan β 1－tan αtan β＝ ， tanα＋β tan α－tan β 1＋tan αtan β＝ . tanα－β
α，β，α－β≠
两角差 的正切
T(α－β)
tan α－tan β 1＋tan αtan β
π kπ＋ (k∈Z) 2
[小问题·大思维 ] 1．是否存在α、β使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立？
π 提示：存在．如 α＝0，β＝ . 2 π 2．若化简 tan( －β)，能否利用两角差的正切公式？ 2 π 提示：不能．因为 tan 不存在．可切化弦： 2
1 3 ＝2＋1－2sin x＋
3 3 － 3＋ cos x 2 2
＝0.
tan 12° ＋tan 33° (2)∵ 1－tan 12° · tan 33° ＝tan(12° ＋33° ) ＝tan 45° ＝1， ∴tan 12° ＋tan 33° ＝1－tan 12° · tan 33° . ∴tan 12° ＋tan 33° ＋tan 12° · tan 33° ＝1－tan 12° tan 33° ＋tan 12° tan 33° ＝1.
高中数学必修四《两角差的余弦公式》优秀教学设计
3.1.1两角差的余弦公式一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
三、教学重点难点重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点 探索过程的组织和引导。
四、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
五、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课时安排：2课时 七、教学过程（一）创设情景，揭示课题以文峰塔高度测量为背景素材（见课件）引入问题。
并针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。
问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15（2）0cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？(3)如何用450和300求0cos15?设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。
（二）、研探新知 1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。
人教版高中数学必修4A版两角差的余弦公式
cos15 cos(45 30) 解：
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
2 3 2 1 2 2 2 2 6 4 2
变式： 求sin75°的值.
2:已知两个单角函数值求差角的余弦。 4 5 例2， 已知sinα＝ ，α∈( 2 ,),cosβ= ,β 5 13 是第三象限角，求cos(α-β)的值。 分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β), 还应求什么？ 4 解:由sinα＝ 5 , α∈( , 2),得
–cos30 ° cos( 0° -30° ) ≠ cos 0 ° –cos45° cos(270° -45° ) = cos270° 问题2:你认为cos(α -β)=cosα -cosβ成立吗? cos(60° -30° ) = cos60° cos30° +sin60° sin30° cos(90° -45° ) = cos90° cos45° +sin90° sin45°
求cosxcos(x+15° ) +sinx sin(x+15° )的值
6 4
2
这节课，我学到了什么？
知识：掌握了公式Cα-β并会正确应用
能力：通过对公式Cα-β获得过程的探究， 提高了数学的探究能力及分析问题 解决问题的能力 求简 数学 数形结合 思想 分类讨论 方程的思想
作
习题3. 1
课下思考： 如何由Cα -β推出
3.1.1 两角差的余弦公式 探 如何用任意角α ,β的正弦、余弦值 究 1 来表示cos(α -β)呢？ 探究方 第一步：探求表示结果 法指导 第二步：对结果的正确性加以证明
议一议：问题3涉及的是三角函数的问题， 是否可以联系单位圆上的三角函 数线解决？
高一数学必修4课件：3-1-1两角差的余弦公式
第三章
3.1 3.1.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
(1)原式＝cos[(x＋27° )－(x－18° )]
2 ＝cos45° ＝ . 2 (2)原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(β－γ)＝cos(α－ β)· cos(β－γ)＋sin(α－β)· sin(β－γ) ＝cos[(α－β)－(β－γ)] ＝cos(α＋γ－2β).
π π 6＋ 2 π π π π π － ＝cos cos ＋sin · ＝ cos ＝cos 4 6 sin . 12 4 6 4 6 4
[正解]
第三章
3.1 3.1.1
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随堂应用练习
第三章
3.1 3.1.1
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思路方法技巧
第三章
3.1 3.1.1
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命题方向
公式的直接应用
[例1]
计算(1)cos15° cos105° ＋sin15° sin105° ；
(2)cos(35° －α)cos(25° ＋α)＋sin(α－35° )sin(25° ＋α)． [分析] 逆用公式时，要查名称、查角、查运算符号是
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
三角恒等变换
第三章
三角恒等变换
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第三章
3．1 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
高中数学必修4三角函数优质课件：两角和与差的正弦、余弦公式
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
给角求值问题
[例 1]
cos (1)sin
2200°°【·c常os考1题0°＋型】3sin
10°tan
70°－2cos
40°＝________.
(2)求值：(tan 10°－
＝－2.
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整 体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则 整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊 角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项 求值，化分子、分母形式进行约分式值；要善于逆用或变 用公式．
(2)原式 ＝cos(70°＋α)sin(10°＋α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)
＝sin[(10°＋α)－(70°＋α)] ＝sin(－60°)
＝－ 23.
第二十六页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
(3)原式＝cos 21°cos 24°＋sin(180°－21°)sin(180°＋24°) ＝cos 21°cos 24°－sin 21°sin 24° ＝cos(21°＋24°)
20°cos 10°＋ sin 20°
3sin
10°－2cos
40°
＝2cos
20°cos
10°sin 30°＋sin sin 20°
10°cos
30°－2cos
40°
＝2cos 20°ssinin2300°°＋10°－2cos 40°
＝2cos
20°sin
高中数学部分定理和公式的证明两角差的余弦公式
[证明] 一方面，设有排好顺序的 m 个空位(如图)，从 n 个不同元素 a1，a2，…，an 中任 取 m 个元素去填空，一个空位填 1 个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同的 填法的种数就是排列数 Am n.
[证明] 如图，设 AB∩l＝B，在平面β内过 B 作 BC⊥l.因为 AB⊥l，所以∠ABC 是二面角 α l
β的平面角．因为α⊥β，所以∠ABC＝90°，即 AB⊥BC.又 AB⊥l，BC∩l＝B，l⊂β，
BC⊂β，所以 AB⊥β. 8．空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 P1，P2 两点间的距离为 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2.
高中数学部分定理和公式的证明 1．两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β [证明] 如图，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边作角α，β，它们的终 → → 边与单位圆 O 的交点分别为 A，B．则OA＝(cos α，sin α)，OB＝(cos β，sin β)． → → OB＝(cos α， 由向量数量积的坐标表示， 有OA· sin α)·(cos β， sin β)＝cos αcos β ＋sin αsin β.
n 则 Sn＝ a1（1－q ），q≠1. 1－q
n（a1＋an） n[a1＋a1＋（n－1）d] . 又 an ＝ a1 ＋ (n － 1)d ， 所 以 Sn ＝ ＝ na1 ＋ 2 2
[证明] 当 q＝1 时，an＝a1，所以 Sn＝na1. 当 q≠1 时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，① 所以 q·Sn＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋an－1q＋anq ＝a2＋a3＋…＋an＋anq.② ①－②得(1－q)Sn＝a1－qan， 所以 Sn＝ a1－qan a1－a1qn a1（1－qn） ＝ ＝ . 1－q 1－q 1－ q na1，q＝1，
高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式 教案
《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。
高中数学人教A版必修4课件-3.1.1两角差的余弦公式1
15
6 2 4
OA cosα,sinα OB cosβ,sinβ
OA OB OA OB cos( )
cos( )
A
∵ OA OB
-1
cos cos sin sin
y 1
α -β
B
α
β
o
1x
-1
∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
对于任意角 α,β
结 论 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
3.1.1 两角差的余弦公式
两个向量的数量积
温 a b a b cosθ 其中θ∈[0，π ]
故
知 新
a x1, y1 b x2, y2
a b x1x2 y1y2
复习回顾：
向量的数量积以及两个向量夹角的余弦值公式. 练习：已知向量 a (cos45o ,sin 45o )，b (cos30o ,sin 30o )， 求 a,b夹角 的余弦 解： | a | cos2 45o sin2 45o 1
思考题：已知α，β都是锐角, cosα=
4 5
，
cosα+β 5 求cosβ的值 13
变角: β= α+β α
分析：cos三角函c数os中一定要 注意视
c察o5s角α=4度β之α 12c间o+的3sβ α关系si，n例α如βsinα
13=5 ( 13 -5 )+
16 65
课堂练习： P127 练习 3、4题
22
22
6 2 4
思考：你会求sin75 的值吗?
学 以 致 用
例1已知
cosα=
-
3 5
2014年人教A版必修四课件 3.1 两角和与差的正弦,余弦和正切公式
问题1. 在三角函数中, 对于特殊角, 如30、45、 60等, 我们可以记得它们的正弦、余弦等函数值, 那 么对于如15、75等的角, 是否可用特殊角来计算其 三角函数值呢? 即 sin15=? sin75=? cos15=? cos75=?
∵sin15=sin(45-30),
= 2 3 + 21 2 2 2 2 6 + 2 = . 4
法二: cos15º = cos(60º -45º ) = cos60º cos45º +sin60º sin45º
= 1 2 + 3 2 2 2 2 2 2 + 6 = . 4
例2. 已知sina = 4 , a( p , p), cosb = - 5 , b 是 13 5 2 第三象限角, 求cos(a -b )的值. 解: 已知 sina = 4 , a (p , p ), 5 2 则cosa = - 1 - sin 2 a = - 3 , 5 5 cos b = , b是第三象限角, 又 13 则sinb = - 1 - cos2 b = - 12 , 13 ∴cos(a -b ) = cosa cosb +sina sinb = - 3 (- 5 ) + 4 (- 12 ) 5 13 5 13 = - 33 . 65
3. 已知sinq = 15 , q是第二象限角, 求cos(q - p )的值. 3 17 解: sinq = 15 , q是第二象限角, 17 cosq = - 8 , 17 则 cos(q - p ) = cosq cos p + sinq sin p 3 3 3 = (- 8 ) 1 + 15 3 17 2 17 2 = 15 3 - 8 . 34
【高中数学必修四】3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
4 4 2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos cos
sin
例2. 利用和(差)角公式计算下列各式的值.
(1) sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 ;
o o o o
(2) cos 20 cos 70 sin 20 sin 70 ;
(2)sin cos
练习
把下列各式化为一个角的三角函数形式
1 2 sin cos
3 1 2 sin cos 2 2 2 6 3 sin x cos x 4 4 4 4
小结
1.和角公式，差角公式.
sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos (又有什么要求?) cos cos sin sin k 2 cos cos cos cos k ( k Z ) tan tan 2 1 tan tan
( S( ) )
( S( ) )
公式的特点: (1)公式对、 取任意值都成立 ; ( 2)公式中右边有两项 ,中间符号与左边两角间 的符号相同 ; ( 3)右边三角函数的排列的 顺序是 : sin cos 、cos sin . 公式的用途： 对于α ,β ,只要知道其正弦或余弦，就可以求出 差角(或和角)的正弦值.
两角和(差)的余弦公式: 两角和(差)的正弦公式:
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
人教版高一数学必修4两角差的余弦公式
3.1.1 两角差的余弦公式学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程，理解用向量法导出公式的主要步骤(难点).2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算(重点)．课前预习：预习教材P124－126完成下面问题： 知识点 两角差的余弦公式【预习评价】(1)cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32(2)已知α是锐角，sin α＝23，则cos(π3－α)＝________．课堂互动：题型一 两角差的余弦公式的正用和逆用 【例1】 (1)cos(－15°)的值是( ) A ．6－22 B ．6＋22 C ．6－24D ．6＋24(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________． (3)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°＝________．规律方法 运用两角差的余弦公式求值的注意点 (1)要深刻理解所用公式的特征、恰当地套用公式，(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值．【训练1】 求下列三角函数式的值：(1)sinπ12；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°． 题型二 给值求值【例2】 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2．规律方法 给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．【训练2】 已知sin α＝23，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－34，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求cos(α－β)的值．【例3】 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值．【迁移1】 若例3条件中的“cos(α＋β)＝－1114”改为“sin(α＋β)＝5314”，则β的值是什么？【迁移2】 在例3的条件下，若γ∈(0，π2)，sin γ＝13，求cos(β－γ)．规律方法 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 课堂反馈：课堂达标1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－322．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝( ) A ．22 B ．12C ．32D ．－123．已知sin α＝45，α∈(0，π2)，则cos(α－π4)＝________．4．计算：12sin 60°＋32cos 60°＝________．5．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a⊥b，求α－β的值．课堂小结1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．。
数学必修四312两角和与差的正弦余弦正切公式
二、基础知识讲解
由 于 c o s ( ) c o s [ ( )]
c o sc o s ( ) s ins in ( )
c o sc o s sin sin
所以，对于任意角，
有 cos()coscossinsin
c o s ( )( c o s c o s) 2 ( s in s in ) 2 2 2
c( o s) 2 [c (o c so )2 s (si n si)2 n ] 2
一、复习引入
两角差的余弦公式C（α-β）
c o （ s ） c o sc o s s i n s i n
4 4
①利用诱导公式
②利用和(差)角公式
P131练习2,3,4
变通公式
α =(α＋β)－β 2β=（α＋β）- （α-β） β=α- （α-β） 2 α =（α＋β）+ （α-β） β=（α＋β）- α
+=(-)+(-)
2
22
二教P74例1
三、例题分析 逆用公式
例4：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(2)公 式 中 右 边 有 两 项 ,中 间 符 号 与 左 边 两 角 间 的 符 号 相 同 ;
(3)右 边 三 角 函 数 的 排 列 的 顺 序 是:sincos、 cossin. sin15° sin75°
二、基础知识讲解
探究：你能根据正切函数与正弦、余弦函数 的关系，从C（）， S()出发，推导出用任意
证明：∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴△ABC中没有直角，∴tanAtanB≠1.
∵ tan(A+B)= tanAtanB , 1tanAtanB
《两角差的余弦公式》的教学案
两角差的余弦公式说课稿教材分析1、教材所处的地位和作用：《两角差的余弦公式》是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学内容，是本模块第一章《三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延续和拓展。
其中心任务是通过已学知识,探索建立两角差的余弦公式。
它不仅是前面已学的诱导公式的推广，也是后面其它和（差）角公式推导的基础和核心，具有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。
2、重点，难点以及确定的依据：对本节课来说，学生最大的困惑在于如何得到公式．所以，本节课的教学重点是：两角差的余弦公式的探究和应用；教学难点是：两角差的余弦公式的由来及证明；引导学生通过主动参与,独立探索。
教学目标设计（1）知识与技能：本节课的知识技能目标定位在公式的向量法证明和应用上；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质．在新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建，形成属于自己的知识结构体系．（2）过程与方法：创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想；在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力．（3）情感、态度与价值观：体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣，激励勇气，培养创新精神和良好的团队合作意识．通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神．教法设计1、学情分析：学生刚刚学习了同角三角函数的变换及平面向量的知识，对用举反例推翻猜想、运用单位圆、用向量解决三角问题已经有了一定的基础，但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明的水平． 2、教学手段：(1)从知识的认知程序上看，老师看问题从整体到局部，而学生却是从局部到整体。
《两角差的余弦公式》教案
高一数学必修4第三章第1节《两角差的余弦公式》教案作者：何源麟一、教材分析本小节教材以本章开头的电视塔为实际问题引出关于两角角和、差的三角函数值的计算，首先从差角余弦公式开始，引用第一章中借助单位圆探究三角函数的想法，在单位圆中建立两角差，并寻找它的余弦线，用数形结合的方式探究两角差的余弦公式，然后，又应用刚刚学习的向量知识探究任意角的两角差的余弦公式，让同学们体会向量的在数学其他领域上的作用，最后以两个例题的求解过程展现两角差的余弦公式的实际应用价值。
二、教学目标1.知识与技能(1)掌握运用单位圆上三角函数基本知识和向量知识推出两角差的余弦公式的探索过程。
(2)了解两角差的余弦公式的意义，并能应用与简单计算。
2.过程与方法(1)通过参与运用向量知识和三角函数基本知识推出差角余弦公式的过程，进一步理解函数与向量的内在联系。
(2)通过运用两角差的余弦公式技巧性的计算常见角度的余弦值，理解两角差的余弦公式在实际问题中的应用广度，为学习其余三角函数公式打下根基。
3.情感态度与价值观经过本节课的学习，对该公式有个全面透彻的了解，进一步感受三角函数与其他函数的区别，并通过实例，体会三角函数的应用价值。
三、教学重难点1.教学重点：差角余弦公式在实例运算中的应用。
2.教学难点：差角余弦公式的推导过程与方法。
四、教学过程（一）导入新课问题1：我们已经学习了cos60°=12，cos30°=√32，cos45°=√22,但没有学习其他角的余弦值，比如：cos15°，cos75°那么，我们能否用学过的60°，30°，45°的余弦、正弦去表示cos15°，cos75°呢？通过学生自主探究，板书cos15°=cos(60°−45°)，cos75°= cos(120°−45°)。
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若θ∈[π,2π)，则2π -θ∈[0，π ]，且
OA OB cos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)
对于任意角 α,β
结 论
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
归 差角的余弦公式 纳
Cα-β
注意：1.公式的结构特点；
学 例3.已知
sinα=
54，α
2
,
，
cosβ=
-
153，
以 β是第三象限角，求cos(α-β)的值
致
用
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
1
练习：1.cos1750 cos550 sin1750 sin 550 2
2 2.cos( 210 ) cos( 240 ) sin( 210 ) sin( 240 ) 2
对于任意角α,β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β).
再见
3.1.1两角差的余弦公式
两个向量的数量积
温 a b a b cosθ 其中θ∈[0，π ]
故
知 新
a x1, y1 b x2, y2
a b x1x2 y1y2
两角差的余弦公式
问
如何用任意角α与β 的正弦、
题
余弦来表示cos(α-β)？
探 思考：你认为会是 究
cos(α-β)=cosα-cosβ吗?
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β)
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
学
例1.利用差角余弦公式求cos15 的值
分析: cos15 cos 45 30
以
cos15 cos60 45
致
用
思考：你会求sin75 的值吗?
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
OA cosα,sinα OB cosβ,sinβ
OA OB OA OB cos( )
cos( )
A
∵ OA OB
-1
cos cos sin sin
y 1
α -β
B
α
β
o
1x
-1
∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
思考：以上推导是否有不严谨之处？
当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到 一个角θ∈[0，2π），使cosθ=cos(α-β)
学 例2.已知
cosα=
-
3 5
α
2
,
求cos
4
α
的值.
以
解:
∵
cosα=
-
3 5
α
2
,
致
∴ sinα= 1 cos2α 4
用
5 cos( -α) cos cosα+ sin sinα
4
4
4
2 2
3 5
24 25
Hale Waihona Puke 2 10cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
思考题：已知α，β都是锐角, cosα=
4， 5
cosα+β 5 求cosβ的值 13
变角: β= α+β α
分析：cos cos
cosαβcosαsinαβsinα
5 4 12 3 13 5 135
16 65
小结
两角差的余弦公式