梅逊公式简单讲解
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梅森公式
1. 简介
梅森公式（Mersenne formula），是指由法国数学家梅森（Marin Mersenne）在17世纪提出的一种用于生成素数的公式。
梅森公式的基本形式为2^n - 1，其中n是一个自然数。
如果2^n - 1是一个素数，则称之为梅森素数。
梅森公式产生的素数被广泛应用在密码学、计算机科学、通信领域等。
由于其计算简单、结构规律清晰，梅森公式较早被发现，至今为止已知的最大梅森素数为2^82,589,933 - 1。
本文将介绍梅森公式的原理、应用以及一些相关的数学定理。
2. 梅森公式的原理
梅森公式是基于二进制表示的思想，通过将2的幂次方相减得到一个整数，并判断该整数是否为素数。
其基本形式为：
M(n) = 2^n - 1
其中，M(n)为梅森素数。
梅森公式的原理是因为2^n - 1可以通过一种高效的算法进行计算，被称为。
梅逊公式
回章首
回节首
21
解: 有三条前向通路， 前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路，分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中，L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
特征式为
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4
回章首 回节首 22
前向通路p1与四个回路均接触，
1 1
前向通路p2与四个回路均接触，
2 1
前向通路p3与回路L4不接触，
L3a L4 ,
a
3 1 L4
闭环传递函数为
Y (s) P 1 ( p11 p2 2 p3 3 ) R( s) p1 p2 p3 (1 L4 ) 1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4 G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1 ) 1 G2G3G4G5 H 2 G6G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1 G2G7 H 2G4 H1
(2-123)
回章首
回节首
18
特征式
的计算公式为
1 La Lb Lc
a b,c
d ,e, f
L
d
Le L f ....
(2-124)
L —所有独立回路增益之和； —所有每两个互不接触回路增益乘积之和； L L —所有每三个互不接触回路增益乘积之和。 L L L
a a
用梅逊公式求传递函数
C(s) R(s)
1
G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)H (s)
Φr(s)为输入信号r(t)作用下系统的闭环传递函数。此时系统输出的 拉氏变换式为
C
(s)
r
(s)R(s)
1
G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)H
(s)
R(s)
7
2). 扰动 n(t)作用下系统的闭环传递函数
在下图(a)所示的反馈系统中，为求取r(t)作用下系统的闭环传递 函数，可令n(t)=0。
R(s)
E(s)
- B(s)
G1(s)
N(s)
+
C(s)
G2(s)
H(s)
(a)
R(s)
- B(s)
G1(s)
C(s) G2(s)
H(s)
(b)
6
由图(b)求得输出C(t)和输入r(t)之间的传递函数为
r
(s)
用梅逊(S.J.Mason)公式求传递函数
梅逊公式一般形式为
n
Pk k
(s) k1
式中 (s)为待求的总传递函数。
称为特征式，且
其中
1 Li Li L j Li L j Lk Li ——所有不同回路传递函数之和。 Li L j ——所有两两互不接触回路的回路传递函数乘积之和。 Li L j Lk ——所有三个互不接触回路的回路传递函数乘积之和。
n
(s)
N
(s)
1
G1
G2 (s) (s)G2 (s)H
(s)
N
(s)
梅逊公式的应用
系统信号流图及梅逊公式
②
-
1/G2(s) G2(s) H1(s)
①
H2(s) Y0 G4(s)
+
Xi(s)
+
G1(s)
+
X0(s)
-
-
-
G3(s)
③ ④
第二步、消去反馈回路①，另相加点（比较点）③前移
1/G2 H2
Xi(s)
+
G1
②
+
③
G3(1+G2H1)/G2G4
X0(s)
G2G4 /(1+G2 H1 )
P1=G1G2G3 G4G5； ； P2=G1G4G5G6； P3=G1G2G7
有4个反馈回路，其传递函数分别为：L1=−G4H1； L2=−G2G7H2； L3=−G4G5G6H2； L4=−G2G3G4G5H2； 有1个互不接触的反馈回路，即： L b L c G 4 H 1G 2 G 7 H 2
k
由梅逊公式求得系统的传递函数为：
G (s) G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 1 G 4 G 5 G 6 G 1 G 2 G 7 (1 G 4 H 1 ) 1 G 4 H 1 G 2 G 7 H 2 G 4 G 5 G 6 H 2 G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 G 4 H 1G 2 G 7 H 2
-
④
2.6
第三步、消去并联回路③和反馈回路②
系统信号流图及梅逊公式
Xi(s)
+
G1
G2G4-(1+G2H1)/G2G4
G2G4 /(1+G2 H1 + G2G4)
X0(s)
如何用梅逊公式求传递函数
• 通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通 路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前 向通路增益。
• 回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回
路增益。
1/8/2024
如何用梅逊公式求传递函数
4
信号流图的等效变换
• 串联支路合并：
ab x1 x2 x3
8
例2: 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。 然后画出信号流图如下图所示。
k
R(S) b
m
d
V1
l
g V3 e
V2
h
C(S)
f f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
g
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如何用梅逊公式求传递函数
9
信号流图的绘制
例2: 按微分方程拉氏变换后
的代数方程所表示的变量间
信号流图的概念
信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关 系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函 数时较为方便。
一、信号流图及其等效变换
组成：信号流图由节点和支路组成。见下图：
R1
N
1
E G1 P
G2
Q
1
R(s)
C
E(s)
-
G1(s)
N (s)
+ G2(s) C (s)
H
H (s)
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
LdLeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
梅森公式的推导
• 定理7 设Aij是行列式|A|中aij 余因式，则当 ij时，Aij= Pk△k 式中Pk是从节点i到j的第K条路的传输。△k 是不接触从i到j的第K条路的图行列式。他 是在图G中取掉Pk的所有节点和这些节点所 关联的支路后按（1-42）式算出的图行列 式。 表示所有可能的从节点i到j的路求和。
梅森公式注意事项
注意：
梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出 对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式。也 就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路， 而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递 函数：
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。
•梅森公式的推导
定义下列矩阵
• 分支矩阵B
B是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列
对应于支路。
B=[bij]，bij={ 1，若支路j的起点是i }
0，
否则
因为每条支路只能有一个起点，故每列只能有一 个元素为1。
• 汇总矩阵S
S也是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，
列对应于支路。
S=[sij]，sij={ 1，若支路j的起点是节点i }
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方 程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结 构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要 特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主 要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。
2.7 梅逊公式
△1= 1
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 将中△与第K条前向通道相接触 条前向通道相接触（ △k：将中△与第 条前向通道相接触（有 重合部分）回路所在项去掉之后的余子式。 重合部分）回路所在项去掉之后的余子式。
例：试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。 试用梅逊公式求传函 。
一、梅逊公式
∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i G = G1 G3 2 △ 1、G(S)：从输入通道到输出通道总的传递 、 ： H1 H2 H3 函数（总增益）。 函数（总增益）。 2、△：称为系统主特征式 、 △=1- ∑La+ ∑LbLc-∑LdLeLf+…
所有单独回路增益 回路增益之和 ∑La — 所有单独回路增益之和 ∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和 所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和 所有三个互不接触回路增益乘积之和
R G1 G2 1 H2 G3 H4 H1 4 G4 C
2 H3
G5
G6 3
解： 3、G(S) 、
△＝1＋G2G3H2 ＋G4G5H3 ＋G3G4H4 ＋G1G2G3G4G5G6H1＋G2G3G4G5H2 H3
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 ∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i = △
= G1 G2 G3 G4G5 G6
n
△
应用梅逊公式， 应用梅逊公式，将大大简化结构 变换的计算。 变换的计算。但当系统结构较复 杂时，容易将前向通道、 杂时，容易将前向通道、回路数 及余子式判断错，需格外注意。 及余子式判断错，需格外注意。
例：试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。 试用梅逊公式求传函 。 G4 4 G3 2 H2
梅森公式-信号流图
L4 a23a34a45a52
x5 L5 a23a35a52
P
a12 a23a34 a45 (1 a44 )a12 a23a35
1 (a23a32 a23a34a42 a44 a23a34a52 a23a35a52 ) a23a32 a44 a23a35a52a44
G3(s)
梅逊公式求E(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
G1(s)
NNN((s(ss)))
G2(s)
GGG2(22s(()ss))
CCC(s(()ss))
HHH2(22s(()ss)) H3(s)
HHH3(33s(()ss))
C(s)
R(s)
E(S) P1=H–P1G(s1)2=H13 △△1=11=+G1 2HH2 2(s)P1△1= ?
E(s)= R(s)[ (1+G2H2) +(- G3G2H3)] +(–G2H3)N(s)
1 G1H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G4G5G7 H1H 2
x1
x2
x3
x7 I(s) x4
x5
o在源节点上，只有信号输出 支路而没有信号输入的支路，
1/R1 1+R1C1s R2
它一般代表系统的输入变量。
-1
•阱节点（输出节点）：
在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它
梅逊公式及其应用
P2 kgi 2 1 cd
• 将以上结果代入式公式，可得总传输
P
P P
11
22
1L L L L L L
a
bc
de f
1
2
3
acegi kgi(1 cd )
1 (ab cd ef gh ij kfdb) (abef abgh abij cdgh cdij efij kfdbij) abefij
=每两个互不接触回路增益乘积之和
2
L LL de f
=每三个互不接触回路增益乘积之和
3
Δk=信号流图中除去与第k条前向通道Pk相接触的支路和节点后余下的信 号流图的特征式，称为Pk的余因式。
例2-4 将图所示的系统方块图化为信号流程图并
将其简化。求系统传递函数
C(s)
R(s)
H2
R
+- ++
G1
+-
x7 C(s) 图2－13 信号流程图
解：• 此系统有六个回环，即ab、cd、ef、ij和kfdb，因此 L ab cd ef gh ij kfdb
a 1
• 两个互不接触的回环有七种组合，即abef、abgh、 abij、cdgh、cdij、efij及kfdbij，所以
L L abef abgh abij cdgh cdij efij kfdbij bc 2
G2
C G3
H1
图2-11 多回路系统
解：• 首先将图2-11方块图化为图2-12的信号流程图
-H2
1 R( s)
1
Байду номын сангаасG1
G2
G3
H1 -1
1
C( s)
02 数学模型 - 10梅逊公式
第二章控制系统的数学模型第10讲梅逊公式王燕舞梅逊(Mason)公式◆梅逊(Mason)公式是美国麻省理工学院S.J. Mason于20世纪50年代提出的。
借助于梅逊公式，不经任何结构变换，便可以得到系统的传递函数。
•∑L i ：所有回路(n 条)的回路增益之和。
•∑L i L j ：所有两两互不接触回路(n 2条)的回路增益乘积之和。
•∑L i L j L k ：所有三三互不接触回路(n 3条)的回路增益乘积之和。
•P k ：从输入节点到输出节点第k 条前向通路的增益。
•Δk ：在Δ中，将与第k 条前向通路相接触的回路除去后所余下的部分的Δ ，称为余子式。
•m ：从输入节点到输出节点所有前向通路的条数。
∆∆=∑=m k kk P s G 1)(+-+-=∆∑∑∑321111n kj i n j i n i L L L L L L ◆梅逊公式的表达式为：•G(s)：待求的总传递函数。
•Δ称为特征式，◆梅逊公式的证明：参见：1.Samuel J. Mason, “Feedback theory-Some properties ofsignal flow graphs,” Proc. IRE, vol. 41, no. 9, pp. 1144-1 156, Sept. 1953.2.Samuel J. Mason, “Feedback theory-Further properties ofsignal flow graphs,” Proc. IRE, vol. 44, no. 7, pp. 920-926, July 1956.3.W.K. Chen, “Applied Graph Theory, Graphs and ElectricalNetworks,” North-Holland, Amsterdam, 1976.4.陈景明, “S.J. Mason讯号流图增益公式的另一个证明,” 吉林大学自然科学学报, no. 4, pp. 137-146, 1979.G 3H 2G 2G 1G 4H 1CR G 5G 6H 4H 3-H 2G 2G 3-H 4G41G 6G 5-H 3CB E F G x 3H IR A 1G 1-H 11结构图信号流图求图示控制系统的传递函数。
梅逊公式简单讲解
• 前向通路—从输入节点到输出节点的通路。前向通路中通过任 何节点不多于一次。
• Gk —从输入节点到输出节点的第k条前向通路增益
• Δ —特征式 且 1 La Lb Lc Ld LeL f
• La 所有不同回路的增益之和
• Lb Lc 所有两两互不接触回路的增益乘积之和
• La —所有不同回路的增益之和
• Lb Lc —所有两两互不接触回路的增益乘积之和
• Ld Le Lf —所有三个都互不接触回路的增益乘积之和
• k —在Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项去掉后 余下的部分
术语解释
• 节点—表示系统中的变量或信号的点称为节点。 • 支路—连接两节点间的有向线段称为支路。支路增益就是两节点间的增益。 • 输入节点(源点)—仅有输出支路的节点称为输入节点，一般为系统的输入。 • 输出节点（阱点）—仅有输入支路的节点称为输出节点，一般为系统的输出。 • 混合节点—既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点。
• Ld Le Lf 所有三个都互不接触回路的增益乘积之和
• k —在Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项去掉后
余下的部分 • 通路—从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过各相连支
路到达另一节点的路径称为通路
例2 求C(s)/R(s)
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定义和公式
• 梅逊公式是求解信号流图或等效的 系统框图输入点与输出点之间的系 统函数的算法，广泛用于拉普拉斯 变换或域模型求解系统函数中。公 式为：
• G—从输入节点到输出节点之间的系统特从征输式入且节点 到 1输出节点La的第k条L前b L向c 通路增Ld益Le L f
§25闭环传递函数§26 梅逊公式
P G GG 1 1 2 3
P G G 2 1 4
1 1
2 1
G G G G G 1 2 3 1 4 ( s ) G G H G G H G G G G H G G 1 2 1 2 3 2 1 2 3 4 2 1 4
Mason 公式（3）
例 3 求传递函数 C(s)/R(s)
例1
求C(s)/R(s)
( G G H )( G G H ) 1 [ G G H G3G4 H4 G G G G G G H G5 H ] 2 3 2 4 5 3 2 3 2 G 1 2 3 4 5 6 1 4 3
1 G G H G G H G G H G G G G G G H G G G G H H 2 3 2 4 5 3 3 4 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 2 3
§2.5 控制系统的传递函数
<2、扰动输入作用下的误差传递函数 令R(s) =0，可求出误差对扰动作用的闭环传递函数，简称扰动误差传递函数，即
N(s)
<3、控制输入和扰动同时作用下系统的总误差 利用叠加原理可求出系统在控制输入和扰动输入同时作用下系统的总误差为
不难发现，四种闭环传递函数 Φ(s)、Φn(s)、 Φe(s)、Φen(s) 具有相同的分母即 =1+ G(s)H(s)。这正是闭环控制系统的本质特征。通常把这 个分母多项式称为闭环系统的特征多项式。1+ G(s)H(s) 称为闭环系统的特征方 程。特征方程的根称为闭环系统的根或极点。
（1）结构图 信号流图
（2）结构图 信号流图
§2.6.2 梅逊（Mason）增益公式
G(s) PΔ Δ
k k 1
西北工业大学考研专业课自动控制原理课程第6讲-梅逊公式
= 1 + G2G3 H 2 + G4G5 H 3 + G3G4 H 4 + G1G2G3G4G5G6 H1 + G2G3G4G5 H 2 H 3
P1 = G1G2G3G4G5G6
∆1 = 1
Φ(s) =
G1G2G3G4G5G6
1 + G2G3 H 2 + G4G5 H 3 + G3G4 H 4 + G1G2G3G4G5G6 H1 + G2G3G4G5 H 2 H 3
E(s) =
R(s)
+ −G2 (s)H (s)⋅ N (s)
1 + G1 (s)G2 (s)H (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H (s)
控制系统的传递函数 (例)
例7 系统结构图如右图所示， 求当输入 r(t) = 1(t) 干扰 n(t) =d(t) 初条件 c(0) = -1 c’(0) = 0 时系统的总输出 c(t) 和总误差e(t)。 求解
Φ en (s)
=
E (s) N (s)
=
−G2 (s)⋅ H (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H (s)
4. 系统的总输出 C(s) 及总误差 E(s)
C (s) = G1 (s)G2 (s)⋅ R(s) + G2 (s)⋅ N (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H (s)
Mason 公式（2）
例 2 求传递函数 C(s)/R(s)
控制系统结构图
例2 求 C(s)/R(s)
∆ = 1 − [ −G1G2 H−1 G2G3 H 2 − G1G2G3 − G4 H2− G1G4 ] = 1 + G1G2 H1 + G2G3 H 2 + G1G2G3 + G4 H 2 + G1G4
自控梅逊公式
自控梅逊公式自控梅逊公式是一种用来计算系统稳定性的数学工具。
它是由英国数学家约翰·梅逊（John Mason）在20世纪50年代发明的，用于研究线性控制系统的稳定性。
这个公式能够评估一个系统的特征方程的根（即极点）的位置，以判断系统是否稳定。
以下是自控梅逊公式的详细介绍。
自控梅逊公式的核心思想是将系统的特征方程转化为一个实数的多项式方程，然后求出该方程的根的位置。
这个多项式方程被称为“特征多项式”，它的系数是特征方程的系数。
具体地说，特征多项式的形式为：F(s) = 1 + G1s + G2s^2 + … + Gns^n其中，s是一个复数，G1、G2、…、Gn是实数。
特征多项式的根可以表示为复平面上的点，这些点被称为“系统的极点”。
这些极点的位置可以揭示系统的稳定性。
假设一个线性控制系统有n个控制器和n个反馈器。
特征方程为：A(s) = s^n + a1s^(n-1) + a2s^(n-2) + … + an将特征方程的系数按照下面的方式排列：a0 = (-1)^n * ana1 = (-1)^(n-1) * (an-1 + g1an)a2 = (-1)^(n-2) * (an-2 + g1an-1 + g2an)a3 = (-1)^(n-3) * (an-3 + g1an-2 + g2an-1 + g3an)...an-1 = (-1)^1 * (a1 + g1a2 + g2a3 + ... + gn-2an-1)an = (-1)^0 * (a0 + g1a1 + g2a2 + ... + gnan-1)其中，g1、g2、…、gn是系统的反馈增益。
将系数代入特征多项式中，可以得到一个与特征方程等价的实数多项式方程。
然后，通过求解该方程的根，可以得出系统的极点的位置。
如果极点的实部都小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个极点的实部大于零，则系统是不稳定的。
自控梅逊公式是一种有效的工具，可以帮助工程师评估系统的稳定性。
梅森定律-信号流图
由系统结构图绘制信号流图
1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。 ➢ 注意信号流图的节点只表示变量的相加。
R(s)
C(s)
G(s)
D(s)
R(s) E(s) (-) G1(s)
V(s)G2(s) C(s)
H(s)
(a) 结构图
a45 x5
X 5 (s) X1(s)
(b)
x1
a52
x2
x3
x4
P1 a12a23a34a45 x5
1 1
(c)
x1
x2
x3
x5 P1 a12a23a35
2 1 a44
(a) x1
a12 x2
a42
a44
a23 a32 x3
a34 x4
a35
a45 x5
a52 (d) x2
(e) x2 (f) x2 (g) x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44
x4 x3
x4 x5
L2 a23a34a42
L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44
L4 a23a34a45a52
x5 L5 a23a35a52
P
a12 a23a34 a45 (1 a44 )a12 a23a35
G3(s)
梅逊公式求E(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
2.4 系统信号流图及梅逊公式
Fc(s)
cs
例 ：绘制如图所示系统的方块图
R1 i1(t) ui(t) C1
A
R2
i2(t)
uA(t)
u0(t)
C2
U i s - U A s = R1 I 1 s
拉氏变换后方程组
U A s - U 0 s = R2 I 2 s 1 I2 s = U0 s c2 s
Ө(t)
D
f(t)
P74 2-25 已知：f(t)为输入力，θ(t) 为轴的输出转角，弹簧刚度k,轴的 转动惯量J，阻尼系数D,轴的半径r， 求系统的传递函数。
解：该系统可以看作是一个质量、弹簧、 阻尼系统。
对于质量,这里用转动惯量J来代替。 对J、k、D分别列方程，有
J t f t r TK TD
1 I1 s - I 2 s = UA s c1 s
各环节的方块图如下所示。
Ui s -U A s = R1 I1 s
Ui(s)
+
1/R1
I1(s)
1 I1 s I 2 s UA s c1s
I1(s)
TK K t TD D t
J t f t r K t D t J t D t K t f t r
拉氏变换后，得 2 Js s Ds s K s F s r
X0(s)
H(S)
-H(s)
从图中可以我们可以定义： 通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。 节点：用来表示变量或信号的点，像输 回路：起点与终点重合且与任何节点 前向通路：从输入节点到输出节点的通路上通 入节点、输出节点、比较点以及引出点， 支路：定向线段，箭头表明信号的流向， 相交不多于一次的通路。 过任何节点不多于一次的通路。 标明有传递函数。 用符号“。”表示。
梅逊增益公式
梅逊增益公式梅逊增益公式是一种在电子电路分析中广泛应用的数学工具，它以法国数学家梅逊的名字命名。
梅逊增益公式可以用来计算电子电路中的增益，帮助工程师们设计和优化电路。
电子电路是现代科技的重要组成部分，它们被用于手机、电脑、电视等各种设备中。
在设计电路时，我们常常考虑的是如何实现一个特定的功能，比如放大音频信号或者调节频率。
而增益就是衡量电路输出信号与输入信号之间的增加倍数的指标。
梅逊增益公式可以用来计算电路的增益，它的数学形式是Vout/Vin = A(D) / (1 + jωRC)，其中Vout是输出电压，Vin是输入电压，A(D)是电路的放大倍数，ω是角频率，R是电阻，C是电容。
梅逊增益公式告诉我们，电路的增益取决于电路的放大倍数和频率。
放大倍数越大，增益就越高；频率越高，增益就越低。
这是因为电子元件（比如晶体管或运放）在不同的频率下对信号的响应能力是不同的。
通过梅逊增益公式，我们可以预测和优化电路的性能。
在设计电路时，工程师们可以使用梅逊增益公式来计算不同频率下的增益，以便选择最合适的元件和参数。
通过调整电路元件的数值，工程师们可以实现所需的放大倍数和频响特性。
此外，梅逊增益公式还可以帮助我们理解电路中的各种元件和它们之间的相互作用。
例如，在放大器电路中，梅逊增益公式可以告诉我们电容和电阻对放大倍数的影响。
通过仔细选择电容和电阻的数值，工程师们可以实现所需的频响特性。
总之，梅逊增益公式是电子电路分析中一种重要的数学工具，通过它我们可以计算电路的增益，并优化电路的性能。
无论是在学术研究还是工程设计中，梅逊增益公式都发挥着重要的作用。
希望本文对读者了解梅逊增益公式的原理和应用有所帮助。
自动控制原理第07 讲 梅逊公式
例1：根据微分方程绘制信号流图
取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、 I2(s)、Uo(s)作为信号 流图的节点，其中， Ui(s)、 Uo(s)分别为 输入及输出节点。按 上述方程绘制出各部 分的信号流图，再综 统方框图
信号流图
◇Xi(t)作用下系统的闭环传递函数 令n(t)=0，此时在输入Xi(t)作用下系 统的闭环传递函数为：
◇输入作用下系统的偏差传递函数
令n(t)=0，此时系统输入Xi(s)与偏差ε(s)之间 的传递函数称为输出作用下的偏差传递函 数。用Φεi(s)表示。
◇n(t)作用下系统的闭环传递函数
令xi(t)=0，此时在扰动n(t)作用下系统的 闭环传递函数（干扰传递函数）为：
◇闭环系统的开环传递函数
将闭环控制系统主反馈通道的输出断开， 即H(s)的输出通道断开，此时，前向通道传 递函数与反馈通道传递函数的乘积 G1(s)G2(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环 传递函数。记为Gk(s)。 闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈 信号B(s)和偏差信号ε(s)之间的传递函数， 即：
※比较点与节点的对应关系
◇梅逊公式
式中，P—系统总传递函数 Pk—第k条前向通路的传递函 数（通路增益） Δ—流图特征式
ΣLa —所有不同回路的传递函数之和； ΣLbLc—每两个互不接触回路传递函数乘积 之和； ΣLdLeLf—每三个互不接触回路传递函数乘 积之和；
Δk—第k条前向通路特征式的余因子，即对于 流图的特征式Δ，将与第k条前向通路相接触 的回路传递函数代以零值，余下的Δ即为Δk。
□系统的固有特征与输入、输出的形式、位 置均无关；同一个外作用加在系统的不同 位置上，系统的响应不同，但不会改变系 统的固有特性；
梅逊公式
2-7 结构图等效变换及梅逊公式求传递函数时，需要对微分方程组（或变换方程组）进行消元，最后仅剩下输入、输出两个变量，因此中间变量的传递过程得不到反映。
若采用结构图，它就能形象地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。
另外，下面将会看到，利用结构图，也便于求取传递函数。
所以，结构图在控制理论中应用十分广泛。
一、结构图在第2-6节中，我们曾采用消元法求得图2-24所示RC 网络的传递函数。
这里，我们采用结构图的方法求其传递函数。
RC 网络的微分方程组如下：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰idt C u u Ri u c cr 1对上两式进行拉氏变换，得)()()(s U s RI s U c r +=或[])()()(1s I s U s U Rc r =- （2-54） )(1)(s I Css U r =（2-55）方程（2-54）可用图2-29)(a 表示，方程（2-55）可用图2-29)(b 表示。
将图2-29)(a )(b 按信号传递方向结合起来，网络的输入量置于图示的左端，输出量置于最右端，并将同一变量的信号连在一起，如图2-30)(a 所示，即得RC 网络结构图。
对图2-30)(a 进行所谓“等效变换”就可得出网络传递函数，因此网络结构就更为简单,如图2-30)(b 所示。
关于结构图等效变换的方法将另作介绍。
（1）建立控制系统各元、部件的微分方程。
（2）对各元、部件的微分方程进行拉氏变换，并做出各元、部件的结构图。
（3）按系统中各信号的传递顺序，依次将各元件结构图连接起来，便得到系统的结构图。
下面以图1-7所示随动系统为例。
把组成该系统各元部件的微分方程（2-18）进行拉氏变换，可得方程组（2-56e a ~），其中比较元件 )()()(s s s c r θθθε-=（2-56a ） 电位器 )()(1s K s U εεθ= （2-56b ） 放大器 )()(2s U k s U ε=（2-56c ） 电动机 )()()1(s U K s s T s m m =+εθ（2-56d ） 减速器)(1)(s is c θθ=（2-56e ）各元、部件的结构图如图2-31所示。
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Mason's gain 逊公式是求解信号流图或等效的 系统框图输入点与输出点之间的系 统函数的算法，广泛用于拉普拉斯 变换或域模型求解系统函数中。公 式为：
• G—从输入节点到输出节点之间的系统函数
• G —从输入节点到输出节点的第k条前向通路增益 k • Δ —特征式 且 1 La Lb Lc Ld Le L f
• 不接触环路—环路之间没有公共节点。
• 前向通路—从输入节点到输出节点的通路。前向通路中通过任 何节点不多于一次。 • Gk —从输入节点到输出节点的第k条前向通路增益 • Δ —特征式 且 1 L L L L L L
a
b
c
d
e
f
L 所有不同回路的增益之和 • L L 所有两两互不接触回路的增益乘积之和
•
•
La —所有不同回路的增益之和
L L
b
d
c
—所有两两互不接触回路的增益乘积之和
•
•
L L L
e
k —在Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项去掉后
余下的部分
f
—所有三个都互不接触回路的增益乘积之和
术语解释
• • • • • 节点—表示系统中的变量或信号的点称为节点。 支路—连接两节点间的有向线段称为支路。支路增益就是两节点间的增益。 输入节点(源点)—仅有输出支路的节点称为输入节点，一般为系统的输入。 输出节点（阱点）—仅有输入支路的节点称为输出节点，一般为系统的输出。 混合节点—既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点。
• 通路—从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过各相连支 路到达另一节点的路径称为通路。
• 前向通路—从输入节点到输出节点的通路。前向通路中通过任何节点 不多于一次。
• 开通路—如果通路与任一节点相遇不多于一次，则称为开通路。
• 闭通路（回路或环）—如果通路的终点就是通路的起点，而且与其余 节点相遇不多于一次，则称为闭通路、回路、环路或简称为环。
•
a
b c
• •
L L L
d e
f
所有三个都互不接触回路的增益乘积之和
k —在Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项去掉后
余下的部分 • 通路—从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过各相连支 路到达另一节点的路径称为通路
例2 求C(s)/R(s)
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