离散傅里叶变换(DFT)试题
离散傅里叶变换(DFT)
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在截取16点时，得到的是完整的余弦波形；而截取8点时， 得到的是半截的余弦波形，当然有大量的谐波成分。
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例7.16 验证N点DFT的物理意义
j 4 1 e j x ( n ) R ( n ), 求得 X ( e ) FT [ x(n)] ， （1） 4 j 1 e
这种方法计算DFT概念清楚、编程简单，但占用内存大、运行 速度低，所以不实用。MATLAB基础部分提供了fft、ifft、fft2、 ifft2等等快速计算傅里叶变换的函数，使DFT的运算速度量提高了 若干数量级，在后面的例题中均直接调用这些函数。
6
例7.15 序列的离散傅立叶变换
求复正弦序列 x1 (n) e 余弦序列
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结论：若序列长度为L，频域采样点数（DFT的长度） 为N，且L≤N，则频域采样后可不失真地恢复原序 列 x ( n) ；但若L>N，则频域采样后不能不失真地恢复 原序列 x ( n) 。
图3-3-1 时域恢复示意图
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例7.17 频域与时域采样对偶性
（1）产生三角波序列
n x(n) M n 0 n M /2 M /2 n M
j n 8
RN ( n)
x2 ( n) cos n RN ( n) 8
正弦序列
x3 ( n) sin n RN ( n) 8
的离散傅立叶变换，分别按N =16和N =8进行计算。 绘出幅频特性曲线， 进行比较讨论。 解：直接产生序列x1n、x2n和x3n，调用fft函数求解
绘出幅频曲线和相频曲线。
（2）计算并图示x(n)的8点DFT。 （3）计算并图示x(n)的16点DFT。
第三章 离散傅立叶变换
第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。
把)(~n x 看作周期为N 的周期序列有)(~)(~1k X n x ↔（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ↔（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示）（k X 2~。
二、离散傅立叶变换定义填空题2．某DFT 的表达式是∑-==10)()(N k kl M Wk x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。
3．某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。
4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ）。
5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ）。
6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。
则频域抽样点之间的频率间隔f ∆为_______,数字角频率间隔w ∆为 _______和模拟角频率间隔∆Ω ______。
判断说明题：7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。
（ ）计算题8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。
如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。
9．序列}{0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT )(k x 如下图所示。
现将)(n x 按下列（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）（1）⎩⎨⎧-=)4()()(1n x n x n y 7~43~0==n n（2）⎩⎨⎧=0)()(2n x n y 7~43~0==n n（3）⎪⎩⎪⎨⎧=0)2()(3n x n y 奇数偶数==n n 10．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质：)()(n x N n x =+另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的关系。
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
dft习题及答案
dft习题及答案DFT习题及答案离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是数字信号处理中的重要概念，它可以将时域信号转换为频域信号，从而帮助我们分析信号的频谱特性。
在学习DFT的过程中，练习习题是非常重要的，下面我们就来看一些常见的DFT习题及答案。
1. 问题：计算长度为N的序列x[n]的DFT，其中x[n] = {1, 2, 3, 4}，N=4。
答案：首先，根据DFT的定义公式可以得到：X[k] = Σn=0到N-1 x[n] * e^(-j2πnk/N)将x[n]代入公式中，可以得到：X[0] = 1 + 2 + 3 + 4 = 10X[1] = 1 + 2e^(-jπ/2) + 3e^(-jπ) + 4e^(-j3π/2) = 1 - 2j - 3 - 4j = -2 - 6jX[2] = 1 + 2e^(-jπ) + 3e^(-j2π) + 4e^(-j3π) = 1 - 2 - 3 + 4 = 0X[3] = 1 + 2e^(-j3π/2) + 3e^(-j3π) + 4e^(-j9π/2) = 1 + 2j - 3 - 4j = -2 + 2j因此，序列x[n]的DFT为X[k] = {10, -2-6j, 0, -2+2j}。
2. 问题：给定一个长度为N的序列x[n]，求其幅度谱和相位谱。
答案：幅度谱和相位谱可以通过DFT的结果来计算。
幅度谱的计算公式为|X[k]| = sqrt(Re(X[k])^2 + Im(X[k])^2)，相位谱的计算公式为∠X[k] =arctan(Im(X[k])/Re(X[k])。
通过计算DFT得到的结果X[k]，可以分别计算出每个频率点的幅度和相位，从而得到幅度谱和相位谱。
3. 问题：给定一个长度为N的序列x[n]，求其逆DFT。
答案：逆DFT的计算公式为x[n] = (1/N) * Σk=0到N-1 X[k] * e^(j2πnk/N)。
(完整word版)离散傅里叶变换(DFT)试题汇总
第一章离散傅里叶变换（DFT ）3.1 填空题（1） 某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。
解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。
解： NM π2（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。
解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 ；系统的稳定性为 。
系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值)(∞h 。
解： 2,2121-=-=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是 。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为 。
解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为 。
数字信号处理试题及答案
数字信号处理试题及答案一、选择题1. 数字信号处理中的离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换的______。
A. 连续形式B. 离散形式C. 快速算法D. 近似计算答案：B2. 在数字信号处理中，若信号是周期的，则其傅里叶变换是______。
A. 周期的B. 非周期的C. 连续的D. 离散的答案：A二、填空题1. 数字信号处理中，______是将模拟信号转换为数字信号的过程。
答案：采样2. 快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的______算法。
答案：DFT三、简答题1. 简述数字滤波器的基本原理。
答案：数字滤波器的基本原理是根据信号的频率特性，通过数学运算对信号进行滤波处理。
它通常包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等类型，用于选择性地保留或抑制信号中的某些频率成分。
2. 解释什么是窗函数，并说明其在信号处理中的作用。
答案：窗函数是一种数学函数，用于对信号进行加权，以减少信号在离散化过程中的不连续性带来的影响。
在信号处理中，窗函数用于平滑信号的开始和结束部分，减少频谱泄露效应，提高频谱分析的准确性。
四、计算题1. 给定一个信号 x[n] = {1, 2, 3, 4}，计算其 DFT X[k]。
答案：首先，根据 DFT 的定义，计算 X[k] 的每个分量：X[0] = 1 + 2 + 3 + 4 = 10X[1] = 1 - 2 + 3 - 4 = -2X[2] = 1 + 2 - 3 - 4 = -4X[3] = 1 - 2 - 3 + 4 = 0因此，X[k] = {10, -2, -4, 0}。
2. 已知一个低通滤波器的截止频率为0.3π rad/sample，设计一个简单的理想低通滤波器。
答案：理想低通滤波器的频率响应为：H(ω) = { 1, |ω| ≤ 0.3π{ 0, |ω| > 0.3π }五、论述题1. 论述数字信号处理在现代通信系统中的应用及其重要性。
答案：数字信号处理在现代通信系统中扮演着至关重要的角色。
ch2DFT习题
2.7 习题 1第2章 离散傅里叶变换习题2-1. 已知序列]3[]2[2]1[3][4][−+−+−+=k k k k k x δδδδ，试画出下列序列的波形。
(1) ][])[(][551k R k x k x −=；(2) ][])2[(][552k R k x k x −=；(3) ][])3[(][553k R k x k x −=。
2-2. g [k ]和h [k ]是如下给定的有限序列g [k ]={5 2 4 −1 2}， h [k ]={-3 4 −1 }(1) 计算g [k ]和h [k ]的线性卷积y L [k ]=g [k ]∗h [k ]；(2) 计算g [k ]和h [k ]的6点循环卷积y 1C [k ]=g [k ]○6h [k ]；(3) 计算g [k ]和h [k ]的7点循环卷积y 2C [k ]=g [k ]○7h [k ]；(4) 计算g [k ]和h [k ]的8点循环卷积y 3C [k ]=g [k ]○8h [k ]；(5) 比较以上结果，有何结论？2-3. 试证N 点序列][k x 的离散傅里叶变换][m X 满足Parseval 恒等式210102][1][m X N k x N m N k ∑∑−=−== 2-4.X [m ]表示N 点序列x [k ]的DFT ，当x [k ]= −x [k +M ]， M =N /2。
试证X [2r ]=0, r =0,1,...,M -1。
2-5. g [k ]和h [k ]是6点的有限序列，G [m ]和H [m ]分别表示它们的DFT(1) 如果G [m ]={1+j, −2.1+j3.2, −1.2−j2.4, 0, 0.9+j3.1, −0.3+j1.1}, 且h [k ]=g [(k −4)6]R 6[k ], 试由G [m ]确定H [m ]。
(2) 如果g [k ]={4.1, 3.5, 1.2, 5, 2, 3.3}, 且H [m ]=G [(m −3)6]R 6[m ],试由g [k ]确定h [k ]。
离散傅里叶变换(DFT)试题
第一章离散傅里叶变换（DFT ）填空题（1） 某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。
解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。
解： N M π2（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。
解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 ；系统的稳定性为 。
系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值)(∞h 。
解： 2,2121-=-=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是 。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为 。
解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为 。
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题数字信号处理第三版第3章离散傅里叶变换(DFT)习题1．计算以下序列的N点DFT，在变换区间0≤n≤N－1内，序列定义为(1) x(n)=1(2) x(n)=δ(n)(3) x(n)=δ(n－n0) 0n0N(4) x(n)=Rm(n) 0mN(5) n ) jNmn N x(=e,0 mπ 2 (6) n ) x(=cos mn ,0mN2π(7) x(n)=ejω0nRN(n)(8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)(9) x(n)=cos(ω0n)RN(N)(10) x(n)=nRN(n)2．已知下列X(k)，求x(n)=IDFT［X(k)］Njθ 2e N（1）X (k)= e jθ20 N k=m k=N m其它kNjθ j2e N jθ（2）X (k)= je 2 0 k=m k=N m 其它k其中，m为正整数，0mN/2, N为变换区间长度。
3．已知长度为N=10的两个有限长序列：做图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)，循环卷积区间长度L=10。
，4．证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］数字信号处理第三版证明DFT［X(n)］=Nx(N－k)5．如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理1x(0)=N∑X(k)k=0N 16．设x(n)的长度为N，且X(k)=DFT［x(n)］0≤k≤N－1令h(n)=x((n))NRmN(n) m为自然数H(k)=DFT［h(n)］mN 0≤k≤mN－1求H(k)与X(k)的关系式。
7．证明: 若x(n)为实序列，X(k)=DFT［x(n)］N，则X(k)为共轭对称序列，即X(k)=__（N－k)；若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。
信号处理试题及答案
信号处理试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 在数字信号处理中，离散傅里叶变换（DFT）的频域采样间隔为：A. 1/NB. NC. 1/TD. T答案：A2. 信号的傅里叶变换是将信号从时域变换到：A. 频域B. 时域C. 空间域D. 相位域答案：A3. 下列哪个不是线性时不变（LTI）系统的特性？A. 可加性B. 同态性C. 非时变性D. 因果性答案：C4. 在信号处理中，滤波器的目的是：A. 放大信号B. 衰减噪声C. 改变信号的频率D. 以上都不是答案：B5. 采样定理指出，为了无失真地重建一个连续信号，采样频率至少应为：A. 信号最高频率的两倍B. 信号最低频率的两倍C. 信号最高频率的一半D. 信号最低频率的一半答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 一个连续时间信号的拉普拉斯变换是 \( F(s) \)，其逆变换是________。
答案：\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} \)2. 信号 \( x(t) \) 通过一个理想低通滤波器后，其频谱 \( X(f) \) 被限制在 \( |f| \leq \) ________。
答案：\( \frac{B}{2} \)3. 傅里叶级数展开的系数 \( c_n \) 表示信号的 ________。
答案：\( n \) 次谐波分量4. 离散时间信号的Z变换定义为 \( X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n} \)，其中 \( z \) 是一个复数，\( x[n] \) 是信号的 ________。
答案：离散样本5. 一个信号的功率谱密度（PSD）是其傅里叶变换的 ________。
答案：平方的绝对值三、简答题（每题5分，共15分）1. 请简述什么是信号的频谱分析。
答案：频谱分析是一种分析信号在频域中的表现的方法，它可以帮助我们理解信号的频率成分及其分布情况。
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题答案
m −1 N −1
−j
2 π ( n′+lN ) k rN
2π 2π −j n′k − j lk k r −1 − j2mπ lk mN m = ∑ ∑ x( n′)e = X ∑e e l =0 n′=0 r l =0 k 因为 m = 整数 m −1 − j 2 π lk m m = ∑e k l =0 0 ≠ 整数 m m −1 N −1
m =0 n =0
N −1
N −1
由于
∑W
n =0
N −1
n (m+ k ) N
N = 0
m= N −k m ≠ N − k, 0 m
N −1
所以
5.
DFT［X(n)］=Nx(N－k)
N −1 k =0
k=0, 1, …, N－1
证: 由 IDFT 定义式
x(n) = 1 N
∑ X (k )W
=
1− e
−j
2π (m −k ) N N 2π (m−k ) N
1− e
N −1 n =0
−j
N = 0
N −1 n =0
k=m k≠m
2π 2π
0≤k≤N－1
- j mn - j kn 2π 1 j mn (6) X (k ) = cos ∑ mn ⋅ WNkn = ∑ (e N + e N )e N
Xep(k)=DFT［xr(n)］ ， 是 X(k)的共轭对称分量；
Xop(k)=DFT［jxi(n)］,
是 X(k)的共轭反对称分量。 所以， 如果 x(n)为实序列， 则 Xop(k)=DFT ［jxi(n)］
=0，
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数。
解：3.2 （1）设为实周期序列，证明的傅里叶级数是共轭对称的，即。
（2）证明当为实偶函数时，也是实偶函数。
证明：（1）（2）因为实函数，故由（1）知有或又因为偶函数，即，所以有3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号。
利用DFS的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数，确定以下式子是否正确。
（1），对于所有的k；（2），对于所有的k；（3）；（4），对所有的k是实函数。
解：（1）正确。
因为一个周期为N＝10的周期序列，故也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，是共轭对称的，即应有，这里不一定是实数序列。
（3）正确。
因为在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有（4）不正确。
根据周期序列的移位性质，＝对应与周期序列，如图P3.3_1所示，它不是实偶序列。
由题3.2中的（2）知道，不是实偶序列。
3.4 设，，求，并作图表示和。
解：和的图形如图3.4_1所示：3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列和，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积，并图表示。
解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积的过程，可以看出，是延时1的结果，即。
3.5 计算下列序列的N点DFT：(1)(2)(3)(4)解：（1）（2）（3）（4）3.7 图P3.7表示的是一个有限长序列,画出和的图形。
（1）（2）解：和的图形如图P3.7_1所示：3.8 图P3.8表示一个4点序列。
（1）绘出与的线性卷积结果的图形。
（2）绘出与的4点循环卷积结果的图形。
（3）绘出与的8点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷积之间的关系。
解：（1）图P3.8_1（1）所示的是与的线性卷积结果的图形。
（2）图P3.8_1（2）所示的与的4点循环卷积结果的图形。
第2章 离散傅里叶变换题解
(1 N
N 1
F (k)WNkn )RN
k 0
(n)
[N 4
(WN n
WN(N 1)n )RN
(n)
N 4
j 2 n
(e N
j 2 n
e N )RN (n)
N 4
cos 2 N
nRN (n)
(2)
N 1
f (n) y(n) * x(n) ( y(m)x((n m)) N )RN (n) m0
DF
T[
x(
n)]
[
1 2
1 e j0N
1
e
j
0
W
k N
1 1 e j0N
2
1
e
W j0 k N
]RN
(k)
1 cos0 N WNk cos0 WNk cos(N 1 2 cos0WNk WN2k
1) 0
RN (k)
(3)
x(n) sin0nRN (n)
sin 0 n
Im[e
j0n
N 1
n sin 2
m0
2 N
m)RN
(n)
N 2
cos 2 N
nRN
(n)
N2
F
(k
)
4
, k 1, N 1
0, 其他k
f
(n)
(1 N
N 1
F
(k
)W
kn N
)
RN
(n)
k 0
[
N 4
(WNn
W
( N
N
1)
n
)
]R
N
(n)
N 2
cos 2 N
nRN (n)
数字信号处理第三章习题解答
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(名校考研真题详解 离散傅里叶变换(DFT))
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对上式进行 DFT 变换有：
即：
，得证。
5．考虑如图 3-1 所示的线性非移（时）变 LSI 系统的互联
图 3-1
（1）试用
和
表示整个系统的频率响应；
12．已知有限长序列{g[n]}、{h[n]}，其中{g[n]}＝{3，2，4}，{h[n]}
＝{2，－4，0，1}。试求：
（1）线性卷积
；
（2）循环卷积
；
（3）基于 DFT 变换的方法求循环卷积
。[北京大学 2005 研]
解：（1）根据已知 g[n]＝{3，2，4}，h[n]＝{2，－4，0，1}，其线性卷积为：
若
，其中
、
分别是 x（n）和 h（n）的 5 点 DFT，
对 Y（k）作 IDFT，得到序列 y（n），求 y（n）。[华东理工大学 2005 研]
（2）根据频率和周期的关系得：
， 又因为 DFT 的分辨率达到 1Hz 时：
所以采样数据为：
由上可知此应该采集 4000 个点的数据。 7．计算有限长时间序列：
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均 N 点 DFT 的值
，
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。[北京理工大学 2006 研]
即： 帕塞瓦尔（Parseval）定理的物理意义表示信号时域和频域能量是守恒的。
2．设 DFT[x（n）]＝X（k），求证： DFT[X（k）]～Nx（N－n）。 [华南理工大学 2007 研]
证明：由已知对 DFT[x（n）]求反变换得 x（n）为：
dsp考试题及答案
dsp考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数字信号处理中，离散时间信号是指（）。
A. 连续时间、连续幅度的信号B. 离散时间、连续幅度的信号C. 离散时间、离散幅度的信号D. 连续时间、离散幅度的信号答案：C2. 离散傅里叶变换（DFT）的周期是（）。
A. NB. 2NC. N/2D. 2N/3答案：A3. 快速傅里叶变换（FFT）算法的主要优点是（）。
A. 计算精度高B. 计算速度快C. 易于编程实现D. 占用存储空间小答案：B4. 线性时不变（LTI）系统的最基本性质是（）。
A. 线性B. 时不变性C. 因果性D. 稳定性答案：A5. 如果一个离散时间信号x[n]是实数，那么它的傅里叶变换X(e^jω)是（）。
A. 实数B. 虚数C. 共轭对称的D. 共轭反对称的答案：C6. 窗函数的主要作用是（）。
A. 滤波B. 放大C. 降低频谱泄漏D. 压缩信号答案：C7. 在数字滤波器设计中，巴特沃斯滤波器的特点是（）。
A. 最大峰值B. 最小相位C. 最小通带波动D. 最大阻带衰减答案：C8. 离散时间信号的采样定理要求采样频率至少是信号最高频率的（）。
A. 1倍B. 2倍C. 4倍D. 10倍答案：B9. 离散时间信号的Z变换是连续时间信号傅里叶变换的（）。
A. 时域表示B. 频域表示C. 复频域表示D. 时频域表示答案：C10. 离散时间信号的希尔伯特变换用于（）。
A. 滤波B. 调制C. 信号分析D. 信号的解析表示答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 数字信号处理中的DFT是将离散时间信号从时域变换到______域。
答案：频域2. 一个离散时间信号x[n]的周期为N，则其DFT的周期为______。
答案：N3. 快速傅里叶变换（FFT）算法中，Cooley-Tukey算法是一种基于______分解的FFT算法。
答案：分而治之4. 线性时不变（LTI）系统的冲击响应h[n]与系统的频率响应H(e^jω)之间的关系是______。
离散傅里叶变换(DFT)快速傅里叶变换(FFT) 实验四
实验四：DFS 、DFT 与FFT1、已知某周期序列的主值序列为x(n)=[0,1,2,3,2,1,0]，编程显示2个周期的序列波形。
要求：① 用傅里叶级数求信号的幅度谱和相位谱，并画出图形 ② 求傅里叶级数逆变换的图形，并与原序列进行比较 程序清单： N=7;xn=[0,1,2,3,2,1,0]; xn=[xn,xn]; n=0:2*N-1; k=0:2*N-1;Xk=xn*exp(-1i*2*pi/N).^(n'*k); x=(Xk*exp(1i*2*pi/N).^(n'*k))/N; subplot(2,2,1);stem(n,xn);title('x(n)');axis([-1,2*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]); subplot(2,2,2);stem(n,abs(x));title('IDFS|X(k)|');axis([-1,2*N,1.1*min(x),1.1*max(x)]); subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk));title('|X(k)|');axis([-1,2*N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk));title('arg|X(k)|');axis([-1,2*N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk)]);程序运行结果如下图：课程名称：数字信号处理 实验成绩：指导教师：实 验 报 告院系： 信息工程学院 班级： 学号： 姓名：日期： 2011. 10.300510123x(n)0510510IDFS|X (k)|51051015|X (k)|510-2-1012arg|X (k)|2、已知有限长序列x(n)=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]，要求： ① 求该序列的DFT 、IDFT 的图形； 程序清单：xn=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]; N=length(xn); n=0:N-1;k=0:N-1;Xk=xn*exp(-1i*2*pi/N).^(n'*k); x=(Xk*exp(1i*2*pi/N).^(n'*k))/N; subplot(2,2,1);stem(n,xn);title('x(n)');axis([-1,N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]); subplot(2,2,2);stem(n,abs(x));title('IDFT|X(k)|');axis([-1,N,1.1*min(x),1.1*max(x)]); subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk));title('|X(k)|');axis([-1,N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk));title('arg|X(k)|');axis([-1,N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk))]);程序运行结果如下图：024680.51x(n)024680.51IDFT|X (k)|24681234|X (k)|2468-2-1012arg|X (k)|② 用FFT 算法求该序列的DFT 、IDFT 的图形； 程序清单：xn=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]; N=length(xn);subplot(2,2,1);stem(n,xn); title('x(n)'); k=0:N-1;Xk=fft(xn,N);subplot(2,1,2);stem(k,abs(Xk)); title('Xk=DFT(xn)'); xn1=ifft(Xk,N);subplot(2,2,2);stem(n,xn1);title('x(n)=IDFT(Xk) 程序运行结果如下图：246800.20.40.60.81x(n)1234567012345X k=DFT(xn)246800.20.40.60.81x(n)=IDFT(X k)③ 假定采用频率Fs=20Hz ，序列长度N 分别取8、32和64，用FFT 计算其幅度谱和相位谱。
(完整word版)离散傅里叶变换(DFT)试题汇总(word文档良心出品)
第一章离散傅里叶变换（DFT ）3.1 填空题（1） 某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。
解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。
解： NM π2（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。
解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 ；系统的稳定性为 。
系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值)(∞h 。
解： 2,2121-=-=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是 。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为 。
解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为 。
习题与上机题1计算以下序列的N点DFT在变换区间0≤n≤N
W
kn N
kn ( N 1) W N 1 ( N 1) N n0
N 1
所以:
即
N X (k ) ,k 0 k 1 WN
N ( N 1) ,k 0 2 X (k ) N k , k 1, 2, … , N 1 1 WN
k 0 , 1, … , N 1
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
解：(7) x(n) e
j0 n
RN (n)
N 1 n0 kn x ( n ) W N j ( 0 2 k)N N N 1 n0 j0 n e RN (n)e j 2 kn N
X ( k ) DFT ( x( n))
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
解：(1) x1(n)={1，1，1，1，1，0，0，0，0，0} x2(n)={1，1，1，1，1，-1， -1 ， -1 ， -1 ， -1} 利用循环卷积矩阵计算x1(n)与x2(n)的10点循环卷积， y(n) x1 (n) x2 (n)，为：
y (0) 1 y (1) 1 y (2) 1 y (3) 1 y (4) 1 y (5) 0 y (6) 0 y (7) 0 y (8) 0 y (9) 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 3 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 5 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 3 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 5
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第一章离散傅里叶变换（DFT ）填空题（1） 某序列的DFT 表达式为∑-==10)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。
解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。
解： NM π2}（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。
解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统 的极点为 ；系统的稳定性为 。
系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值)(∞h 。
解： 2,2121-=-=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是 。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为 。
解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x[（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为 。
解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡734620234211142111422114]3[]2[]1[]0[]0[]1[]2[]3[]3[]0[]1[]2[]2[]3[]0[]1[]1[]2[]3[]0[x x x x h h h h h h h h h h h h h h h h（8）从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。
采用的方法，从时域角度看是（ ）；从频域角度看是（ ）。
解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断3.2 选择题1.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号 通过 即可完全不失真恢复原信号 （ ）【A.理想低通滤波器B.理想高通滤波器C.理想带通滤波器D.理想带阻滤波器 解：A2.下列对离散傅里叶变换（DFT ）的性质论述中错误的是( ) 是一种线性变换 具有隐含周期性可以看作是序列z 变换在单位圆上的抽样 D.利用DFT 可以对连续信号频谱进行精确分析 解：D3．序列x (n)=R 5(n)，其8点DFT 记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为( )。
《解：D4．已知x(n)=δ(n)，N 点的DFT[x(n)]=X(k)，则X(5)=( )。
A ．NB ．1C ．0D ．- N解：B5.已知x(n)=1,其N 点的DFT ［x(n)］=X(k),则X(0)=( )解：A6．一有限长序列x(n)的DFT 为X(k)，则x(n)可表达为： 。
A ．∑-=*-*10])([1N k nk N W k X N B. 101N X k W N nk k N [()]-*=-∑C ．101N X k W N nk k N [()]**=-∑ D.101N X k W N nk k N [()]*=-∑ ？解：C7．离散序列x(n)满足x(n)=x(N-n)；则其频域序列X(k)有： 。
A ．X(k)=-X(k) B. X(k)=X*(k) C ．X(k)=X*(-k) D. X(k)=X(N-k) 解：D8．已知N 点有限长序列X (k )=DFT ［x (n )］，0≤n ，k <N ,则N 点DFT ［nlNW -x (n )］=( )A.)())((k R l k X N N +B.)())((k R l k X N N -C.kmNW -D.kmN W解：B 9.有限长序列10)()()(-≤≤+=N n n x n x n x op ep ，则=-*)(n N x 。
*A.)()(n x n x op ep +B.)()(n N x n x op ep -+C.)()(n x n x op ep -D.)()(n N x n x op ep --解：C10.已知x (n )是实序列，x (n )的4点DFT 为X (k )=［1,-j ,-1,j ］，则X (4-k )为( ) A.［1，-j ，-1，j ］ B.［1，j ，-1，-j ］ C.［j ，-1，-j ，1］ D.［-1，j ，1，-j ］解：B 11.()()(),01R I X k X k jX k k N =+≤≤-，则IDFT[X R (k)]是)(n x 的（ ）。
A ．共轭对称分量B. 共轭反对称分量C. 偶对称分量D. 奇对称分量>解：A12．DFT 的物理意义是：一个 的离散序列x （n ）的离散付氏变换X （k ）为x （n ）的付氏变换)(ωj e X 在区间[0，2π]上的 。
A. 收敛；等间隔采样B. N 点有限长；N 点等间隔采样C. N 点有限长；取值 C.无限长；N 点等间隔采样 解：B13．用DFT 对一个32点的离散信号进行谱分析，其谱分辨率决定于谱采样的点数N ，即 ，分辨率越高。
A. N 越大B. N 越小C. N=32D. N=64 解：A14. 对)(1n x （0≤n ≤1N -1）和)(2n x (0≤n ≤2N -1)进行8点的圆周卷积，其中______的结果不等于线性卷积。
( ) A.1N =3，2N =4 B.1N =5，2N =4 |C.1N =4，2N =4D.1N =5，2N =5解：D15．对5点有限长序列［1 3 0 5 2］进行向左2点圆周移位后得到序列（ ） A ．［1 3 0 5 2］ B ．［5 2 1 3 0］ C ．［0 5 2 1 3］ D ．［0 0 1 3 0］解：C16．对5点有限长序列［1 3 0 5 2］进行向右1点圆周移位后得到序列( ) A.［1 3 0 5 2］ B.［2 1 3 0 5］ C.［3 0 5 2 1］ D.［3 0 5 2 0］解：B.17.序列)(n x 长度为M ，当频率采样点数N<M 时，由频率采样X(k)恢复原序列)(n x 时会产生( )现象。
A ．频谱泄露 B.时域混叠 C ．频谱混叠C.谱间干扰解：B18.如何将无限长序列和有限长序列进行线性卷积（ ）。
A ．直接使用线性卷积计算 B.使用FFT 计算C ．使用循环卷积直接计算D.采用分段卷积，可采用重叠相加法解：D19.以下现象中（ ）不属于截断效应。
A.频谱泄露 B. 谱间干扰：C ． 时域混叠D. 吉布斯(Gibbs)效应解：C20.若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是 ( )≥M ≤M ≤2M ≥2M 解：A21.一个理想采样系统，采样频率s =10，采样后经低通G(j )还原，⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ5 05 51)(j G ；设输入信号：t t x π6cos )(=，则它的输出信号y(t)为：（ ）A ．t t y π6cos )(=； B. t t y π4cos )(=； C ．t t t y ππ4cos 6cos )(+=； D. 无法确定。
解：B《22.一个理想采样系统，采样频率s =8，采样后经低通G(j )还原，G j ()ΩΩΩ=<≥⎧⎨⎩14404 ππ；现有两输入信号：x t t 12()cos =π，x t t 27()cos =π，则它们相应的输出信号y 1(t)和y 2(t)： （ ） A ．y 1(t)和y 2(t)都有失真； B. y 1(t)有失真，y 2(t)无失真； C ．y 1(t)和y 2(t)都无失真； D. y 1(t)无失真，y 2(t)有失真。
解：D23.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为fs ，信号最高截止频率为fc ，则折叠频率为( )。
2 2 解：D24.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期T s 与信号最高截止频率f h 应满足关系( )。
>2/f h>1/f h|<1/f h<1/(2f h )解：D25.设某连续信号的最高频率为5kHz ，采样后为了不失真的恢复该连续信号，要求采样频率至少为________Hz 。
( )解：B26.如果使用5kHz 的采样频率对某连续信号进行无失真的数字信号处理，则信号的 最高频率为_____Hz 。
( )解：A27.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( )。
(Ⅰ)原信号为带限(Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率）(Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器 A.Ⅰ、Ⅱ B.Ⅱ、Ⅲ C.Ⅰ、Ⅲ D.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ解：D问答题（1） 解释DFT 中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱答：如果采样频率过低，再DFT 计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。
泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。
$（2）在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用答：在A/D 变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。
在D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故称之为“平滑”滤波器。
（3）用DFT 对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些 答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应（4）画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。
答：框图如下所示第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号（5）“一个信号不可能既是时间有限信号，又是频带有限信号”是信号分析中的常识之一，试论述之。