差分方程讲解
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
差分方程介绍
例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量
(1) yk = ak + b
(1) (1) yk = 1.3k + 9.5, y6 = 17.3
得到
缺点：数据少，用回归分析不好。改用差分方程
yk = a1 yk −1 + a2 yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 或者 用二阶差分， yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3
和最小二乘法，使 最小，求出
∑[ y
3
5
k
− (a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 a3 = −8, y6 = 21, y7 = 19
上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前 上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前5 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直 第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。 觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作 分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程， 分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟 合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的， 合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的， 故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 为此， 为此，将季度编号为
∗
只取一次项近似为： 只取一次项近似为： （5）是（4）的近似线性方程，x ∗ 也是 ( 5 ) ） ）的近似线性方程， 的平衡点， 的平衡点，关于线性方程平衡点稳定的条 件上面已给出。 件上面已给出。
高考数学冲刺差分方程考点精讲
高考数学冲刺差分方程考点精讲在高考数学的复习冲刺阶段，差分方程作为一个重要的考点，常常让同学们感到困惑和棘手。
但其实，只要我们掌握了它的核心概念和解题方法，差分方程也并非难以攻克。
下面就让我们一起来深入了解一下差分方程这个考点。
一、什么是差分方程差分方程是一种用于描述离散变量之间关系的数学方程。
与我们熟悉的微分方程不同，差分方程处理的是相邻离散时刻或位置上的变量变化。
比如说，我们有一个数列｛an}，如果存在一个关系式，能够通过an 与其前一项或前几项的关系来表示，那么这个关系式就是一个差分方程。
二、差分方程的类型1、一阶线性差分方程形如 an+1 ＝ pan ＋ q （其中 p、q 为常数，p ≠ 0）的方程就是一阶线性差分方程。
当 p ＝ 1 时，方程变为 an+1 ＝ an ＋ q ，这是一个简单的等差数列形式。
当p ≠ 1 时，我们可以通过一些方法求解出通项公式。
2、二阶线性差分方程形如 an+2 ＋ pan+1 ＋ qan ＝ f(n) （其中 p、q 为常数，f(n) 为已知函数）的方程就是二阶线性差分方程。
三、差分方程的求解方法1、一阶线性差分方程的求解对于一阶线性差分方程 an+1 ＝ pan ＋ q ，我们可以使用待定系数法来求解。
首先，设 an+1 k ＝ p(an k)，通过展开并对比系数，求出 k 的值。
然后，将方程变形为 an+1 k 是以 p 为公比的等比数列，从而求出通项公式。
2、二阶线性差分方程的求解对于二阶线性差分方程 an+2 ＋ pan+1 ＋ qan ＝ f(n) ，我们通常需要先求出其对应的齐次方程 an+2 ＋ pan+1 ＋ qan ＝ 0 的通解，然后再根据非齐次项 f(n) 的形式，求出一个特解，最终得到方程的通解。
四、差分方程在实际问题中的应用1、经济领域在经济学中，差分方程可以用来描述经济变量随时间的变化，比如投资的增长、价格的波动等。
2、生物学领域在生物学中，差分方程可以用来模拟种群数量的变化、疾病的传播等。
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
6差分方程
yt*
b
C P
bt
所以 b P 时，方程的通解为
yt
APt
C bP
bt
当 b P 时，设 yt* ktbt为方程的特解，代入方程得
kC P
所以，当 b P 时，方程的通解为
yt APt Ctbt 1
例7 求差分方程 时的特解.
yt 1
1 2
yt
3( 3)t 2
在初始条件 y0
5
解 这里 P 1 ,C 3,b 3
3t (2t2 6t 3)
二、 差分方程的概念 定义2 含有未知函数 yt 的差分的方程称为差分方程.
差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为 该差分方程的阶. n阶差分方程的一般形式：
F (t, yt , yt , 2 yt , , n yt ) 0, 或
G(t, yt , yt1, yt2, , ytn ) 0,.
其特点是 yt n , yt n1,, yt 都是一阶的.
三、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数差分方程的一般方程形式为
yt1 Pyt f (t)
其中 P 为非零常数，f (t) 为已知函数. 如果 f (t) 0
则方程变为
yt 1 Pyt 0
称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地, f (t) 0
如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个 数恰好等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.
定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各 阶差分均为一次，则称该差分方程为线性差分方程.
其一般形式为
yt n a1(t) yt n1 an1(t) yt 1 an (t) yt f (t)
证明 由题设，有 yt*1 Pyt* f (t) 及 yt1 P yt 0
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
差分方程的求解方法及其应用
差分方程的求解方法及其应用差分方程是数学中一个比较重要的分支，用于描述离散化的动态系统和过程，广泛应用于物理、工程、生态、经济、金融等领域。
通过离散化，可以将连续的问题转化为离散的数值计算问题，从而可以用计算机进行求解。
本文将介绍差分方程的求解方法及其应用，希望能够对读者有所帮助。
一、差分方程的定义差分方程是指包含有未知函数的离散变量的函数方程。
通俗的说，就是说差分方程用来描述离散的数学模型。
一般的差分方程可以写成如下形式：$$y_{n+1} = f(y_n, y_{n-1}, \cdots, y_{n-k+1}, n)$$其中，$y_n$ 是未知函数在 $n$ 时刻的值，$f$ 是一个给定的函数，$k$ 是差分方程中自变量的个数。
当 $k=1$ 时，常常称为一阶差分方程，如下所示：$$y_{n+1} = f(y_n, n)$$此外还有二阶、三阶等高阶差分方程。
差分方程与微分方程相似，都是用来描述某种动态系统的变化规律，只是微分方程是描述连续变化的模型，而差分方程是描述离散变化的模型。
二、差分方程的求解方法差分方程的求解方法可以分为两类，一类是解析解法，即用数学公式直接求解；另一类是数值解法，即用计算机进行数值计算求解。
1. 解析解法对于一些特殊的差分方程，可以用解析解法求出解析解。
解析解法就是通过数学公式直接求解，得到函数在论域上的解析表达式，从而可以对解析表达式进行分析求得有关该函数的很多重要信息。
以一阶线性差分方程为例，即：$$y_{n+1} = ay_n + b, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其中 $y_0$ 是已知值， $a$ 和 $b$ 是常数。
可以通过数学公式得到该差分方程的解析解：$$y_n = a^ny_0 + b\frac{a^n-1}{a-1}, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其它的高阶差分方程可以运用代数学、矩阵论、微积分等方法求解。
2. 数值解法数值解法是一种通过数值计算来求解差分方程的方法。
差分方程的通解和特解公式
差分方程的通解和特解公式差分方程是一种描述离散时间上变化的数学工具。
与微分方程类似，差分方程描述了变量随时间或空间发生变化的规律。
差分方程可以用于模拟和解决各种实际问题，比如人口增长、电路分析、金融建模等。
在差分方程中，我们通常会遇到两种解：通解和特解。
本文将详细介绍差分方程的通解和特解的概念、性质和求解方法。
一、差分方程的基本概念在介绍通解和特解之前，我们先来了解一下差分方程的基本概念。
差分方程是离散时间序列上的递推关系式，它可以用来描述变量在不连续时间点上发生的变化。
一般来说，差分方程可以写成以下形式：y_(n+1)=f(y_n,y_(n-1),...,y_(n-k))其中，y_n表示离散时间点n上的变量的取值，f是关于y_n,y_(n-1),...,y_(n-k)的一些函数。
y_(n+k)=f(y_n,y_(n-1),...,y_(n-k))其中n为常数，k为正整数。
n阶差分方程是一种求解变量的k+1个递推公式的方法。
二、差分方程的通解如果差分方程的解函数y=y(n,C1,C2,...,Cn)能够满足差分方程的任意初值条件，其中C1,C2,...,Cn是任意给定常数，那么y=y(n,C1,C2,...,Cn)被称为差分方程的通解。
通解形式通常使用参数C1,C2,...,Cn表示，可以看作是由n个独立的常数构成的一个函数族。
通解的形式是由差分方程的阶数和特解的个数决定的。
如果一个差分方程满足n阶差分方程的递推公式并且有n个特解，那么通解就是特解的线性组合。
对于一阶差分方程：y_(n+1)=f(y_n)如果我们已知一个特解y=f(y_n)，那么差分方程的通解可以写成：y_(n+1)=f(y_n)+C其中C是任意给定的常数。
对于二阶差分方程：y_(n+2)=f(y_n,y_(n-1))如果我们已知两个特解y1=f(y_n,y_(n-1))和y2=g(y_n,y_(n-1))，那么差分方程的通解可以写成：y_(n+2)=f(y_n,y_(n-1))+C1*y1+C2*y2其中C1和C2是任意给定的常数。
差分方程讲解
an+1 = 5an , an+2 = 3an ,
an+2 = 3an + n2 ,
an+2 −3an+1 + 4an = 0, an+2 − 3an+1 + 4an = 6,
§2 一阶线性差分方程
对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当 可以求解的时候)以及讨论解的性质. 能够给出解 析解的差分方程是为数很少的一部分, 大多数差 分方程是不能给出解析解的, 此时, 只能对其解的 性质给出一定的讨论, 讨论解的性质(解的变化趋 势, 是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法: 一是数值计算方法, 二是定性或定性定量结合的 方法.
−1 1 3 5 7 9
∆2an
2 2 2 2 2
§1 数列的差分
§2 一阶线性差分方程 一. 差分方程的基本概念 二. 齐次线性差分方程的解析解
§2 一阶线性差分方程
一. 差分方程的基本概念
定义2.1 差分方程是一种方程, 该方程表明数列 定义2.1 差分方程 中的任意项如何用前一项或几项来计算. 初始 条件是该数列的第一项. 出现在差分方程中的 条件 项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分 差分 方程的阶. 方程的阶.
an+2 = 3an + n ,
2
2
an+1 = 5an ,
an+2 −3an+1 + 4an = 6,
an+1 = ( an ) , an+2 = ( an+1 )( an ) .
§2 一阶线性差分方程
定义2.2 定义2.2 如果差分方程中包含数列变量(即包含 an)的项不包含数列变量的乘积, 不包含数列变 量的幂, 也不包含数列变量的诸如指数, 对数或 三角函数在内的函数, 那么我们称该差分方程 是线性的 否则差分方程就是非线性的 注意这 线性的. 非线性的. 线性的 非线性的 种限制只适用于包含数列变量的项, 而不能用 于不包含数列变量的数列{an} = {1, 3, 6, 10, 15, 21, L}, 则有 {∆an} = {2, 3, 4, 5, 6, L} 以及 {∆2an} = {1, 1, 1, 1, 1, L}. 令 an = An2 + Bn + C,
差分方程基本概念和方法
差分方程基本概念和方法差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，与微分方程类似。
差分方程的解描述了系统的演化过程，这使得差分方程在多个领域中有广泛的应用，如物理、生物、经济学等。
差分方程的基本概念：1.序列：差分方程的解是一个序列，即有序数字集合。
通常用{x_n}表示，其中n是自然数。
2.差分算子：在差分方程中，通常使用差分算子△来表示序列的递推关系。
差分算子△的作用是将序列中的元素转化为下一个元素。
3.初始条件：差分方程还需要初始条件。
初始条件是差分方程的一个边界条件，用来确定序列的起点。
差分方程的一般形式为：x_{n+1}=f(x_n)其中，x_{n+1}是序列中的下一个元素，f是一个给定的函数。
差分方程的解法可以分为两种方法：定解条件法和递推法。
1.定解条件法：此方法适用于已知一些递推关系的问题。
定解条件法的基本思想是找到满足差分方程的序列，并给出初始条件来解决方程。
步骤如下：a.先猜测一个可能的递推关系，并将其代入差分方程中。
b.解得的递推关系与给定的初始条件进行比较，如果相符，则该递推关系为差分方程的解。
c.如果猜测的递推关系与初始条件不符，可以再次猜测一个新的递推关系，继续以上步骤，直到找到满足条件的递推关系。
2.递推法：此方法适用于无法直接找到递推关系的情况。
递推法的基本思想是通过已知的序列元素来逐步计算下一个元素，以构造出满足差分方程的序列。
步骤如下：a.给出初始条件，即序列的前几项。
b.根据初始条件计算出序列的下一项，再利用这一项计算出下下一项，以此类推。
c.最终得到满足差分方程的序列。
需要注意的是，差分方程的解不一定存在，且可能存在多个解。
此外，解的形式可能是递推公式、闭式公式或者一个序列。
总之，差分方程是一种离散系统行为的数学模型，差分方程的解描述了系统的演化过程。
通过定解条件法和递推法，我们可以解决差分方程问题并得到满足条件的解。
差分方程求解
差分方程求解什么是差分方程差分方程是离散时间系统模型中常用的数学工具之一。
它描述了在不同时间点上，系统状态之间的关系，其中系统状态是离散的。
差分方程在许多科学领域都有应用，如物理学、工程学和经济学等。
差分方程可以看作是微分方程在离散时间上的等效形式。
微分方程描述了连续时间系统的动态行为，而差分方程描述了离散时间系统的动态行为。
差分方程通常通过递推关系来表示系统状态之间的转移。
差分方程的一般形式差分方程的一般形式可以表示为：x[n+1] = f(x[n], x[n-1], ..., x[n-k])其中，x[n]表示系统在时间点n的状态，f表示系统状态之间的转移函数，k表示系统的阶数。
差分方程的求解方法1. 递推法递推法是一种直接求解差分方程的方法。
通过已知初始条件x[0], x[1], ..., x[k]，可以逐步递推得到系统在任意时间点上的状态。
递推法的步骤如下：1.根据初始条件，求得x[k+1]；2.迭代计算，依次求得x[k+2], x[k+3], ...。
递推法的优点是简单易用，并且不需要求解复杂的代数方程。
但它的缺点是只能求得系统的局部解，无法得到整个系统的行为。
2. 特征根法特征根法是一种求解差分方程的解析方法。
通过求解差分方程的特征方程，可以得到系统的特征根，进而得到系统的解析解。
特征根法的步骤如下：1.将差分方程转化为对应的特征方程；2.求解特征方程，得到系统的特征根；3.根据特征根的性质，推导得到系统的解析解。
特征根法的优点是能够得到系统的全局解，对于高阶差分方程尤为适用。
但它的缺点是求解过程较为繁琐，需要具备一定的数学知识。
差分方程的应用举例差分方程在许多科学领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用举例：1. 自然科学中的应用在物理学和工程学等领域中，差分方程常用于描述动态系统的行为。
例如，可以用差分方程描述弹簧振子的运动过程、电路中电流的变化等。
2. 经济学中的应用在经济学中，差分方程常用于描述经济系统的演化过程。
高等数学中的差分方程相关知识点详解
高等数学中的差分方程相关知识点详解在高等数学中，差分方程是一个非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种科学领域，如物理、化学、工程学等。
差分方程与微分方程不同，在处理离散数据时更加方便，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
接下来，我们将详细介绍差分方程的相关知识点。
1.差分方程的定义差分方程是一种用递推关系式描述离散变量间数值关系的数学工具，通常表示为：$a_n=F(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$其中，$a_n$表示一个数列的第$n$项，$k$为正整数，$F$为给定的函数。
差分方程起始值$a_0,a_1,...,a_{k-1}$也是给定的。
2.差分方程的求解方法求解差分方程的过程与求解微分方程的过程类似，需要先求出差分方程的通解，然后根据初始条件得到特解。
（1）求通解对于一个$k$阶差分方程，我们可以猜测一个$k$次线性递推数列$\{b_n\}$，即$b_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n$，其中$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$是$k$个根。
将猜测的线性递推数列带入差分方程中得到：$c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n=F(c_1\la mbda_1^{n-1}+c_2\lambda_2^{n-1}+...+c_k\lambda_k^{n-1},c_1\lambda_1^{n-2}+c_2\lambda_2^{n-2}+...+c_k\lambda_k^{n-2},...,c_1\lambda_1^{n-k}+c_2\lambda_2^{n-k}+...+c_k\lambda_k^{n-k})$整理得到：$c_1(\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k}))+c_2(\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k}))+...+c_k(\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k}))=0$由于$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，因此需要使方程的每个系数都等于$0$，也就是：$\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k})=0$$\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k})=0$...$\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k})=0$将上述$k$个方程写成矩阵的形式，即可解得$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$。
差分方程
第七节 差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x xz z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
差分方程介绍
易见
yt
G 1a
2200
例4.16 商品销售量预测
(实例)某商品前5年的销售量见表 。现希望根据 前5年的统 计数据预测 第6年起该商品在各季度中的销售量。
从表年中份可以看出，该商品在 前5年相同季节里的销售量呈增 长最销季趋小售度势而量，第而三在季第同度一一的年年销中售第销量二售最年量大先。增预第后测三减该年，商第品第一以四季后年度的的销销售第售情五量况年， 一种办法是应 用最小二乘法建立经验模型。即根据本例中数
易见，此时关系式 （4.12）成立，又若 取y0=1600，y1=1700， G=550，则由迭代公式
yt a(1 b) yt1 abyt2 G
求得
9 8
yt 1
3 8
yt 2
550
y2=1862.5, y3=2007.8, y4=2110.3, y5=2171.2, y6=2201.2, y7=2212.15, y8=2213.22, y9=2210.3,…。
a0n a1n1 an yt 0
（4.17）
（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(4.16)的通解 情况1 若特征方程（4.17）有n个互不相同的实根
,…1 , ，n则齐次方程（4.16）的通解为
C， t 11
Cntn
(C1,…,Cn为任意常数)
情况2 若λ 是特征方程（4.17）的k重根，通解中对应
数时，称此解为该差分方程 的通解。若解中不含任意常数，
则称此解为满足某些初值条件的 特解，例如，考察两阶差
分方程
yt2 yt 0
易见
yt
sin 与t 2
差分方程详解
差分方程百科内容来自于:差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定义类推，有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………一阶差分的性质(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推，有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。
n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。
差分方程讲解
解 特征方程为
2 4 + 16 = 0.
方程的根为
1,2 2 2 3i , r 4, .
3
原方程的通解为
y x C1 cos x C 2 sin 3 3
x x4 .
代入初始条件 y0=0, y1=1得
C1 cos 0 C 2 sin 0 40 0, 1 C1 cos C 2 sin 4 1, 3 3
其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x的一个特解.
解 对应的齐次方程的特征方程为 方程的根为
2 3 + 2 = 0. 1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y Bx 2 x ,
x
代入原方程, 得 B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x, 1 B , 2 1 x x 所求特解为 yx x 2 x 2 . 2
设特解的待定式为 m y x B0 B1 x Bm x (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
差分方程的概念与定义
差分方程的概念与定义差分方程是一种描述离散时间变量之间关系的数学方程，它在许多领域中发挥着重要作用，如物理学、经济学、生物学和工程学等。
差分方程的研究不仅有助于了解系统的动态行为，还可以预测未来的趋势和进行系统的控制和优化。
差分方程的定义可以理解为，给定一个递推序列{x_n}，其中n表示时间的离散变量，差分方程描述了序列中相邻两个时间点的关系。
一般来说，差分方程可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)其中x_{n+1}表示下一个时间点的值，f(n,x_n)是一个给定的函数，描述了当前时间点和上一个时间点之间的关系。
这个函数可以是线性的、非线性的、离散的或连续的，具体取决于问题的特性和所研究系统的动态行为。
差分方程有两种常见的形式：一阶差分方程和高阶差分方程。
一阶差分方程是指只涉及到一个变量的差分方程，通常可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前一个时间点的值计算而得。
高阶差分方程涉及到多个变量，可以表示为：x_{n+k}=f(n,x_n,x_{n-1},...,x_{n-k+1})这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前面k个时间点的值计算而得。
高阶差分方程通常用于描述更复杂的系统，其中多个变量之间存在相互作用和依赖关系。
差分方程的解可以通过迭代和递推来获得。
给定一个初始条件x_0，根据差分方程的定义，我们可以通过递推计算出序列中的其他时间点的值。
这种递推计算可以用来分析系统的长期行为和稳定性，预测未来的发展趋势，并进行系统的控制和优化。
差分方程是离散时间系统的重要数学工具，它可以描述和分析许多实际问题。
例如，在经济学中，差分方程可以用来描述经济变量之间的关系，如消费、投资和就业等。
在物理学中，差分方程可以用来描述粒子在离散时间点上的位置和速度的变化。
在生物学中，差分方程可以用来描述种群数量的变化和生物进化等现象。
总之，差分方程的概念与定义为我们研究和理解离散时间系统的动态行为提供了重要的数学工具。
差分方程求解
差分方程求解什么是差分方程？差分方程是一种求解离散时间系统的数学工具。
与常微分方程相似，差分方程也是描述系统变化的方程，只不过它适用于离散时间点上的模型。
差分方程的核心思想是通过比较相邻时间点上的状态值来描述系统的变化规律。
差分方程可以用来对许多现实世界中的问题建模，例如人口增长模型、物理系统的离散模拟等等。
对差分方程进行求解，可以得到系统随时间变化的解析解或数值解。
差分方程的一般形式差分方程的一般形式可以表示为：x(t+1) = f(x(t))其中，x(t)表示系统在时间点t的状态，x(t+1)表示系统在时间点t+1的状态，f为状态转移函数，描述了系统从t到t+1的映射关系。
差分方程的求解方法差分方程的求解方法可以分为解析解法和数值解法。
解析解法解析解法通过对差分方程进行变换、代换和求解等数学方法，得到其解析解。
解析解通常是对问题的一种精确描述，可以给出系统在任意时间点上的状态。
常见的解析解法包括递推法、特征方程法和变换法等。
递推法通过逐个计算时间点上的状态值，从而得到整个系统的演化过程。
特征方程法则将差分方程转化为线性代数方程组，通过求解特征值和特征向量得到解析解。
变换法通过对差分方程进行变换，将其转化为已知的方程形式，从而简化求解过程。
数值解法数值解法通过离散化差分方程，近似求解系统的状态值。
数值解法通常需要选择合适的离散化方法和数值计算算法，同时需要注意误差控制和稳定性等问题。
常见的数值解法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过近似计算状态转移函数的值，从而得到系统在每个时间点上的状态。
数值解法的结果通常是离散的，需要对结果进行插值和拟合等处理，以得到系统在连续时间上的状态。
结论差分方程是一种描述离散时间系统变化的数学工具。
对差分方程进行求解，可以得到系统在不同时间点上的状态。
解析解法和数值解法是求解差分方程的主要方法。
解析解法通过数学变换和求解，得到系统的精确解析解；数值解法通过近似计算，得到系统的数值解。
差分方程_精品文档
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的个数与差分方程的阶数相等, 这样的解称为差分方程
解. 的通
三、一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yx+1 ayx = f (x). 其中 a 为不等于零的常数. 当 f (x) = 0 时 , 即 (3)
yx+1 ayx = 0
(4)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
yx+1 yx 称为函数 yx 的一阶差分, 记为yx, 即 yx = yx+1 yx.
(yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
代入得 yx+2 yx = 0.
由此可以看出, 差分方程能化为含有某些不同下标
的整标函数的方程.
定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称 为差分方程. 其一般形式为 G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0. (2)
定义3中要求 x, yx, yx+1, , yx+n不少于两个.
其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x的一个特解.
解 对应的齐次方程的特征方程为 方程的根为
2 3 + 2 = 0. 1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y Bx 2 x ,
x
代入原方程, 得 B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x, 1 B , 2 1 x x 所求特解为 yx x 2 x 2 . 2
先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的解 设 y0 已知, 代入方程可知 y1 = ay0, y2 = a2y0,
yx = axy0, 令y0 = C, 则得齐次差分方程的通解为
yx = Cax. (5)
例4 求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通解.
解 这里 a = 2, 由公式(5)得, 通解为 yx = C(2)x .
例8 求差分方程 yx+2 7yx+1 + 6yx = 0的通解.
解 特征方程为
2 7 + 6 = 0.
方程的根为 原方程的通解为
1 = 1, 2 = 6.
yx = C1 + C26x.
例9 求差分方程 yx+2 4yx+1 + 16yx = 0满足条件y0=0,
y1=1的特解.
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含 有差分. 式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
例2 将差分方程
2yx + 2yx = 0 表示成不含差分的形式.
解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 yx+1 + yx ,
2(x3) = (3x2 + 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
第八节 差分方程
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分 微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储
蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这
种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
特征方程的解
两个不相等的实根 1, 2
两个相等实根 1 = 2 一对共轭复根 1,2= i
x+2 + ax+1 + bx = 0的通解 yx C11x C22x
yx (C1 C2 x)1x
y x (C1 cos x C 2 sin x )r x r 2 2 , tan
B1+2B2 = 0, B2 = 3.
解出
B0= 9, B1 = 6, B2 = 3,
故所求特解为
y x 9 6 x 3x2 .
例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解. 解 对应的齐次方程 yx+1 yx = 0的通解为
y* x C. 这里 a = 1, 设 y x x(B0 B1 x), 代入差分方程, 得 (x+1)[B0+B1(x+1)] x(B0+B1x) = x +1.
解出
C1 0, C 2
故所求特解为
1 2 3
,
yx 4
x
1 2 3
sin
3
x.
(1) f (x) = b0 + b1x + +bmxm 根据非齐次差分方程 yx+2 + ayx+1 + byx = f (x)的函数 f (x)的形式, 用待定系数法可求出一个特解.
设特解的待定式为
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程为
2 + 2 = 0.
方程的根为
1 = 2, 2 = 1,
x y* C C ( 2) . x 1 2
齐次方程的通解为
y x B0 B1 x Bm x m (1 a b 0),
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (1 a b 0且a 2 0) y x ( B0 B1 x Bm x m ) x 2 (1 a b a 2 0).
再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结构
定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方 * 是 (3) 的一个特解 , 则 y y y x 是方 程(4)的通解, yx x x
程(3)的通解. 下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.
(1) 令f (x) = b0 + b1x + +bmxm
整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
解出 故所求通解为
(2) f (x) = Cbx
设特解的待定式为
y x kb x (b a )
因为 a = 1, b = 2, 1+a+b = 0, 但 a+2 = 3 0,所以, 设
非齐次方程的一个特解为
y x (B0 B1 x) x,
代入原方程, 得
[B0+B1(x+2)](x+2)+[B0+B1 (x+1)](x+1)(B0+B1x)x=12x. 整理, 得
6B1x + 3B0 + 5B1 =12x. 比较系数, 得
则
x
x
5 k 2
x 1
1 5 5 k , 2 2 2
x
x
解出
1 k . 2
则所求通解为
15 1 yx . 2 2 2
x
x
四、二阶常系数线性差分方程 形如
yx+2 + ayx+1 + byx = f (x).
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系,
所以可设 yx = x为方程(11)的解. 代如方程(11)得 x+2 + ax+1 + bx = 0,
2 + a + b = 0,
方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.
(12)
由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：
解 特征方程为
2 4 + 16 = 0.
方程的根为
1,2 2 2 3i , r 4, .
3
原方程的通解为
y x C1 cos x C 2 sin 3 3
x x4 .
代入初始条件 y0=0, y1=1得
C1 cos 0 C 2 sin 0 40 0, 1 C1 cos C 2 sin 4 1, 3 3
2 解 这里 a = 2, 设 y x B0 B1 x B2 x ,
代入差分方程, 得 B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得 (B0+B1 +B2)+ ( B1+2B2) xB2x2=3x2. 比较系数, 得