高二12月月考数学(理)试题 Word版含答案

南宁三中2020~2021学年度上学期高二月考（三）
理科数学试题
一、单选题，共12题，每题5分，共60分。

请把答案填涂到答题卡相应位置。

1．已知集合()22,194x y A x y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，(){},B x y y x ==，则A B 中有几个元素（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．焦点坐标为()()0,3,0,3-，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（ ）
A ．22
110091x y +=
B ．2100y 2
191x +=
C ．22
12516y x +=
D ．22
12516
x y +=
3．“2
π
ϕ=”是“cos 0ϕ=”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球
C ．恰有一个红球与恰有二个红球
D ．至少有一个红球与至少有一个白球
5．若曲线22
x y 12k 2k
+=-+表示椭圆，则k 的取值范围是( )
A ．k 2>
B ．k 2<-
C ．2k 2-<<
D ．2k 0-<<或0k 2<<
6．若点P 在椭圆2
212
x y +=上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，
且1290F PF ∠=，则12F PF ∆的面积是（ ）
A ．
12
B 3
C ．1
D ．2
7．某种饮料每箱6听，其中2听不合格，随机从中抽出2听，检测到不合格的概率为（ ）
A ．
2
5
B ．
35
C ．
815
D ．
115
8．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆22
143
y x +=上的一个动点，点(1,1),(0,1)A B -，则
|PA |＋|PB |的最大值为( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆面积大于4S
的概率为（ ）
A ．
1
4
B ．
3
4
C ．49
D ．916
10．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则
OP FP ⋅的最大值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
11．已知点(),P x y 是椭圆22
194
x y +=上任意一点，则点P 到直线l :5y x =+的最大距离为
（ ）
A ．
2
B ．
2
C ．
D ．
12. 已知2221x a b
2
y ＋＝（0>>b a ）N M 、是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且
直线PN PM 、的斜率分别为1k ，2k （1k 2k ≠0），若｜1k ｜＋｜2k ｜的最小值为2
1
，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
12 B ．2 C ．4
15 D ．3 二、填空题，共4题，每题5分，共20分。

请在答题卡相应位置上作答。

13．点M(x ，y)6+=，点M 的
轨迹方程为__________.
14．如图表所示，生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）之
间的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程
ˆ0.70.35y
x =+，那么表中m 的值为________．
15. 椭圆221mx ny ＋＝与直线
1y x -＝交于M N ，两点，若原点O 与线段MN 的中点P 连线
的斜率为
2
，则m
n
的值是________． 16.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为)0,(c F ，存在经过点F 的一条直线l 交椭圆于
B A ,两点，使得OB OA ⊥，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
三、解答题，共6题，共70分。

请在答题卡相应位置上作答，应写出必要的解题过程。

17．（本题满分10分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他
们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85． （1）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；
（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班、乙班各一人的概率．
18．（本题满分12分）在ABC ∆中，222sin A sin C sin B 2sinAsinC +=+.
（I ）求B ∠的大小；
（II 2cos A C +的最大值．
19.（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
122,8a a ==，()11452n n n S S S n +-+=≥.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()1
2og 1l n n n b a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T 。

20．（本题满分12分）已知点(,0)A m 和(0,)B n ,且2216m n +=,动点P 满足3BP PA =，
记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；
（2）设不经过点()0,1H 的直线2y x t =+与曲线C 相交于两点,M N ,若直线HM 与HN 的斜率之和为1,求实数t 的值.
21．（本题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且PA ⊥平面
ABCD ，60ABC ∠=，E 是BC 中点，F 是PC 上的点.
（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；
（2）若M 是PD 的中点，当AB AP =时，是否存在点F ，使直线EM 与平面AEF 的所成角的正弦值为15？若存在，请求出PF PC
的值；若不存在，请说明理由.
22.（本题满分12分）已知椭圆C ：13
42
2=+y x 若直线:l m kx y +=与椭圆C 相交于,A B
两点，且34
OA OB k k ⋅=-
（1）求证：AOB ∆的面积为定值
（2）在椭圆上是否存在一点P ，使四边形OAPB 为平行四边形，若存在，求出OP 的取值范围，若不存在说明理由.
南宁三中2020~2021学年度上学期高二月考（三）
理科数学试题答案
1．B 由题,联立22
194
x y y x +
==⎧⎪⎨⎪⎩
,消去y 得213360x -=,则413360∆=⨯⨯>,即椭圆22
194
x y +=与直线y x =有两个交点,所以A B 中有2个元素,故选:B
2．C 因为长轴长为10，故长半轴长5a =，因为半焦距3c =，故4b =，又焦点在y 轴
上，所以椭圆的标准方程为22
12516
y x += ，故选C
3．A 当cos 0ϕ=时，2
k π
ϕπ=+
，故“2
π
ϕ=
”是“cos 0ϕ=”的充分不必要条件．
4．C 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.
5．D 由题设可得202022k k k k ->⎧⎪
+>⎨⎪-≠+⎩
，解得22,0k k -<<≠，故选D ．
6．C 设12,PF m PF n ==，利用椭圆的定义和勾股定理有：222
222
44m n a m n c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩222122()()4,mn m n m n F PF =+-+=∆的面积1
12
S mn =
=.本题选择C 选项. 7．B 设6听饮料中的2听不合格饮料为a 、b ，其余4听合格饮料为A 、B 、C 、D ，从中任取2听的所有可能事件为：AB 、AC 、AD 、Aa 、Ab 、BC 、BD 、Ba 、Bb 、
CD 、Ca 、Cb 、Da 、Db 、ab 共15种，其中有不合格饮料的所以可能事件为：Aa 、Ab 、Ba 、Bb 、Ca 、Cb 、Da 、Db 、ab 共9种，则检测到不合格的概率93155
P =
=，故选：B.
8．D ∵椭圆方程为22
143
y x +=，∴焦点坐标为()0,1B -
和()0,1B '，连接PB AB ''、，根据椭圆的定义，得
24PB PB a +'==，可得4PB PB =-'，因此PA PB PA +=+
(4)4()PB PA PB -'=+-'.
441 5.
PA PB AB PA PB AB -''∴++'=+=，当且仅当点P 在AB '延长线上时，等号成立.综上所述，可得PA PB +的最大值为5.故选D .
9．D 记事件{
}
4S A PBC =∆的面积超过
,基本事件是三角形
ABC 的面积,(如图)事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积
（//DE BC 并且:3:4AD AB =），因为阴影部分的面积是整个三角形 面积的2
39
()4
16
=
,所以9()=16P A =
阴影部分三角形面积，故选D ． 10． B 由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP FP ⋅＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝2
0x ＋x 0＋2
0y
∵P 为椭圆上一点，∴204x ＋203y ＝1.∴OP FP ⋅＝2
0x ＋x 0＋320(1)4x -＝
204x ＋x 0＋3＝1
4
(x 0＋2)2＋2.∵－2≤x 0≤2.∴OP FP ⋅的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6. 11．A 设直线y x m =+与椭圆相切，由22
194
x y y x m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
得2213189360x mx m ++-=，∴22(18)413(936)0m m ∆=-⨯-=，13m =13y x =13y x =-l 距离较规远的是13y x =-∴最大距离为
135
52262
d --+=
=
A.
12．C 设()
ααsin ,cos b a P
()()1sin ,0,,0,cos b M a N a k a a
α
α-∴=-则，
2sin cos b k a a
α
α=
+，=
+∴21
k k sin sin cos cos b b a a a a
αα
αα+=-+
()()()()sin 1cos sin 1cos 1cos 1cos b b a αααααα++--+22sin b b
a a α=≥，由题意可得：
2
12=a b 所以4
15
=e .解2：利用中点弦的性质，2122b k k a
⋅=-，所以12122k k k k ∴+≥212b a =
=，所以4
15=e ，答案C. 13．22
198
x y += M 到(-1，0)与(1,0)的距离之和为6，又(-1，0)，(1,0)两点间的距离为
2，所以其轨迹是以(-1，0)，(1,0)为焦点的椭圆，c ＝1，a ＝3，b 2＝8.故点M 的轨迹方程
为22198
x y +=。

14．3 样本中心点(),x y 过线性回归方程，由表格知34569
42
x +++=
=，代入方程
可得 3.5y =，则有()1
2.54 4.54
y m =+++，可得3m =．故本题应填3． 15．
设()()1122,,,M x y N x y ，则2222
1122=1,=1mx ny mx ny ++相减化简得
12121212
y y x x
m x x n y y -+=-⋅-+， 设()00,P x y
，则00y x ，因为120120
2,2,x x x y y y +=+=000
022MN m x m x k n y n y ∴=-⋅=-⋅，
即1m n -=-m
n ∴＝.
16. e ∈ 设椭圆的右焦点F 的坐标为)0,(c ．显然l 不是水平直线，设直线l 的方程为x ky c =+，点B A 、的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ．将直线l 的方程与椭圆方程联立，消去x 得 2
2
2
2
2
2
2
2
()24()0b k a y kb cy b c a +++-=．由韦达定理
212222
2224
122222222,().kb c y y b k a b c a b y y b k a b k a ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪==-⎪++⎩
，12121212()()OA OB x x y y ky c ky c y y ⋅=+=+++
2
2
1212(1)()k y y kc y y c =++++422
2
222222
2(1)()()b kb c k kc c b k a b k a
=+-+-+++ 22224
222
k b a c b b k a
-+-=+，因为OB OA ⊥等价于0OA OB ⋅=，故由上式可知，存在满足条件的直线l ，等价于存在实数k ，使得22224222
0k b a c b b k a
-+-=+,2242
222()a c b k b b c -=+． ①显然存在k 满足①等价于2240a c b -≥．② 又222b a c =-，所以②等价于
22
2
22
()0a c a c --≥，两边除以4
a 得到222
22(1)0c c a a
--≥,即222(1)0e e --≥．由于
1e <，解得：1
,1)2
e ∈． 17． （1）∵甲班学生的平均分是85，∴
92968080857978
857
x +++++++=．
∴
5
x =．则甲班7
位
学
生
成
绩
的
方
差
为
22222221
[(6)(7)(5)0711]407
s =-+-+-+++=．
（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ，乙班成绩在90以上的学生有三名，分别记为,,C D E ．从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况：
(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E ．
其中两人均来自甲班（或乙班）共有4种情况：(,)A B ，(,)D C ，(,)E D ，(,)C E ． 记“甲班、乙班各一人”为事件M ，则43
()1105
P M =-
=， 所以，从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班、乙班各一人的概率为35
．
18． （Ⅰ）∵在△ABC 中，由正弦定理可得a 2+c 2=b 2ac ．∴a 2+c 2-b 2ac ，
∴cosB=222a c b 2ac 2
+-=
，又B ()0,π∈∴B=π4；
（Ⅱ）由（I ）得：C=
3π4-A ，（3π
4
-A ）
cosA-2cosA+2sinA=2cosA+2
sinA=sin （A+π4），
∵A ∈（0，
3π4），∴A+π4∈（π
4，π），
故当A+π4=π2时，sin （A+π
4
）取最大值1的最大值为1．
19．（1）∵当2n ≥时， 1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. ∴14n n a a +=.
∵12a =，28a =，∴214a a =. ∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列.
∴121
242n n n a --=⋅=.
（2）由（1）得()
()
()
()1
1
1
21221log 1log 2121n n n n n n b a n +++-=-=-=--，
当2n k =时，()()21243412k k b b k k -+=---=- ∴()()()()()21357434122n T n n n n ⎡⎤=-+-+
+---=⨯-=-⎣⎦.
20．【详解】（1）设(,)P x y .∵3BP PA =，
∴(,)3(,)(33,3)x y n m x y m x y -=--=--,即333x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩∴434m x
n y
⎧
=⎪⎨⎪=⎩.
∵2
2
16m n +=,∴22
1616169x y ∴曲线C 的方程2219
x y +=
（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）.
联立22
219
y x t
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22
37369(1)0x tx t ++-=. 由2
2
(36)4379(1)0t ∆=-⨯⨯->，可得3737t <<
.
又直线y=2x+t 不经过点H （0，1），且直线HM 与HN 的斜率存在，
1t ∴≠±，则3737t <<且1t ≠±，212123699
,3737
t t x x x x -∴+=-=
， 由()()121212121241114411
HM HN x x t x x y y t
k k x x x x t +-+--+=
+==-=+， 解得3t =，t ∴的值为3.
21. （1）连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC 是正三角形，
E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，又//,AD BC AE AD ∴⊥， PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面,ABCD PA AE ∴⊥，
又,PA AD A AE ⋂=∴⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面
PAD ．
（2）以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设2AB AP ==，则3AE =
则(
))()(
))
()0,0,0,,0,2,0,0,0,2,,0,1,1A C D P E M ，
设()
2PF PC λλ==
-， 则(
)))0,0,22,,22AF AP PF λ
λλ=+=+-=-， 又()
3,0,0AE =，设(),,n x y z =是平面AEF 的一个法向量， 则()303220
n AE x n AF x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=++-=⎪
⎩ ，取z λ=，得022,n λλ=-（，）， 设直线EM 与平面AEF 所成角为θ，由()
EM =-， 得：(1sin cos ,5
522EM n EM n EM n θλ⋅===
=⋅⋅-． 化简得：2101340λλ-+=，解得12λ=
或
45
λ=， 故存在点F 满足题意，此时PF PC 为12或45． 22. 解：（1）设)(1,1y x A ，)(2,2y x B 则,A B
消去y 化简得，()
0124843222=-+++m kmx x k
，0>∆得0
3422>+-m k 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=
34OA OB K K ⋅=-
即34222=-k m
O 到直线m kx y +=的距离
. （2）若存在平行四边形OAPB 使P 在椭圆上，则OB OA OP += 设)
,(00y x P ，则
由于P 简得22434m k =+（1），由34
OA OB K K ⋅=-知 34222=-k m （2） 解（1）（2）知无解，故不存在P 在椭圆上的平行四边形.。