人教版高中数学必修一《函数的应用》课件

＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 3.函数的零点的存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝ f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函 数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在 定理仅对连续函数适用). (2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至 少有一个零点；反过来，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点 不一定使f(a)·f(b)＜0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有 f(a)·f(b)＜0.
的图象的下方，从而 2x0＜log 1 x0，即 f(x0)＝2x0－log 1 x0＜0.
2
2
答案 C
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跟踪演练 1 设函数 y＝x3与 y＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，
则 x0 所在的区间是( )
A.(0,1)
ห้องสมุดไป่ตู้B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
解析 设g(x)＝x3－22－x，则g(0)＝－4，g(1)＝－1，
y＝－15t＋1102t＋－8t＋－4t＋0，400，≤2t≤0＜20t，≤3t∈0，Nt∈N
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＝－11051t－t－61052－2＋4102，5，200＜≤t≤t≤3200，，t∈t∈NN. ，
当0≤t≤20，t＝15时，ymax＝125， 当20≤t≤30，y随t的增大而减小. ∴在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元.
g(2)＝7，g(3)＝26 21，g(4)＝63 34，
*
显然g(1)·g(2)＜0，于是函数g(x)的零点在(1,2)内，
即 y＝x3 与 y＝12x－2 的图象的交点在(1,2)内.
答案 B
题型二 函数模型及应用 针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画.这 当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本 函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的 认识.对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般 是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此 时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模 型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果.
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3.函数建模的基本过程如图
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f0＞0， f1＜0， f2＞0，
a2－a－2＞0， 即a2－2a－8＜0，
a2－3a＞0，
a＜－1或a＞2， 解得－2＜a＜4，

a＜0或a＞3，
∴－2＜a＜－1或3＜a＜4.
课堂小结 1.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研 究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点的存在 定理，可用来求参数的取值范围. 2.函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题.
解 由图象知，前 20 天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)， (20,6)，容易求得直线方程为 P＝15t＋2； 从 20 天到 30 天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)， 求得方程为 P＝－110t＋8，
故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为：
P＝15－t＋1102t，＋08≤，t2≤0＜20t，≤t3∈0，N，t∈N.
例1 已知a是函数f(x)＝2x－log 1 x的零点，若0＜x0＜a，
2
则f(x0)的值满足( )
A.f(x0)＝0
B.f(x0)＞0
C.f(x0)＜0
D.f(x0)的符号不确定
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解析 如图所示，是 y＝2x 与 y＝log 1 x 的图象，显然两个图象的交 2
点的横坐标为 a，于是在(0，a)区间上，y＝2x 的图象在 y＝log 1 x 2
即求 y 甲·y 乙＝0.2(x＋4)·4(－x＋127)
＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值.
当 x＝－2×3－.60.8＝214≈2 时，
y甲·y乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只)最大. 即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只.
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题型三 转化与化归思想 转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程； 化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类 已解决或比较容易解决的问题.在解决函数问题时，常进 行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的.
a－a 1－2aa＋1＋1＞0， ⇒
2a＋1 a ＞2
a＜0，
⇒
矛盾.
a＞0，
故不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.
跟踪演练3 当a为何值时，函数y＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2的 一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？ 解 已知函数对应的方程为7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0， 函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数 的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一 个在(1,2)上，则：
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(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次 函数关系式； 解 由图表，易知Q与t满足一次函数关系， 即Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N.
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式， 并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？ 解 由以上两问，可知
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例3 已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，试问当a为 何值时，方程的两根都大于1. 解 设方程的两根为x1，x2，方程的两根都大于1， 则x1－1＞0，x2－1＞0，
x1－1x2－1＞0， x1x2－x1＋x2＋1＞0，
故
⇒
x1－1＋x2－1＞0 x1＋x2＞2
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例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段 上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的 部分数据如下表所示：
第t天 4 10 16 22 Q(万
36 30 24 18 股)
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(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与 时间t(天)所满足的函数关系式；
4.二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选 择，依据给出的精确度，计算时及时检验. 5.解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加 强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题 生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路 和方法，我们可以用示意图表示为：
题型研修
突破重点，提升能力
题型一 函数的零点与方程的根的关系及应用 根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判 断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有 根，有几个根.从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的 横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可 以解决很多函数、方程与不等式的问题.在高考中有许多问题涉及 三者的相互转化，应引起我们的重视.
第三章——
函数的应用
章末复习提升
1 知识网络 2 要点归纳 3 题型研修
系统盘点，提炼主干 整合要点，诠释疑点 突破重点，提升能力
要点归纳
整合要点，诠释疑点
1.对于函数y＝f(x)，x∈D，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)，
x∈D的零点.
2.方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y
同理可得 y 乙＝4(－x＋127).
故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2 ＝31.2(万只).
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(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了 还是缩小了？说明理由； 解 规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而 第6年出产甲鱼总数为20万只.
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(3)哪一年的规模最大？说明理由. 解 设第x年规模最大，
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跟踪演练2 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产 量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示. 甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到 第六年2万只. 乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你 根据提供的信息说明：
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(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数； 解 由题图可知，直线y甲＝kx＋b，经过(1,1)和(6,2). 可求得k＝0.2，b＝0.8. ∴y甲＝0.2(x＋4). 故第二年甲鱼池的产量为1.2万只.