大一高等数学第二章导数与微分习题
高等数学第二章导数与微分综合测试卷
精品文档第二章 综合测试题 A 卷一、填空题 （每小题 4 分 ,共 20 分）1、设函数f (x) x x , 则 f (0) =. 、设函数 f (x) xe x 则f (0) =.2,3、设函数 f (x) 在 x 0 处可导 ,且 f ( x 0 ) =0, f ( x 0 ) =1, 则 lim nf ( x 01) =.nn4 y x22x 8上点处的切线平行于 ,处的切线与 x 轴正向、曲线 x 轴 点的交角为.45、 d=e x dx二、 选择题 （每小题 4 分,共 20 分）1 x 1x1、设函数 f (x)x在 x0 处[]1x2（ A ） 不连续 （ B ） 连续但不可导（ C ） 二阶可导 （ D ）仅一阶可导2y ax 2与曲线 y ln x 相切 , 则 a 等于[ ]、若抛物线 （A ） 1（ B ）1 （ C ）1（D ）2e22e3、设函数 f (x)x ln 2x 在 x 0 处可导 , 且 f (x 0 ) 2 , 则 f ( x 0 ) 等于[]（A ） 1（ B ）e （ C ）2（D ） e2e4、设函数 f (x) 在点 xa 处可导 , 则 lim f ( a x)f (a x) 等于[]x 0x（A ） 0 （ B ）f (a)（ C ）2 f (a) （D ） f (2 a)5、设函数 f ( x) 可微 , 则当 x 0 时, y dy 与 x 相比是[]（ A ）等价无穷小（ B ）同阶非等价无穷小（ C ）低阶无穷小（D ）高阶无穷小三、解答题1、（ 7 分）设函数2、（ 7 分）设函数f (x) (x a) (x) ,( x) 在 x a 处连续,求 f (a) .f (x) x a a a x a a a x,求f ( x).3、（8 分）求曲线x sin t在 t 处的切线方程和法线方程 . y cos2t 64、（7 x 1sin y 0 所确定的隐函数d 2 y分）求由方程y y 的二阶导数 2 .2 dx5、（7 分）设函数 y ( x a1) a1 ( x a2 )a2 L (x a n ) a n, 求 y .x2 x 11 处6、（ 10 分）设函数f ( x)2 , 适当选择 a, b 的值,使得 f ( x) 在 xax b x 1 22可导 .7 7分）若y f (x) xf ( y) x ,其中 f (x) 为可微函数,求dy .、（ 2 28、（7 分）设函数 f (x) 在 [ a,b] 上连续,且满足 f (a) f (b) 0, f (a) f (b) 0 , 证明: f ( x) 在 (a,b) 内至少存在一点 c ,使得 f (c) 0 .综合测试 A 卷答案一、填空题1、 02、 23、 14、（1,7）, ( 3 ,29) 5 、 e x24二、选择题1、（ C ）2、（ C ）3、（ B ）4、（ C ）5、（ D ）三、解答题1、 f ( a)lim f ( x)f (a)lim( xa) ( x)(a) .x ax axax a2、 f ( x) a a x a a 1 ax a 1a xaln a a x a a x ln 2 a .、切线方程 y 12( x 1 ) , 即 4x2 y3 0 .322法线方程y 1 1( x1) , 即 2x 4y 1 0 .2224、d 2 y4sin y3.2(cos y 2)dxa 1a 2L a nn( x a i ) a i )( na i5、 由对数求导法， 得 yy() ( )x a 1x a 2x a n i 1i 1 x a i6、 a1,b147两边微分得2 yf ( x)dy y 2 f ( x) dx f ( y)dx xf ( y)dy 2xdx 即dy 2 x y 2 f ( x) f ( y)2 yf ( x) xfdx .( y)8、证明因为 f ( a) f (b) 0 , 不妨设 f (a) 0, f (b) 0f (a)lim f ( x)f (a)lim f ( x) 0 , 则 存 在10 , 当 x 1 (a, a1)时 ,xax a x a x af ( x 1 )0 , 又因为 x 1a , 所以 f (x 1)0 .同理可知存在 20 , 当 x 2 (b2 ,b)x 1 a精品文档时 , f ( x2 ) 0 ;又因为 x2 b ,所以 f ( x2 ) 0 ,取适当小的1 , 2,使得 a 1 b 2 ,则x2 bx1 x2,因为 f ( x) 在 [ a, b] 上连续,则 f ( x) 在 [ x1, x2 ] 上连续,且 f (x1) 0 , f ( x2 ) 0 . 由零点存在定理知至少存在一点 c ,使得 f (c) 0 ,证毕.精品文档第二章 综合测试题 B 卷一、填空题 （每小题 5 分,共 30 分） 1、 y x na 1x n 1 a 2 x n 2 L a n 1 x a , 则 y n.x at 2d 2 x2、 y bt3 ,则dy 2.3、 y x 6 x 2 321 x2 , 则 y '.4、 x 22xyy 2 2x , 则dy.dx5、 y x 1x 11 , 则 y.x 1xx16、 ye x cos x , 则 y n.二、选择题 （每小题 5 分,共 30 分）1、若3 , 则 lim f x 0 h f x 0 3h[].f ' xh 0h（A ） 3（B ） 6（C ） 9（D ） 122、设 f x x x ,则 f ' 0[]..（A ）0（B ） 1（C ） 1（D ）不存在3、若 fx 为可微分函数 , 当 x0 时 ,则在点 x 处 , y dy 是关于 x 的[].（ A ）高阶无穷小（ B ）等价无穷小 （C ）低阶无穷小 （ D ）同阶不等价无穷小4、设 yfe x ef x,且 f 'x 存在 , 则 y '[ ].（ A ） f ' e x e f xf e xe f x（ B ） f ' e xe f x f ' x（ C ） f ' e x e xe f xf e x e fxf ' x（ D ） f ' e xe f x5、设 e x e y sin xy , 则 y ' x 0[].（A ） 0（B ） 1（C ） 1（D ） 2精品文档6、若函数y f x ,有f ' x0 1x 0 时 ,该函数在x x0处的微分 dy 是[ ]. ,则当2（A ）与x 等价的无穷小（ B）与x 同阶的无穷小（ C）比x 低阶的无穷小（ D）比x 高阶的无穷小三、计算题（每小题 8 分 ,共 40 分）1、设f ( x) e2x b, x 0,问a, b为何值时f ( x)在x 0处可导. sin ax, x 02、y arccos x ln 2 arccos x ln arccos x 1 x 1 , 求dy.22 dx3、求曲线x 2t 3 arctan t在 x 3 处的切线方程. y 2 3t ln 1 t 21x, 求y '14、y 1 .x 2、求y n 已知y 1.5 ,x2 3x 2精品文档综合测试题 B 卷答案一、填空题1、2、2a 3、x 2 1 x 2 x6 6x 2 6n!3 29b2t 4 x2 1 x 2 x4、xy 1 5、1 x 2nx n6、e x cosy x x2 1 4二、选择题1、 (D)2、 (A)3、 (A)4、(C)5、 (B)6、 (B)三、计算题1、当a 2f ( x) 在x 0处可导. b时 ,12、y 2u ln 2 ug 1 2 arccos xgln 2 arccos x x 1 .1 x2 1 x23、切线方程为y 2 x 3 ,即x y 5 .4、y' 1 3 ln 3 2 .2 35、提示y1 1 1x 1 x 1 1 3x 2 x 2 x 12 , x2则 y n 1 n! 1 n 1 1 n 1 .nx 2 x 1。
高等数学第二章 导数与微分1
高等数学第二章导数与微分1第二章导数与微分一、选择题16、函数f(x) 在a，b 上可导的充分条件是f(x) 在a，b 上????(A) 有界(B) 连续(C) 有定义(D) 可微17、设f(x)= (x+ sinx )cosx，则在x=0处有(A) f?(0)?2(B) f?(0)?1(C) f?(0)?0(D) f(x)不可导18、设f(x) 是可导函数，且lim f(x0?2h)?f(x0) ?1 ，则f’(x0)?() . h?0h1 2(A) 1(B) 0(C) 2 (D)19、极限lim x?0 ln (x?a)?lna (a?0) 的值是x1 a (A) 0(B) 1(C) a(D) 20、设f (11) ? ，则d [f(x)] ? x x?1 (A) 1 (1?x) 2dx (B) ? 1 (1?x) 2dx (C) x (1?x) 2dx(D) ? x (1?x) 2dx 21、设 f (0)=0,f’(0)?1,则limx?0 f(2x) = x(A)2(B)11(C)1(D)2 4 22、设f(x)?arctan x ，则lim f(1??x)?f(1) ? ?x?0?x11(A) 1 (B) –1(C)(D) ? 2 2 223、设y?cos2 x，则y?? (A) 4cos2x(B) ?4cos2x (C) ?4sin4x(D)?2sin4x24、d ( lnx ) d x(A) ? 2(B) x 2 x 2 x x(D) 1 x x25、y?e2 x 在x?0 处的切线方程为(A) y?26、y?e x 1x?1(B) y?x?1 (C) y?2x?1(D) y?2x?1 2 在x=0处(A) 不连续但可导(B) 连续但不可导(C)连续且可导(D)不连续也不可导27、曲线2ex?2cosy?1?0 上点处的切线的斜率等于31 2 (A) 2 3 ? 2 3(C) 2(D)28、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，记(I)：在(a，b)内f(x)?0与(J)：在(a，b)内，f(x)＝f(a)，则(I)是(J)的(A) 充分但非必要条件(B) 必要但非充分条件(C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件二、填空题12、设’f(x)?sinx,则导数f?(x)?．?xx, 则y??．f(e2x)，且f(x)具有2阶导数，则y???______________.13、设y14、设y?15、设y(n?2)?sin (1?2x)，则y(n)? _____________________ ．_．x y?ey?1?0 确定y=f (x)，则y??__________16、设方程17、设f’’(x) 存在，则y?f (x) 的二阶导数2d2ydx2＝___________________________．18、y? x ?lnx，则y??(1)?________________．f(x0?h )?f(x0?h) ?．h?0h19、设f’(x0) 存在，则lim20、y?21、设yx?x，y??_____________．(n?2)?ln(x?1)，则y(n)?．22、设y?lny?2x?0 ，则23、设f(x)?dy?_____________．dxxex，则f(n)(x)?___________．f(1?x)?f(1?x) ＝x?0x24、设f(x) 在x=1处可导且f’(1)?2 ，则lim_____________________________．25、设y?x?26、y?xf(e27、函数29、y?x 1?x2 arccosx，则dy＝____________________________．) ，f(u) 可微，则dy?_______________．y?e?xcos (3?x) 的微分dy?．x ?1 在x=1 处的切线方程为________________．___________ ____．x 在x?1 处的法线方程为30、曲线y? 三、简答下列各题22、y?ln ( tanx)?23、y ? x x 3x sinx，求y’．1?sinx ，求y ‘ ．．3x ?xx，求y ’24、设y?sin26、设y?( x )x (x?0) ，求y ’．1?x 3125、设y?arctan ，求y ．’x 27、设y?28、设y?x?xsinx ，求y?。
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。
高等数学第二章导数与微分习题
h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2
第二章 导数与微分复习题(1)
（4）求 lim 2 x
sin 1
x
解：
原式
lim
x
2
arctan 1
x
lim
x
1 1 x2
1
x
x2
lim
x
1
x
2
x
2
1
（5）求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
解：
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
tan2 x 3x2
lim
x0
sec2 3
x x2
1
lim
x0
f '( x) x0 2 cos x 2 x x0 2 在 x 0 处的切线斜率为 2，法线斜率为 1
2 对应的切线方程为 y 2x ，
法线方程为 y 1 x 。 2
5. 已知曲线 y ax 3 bx 2 cx 上点（1，2）处有水平切线，且原点为该曲线的拐
点，求 a, b, c 的值，并写出此曲线的方程。
9. 函数 y x3 3 x 的单调减少区间为 [1,1] ；
10. 函数 y x 4 的单调减少区间为 [2,0),(0,2] ； x
11. 设 y 2 x2 ax 3 在点 x 1取得极小值，则 a = -4 ；
12. 曲线 y x3 3 x2 x 的拐点坐标为 (1,3) ；
x0
x0
x
f ( x) 在 x 0 处连续。
在
x
0 处，
y
(0
x ) sin
1 0 x
0
sin
1
，
x
x
x
导数与微分习题及答案
第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。
C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。
(完整版)导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim。
高等数学第二章课后习题答案
第二章 导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x xx x x x∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。
⑴ ()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim（0'()f x -）； ⑵ ()=→∆xx f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭⎫⎝⎛=πx y'sin ,'()32y x y π=-=-所以切线方程为1()223y x π-=--2(1)03y +-+=班级 姓名学号法线方程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续因为 20001s i n(0)(0)1l i m l i m l i ms i n 0x x x x f x f x x x xx∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆ 所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？又及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f hh +→+→++-==='00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0 0sin x f x x x x x f '⎩⎨⎧≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;班级 姓名学号当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh +→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+ 2'364y x x =-+652'20282y x x x ---=--+ （3）;3253xx e x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2s e c s e c t a ny x x x =+班级 姓名学号（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+=123'ln10ln 2y x x x =-+ '422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22l n c o s c o s l n s i n x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x xy x -+-=+ 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x xx -+-=+ （10）.ln 3ln 223x x x x y ++=2232223(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x xx x -+-+=+ 9. 已知. ,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求因为1s i n c o s s i n2d d ρϕϕϕϕϕ=+-班级 姓名学号所以4222422284d d πϕρπϕ==+-=+10. .1轴交点处的切线方程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或 因为2'1y x -=+， 所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=； 曲线在(1,0)-处的切线方程为2(1)y x =+，即220x y -+=。
高等数学练习题第二章导数与微分
高等数学练习题 第二章 导数及微分系 专业 班 姓名学号第一节 导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= )(0x f '-2. 若)(0x f '存在，hh x f h x f h )()(lim000--+→= )(20x f ' .000(3)()limx f x x f x x∆→+∆-∆=03()f x '.3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim)000x f x x f xx 414.已知物体的运动规律为2t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒）5.曲线x y cos =上点（3π，21）处的切线方程为03123=--+πy x ，法线方程为 0322332=-+-πy x 6.用箭头⇒或⇏表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ⇔可导<≠⇒| 连续 <≠⇒ 极限存在。
二、选择题 1．设)0(=f ,且)0(f '存在，则xx f x )(lim→=[ B ]（A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D)21)0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则xx b x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim0 =[ B ]（A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D)2ba +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ]（A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要4．设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]（A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1) 5.设函数|sin |)(x x f =，则)(x f 在=x 处[ B ]（A ）不连续。
高等数学题库第02章(导数与微分)
第二章 导数与微分习题一一、选择题1.设)(x f 在a x =处可导,则=+--→hh a f h a f h )()(lim( )A.)(2'a fB. )('a fC. )(2'a f -D.0 2.设0)0(=f ,则下述所论极限存在,则=→xx f x )(lim( ) A. )0(f B. )0('f C. )('x f D.03.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1arctan )(x x xx x f ，,则)(x f 在点0=x 处( ) A.间断 B.连续,但不可导 C.可导 D.可导且2)0('π=f4.在3=x 处可导,则常数a 和b 的一组值为( )A.6和9B.-6和-9C.6和-9D.-6和95.已知)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,且!3)('=k f ,则=k ( ) A.4 B.3 C.2 D.16. 设)(x f 是偶函数,且在0=x 处可导,则)0('f =( ) A.1 B.-1 C.0 D.以上都不对7.设曲线21x e y -=与直线1-=x 的焦点为p ,则曲线在点p 处的切线方程是( ) A.022=+-y x B. 012=++y x C. 032=-+y x D. 032=+-y x8. 已知曲线L 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos ty tx ,则曲线L 上3π=t 出法线方程是( ) A. 0142=+-y x B. 0124=--y x C. 0342=-+y x D. 0324=-+y x 二.填空题1.设函数)()()(22x g a x x f -=,其中)(x g 在点a x =处连续=)('a f .2.设函数)(x f 在()+∞∞-,可导,)1()1()(22x f x f x F -+-=,则=)1('F .3.设x x x f +=sin )(ln ,则=)('x f .4.设)0(1>=x xy x ,则='y . 5.设x z x y ∙=2,则=dy .6.设π<<x 0,则=∙+)cot 1(x x d )(cot x d7.已知)(2)(x fa x =ϕ,且)(2)('x x ϕϕ=,则=)('x f .8.)(2b x f y +=,则=''y .9.设)(x y y =由y y x =+)(ϕ确定，若)('y ϕ存在且1)('≠y ϕ，则=dxdy. 三．下列各题中均假定)(0'x f 存在，按照导数定义，求出下列各题中的A 值（ ） （1）=∆-∆-→∆x x f x x f x )()(lim 000A（2）=→xx f x )(limA 设存在且)0(,0)0('f f = （3）=-+→hx f h x f h )()3(lim000A（4）=--+→hh x f h x f h )()2(lim000A四.设函数()⎩⎨⎧>+≤+=2212x b x x ax x f 在2=x 处可导,求常数a 和b 的值.五.设函数()⎩⎨⎧≥-<=0202x bx x ae x f x 在点0=x 处可导,求常数a 和b 的值.习题二一、选择题1. 2)('=a f ,则=--+→xx a f x a f x )()(lim0( ) A.2 B.-2 C.4 D.-42.设函数)(x f 和)(x g 在0=x 处可导,0)0()0(==g f ,且0)0('≠g ,则=→)()(limx g x f x ( )A.)0()0(''g fB. )()(''x g x f C. )0()0('g f D. )()('x g x f3.下列函数中,在0=x 处既连续又可导的是( ) A.x xx f =)( B. ⎩⎨⎧≤>-=0sin 0,1)(x x x x x f ， C. ⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0,)(x x x x x f ， D.x y sin =4.满足)()()('''b f a f b a f +=+的函数)(x f =( ) A.2x B.3x C.x e D.x ln5.设)100()4)(3)(2)(1()(++-+-=x x x x x x x f ,则=)1('f ( ) A.!101 B.100!101-C. !100-D. 99!100 6.设a 是实数,函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-∙-=101,11c o s )1(1)(x x x x x f a ，则)(x f 在1=x 处可导时,必有( )A.1-≤aB.01<<-aC.10<≤aD.1≥a7.若)(x f 的一阶导数与二阶导数都存在,且均不等于零,其反函数为)(y x ϕ=,则=)(''y ϕ( )A.)(1''x f B.[]2''')()(x f x f C. []2''')()(x f x f - D. []3''')()(x f x f - 二.填空题1.若对任意实数x ,函数)(x f 满足)()(x f x f -=-,且0)(0'≠=-k x f , 则=)(0'x f .2.已知)(x f e y =,其中f 二阶可导,则=''y .3.设xx x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,则=)('x f .4.设抛物线2ax y =与曲线x y ln =相切,则a = .5.设)1ln(2-+=x x y ,则='y .6.设曲线ax x y +=3与曲线c bx y +=2在点()0,1-处相切,其中c b a ,,为常数, 则a = ,b = , c = . 三.求下列函数的一阶导数:1.2ln 222+-=a x x y2.211xx y -+=3.21ln xxy += 4.x x y 2ln +=5.()x x y 32cos 3sin ∙=6.x y arcsin ln 3=7.x x y 2sec arctan ∙=8.xxx y tan 1sin +=9.()22sin sin xxy = 10.xx y ln 2=11.()x x y ln arcsin = 12.()x x y cos cos -=习题三一、选择题1.下列函数中,在0=x 处不可导的是( ) A.x y sin = B. x y cos = C.2ln =y D.x y =2. 下列函数中,在0=x 处可导的是( )A. x y ln =B. x y cos =C. x y sin =D. ⎩⎨⎧≥<=00,2x x x x y ，3.若函数⎩⎨⎧≥-<=0,0,)(2x bx a x e x f x 在0=x 处可导,则b a 、的值必为( )A.1-==b aB. 2,1=-=b aC. 2,1-==b aD. 2==b a4.设函数)(x f 在1=x 处可导,且21)1()31(lim=∆-∆-→∆x f x f x ,则=)1('f ( )A.31B. 61C. 61- D. 31- 5.曲线x e x y +=在0=x 处的切线方程是( )A.012=+-y xB. 022=+-y xC. 01=+-y xD. 02=+-y x 6.曲线1213123+++=bx x x y 在点(0,1)处的切线与x 轴交点的坐标是( ) A.(-1,0) B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,61 C.(1,0) D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,617.设xey 2sin =,则=dy ( )A.)(sin 2x d e xB. )(sin 2sin 2x d e x C. )(sin 2sin 2sin x xd e x∙ D. )(sin 2sin x d e x8．若函数)(x f y =有21)(0'=x f ，则当0→∆x 时，)(x f 在点0x 处的微分是（ ） A.与x ∆等价的无穷小量 B.与x ∆同阶,但不等价的无穷小量 C.比x ∆高阶的无穷小量 D. 比x ∆低阶的无穷小量 二.填空题1设函数)(x f 在2=x 处可导,且2)1('=f ,则=+-+→h nh f mh f h )2()2(lim0 。
高等数学-——导数与微分练习题.pdf
C：若函数 f (x) 在点 x0 处不可导，则函数 f (x) 在点 x0 处左、右导数只有一个不存在
x≥0
（）
（5）若 f (x) = x −1 ， 则 f (x) 在 x = 1 处可导
（）
（6） f (x) = 3 x 在 (−∞, +∞) 内均可导
（）
（7）若函数 f (u) 可导，则 [ f (ln x)]′ = f ′(ln x)
（）
（8）若 y = x2ex ，则 y′′ − 2 y′ + y = 0
dx
五、证明题
1.
设函数
f (x) = arctan 1+ x ，证明 dy 1− x
=
x
1 2+
1
dx
2.
证明：函数
f
(
x
)
=
⎧ ax + b, ⎨⎩ex −1, x
x ≤
> 0
0
在 x = 0 处可导的充要条件是 a = 1, b = 0 .
3.
证明：
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x3
sin
1 x
,
x
≠
0
在定义域内处处可微.
则 a, b 之值为（
）
A： a = 2,b = −1 B： a = 1,b = −3
C： a = 0,b = −2
D： a = −3,b = 1
（5）下列结论正确的是（
）
A：若左、右导数都存在，则函数 f (x) 在点 x0 处可导
B：函数 f (x) 在点 x0 处不可导的充要条件是左、右导数都不存在
⎛ ⎜⎝
arctan
第二章导数与微分练习题无答案
第二章导数与微分一、选择题1、设函数y=/(x)，当自变量X由％改变到与+Δx时，相应函数的该变量Ay=()。
A/(⅞+-)A/U o)+∆x C./(x0+∆x)-∕(x o)D./(X0)ΔΛ^2、若函数F(X)在点与处可导，则Iim/(1-Ay)-/("二()oΔκ->O ∖χA-Γ(x0)B.f(-x0)Cr(Xo)D2f(x0)∖-x i,x<∖3、设∕*)=13 ,则/(x)在X=I处的( )。
[x2,x>∖A.左、右导数都存在B.左导数存在、右导数不存在C.左导数不存在、右导数存在D.左、右导数都不存在4、函数/(x)在点/连续，是/(外在点与可导的( )oA必要不充分条件 B.充分不必要条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5、曲线y=2x3-5X2+4%一5在点(2,-1)处切线的斜率是( )。
A8 8.12C.-6 D.6'e ax x<06、若/(%)=《' " 在X=O处可导，则a/的值应为( )。
Z?+sin2x,x≥0A.a=2,b=↑B.a=l,b=2C.a=-2,b=XD.a=2,b=-∖7、若/(L)=X，贝∣J∕'(x)=()oXA-B.-- C.∖ D.--VXXX X8、设函数)=/(〃)是可导的，且〃=/，则◎=()。
dxA∕,(X2) B.√,(X2) C.2xf∖X1) D.x2f,(x2)9、若y=cosx,则yW )。
A.cos(x -------- )B.COS(X+——)C.cos( ------- x)2 2 210、曲线卜二sm∕在/=工处的切线方程为( )。
y=cos2， 4A2^^x-y-2=0 B.√2x-4γ-l=0C.2√2x+y-2=0D.√2x+4y-l=011、设函数y=y(x)由方程孙-e'+"=O所确定，则y'(0)=(AO B.1C.2D312、函数/（幻在某一点。
第二章 导数与微分习题
dy dx dt dt 第二章 导数与微分一、导数和微分的概念 ∆y 1、 f '(x 0 ) = lim∆ x →0 ∆ x= lim∆ x →0f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) ∆ x= lim h →0f (x 0 + h ) - f (x 0 ) h= limx →x 0f (x ) - f (x 0 )x - x 0 注（1）该定义主要用于相关定理的分析与证明；（2）导数的求导公式：f '(x ) = lim f (x + h ) - f (x )。
f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) h →0 hf (x 0 + ∆x ) - f (x 0 )2、 f +'(x 0 ) = lim ∆ x →0 + , f -'(x 0 ) = ∆xlim ∆ x →0 -.分段函数 ∆xf 在点 x 0 处可导 ⇔ f +'(x 0 ), f -'(x 0 ) 存在，且f +'(x 0 ) = f -'(x 0 ) .3、导数的几何意义（切线斜率）：当 f '(x 0 ) ≠∞ 时，曲线在点 (x 0 , y 0 ) 处的切线斜率。
切线方程： y - y 0 = f '(x 0 )(x - x 0 ) ；法线方程： y - y 0 = -1f '(x 0 )(x - x 0 )4、函数可导性于连续性之间的关系。
5、微分的概念：若有 ∆y = f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) =A ∆ x + o (∆x ) 成立，记作： dy = A ∆xdy函数在点 x 0 处的微分： d y = f '(x 0 )d x ；函数的微分： d y = f '(x )d x可微等价于可导。
微分在近似计算中的应用： f (x ) ≈ f (x 0 ) + f '(x 0 )(x - x 0 )6、高阶导数。
高数导数练习题
精品第二章导数与微分练习题一、填空题1.设 y2sin x cos(cos x) ，则 y_________________.2.设函数 y y( x) 由方程 sin( x 2y 2 )e x xy 20 所确定，则dy__________. dx3.设 ysin x2，则 dy____________________. e4．设函数 y y x 由方程xy e x e y0 所确定，则y0, y 05．若函数设y t 2 sect arcsin t +sin1, ，则 dy。
x1t226．曲线在 t 2 处的切线方程为，d y。
t 3y dx2t147.设 f (0)0, f '(0)4,则 lim f ( x)=_______________. xx 08. f (x)x( x1)(x2)( x 3)( x4)L ( x100) ，则 f (1)________.9.设 y f [ x2 f ( x2 )] ,其中 f (u) 为可导函数,则 dy_____________.dx二、选择题1.若 f ( x)x23,x1）ax b,x在 x 1 处可导，则（1A.a2,b2B.a2, b2C.a2,b2D.a2, b22.设 f '( x0 ) 2 ，则lim f ( x0h) f ( x0h) ＝().h0hA.不存在B. 2C. 0 D 、 43.设 f ( x2 )x3 (x0) ,则 f (4) ()A.2B.3C.4D.54.设 f ( x) 是可导函数，且lim f (1) f (1x)1，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处x 02x的切线斜率为（）A.1B.0C.-1D.-21 cosx＞5. 设 f ( x), xx，其中 g(x) 是有界函数，则 f (x) 在 x =0 处（）x 2g (x), xA.极限不存在B.可导C.连续不可导D.极限存在，但不连续三、解答下列各题1. 设 x 1,求 d ( x 2 arctan x 1)2.设 y ln cos e x1 cosxcsc3．x ，求 y 3. 设 y arcsin 3x arctan x tan e x ，求 dy ．4.设函数 yy( x) 由方程 xy e ye 所确定，求 y (0), y (0) .5. 求由参数方程x ln(1 t 2 )所确定的隐函数的一阶导数dy , 二阶导数 d 22y.y arctantdxdx6．设 yx 2 3 x41 x5，求 y 。
《高等数学》第二章.导数和微分的习试题库完整
第二章 导数与微分一、判断题1. []00''()()f x f x = ,其中0x 是函数()f x 定义域内的一个点。
（ ）2. 若()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处连续。
（ ）3. 因为()f x x =在0x =处连续，所以()f x 在0x =处可导。
（ ）4. 因为()f x x =在0x =处的左、右导数都存在，所以()f x 在0x =处可导。
（ ）5. ()f x 在0x 处可导的充要条件左、右导数存在且相等。
（ ）6. 若曲线()y f x =在0x 处存在切线，则'0()f x 必存在。
（ ）7. 若()f x 在点0x 处可导，则曲线()f x 在点0x 处切线的斜率为()0f x '。
（ ）8. ()()()sin sin cos tan cot cos sin cos x x x x x x xx ''⎛⎫'====- ⎪-'⎝⎭。
（ ）9. ()()()22sin cos cos sin sin tan sec cos cos x x x x x x x x x '''-⎛⎫'=== ⎪⎝⎭。
（ ）10. 若()f x ，g()x 在x 处均可导，则[]()g()()g()f x x f x x '''=。
（ ）11. 设()sin cos f x x x =，'''()(sin ).(cos)(sin )cos f x x x x x ==-。
（ ）12. 设2()x e f x x =，则'()2x e f x x=。
（ ）13. 由参数方程0y e xy +=的两边求导得'0y e x xy ++=，于是'1()y y e y x=-+。
（ ）14. ()()n x x e e =。