高中数学必修2第3章《直线与方程》单元测试题
高中数学必修2第三章《直线与方程》单元检测卷含解析
高中数学必修2第三章《直线与方程》单元检测卷含解析必修2第三章《直线与方程》单元检测卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若直线过点(1,2),(4,2+3),则此直线的倾斜角是()A。
30° B。
45° C。
60° D。
90°2.如果直线ax+2y+2=与直线3x-y-2=平行,则系数a为()A。
-3 B。
-6 C。
-2/3 D。
2/33.下列叙述中不正确的是()A。
若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应。
B。
每一条直线都有唯一对应的倾斜角。
C。
与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°。
D。
若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tanα。
4.在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与直线y=x+a的图象(如图所示)正确的是(选项不清晰,无法判断)5.若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于()A。
2 B。
3 C。
9 D。
-96.过点(3,-4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是()A。
x+y+1=0 B。
4x-3y=0 C。
4x+3y=0 D。
4x+3y=0或x+y+1=07.已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是()A。
4 B。
13 C。
15 D。
178.设点A(2,-3),B(-3,-2),直线过P(1,1)且与线段AB 相交,则l的斜率k的取值范围是()A。
k≥3/4或k≤-4/3 B。
-4/3≤k≤3/4 C。
-3≤k≤4 D。
以上都不对9.已知直线l1:ax+4y-2=与直线l2:2x-5y+b=互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为()A。
-4 B。
20 C。
必修2第三章 直线与方程单元测试卷
必修2第三章 《直线与方程》过关检测时间:100分钟 满分:100分制卷:王小凤 学生姓名一.选择题(本题共10个小题,每小题5分,共50分) 1.直线()为常数a a y x 03=+-的倾斜角为( ) A .3π B .6π C .32π D .65π2.若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线,则实数m 满足( ) A . 0≠m B . 23-≠mC . 1≠mD . 1≠m ,23-≠m ,0≠m3.若两条直线x +(1 + m )y + m -2 = 0与mx + 2y + 8 = 0平行,则( ) A .m = 1或-2 B .m = 1 C .m =-2 D .32=m 4.以()1,3A ,()5,1B -为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A .380x y --= B .340x y ++= C .360x y -+= D .320x y ++=5.若点()1,1+-m m A ,()m m B ,关于直线l 对称,则直线l 的方程是( ) A .01=-+y x B .01=+-y x C .01=++y x D .01=--y x6.在同一直角坐标系中,表示直线y ax =与y x a =+正确的是( )x y O x y O x y O xyO7.若直线0=++c by ax 在第一、二、三象限,则( )A .0,0>>bc abB .0,0<>bc abC .0,0><bc abD .0,0<<bc ab8.两直线330x y +-=与610x my ++=平行,则它们之间的距离为( ) A . 4B .C .D .9.设A ,B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为2,且|P A |=|PB |,若直线P A 的方程为x -y +1=0,则直线PB 的方程是( ).A .x +y -5=0B .2x -y -1=0C .2y -x -4=0D .2x +y -7=010.已知点(2,3),(3,2)A B --,若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A . 34k ≥ B . 324k ≤≤C . 324k k ≥≤或 D . 2k ≤ 二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)11.若三点A (-2,3),B (3,-2),C (21,m )共线,则m 的值为 .12.两直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上,则k 的值是 .13.点(,)P x y 在直线40x y +-=上,则22x y +的最小值是_______________.14.已知直线l 与直线3470x y +-=平行,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24,则直线l 的方程为________________ (用一般式表示)三、解答题:(本题共3小题,每小题10分,共30分)15.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6(m∈R,m≠-1),根据下列条件分别求m的值:①l在x轴上的截距是-3;②斜率为1.16.求经过点(1,2)P,且使点(2,3)A,(0,5)B-到它的距离相等的直线方程。
《必修2》第三章“直线与方程”测试题(含标准答案)
《必修2》第三章“直线与方程”测试题一.选择题:1. 在同一直角坐标系中,表示直线y ax =与y x a =+正确的是( )x y O x y O x y O xyOA B C D 2.若直线20x ay ++=和2310x y ++=互相垂直,则a =( ) A .32-B .32C .23-D .23 3.过11(,)x y 和22(,)x y 两点的直线的方程是( )111121212112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x y y x x A B y y x x y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y ----==---------=-----=4.直线2350x y +-=关于直线y x =对称的直线方程为( )A 、3x+2y-5=0B 、2x-3y-5=0C 、3x+2y+5=0D 、3x-2y-5=0 5 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么直线l 的斜率是( )AB 3- CD 36)ABCD7 已知0,0ab bc <<,则直线ax by c +=通过( )A 第一、二、三象限B 第一、二、四象限C 第一、三、四象限D 第二、三、四象限8.过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是( )A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=09.△ABC 中,点(4,1)A -,AB 的中点为(3,2)M ,重心为(4,2)P ,则边BC 的长为( )A 5B 4C 10D 810 直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点,若线段AB 的中点为(1,1)M -,则直线l 的斜率为( ) A23B32 C 32-D 23-二.填空题:11. 过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 12 方程1=+y x 表示的图形所围成的封闭区域的面积为_________13 点(,)P x y 在直线40x y +-=上,则22x y +的最小值是________14 直线10x y -+=上一点P 的横坐标是3,若该直线绕点P 逆时针旋转090得直线l ,则直线l的方程是15 已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称,则2l 的方程为__________; 23y x =-+三、解答题16.求过点(5,4)A --的直线l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为517. 一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点,当P 点为(0,0)时,求此直线方程18.直线13y x =-+和x 轴,y 轴分别交于点,A B ,在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ,如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等,求m 的值19.已知三角形ABC 的顶点坐标为A (-1,5)、B (-2,-1)、C (4,3),M 是BC 边上的中点。
高中数学必修2第三章《直线与方程》单元测试题(共两套)
高中数学必修2 第三章 《直线与方程》单元检测题(一)一、选择题1.若直线x =1的倾斜角为 α,则 α( ).A .等于0B .等于πC .等于2πD .不存在 2.图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则( ).A .k 1<k 2<k 3B .k 3<k 1<k 2C .k 3<k 2<k 1D .k 1<k 3<k 23.已知直线l 1经过两点(-1,-2)、(-1,4),直线l 2经过两点(2,1)、(x ,6),且l 1∥l 2,则x =( ).A .2B .-2C .4D .14.已知直线l 与过点M (-3,2),N (2,-3)的直线垂直,则直线l 的倾斜角是( ).A .3πB .32π C .4π D .43π 5.如果AC <0,且BC <0,那么直线Ax +By +C =0不通过( ).A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限6.设A ,B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为2,且|P A |=|PB |,若直线P A 的方程为x -y +1=0,则直线PB 的方程是( ).A .x +y -5=0B .2x -y -1=0C .2y -x -4=0D .2x +y -7=07.过两直线l 1:x -3y +4=0和l 2:2x +y +5=0的交点和原点的直线方程为( ).A .19x -9y =0B .9x +19y =0C .19x -3y = 0D .3x +19y =08.直线l 1:x +a 2y +6=0和直线l 2 : (a -2)x +3ay +2a =0没有公共点,则a 的值是( ).A .3B .-3C .1D .-19.将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a >0)个单位,再沿x 轴正方向平移a +1个单位得直线l',此时直线l' 与l 重合,则直线l' 的斜率为( ).A .1+a a B .1+-a aC .aa 1+ D .aa 1+-10.点(4,0)关于直线5x +4y +21=0的对称点是( ).A .(-6,8)B .(-8,-6)C .(6,8)D .(-6,-8)二、填空题(第2题)11.已知直线l 1的倾斜角 1=15°,直线l 1与l 2的交点为A ,把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°,则直线l 2的斜率k 2的值为 . 12.若三点A (-2,3),B (3,-2),C (21,m )共线,则m 的值为 . 13.已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1),B (1,0),C (3,2),求第四个顶点D 的坐标为 .14.求直线3x +ay =1的斜率 .15.已知点A (-2,1),B (1,-2),直线y =2上一点P ,使|AP |=|BP |,则P 点坐标为 . 16.与直线2x +3y +5=0平行,且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是 . 17.若一束光线沿着直线x -2y +5=0射到x 轴上一点,经x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 . 三、解答题18.设直线l 的方程为(m 2-2m -3)x +(2m 2+m -1)y =2m -6(m ∈R ,m ≠-1),根据下列条件分别求m 的值:①l 在x 轴上的截距是-3; ②斜率为1.19.已知△ABC 的三顶点是A (-1,-1),B (3,1),C (1,6).直线l 平行于AB ,交AC ,BC 分别于E ,F ,△CEF 的面积是△CAB 面积的41.求直线l 的方程.(第19题)20.一直线被两直线l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点,求该直线方程..21.直线l过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线l的横截距与纵截距之和为6,求直线l的方程.高中数学必修2 第三章 《直线与方程》单元检测题(二)时间:90分钟 满分120分一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)1.点A (2,-3)关于点B (-1,0)的对称点A ′的坐标是( )A .(-4,3)B .(5,-6)C .(3,-3) D.⎝⎛⎭⎫12,-32 2.已知直线l 的方程为y =-x +1,则直线l 的倾斜角为( )A .30°B .45°C .60°D .135°3. 点(1,1)到直线x +y -1=0的距离为( )A .1B .2 C.22D. 2 4.若直线l 与直线y =1,x =7分别交于P 、Q ,且线段PQ 的中点坐标为(1,-1),则直线l 的斜率为( )A.13 B .-13C .3D .-3 5.过点(-1,3)且平行于直线x -2y +3=0的直线方程为( )A .x -2y +7=0B .2x +y -1=0C .x -2y -5=0D .2x +y -5=06.若直线mx +ny +3=0在y 轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线3x -y =33的倾斜角的2倍,则( )A .m =-3,n =1B .m =-3,n =-3C .m =3,n =-3D .m =3,n =17.和直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程为( )A .3x +4y +5=0B .3x +4y -5=0C .-3x +4y -5=0D .-3x +4y +5=08.若三点A (3,1),B (-2,b ),C (8,11)在同一直线上,则实数b 等于( )A .2B .3C .9D .-99.将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重合,则与点(-4,2)重合的点是( )A .(4,-2)B .(4,-3) C.⎝⎛⎭⎫3,32 D .(3,-1) 10.设点A (2,-3),B (-3,-2),直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交,则l 的斜率k 的取值范围是( )A .k ≥34,或k ≤-4B .-4≤k ≤34C .-34≤k ≤4 D .以上都不对二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)11.已知点A (2,1),B (-2,3),C (0,1),则△ABC 中,BC 边上的中线长为________. 12.经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________. 13.过点A (2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程为____________.14.已知点A (4,-3)与B (2,-1)关于直线l 对称,在l 上有一点P ,使点P 到直线4x +3y -2=0的距离等于2,则点P 的坐标是____________.三、解答题(共4小题,共50分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(满分12分)已知直线l的倾斜角为135°,且经过点P(1,1).(1)求直线l的方程;(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标.16.(满分12分)已知两条直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0 ,当m为何值时,l1与l2(1)相交;(2)平行;(3)重合?17.(满分12分)如图,已知点A(2,3),B(4,1),△ABC是以AB为底边的等腰三角形,点C在直线l:x-2y+2=0上.(1)求AB边上的高CE所在直线的方程;(2)求△ABC的面积.18.(满分14分)如图所示,在△ABC中,BC边上的高所在直线l的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.高中数学必修2 第三章 《直线与方程》单元检测题(一)参考答案一、选择题 1.C解析:直线x =1垂直于x 轴,其倾斜角为90°. 2.D解析:直线l 1的倾斜角 α1是钝角,故k 1<0;直线l 2与l 3的倾斜角 α2,α3 均为锐角且α2>α3,所以k 2>k 3>0,因此k 2>k 3>k 1,故应选D .3.A解析:因为直线l 1经过两点(-1,-2)、(-1,4),所以直线l 1的倾斜角为2π,而l 1∥l 2,所以,直线l 2的倾斜角也为2π,又直线l 2经过两点(2,1)、(x ,6),所以,x =2. 4.C解析:因为直线MN 的斜率为1-=2-3-3+2,而已知直线l 与直线MN 垂直,所以直线l 的斜率为1,故直线l 的倾斜角是4π. 5.C 解析:直线Ax +By +C =0的斜率k =BA-<0,在y 轴上的截距B C D =->0,所以,直线不通过第三象限.6.A解析:由已知得点A (-1,0),P (2,3),B (5,0),可得直线PB 的方程是x +y -5=0. 7.D 8.D 9.B解析: 结合图形,若直线l 先沿y 轴的负方向平移,再沿x 轴正方向平移后,所得直线与l 重合,这说明直线 l 和l ’ 的斜率均为负,倾斜角是钝角.设l ’ 的倾斜角为 θ,则tan θ=1+-a a. 10.D解析:这是考察两点关于直线的对称点问题.直线5x +4y +21=0是点A (4,0)与所求点A'(x ,y )连线的中垂线,列出关于x ,y 的两个方程求解.二、填空题11.-1.解析:设直线l 2的倾斜角为 α2,则由题意知: 180°-α2+15°=60°,α2=135°,∴k 2=tan α2=tan (180°-45°)=-tan45°=-1. 12.21. 解:∵A ,B ,C 三点共线, ∴k AB =k AC ,2+213-=2+33-2-m .解得m =21. 13.(2,3).解析:设第四个顶点D 的坐标为(x ,y ), ∵AD ⊥CD ,AD ∥BC , ∴k AD ·k CD =-1,且k AD =k BC . ∴0-1-x y ·3-2-x y =-1,0-1-x y =1. 解得⎩⎨⎧1=0=y x (舍去)⎩⎨⎧3=2=y x所以,第四个顶点D 的坐标为(2,3). 14.-a3或不存在. 解析:若a =0时,倾角90°,无斜率.若a ≠0时,y =-a 3x +a1 ∴直线的斜率为-a3. 15.P (2,2).解析:设所求点P (x ,2),依题意:22)12()2(-++x =22)22()1(++-x ,解得x =2,故所求P 点的坐标为(2,2).16.10x +15y -36=0.解析:设所求的直线的方程为2x +3y +c =0,横截距为-2c ,纵截距为-3c ,进而得c = -536. 17.x +2y +5=0.解析:反射线所在直线与入射线所在的直线关于x 轴对称,故将直线方程中的y 换成-y . 三、解答题 18.①m =-35;②m =34. (第11题)解析:①由题意,得32622---m m m =-3,且m 2-2m -3≠0.解得 m =-35. ②由题意,得123222-+--m m m m =-1,且2m2+m -1≠0.解得 m =34. 19.x -2y +5=0.解析:由已知,直线AB 的斜率 k =1311++=21. 因为EF ∥AB ,所以直线EF 的斜率为21. 因为△CEF 的面积是△CAB 面积的41,所以E 是CA 的中点.点E 的坐标是(0,25). 直线EF 的方程是 y -25=21x ,即x -2y +5=0. 20.x +6y =0.解析:设所求直线与l 1,l 2的交点分别是A ,B ,设A (x 0,y 0),则B 点坐标为 (-x 0,-y 0).因为A ,B 分别在l 1,l 2上,所以⎪⎩⎪⎨⎧0=6-5+3-0=6++40000y x y x①+②得:x 0+6y 0=0,即点A 在直线x +6y =0上,又直线x +6y =0过原点,所以直线l 的方程为x +6y =0.21.2x +y -4=0和x +y -3=0.解析:设直线l 的横截距为a ,由题意可得纵截距为6-a .∴直线l 的方程为1=-6+aya x .∵点(1,2)在直线l 上,∴1=-62+1a a ,a 2-5a +6=0,解得a 1=2,a 2=3.当a =2时,直线的方程为142=+y x ,直线经过第一、二、四象限.当a =3时,直线的方程为133=+yx ,直线经过第一、二、四象限.综上所述,所求直线方程为2x +y -4=0和x +y -3=0.①②高中数学必修2 第三章 《直线与方程》单元检测题(二)答案与解析一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)1.点A (2,-3)关于点B (-1,0)的对称点A ′的坐标是( )A .(-4,3)B .(5,-6)C .(3,-3)D.⎝⎛⎭⎫12,-32 解析:选A设A ′(x ′,y ′),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2+x ′2=-1,-3+y ′2=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ′=-4,y ′=3.2.已知直线l 的方程为y =-x +1,则直线l 的倾斜角为( )A .30°B .45°C .60°D .135°解析:选D 由题意知k =-1,故倾斜角为135°. 3. 点(1,1)到直线x +y -1=0的距离为( )A .1B .2 C.22D. 2解析:选C 由点到直线的距离公式d =|1+1-1|12+12=22.4.若直线l 与直线y =1,x =7分别交于P 、Q ,且线段PQ 的中点坐标为(1,-1),则直线l 的斜率为( )A.13 B .-13C .3D .-3解析:选B 设P (a,1),Q (7,b ),则有⎩⎪⎨⎪⎧a +7=2,b +1=-2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a =-5,b =-3,故直线l 的斜率为-3-17+5=-13.a =-5.5.过点(-1,3)且平行于直线x -2y +3=0的直线方程为( )A .x -2y +7=0B .2x +y -1=0C .x -2y -5=0D .2x +y -5=0解析:选A ∵直线x -2y +3=0的斜率为12,∴所求直线的方程为y -3=12(x +1),即x -2y +7=0.6.若直线mx +ny +3=0在y 轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线3x -y =33的倾斜角的2倍,则( )A .m =-3,n =1B .m =-3,n =-3C .m =3,n =-3D .m =3,n =1解析:选D 依题意得-3n =-3,-mn =tan 120°=-3,得m =3,n =1.7.和直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程为( )A .3x +4y +5=0B .3x +4y -5=0C .-3x +4y -5=0D .-3x +4y +5=0解析:选A 设所求直线上的任一点为(x ,y ),则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ,-y ),因为点(x ,-y )在直线3x -4y +5=0上,所以3x +4y +5=0.8.若三点A (3,1),B (-2,b ),C (8,11)在同一直线上,则实数b 等于( )A .2B .3C .9D .-9解析:选D 由题意知k AB =k BC 即b -1-2-3=11-b8+2,解得b =-9. 9.将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重合,则与点(-4,2)重合的点是( )A .(4,-2)B .(4,-3) C.⎝⎛⎭⎫3,32 D .(3,-1)解析:选A 由已知知以(10,0)和(-6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y =2x ,则(-4,2)关于直线y =2x 的对称点即为所求点.设所求点为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0-2x 0+4=-12,y 0+22=2·x 0-42,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=4,y 0=-2.10.设点A (2,-3),B (-3,-2),直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交,则l 的斜率k 的取值范围是( )A .k ≥34,或k ≤-4B .-4≤k ≤34C .-34≤k ≤4D .以上都不对解析:选A 由题意知k AP =-3-12-1=-4, k BP =-2-1-3-1=34.由斜率的特点并结合图形可知k ≥34,或k ≤-4. 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)11.已知点A (2,1),B (-2,3),C (0,1),则△ABC 中,BC 边上的中线长为________.解析:BC 中点为⎝⎛⎭⎪⎫-2+02,3+12即(-1,2),所以BC 边上中线长为(2+1)2+(1-2)2=10. 答案:1012.经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________.解析:当直线过原点时,满足要求,此时直线方程为x -y =0;当直线不过原点时,设直线方程为x a +y a=1,由于点(1,1)在直线上,所以a =2,此时直线方程为 x +y -2=0.答案:x -y =0或x +y -2=013.过点A (2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程为____________.解析:如右图,只有当直线l 与OA 垂直时,原点到l 的距离最大,此时k OA =12,则k l =-2,所以方程为y -1=-2(x -2),即2x +y -5=0.答案:2x +y -5=014.已知点A (4,-3)与B (2,-1)关于直线l 对称,在l 上有一点P ,使点P 到直线4x +3y -2=0的距离等于2,则点P 的坐标是____________.解析:由题意知线段AB 的中点C (3,-2),k AB =-1,故直线l 的方程为y +2=x -3,即y =x -5.设P (x ,x -5),则2=|4x +3x -17|42+32, 解得x =1或x =277. 即点P 的坐标是(1,-4)或⎝⎛⎭⎫277,-87. 答案:(1,-4)或⎝⎛⎭⎫277,-87 三、解答题(共4小题,共50分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)(2012·绍兴高二检测)已知直线l 的倾斜角为135°,且经过点P (1,1).(1)求直线l 的方程;(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标.解:(1)∵k =tan 135°=-1,∴l :y -1=-(x -1),即x +y -2=0.(2)设A ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧ b -4a -3×(-1)=-1,a +32+b +42-2=0,解得a =-2,b =-1,∴A ′的坐标为(-2,-1).16.(本小题满分12分)已知两条直线l 1:x +m 2y +6=0,l 2:(m -2)x +3my +2m =0 ,当m 为何值时,l 1与l 2(1)相交;(2)平行;(3)重合?解:当m =0时,l 1:x +6=0,l 2:x =0,∴l 1∥l 2.当m =2时,l 1:x +4y +6=0,l 2:3y +2=0,∴l 1与l 2相交.当m ≠0且m ≠2时,由1m -2=m 23m 得m =-1或m =3,由1m -2=62m,得m =3. 故(1)当m ≠-1且m ≠3且m ≠0时,l 1与l 2相交.(2)当m =-1或m =0时,l 1∥l 2.(3)当m =3时,l 1与l 2重合.17.(本小题满分12分)如图,已知点A (2,3),B (4,1),△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形,点C 在直线l :x -2y +2=0上.(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程;(2)求△ABC 的面积.解:(1)由题意可知,E 为AB 的中点,∴E (3,2),且k CE =-1k AB=1, ∴CE 所在直线方程为:y -2=x -3,即x -y -1=0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x -2y +2=0,x -y -1=0,得C (4,3),∴|AC |=|BC |=2,AC ⊥BC , ∴S △ABC =12|AC |·|BC |=2.18.(本小题满分14分)如图所示,在△ABC 中,BC 边上的高所在直线l 的方程为x -2y +1=0,∠A 的平。
高中数学人教A版必修2 第三章直线与方程 单元测试 (3)
数学人教A必修2第三章直线与方程单元检测(时间:60分钟,满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)1.若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线y-=的倾斜角的2倍,则()A.m=n=1 B.m=n=-3C.m,n=-3 D.m=,n=12.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为()A.-24 B.24 C.6 D.±63.已知点A(1,-2),B(m,2),线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-n=0,则实数m,n的值分别是()A.-2,2 B.-7,3C.3,2 D.1,-24.已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,若l1∥l2,则实数a的值为()A.±4 B.-4 C.4 D.±25.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为()A.13B.13-C.32-D.236.已知点A(-1,-2),B(2,3),若直线l:x+y-c=0与线段AB有公共点,则直线l在y轴上的截距的取值范围是()A.[-3,5] B.[-5,3]C.[3,5] D.[-5,-3]7.与直线2x+3y-6=0关于点A(1,-1)对称的直线为()A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=08.已知直线l的方程是y=2x+3,则l关于y=-x对称的直线方程是() A.x-2y+3=0B.x-2y=0C.x-2y-3=0D.2x-y=0二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)9.经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x -2y+4=0的直线方程是__________.10.设点P在直线x+3y=0上,且P到原点的距离与P到直线x+3y=2的距离相等,则点P的坐标为__________.11.已知a,b,c为某一直角三角形的三边长,c为斜边,若点M(m,n)在直线l:ax+by+2c=0上,则m2+n2的最小值为__________.三、解答题(本大题共3小题,12,13小题每小题10分,14小题14分,共34分)12.(1)求与直线3x+4y-7=0垂直,且与原点的距离为6的直线方程;(2)求经过直线l1:2x+3y-5=0与l2:7x+15y+1=0的交点,且平行于直线x+2y-3=0的直线方程.13.直线l过点(1,0)且被两条平行直线l1:3x+y-6=0和l2:3x+y+3=0,求直线l的方程.14.在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.参考答案1答案:D2答案:A3答案:C4答案:B5答案:B6答案:A7答案:D8略9答案:2x+3y-2=010答案:31,55⎛⎫-⎪⎝⎭或31,55⎛⎫-⎪⎝⎭11答案:412答案:解:(1)设所求的直线方程为4x-3y+c=0.,解得c=±30,故所求的直线方程为4x-3y±30=0.(2)设所求的直线方程为2x+3y-5+λ(7x+15y+1)=0,即(2+7λ)x+(3+15λ)y+λ-5=0.∵所求直线与直线x+2y-3=0平行,∴3+15λ-2(2+7λ)=0,解得λ=1. 故所求的直线方程为9x+18y-4=0.13答案:解:方法一:当直线l与x轴垂直时,方程为x=1,由1,360, xx y=⎧⎨+-=⎩得l与l1的交点为(1,3),由=133=0xx y⎧⎨⎩,++,得l与l2的交点为(1,-6),此时两交点间的距离d=|-6-3|=9≠.∴直线l与x轴不垂直.设l的方程为y=k(x-1)(k≠-3),解方程组=(1)36=0y k xx y⎧⎨-⎩-,+,得l与l1交点的坐标为63,33k kk k+⎛⎫⎪++⎝⎭,同理,由=(1) 33=0 y k xx y-⎧⎨⎩,++,得l与l2的交点坐标为36,33k kk k--⎛⎫ ⎪++⎝⎭,由题意及两点间距离公式得=即9k2-6k+1=0,∴13k=,∴直线l的方程为1(1)3y x=-,即x-3y-1=0.方法二:由两平行线间的距离公式可得l1与l2间的距离d==,而l被l1,l2,∴l与l1垂直,由l1的斜率k1=-3知,l的斜率13k=,∴l的方程为1(1)3y x=-,即x-3y-1=0.14答案:解:由方程组21=0=0x yy-⎧⎨⎩+,,解得点A的坐标为(-1,0).又直线AB的斜率k AB=1,x轴是∠A的平分线,所以k AC=-1,则AC边所在的直线方程为y=-(x+1).①又已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,故直线BC的斜率k BC=-2,所以BC边所在的直线方程为y-2=-2(x-1).②解①②组成的方程组得=5=6xy⎧⎨-⎩,,即顶点C的坐标为(5,-6).。
完整版高中数学必修2直线与方程单元测试题
必修2第3章《直线的方程》单元测试题一、选择题(?11),l,则它的倾斜角是()1. 直线经过原点和点3?5?5????A.或D.B.C.44444aa bb2,)(,-1,的值是()2. 斜率为三点,则的直线过(3,5),( ,7)4??b?0aa?43??bA.B.,,3b?a??4a?43??bD.,C.,A(2,?3)B(?3,?2)P(11),kABl的取值范围是(,设点的斜率且与线段)相交,则,直线过3.333?≤k≤4≥k≤k?4≤4?k≤D.以上都不对B.C.或A.444a?0?2??(2a?3)ya)y?3?0(a?1)x(1(a?2)x??(与直线)4. 直线互相垂直,则3?111??A.C.B.D.2??2A,1ll的斜率的取值范围是( 5. 直线)过点,????,0,0,010,2A.D.C.B.????且不过第四象限,那么直线11????22????3x?4y?5?05x?12y?13?0P(x,y)必定满足方程(到两条直线6. 与的距离相等的点)x?4y?4?07x?4y?0B.A.x?4y?4?04x?8y?9?07x?4y?032x?56y?65?0D.C.或或3x?2y?3?06x?my?1?0互相平行,则它们之间的距离是(和) 7. 已知直线2135713134B.A.C.D.1326263x?y?2?0C(3,?2)ABC,则两条直角边,直角顶点是的斜边所在的直线是8. 已知等腰直角三角形ACBC的方程是(,)3x?y?5?0x?2y?7?02x?y?4?0x?2y?7?0A.,B.,2x?y?4?02x?y?7?03x?2y?2?02x?y?2?0,C.,D.lll y x0??2xy?3上,则上,经过入射光线线在直线9. :轴反射到直线轴反射到直线上,再经过132l)直线的方程为(3.06??y?y?3?02x3?02x?y?3?02x?yx?2?D.A.B.C.05??y?x??3x?kxyxyz)=10.已知(,+4满足的最小值为-6,且,则常数=2??0?y?kx??3D.C.0 A.2 B.9二、填空题k),(53),(2,?3)(4k.,的值是及 11. 已知三点在同一条直线上,则2(?,31)mm y t120的坐标为在轴上有一点,它与点.连成的直线的倾斜角为,则点12.x?3y?0x?3y?2?0PPPP坐标13. 设点的距离相等,则点在直线到原点的距离与上,且到直线是.1xy?0??5?y?40x?3y2x?ll的方程的交点,且垂直于直线,则直线14. 直线与过直线2.是x?y?3?0??x?y?1?0y?kx kyx的取值范围是若,满足,则.,设 15.??3x?y?5?0?三、解答题5x?3y?3?07x?3y?5?0ABC?,求边上的中线方程分别是16. 已知和A(1,2)中,点,AB边和ACBC所在的直线方程的一般式。
【优质文档】人教版高中数学同步学习必修二第三章直线与方程单元测试
______
[ 来源: 学科网]
答案: -2
解析:
l1 : y 2x 3,l2 : x
13
1
2 y 3, y x , k2 , k3
22
2
2 [来源 : 学#科# 网]
2 直线 x y 1 0 上一点 P 的横 坐标是 3 ,若该直线 绕点 P 逆时针旋转 900 得直线 l , 则直线 l 的方程是
k
3k
4 11
0,3k 2
11k
4
0, k
4, 或 k
1
k
3
4
若 方 程 x 2 my2 2 x 2 y 0 表 示 两 条 直 线 , 则 m 的 取 值 是
答案: 1
1
5 当0 k
时,两条直线 kx y k 1、 ky x 2k 的交点在
2
答案:二 [来源: 学。科。网 ]
解析:
ky
x
2k x ,
ab
D 经过任意两个不同的点 P1 x1, y1 、 P2 x2, y 2 的直线都可以用方程
y y1 x2 x1
x x1 y2
y1
表示 [来源 :Z&xx&]
答案: D
解析: 斜率有可能不存在,截距也有可能为 0
6 若动点 P 到点 F (1,1)和直线 3x y 4 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为(
5
5
象限
2 求经过点 P(1,2) 的直线,且使 A(2,3) , B(0, 5) 到它的距离相等的直线方程
答案: 4x y 2 0 ,或 x 1
解析: x 1 显然符合条件;当 A(2,3) , B(0, 5) 在所求直线同侧时, kAB 4 y 2 4( x 1),4 x y 2 0
《直线与方程》单元测试题
人教A 必修2第三章《直线与方程》单元测试题(时间:60分钟,满分:100分) 班别 座号 姓名 成绩一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.若直线过点(1,2),(4,2+3),则此直线的倾斜角是( )A 30° B 45° C 60° D 90°2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23-D 、323.点P (-1,2)到直线8x-6y+15=0的距离为( )(A )2 (B )21 (C )1 (D )27 4. 点M(4,m )关于点N(n, - 3)的对称点为P(6,-9),则( ) A m =-3,n =10 B m =3,n =10C m =-3,n =5 D m =3,n =55.以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0C 3x-y+6=0D 3x+y+2=06.过点M(2,1)的直线与X轴,Y轴分别交于P,Q两点,且|MP|=|MQ|, 则L的方程是( )A x-2y+3=0 B 2x-y-3=0C 2x+y-5=0D x+2y-4=07. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点,则该点的坐标是A (-2,1)B (2,1)C (1,-2)D (1,2)8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是(A )平行 (B )垂直 (C )相交但不垂直 (D )不能确定9. 如图1,直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则必有A. k 1<k 3<k 2B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 110.已知A (1,2)、B (-1,4)、C (5,2),则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为( )(A )x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=011点(3,9)关于直线x +3y -10=0对称的点的坐标是( )A (-1,-3)B (17,-9)C (-1,3)D (-17,9)12方程(a -1)x -y +2a +1=0(a ∈R )所表示的直线( ) A 恒过定点(-2,3) B 恒过定点(2,3) C 恒过点(-2,3)和点(2,3) D 都是平行直线13直线x tan 3π+y =0的倾斜角是( ) A -3π B 3π C 3π2 D 3π2- 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)1.已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程为 .2.过点P(1,2)且在X轴,Y轴上截距相等的直线方程是 .3.直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 .4.原点O在直线L上的射影为点H(-2,1),则直线L的方程为 .三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的2.直线x+m 2y+6=0与直线(m-2)x+3my+2m=0距离是7的直线的方程; 没有公共点,求实数m 的值.②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.*3.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3,且直线过点(1,0),求直线l 的方程.参考答案:;;;;;;;;; A 12 A 13 C+4y-7=0或x=-1; +y-3=0或2x-y=0; 3.261; +5=0; 15. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0. =0或m=-1;=1或3x-4y-3=0.。
(完整版)人教版数学必修2直线与方程单元测试题
第三章《直线与方程》单元测试题一、选择题1. 直线l 经过原点和点( 1,1) ,则它的倾斜角是()A.34B.54C.4或54D.42. 斜率为2的直线过(3,5),( a,7),( -1,b) 三点,则a,b 的值是()A.a 4,b 0 B.a 4 ,b 3C.a 4,b 3 D.a 4 ,b 33. 设点A(2,3) ,B( 3,2) ,直线过P(1,1) 且与线段AB 订交,则l 的斜率k 的取值范围是()A. 3k ≥或k ≤ 4 B.434≤k ≤C.434≤k ≤4 D.以上都不对4. 直线(a 2)x (1 a) y 3 0 与直线(a 1)x (2a 3) y 2 0 相互垂直,则 a ()A. 1 B.1 C. 1 D.3 25. 直线l 过点A 1,2 ,且可是第四象限,那么直线l 的斜率的取值范围是()A.0,2 B.0,1 C.1,D.210,26. 到两条直线3x 4y 5 0 与5x 12y 13 0 的距离相等的点P( x,y) 必然知足方程()A.x 4y 4 0 B.7x 4y0C.x 4y 4 0或4x 8y9 0 D.7x 4y0 或32 x 56 y 65 07. 已知直线3x 2y 3 0 和6x my 1 0相互平行,则它们之间的距离是()A.4 B.21313C.52613 D.726138. 已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x y 2 0,直角极点是 C (3,2) ,则两条直角边AC,BC 的方程是()A.3x y 5 0 ,x 2y7 0 B.2x y 4 0 ,x 2y7 0C.2x y 4 0,2x y 7 0 D.3x 2y 2 0 ,2x y 2 09. 入射光芒线在直线l:2x y 3 0上,经过x 轴反射到直线l2 上,再经过y轴反射到直线1l 上,则直线l3 的方程为()3A.x 2y 3 0 B.2x y 3 0 C.2x y 3 0 D.2x y 6 0x y 5 010. 已知x,y 知足,且z=2x+4y 的最小值为-6 ,则常数k=()x 3x y k 0A.2 B.9 C. 3 D.0二、填空题k11. 已知三点(2,3) ,(4,3) 及(5,) 在同一条直线上,则k 的值是.212. 在y 轴上有一点m ,它与点( 3,1) 连成的直线的倾斜角为120t ,则点m 的坐标为.13. 设点P 在直线x 3y 0 上,且P到原点的距离与P 到直线x 3y 2 0的距离相等,则点P坐标是.14. 直线l 过直线2x y 4 0 与x 3y 5 0 的交点,且垂直于直线是.1y x ,则直线l 的方程2x y 3 015. 若x,y 知足,设y kx ,则k 的取值范围是.x y 1 03x y 5 0三、解答题16. 已知ABC 中,点A(1,2) ,AB 边和AC 边上的中线方程分别是5x 3y 3 0 和7x 3y 5 0,求BC所在的直线方程的一般式。
高中数学必修二第三章《直线与方程》单元测试卷及答案
高中数学必修二第三章《直线与方程》单元测试卷及答案((2套)单元测试题一一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则必有()A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k12.直线x+2y-5=0与2x+4y+a=0之间的距离为5,则a等于()A.0 B.-20 C.0或-20 D.0或-103.若直线l1:ax+3y+1=0与l2:2x+(a+1)y+1=0互相平行,则a的值是()A.-3 B.2 C.-3或2 D.3或-24.下列说法正确的是()A.经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示C.不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示D.经过任意两个不同的点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示5.点M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9),则()A.m=-3,n=10 B.m=3,n=10C.m=-3,n=5 D.m=3,n=56.以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=07.过点M(2,1)的直线与x轴,y轴分别交于P,Q两点,且|MP|=|MQ|,则l的方程是()A.x-2y+3=0 B.2x-y-3=0C .2x +y -5=0D .x +2y -4=08.直线mx -y +2m +1=0经过一定点,则该点的坐标是( ) A .(-2,1)B .(2,1)C .(1,-2)D .(1,2)9.如果AC <0且BC <0,那么直线Ax +By +C =0不通过( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限10.直线2x +3y -6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( ) A .3x -2y +2=0 B .2x +3y +7=0 C .3x -2y -12=0D .2x +3y +8=011.已知点P (a ,b )和Q (b -1,a +1)是关于直线l 对称的两点,则直线l 的方程是( ) A .x +y =0 B .x -y =0C .x +y -1=0D .x -y +1=012.设x +2y =1,x ≥0,y ≥0,则x 2+y 2的最小值和最大值分别为( ) A .15,1B .0,1C .0,15D .15,2二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.不论a 为何实数,直线(a +3)x +(2a -1)y +7=0恒过第________象限. 14.原点O 在直线l 上的射影为点H (-2,1),则直线l 的方程为______________. 15.经过点(-5,2)且横、纵截距相等的直线方程是____________________. 16.与直线3x +4y +1=0平行且在两坐标轴上截距之和为73的直线l 的方程为______________.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知直线2x +(t -2)y +3-2t =0,分别根据下列条件,求t 的值: (1)过点(1,1);(2)直线在y 轴上的截距为-3.18.(12分)直线l 过点(1,4),且在两坐标轴上的截距的积是18,求此直线的方程.19.(12分)光线从A(-3,4)点出发,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过D(-1,6)点,求直线BC的方程.20.(12分)如图所示,某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2),B(4,0),一条河所在的直线方程为l:x+2y-10=0,若在河边l上建一座供水站P,使之到A,B两镇的管道最省,那么供水站P应建在什么地方?21.(12分)已知△ABC的顶点A为(3,-1),AB边上的中线所在直线方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.22.(12分)已知直线l过点P(3,1),且被两平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段长度为5,求直线l的方程.答 案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【答案】A【解析】由于直线1l 向左倾斜,故10k <,直线2l 与直线3l 均向右倾斜,且2l 更接近y 轴,所以:1320k k k <<<,故选A . 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】D【解析】斜率有可能不存在,截距也有可能不存在.故选D . 5.【答案】D【解析】由对称关系462n =+,239m -=-,可得m =3,n =5.故选D . 6.【答案】B【解析】所求直线过线段AB 的中点(-2,2),且斜率k =-3, 可得直线方程为3x +y +4=0.故选B . 7.【答案】D【解析】由题意可知M 为线段PQ 的中点,Q (0,2),P (4,0), 可求得直线l 的方程x +2y -4=0.故选D . 8.【答案】A【解析】将原直线化为点斜式方程为y -1=m (x +2), 可知不论m 取何值直线必过定点(-2,1).故选A . 9.【答案】C【解析】将原直线方程化为斜截式为A Cy x B B=--,由AC <0且BC <0,可知AB >0,直线斜率为负,截距为正,故不过第三象限.故选C . 10.【答案】D【解析】所求直线与已知直线平行,且和点(1,-1)等距, 不难求得直线为2x +3y +8=0.故选D . 11.【答案】D 【解析】∵k PQ =11a bb a+---=-1,∴k l =1.显然x -y =0错误,故选D .12.【答案】A【解析】x 2+y 2为线段AB 上的点与原点的距离的平方,由数形结合知, O 到线段AB 的距离的平方为最小值,即d 2=15,|OB |2=1为最大值.故选A .二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.【答案】二【解析】直线方程可变形为:(3x -y +7)+a (x +2y )=0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x -y +7=0x +2y =0得,⎩⎪⎨⎪⎧x =-2y =1. ∴直线过定点(-2,1).因此直线必定过第二象限. 14.【答案】2x -y +5=0【解析】所求直线应过点(-2,1)且斜率为2,故可求直线为2x -y +5=0. 15.【答案】y =-25x 或x +y +3=0【解析】不能忽略直线过原点的情况. 16.【答案】3x +4y -4=0【解析】所求直线可设为3x +4y +m =0,再由-3m -4m =73,可得m =-4.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.【答案】(1)3;(2)95.【解析】(1)代入点(1,1),得2+(t -2)+3-2t =0,则t =3.(2)令x =0,得y =232t t --=-3,解得t =95.18.【答案】2x +y -6=0或8x +y -12=0. 【解析】设直线l 的方程为x a +yb =1,则18141ab a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得36a b =⎧⎨=⎩或3212a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则直线l 的方程2x +y -6=0或8x +y -12=0. 19.【答案】5x -2y +7=0. 【解析】如图所示,由题设,点B 在原点O 的左侧,根据物理学知识,直线BC 一定过(-1,6)关于y 轴的对称点(1,6),直线AB 一定过(1,6)关于x 轴的对称点(1,-6)且k AB =k CD , ∴k AB =k CD =4631+--=-52.∴AB 方程为y -4=-52(x +3). 令y =0,得x =-75,∴B 7,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.CD 方程为y -6=-52(x +1). 令x =0,得y =72,∴C 70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴BC 的方程为75x -+72y=1,即5x -2y +7=0.20.【答案】见解析. 【解析】如图所示,过A 作直线l 的对称点A ′,连接A ′B 交l 于P , 若P ′(异于P )在直线上,则|AP ′|+|BP ′|=|A ′P ′|+|BP ′|>|A ′B |. 因此,供水站只有在P 点处,才能取得最小值,设A ′(a ,b ), 则AA ′的中点在l 上,且AA ′⊥l ,即1221002221112a b a a ++⎧+⨯-=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩解得36a b =⎧⎨=⎩即A ′(3,6).所以直线A ′B 的方程为6x +y -24=0,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x +y -24=0,x +2y -10=0,得38113611x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3811,3611.故供水站应建在点P ⎝⎛⎭⎫3811,3611处. 21.【答案】2x +9y -65=0. 【解析】设B (4y 1-10,y 1),由AB 中点在6x +10y -59=0上,可得:114716+1059=22y y --⋅⋅-0,y 1=5, 所以B (10,5).设A 点关于x -4y +10=0的对称点为A ′(x ′,y ′),则有3141002211134x y y x ''''⎧+--⋅+=⎪⎪⎨+⎪⋅=-⎪-⎩⇒A ′(1,7),∵点A ′(1,7),B (10,5)在直线BC 上,∴51075110y x --=--,故BC :2x +9y -65=0. 22.【答案】x =3或y =1.【解析】若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为x =3,此时与直线l 1,l 2的交点分别为A (3,-4),B (3,-9).截得的线段AB 的长为|AB |=|-4+9|=5,符合题意. 若直线l 的斜率存在,则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1.解方程组()311y k x x y ⎧=-+⎪⎨++=0⎪⎩得321411k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩所以点A 的坐标为3241,11k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭.解方程组()316y k x x y ⎧=-+⎪⎨++=0⎪⎩得371911k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩,所以点B 的坐标为3791,11k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为|AB |=5,所以2232374191=251111k k k k k k k k --⎡--⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解得k =0,即所求直线为y =1.综上所述,所求直线方程为x =3或y =1.单元测试二一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知直线l 经过两点()()1,2,2,1P Q -,那么直线l 的斜率为( )A .3-B .13-C .13D .32.直线l 过点P (-1,2),倾斜角为45°,则直线l 的方程为( ) A .x -y +1=0 B .x -y -1=0 C .x -y -3=0D .x -y +3=03.如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行,则a 的值为( ) A .-3 B .-6C .32D .234.直线2x a -2y b =1在y 轴上的截距为( ) A .|b |B .-b 2C .b 2D .±b5.已知点A (3,2),B (-2,a ),C (8,12)在同一条直线上,则a 的值是( ) A .0B .-4C .-8D .46.如果AB <0,BC <0,那么直线Ax +By +C =0不经过( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.已知点A (1,-2),B (m,2),且线段AB 的垂直平分线的方程是x +2y -2=0, 则实数m 的值是( )A .-2B .-7C .3D .18.经过直线l 1:x -3y +4=0和l 2:2x +y =5=0的交点,并且经过原点的直线方程是( ) A .19x -9y =0 B .9x +19y =0 C .3x +19y =0D .19x -3y =09.已知直线(3k -1)x +(k +2)y -k =0,则当k 变化时,所有直线都通过定点( ) A .(0,0)B .(17,27) C .(27,17) D .(17,114) 10.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是( ) A .x +2y -1=0 B .2x +y -1=0 C .2x +y -3=0D .x +2y -3=011.已知直线l 的倾斜角为135°,直线l 1经过点A (3,2),B (a ,-1),且l 1与l 垂直,直线l 2:2x +by +1=0与直线l 1平行,则a +b 等于( ) A .-4B .-2C .0D .212.等腰直角三角形ABC 中,∠C =90°,若点A ,C 的坐标分别为(0,4),(3,3), 则点B 的坐标可能是( ) A .(2,0)或(4,6)B .(2,0)或(6,4)C .(4,6)D .(0,2)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.直线l 与直线y =1,x -y -7=0分别交于A ,B 两点,线段AB 的中点为 M (1,-1),则直线l 的斜率为_________.14.点A (3,-4)与点B (5,8)关于直线l 对称,则直线l 的方程为_________.15.若动点A ,B 分别在直线l 1:x +y -7=0和l 2:x +y -5=0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为_________.16.若直线m 被两平行线l 1:x -y +1=0与l 2:x -y +3=0所截得的线段的长为22,则m 的倾斜角可以是①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°,其中正确答案的序号是_________.(写出所有正确答案的序号)三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知直线l 经过点P (-2,5)且斜率为-34,(1)求直线l 的方程;(2)若直线m 平行于直线l ,且点P 到直线m 的距离为3,求直线m 的方程.18.(12分)求经过两直线3x -2y +1=0和x +3y +4=0的交点,且垂直于直线 x +3y +4=0的直线方程.19.(12分)已知A (4,-3),B (2,-1)和直线l :4x +3y -2=0,求一点P , 使|P A |=|PB |,且点P 到直线l 的距离等于2.20.(12分)△ABC 中,A (0,1),AB 边上的高CD 所在直线的方程为x +2y -4=0,AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x +y -3=0. (1)求直线AB 的方程; (2)求直线BC 的方程; (3)求△BDE 的面积.21.(12分)直线过点P (43,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件: (1)△AOB 的周长为12; (2)△AOB 的面积为6.若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.22.(12分)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的长为2,宽为1,AB ,AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合,如图,将矩形折叠,使A 点落在线段DC 上.(1)若折痕所在直线的斜率为k,试求折痕所在直线的方程;(2)当-2+3≤k≤0时,求折痕长的最大值.答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.【答案】C【解析】根据斜率公式可得,直线l的斜率121213k-==--,故选C.2.【答案】D【解析】由题意k=tan45°=1,∴直线l的方程为y-2=1·(x+1),即x-y+3=0,故选D.3.【答案】B【解析】由题意得a·(-1)-2×3=0,∴a=-6,故选B.4.【答案】B【解析】令x=0,则y=-b2,故选B.5.【答案】C【解析】根据题意可知k AC=k AB,即12283--=223a---,解得a=-8,故选C.6.【答案】D【解析】Ax+By+C=0可化为y=-ABx-CB,由AB<0,BC<0,得-AB>0,-CB>0,故直线Ax+By+C=0经过第一、二、三象限,不经过第四象限.故选D.7.【答案】C【解析】由已知条件可知线段AB 的中点(12m+,0)在直线x +2y -2=0上, 把中点坐标代入直线方程,解得m =3,故选C . 8.【答案】C【解析】解340250x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得19737x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即直线l 1,l 2的交点是(-197,37),由两点式可得所求直线的方程是3x +19y =0,故选C . 9.【答案】C【解析】直线方程变形为k (3x +y -1)+(2y -x )=0,则直线通过定点(27,17). 故选C . 10.【答案】D【解析】将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”:在直线x -2y +1=0上取一点P (3,2),点P 关于直线x =1的对称点P ′(-1,2)必在所求直线上,故选D . 11.【答案】B【解析】因为l 的斜率为tan135°=-1,所以l 1的斜率为1,所以k AB =()213a---=1,解得a=0.又l 1∥l 2,所以-2b=1,解得b =-2,所以a +b =-2,故选B . 12.【答案】A【解析】设B (x ,y ),根据题意可得1AC BC k k BC AC ⋅=-⎧⎪⎨=⎪⎩,即3431303y x --⎧⋅=-⎪--=⎩⎪⎨⎪⎧ x =2y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =4y =6, 所以B (2,0)或B (4,6).故选A .二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.【答案】-23【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 22=-1,又y 1=1,∴y 2=-3,代入方程x -y -7=0,得x 2=4,即B (4,-3),又x 1+x 22=1,∴x 1=-2,即A (-2,1),∴k AB =()3142----=-23.14.【答案】x +6y -16=0【解析】直线l 就是线段AB 的垂直平分线,AB 的中点为(4,2),k AB =6, 所以k l =-16,所以直线l 的方程为y -2=-16(x -4),即x +6y -16=0.15.【答案】3 2【解析】依题意,知l 1∥l 2,故点M 所在直线平行于l 1和l 2,可设点M 所在直线的方程为l :x +y +m =0,根据平行线间的距离公式,得|m +7|2=|m +5|2⇒|m +7|=|m +5|⇒m =-6,即l :x +y -6=0,根据点到直线的距离公式,得M 到原点的距离的最小值为|-6|2=32.16.【答案】①⑤【解析】两平行线间的距离为d =|3-1|1+1=2,由图知直线m 与l 1的夹角为30°,l 1的倾斜角为45°, 所以直线m 的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.【答案】(1)3x +4y -14=0;(2)3x +4y +1=0或3x +4y -29=0. 【解析】(1)直线l 的方程为:y -5=-34(x +2)整理得3x +4y -14=0.(2)设直线m 的方程为3x +4y +n =0, d|3245|n ⨯-+⨯+=3,解得n =1或-29.∴直线m 的方程为3x +4y +1=0或3x +4y -29=0. 18.【答案】3x -y +2=0.【解析】解法一:设所求直线方程为3x -2y +1+λ(x +3y +4)=0, 即(3+λ)x +(3λ-2)y +(1+4λ)=0,由所求直线垂直于直线x +3y +4=0, 得-13·(-3+λ3λ-2)=-1,解得λ=310,故所求直线方程是3x -y +2=0.解法二:设所求直线方程为3x -y +m =0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x -2y +1=0,x +3y +4=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-1,即两已知直线的交点为(-1,-1). 又3x -y +m =0过点(-1,-1),故-3+1+m =0,m =2. 故所求直线方程为3x -y +2=0.19.【答案】P (1,-4)或P (277,-87).【解析】解法1:设点P (x ,y ).因为|P A |=|PB |,① 又点P 到直线l 的距离等于2,所以|4x +3y -2|5=2.②由①②联立方程组,解得P (1,-4)或P (277,-87).解法2:设点P (x ,y ).因为|P A |=|PB |,所以点P 在线段AB 的垂直平分线上.由题意知k AB =-1,线段AB 的中点为(3,-2),所以线段AB 的垂直平分线的方程是y =x -5,所以设点P (x ,x -5). 因为点P 到直线l 的距离等于2,所以()|4352|5x x +--=2,解得x =1或x =277,所以P (1,-4)或P (277,-87).20.【答案】(1)2x -y +1=0;(2)2x -y +1=0;(3)110.【解析】(1)由已知得直线AB 的斜率为2,∴AB 边所在的直线方程为y -1=2(x -0),即2x -y +1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +1=0,2x +y -3=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =12,y =2.即直线AB 与直线BE 的交点为B (12,2).设C (m ,n ),则由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧m +2n -4=0,2·m 2+n +12-3=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =1,∴C (2,1).∴BC 边所在直线的方程为y -12-1=x -212-2,即2x +3y -7=0.(3)∵E 是线段AC 的中点,∴E (1,1).∴|BE |=52,由⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +1=0,x +2y -4=0得⎩⎨⎧x =25,y =95,∴D (25,95),∴D 到BE 的距离为d =|2×25+95-3|22+12=255,∴S △BDE =12·d ·|BE |=110. 21.【答案】)存在,3x +4y -12=0.【解析】设直线方程为x a +yb =1(a >0,b >0),若满足条件(1),则a +b +a 2+b 2=12 ① 又∵直线过点P (43,2),∵43a +2b=1.②由①②可得5a 2-32a +48=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =4,b =3,或⎩⎨⎧a =125,b =92,∴所求直线的方程为x 4+y 3=1或5x 12+2y9=1,即3x +4y -12=0或15x +8y -36=0,若满足条件(2),则ab =12,③ 由题意得,43a +2b=1,④由③④整理得a 2-6a +8=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =4,b =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =6,∴所求直线的方程为x 4+y 3=1或x 2+y6=1,即3x +4y -12=0或3x +y -6=0.综上所述:存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x +4y -12=0. 22.【答案】(1)y =kx +k 22+12;(2)2(6-2).【解析】(1)①当k =0时,A 点与D 点重合,折痕所在的直线方程为y =12.②当k ≠0时,将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1), ∴A 与G 关于折痕所在的直线对称,有k OG ·k =-1⇒1a·k =-1⇒a =-k ,故G 点坐标为(-k,1),从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M (-k 2,12).故折痕所在的直线方程为y -12=k (x +k 2),即y =kx +k 22+12.由①②得折痕所在的直线方程为y =kx +k 22+12.(2)当k =0时,折痕的长为2.当-2+3≤k <0时,折痕所在直线交直线BC 于点E (2,2k +k 22+12),交y 轴于点N (0,k 2+12).则|NE |2=22+[k 2+12-(2k +k 22+12)]2=4+4k 2≤4+4(7-43)=32-163.此时,折痕长度的最大值为32-163=2(6-2).而2(6-2)>2,故折痕长度的最大值为2(6-2).。
必修2第三章直线与方程测试题
第三章 直线与方程测试题(一)一 •选择题(每小题5分,共12小题,共60分)1 •若直线过点C.3,3)且倾斜角为300,则该直线的方程为()B.y=—^x 4 C.y=—^x —4 D. y333. 如果直线x by ^0经过直线5x -6y -17二0与直线4x • 3y • 2 = 0的交点,那么b 等于 (). A. 2B. 3C. 4D. 52 2 04. 直线(2m -5m - 2)x 「(m -4)y - 5m = 0的倾斜角是45,则m 的值为()。
A.2B. 3C. - 3D. - 225.两条直线3x 2y ^0和(m • 1)x-3y • 2 -3m = 0的位置关系是()A.平行B.相交C.重合D.与m 有关 7直线x -2y • b =0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b 的取值范围是()A. [-2,2]E. (-::,一2] [2,::)C . [ -2,0) (0,2]D.(-::,::)A.2.如果 A(3,1)、 B (-2,k )、C (8,11),在同一直线上,那k 的值是(A. -6B. —7C. -8D. -9*6•到直线2x y ^0的距离为—的点的集合是(5A.直线 2x y -2 = 0B. 直线2x y = 0C.直线 2x ■ y = 0 或直线 2x ■ y - 2 = 0 D. 直线2x y = 0或直线2x y 2 = 0*8 •若直线I 与两直线y , x - y -7 =0分别交于M , N 两点,且MN 的中点是P (1,-1),则直线1的斜率是()22厂3 3A .B .—C .D.—3 32210•直线x -2y ・1 = 0关于直线x =1对称的直线方程是( )A . x 2y -1 = 0B . 2x y -1 = 0C . 2x y -3=0D . x 2y -3=0共有 ( )A . 1个B . 2个*12 .若y =a|x|的图象与直线y =x ,a (a 0),有两个不同交点,则 a 的取值范围是 ()A . 0 :: a :: 10B . a 1C . a 0 且 a =1D . a =1二.填空题(每小题5分,共4小题,共20分)13.经过点(-2, -3),在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 _____________________ ; 或 ______________________ 。
高中数学 第三章 直线与方程单元质量测评(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
第三章 单元质量测评对应学生用书P77 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.斜率为2的直线的倾斜角α所在的X 围是( ) A .0°<α<45° B.45°<α<90° C .90°<α<135° D.135°<α<180° 答案 B解析 ∵k=2>1,即tanα>1,∴45°<α<90°. 2.在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为( ) A .y =-x +2 B .y =-x -2 C .y =x +2 D .y =x -2 答案 A解析 由题可知直线方程为y =tan135°·(x-2),即y =-x +2. 3.若三点A(4,3),B(5,a),C(6,b)共线,则下列结论正确的是( ) A .2a -b =3 B .b -a =1 C .a =3,b =5 D .a -2b =3 答案 A解析 由k AB =k AC 可得2a -b =3,故选A .4.若实数m ,n 满足2m -n =1,则直线mx -3y +n =0必过定点( ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎫2,13 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,13C .⎝ ⎛⎭⎪⎫2,-13D .⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,-13答案 D解析 由已知得n =2m -1,代入直线mx -3y +n =0得mx -3y +2m -1=0,即(x +2)m+(-3y -1)=0,由⎩⎪⎨⎪⎧x +2=0,-3y -1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =-13,所以此直线必过定点⎝⎛⎭⎪⎫-2,-13,故选D .5.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax +y +2=0与线段AB 没有交点,则a 的取值X 围是( )A .⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43,+∞ B .⎝ ⎛⎭⎪⎫-43,52C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤-52,43 D .⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52,+∞ 答案 B解析 直线ax +y +2=0过定点C(0,-2),k AC =-52,k BC =43.由图可知直线与线段没有交点时,斜率-a 的取值X 围为-52<-a <43,解得a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-43,52.6.和直线5x -4y +1=0关于x 轴对称的直线方程为( ) A .5x +4y +1=0 B .5x +4y -1=0 C .-5x +4y -1=0 D .-5x +4y +1=0 答案 A解析 设所求直线上的任一点为(x′,y′),则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x′,-y′).因为点(x′,-y′)在直线5x -4y +1=0上,所以5x′+4y′+1=0,即所求直线方程为5x +4y +1=0.7.已知直线x =2及x =4与函数y =log 2x 图象的交点分别为A ,B ,与函数y =lg x 图象的交点分别为C ,D ,则直线AB 与CD( )A .平行B .垂直C .不确定D .相交 答案 D解析 易知A(2,1),B(4,2),原点O(0,0),∴k OA =k OB =12,∴直线AB 过原点,同理,C(2,lg 2),D(4,2lg 2),k OC =k OD =lg 22≠12,∴直线CD 过原点,且与AB 相交.8.过点M(1,-2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P ,Q 两点,若M 恰为线段PQ 的中点,则直线PQ 的方程为 ( )A .2x +y =0B .2x -y -4=0C .x +2y +3=0D .x -2y -5=0 答案 B解析 设P(x 0,0),Q(0,y 0).∵M(1,-2)为线段PQ 的中点,∴x 0=2,y 0=-4,∴直线PQ 的方程为x 2+y-4=1,即2x -y -4=0.故选B .9.若三条直线y =2x ,x +y =3,mx +ny +5=0相交于同一点,则点(m ,n)到原点的距离的最小值为( )A . 5B . 6C .2 3D .2 5 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x ,x +y =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2.把(1,2)代入mx +ny +5=0可得m +2n +5=0, ∴m=-5-2n ,∴点(m ,n)到原点的距离d = m 2+n 2=5+2n 2+n 2=5n +22+5≥5,当n =-2时等号成立,此时m =-1.∴点(m ,n)到原点的距离的最小值为5.故选A .10.点F(3m +3,0)到直线3x -3my =0的距离为( ) A . 3 B .3m C .3 D .3m 答案 A解析 由点到直线的距离公式得点F(3m +3,0)到直线3x -3my =0的距离为3·3m +33m +3=3.11.若直线l 经过点A(1,2),且在x 轴上的截距的取值X 围是(-3,3),则其斜率的取值X 围是( )A .⎝⎛⎭⎪⎫-1,15 B .⎝⎛⎭⎪⎫-∞,12∪(1,+∞) C .(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15,+∞D .(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ 答案 D解析 在平面直角坐标系中作出点A(1,2),B(-3,0),C(3,0),过点A ,B 作直线AB ,过点A ,C 作直线AC ,如图所示,则直线AB 在x 轴上的截距为-3,直线AC 在x 轴上的截距为3.因为k AB =2-01--3=12,k AC =2-01-3=-1,所以直线l 的斜率的取值X 围为(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞.12.已知△ABC 的边AB 所在的直线方程是x +y -3=0,边AC 所在的直线方程是x -2y +3=0,边BC 所在的直线方程是2x -y -3=0.若△ABC 夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A .355B . 2C .322D . 5答案 B解析 联立直线方程,易得A(1,2),B(2,1).如图所示,当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A ,B ,又两平行直线的斜率为1,直线AB 的斜率为-1,所以线段AB 的长度就是过A ,B 两点的平行直线间的距离,易得|AB|=2,即两条平行直线间的距离的最小值是2.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知直线l 的倾斜角是直线y =x +1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l 的方程为________.答案 x =3解析 直线y =x +1的斜率为1,倾斜角为45°.直线l 的倾斜角是已知直线y =x +1的倾斜角的2倍,所以直线l 的倾斜角为90°,直线l 的斜率不存在,所以直线l 的方程为x =3.14.直线x 3+y4=t 被两坐标轴截得的线段长度为1,则t =________.答案 ±15解析 直线与x ,y 轴的交点分别为(3t ,0)和(0,4t),所以线段长为3t2+4t2=1,解得t =±15.15.已知点A(2,4),B(6,-4),点P 在直线3x -4y +3=0上,若满足|PA|2+|PB|2=λ的点P 有且仅有1个,则实数λ的值为________.答案 58解析 设点P 的坐标为(a ,b).∵A(2,4),B(6,-4),∴|PA|2+|PB|2=[(a -2)2+(b -4)2]+[(a -6)2+(b +4)2]=λ,即2a 2+2b 2-16a +72=λ.又∵点P 在直线3x -4y +3=0上,∴3a-4b +3=0,∴509b 2-803b +90=λ.又∵满足|PA|2+|PB|2=λ的点P 有且仅有1个,∴Δ=⎝ ⎛⎭⎪⎫-8032-4×509×(90-λ)=0,解得λ=58.16.在平面直角坐标系xOy 中,若直线y =2a 与函数y =|x -a|-1的图象只有一个交点,则a 的值为________.答案 -12解析 因为y =|x -a|-1=⎩⎪⎨⎪⎧x -a -1,x≥a,-x +a -1,x<a ,所以该函数的大致图象如图所示.又直线y =2a 与函数y =|x -a|-1的图象只有一个交点,则2a =-1,即a =-12.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知Rt△ABC 的顶点坐标A(-3,0),直角顶点B(-1,-22),顶点C 在x 轴上.(1)求点C 的坐标; (2)求斜边所在直线的方程.解 (1)解法一:依题意,Rt△ABC 的直角顶点坐标为B(-1,-22), ∴AB⊥BC,∴k AB ·k BC =-1.又∵A(-3,0),∴k AB =0+22-3--1=-2,∴k BC =-1k AB =22,∴边BC 所在的直线的方程为y +22=22(x +1),即x -2y -3=0. ∵直线BC 的方程为x -2y -3=0,点C 在x 轴上,由y =0,得x =3,即C(3,0). 解法二:设点C(c ,0),由已知可得k AB ·k BC =-1,即0+22-3--1·0+22c +1=-1,解得c =3,所以点C 的坐标为(3,0). (2)由B 为直角顶点,知AC 为直角三角形ABC 的斜边. ∵A(-3,0),C(3,0),∴斜边所在直线的方程为y =0.18.(本小题满分12分)点M(x 1,y 1)在函数y =-2x +8的图象上,当x 1∈[2,5]时,求y 1+1x 1+1的取值X 围. 解y 1+1x 1+1=y 1--1x 1--1的几何意义是过M(x 1,y 1),N(-1,-1)两点的直线的斜率.点M 在直线y =-2x +8的线段AB 上运动,其中A(2,4),B(5,-2).∵k NA =53,k NB =-16,∴-16≤y 1+1x 1+1≤53,∴y 1+1x 1+1的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-16,53. 19.(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x +4y -2=0与直线2x +y +2=0的交点P ,且垂直于直线x -2y -1=0.(1)求直线l 的方程;(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .解 (1)联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧3x +4y -2=0,2x +y +2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =2,则两直线的交点为P(-2,2).∵直线x -2y -1=0的斜率为k 1=12,所求直线垂直于直线x -2y -1=0,那么所求直线的斜率k =-112=-2,∴所求直线方程为y -2=-2(x +2),即2x +y +2=0.(2)对于方程2x +y +2=0,令y =0则x =-1,则直线与x 轴交点坐标A(-1,0), 令x =0则y =-2,则直线与y 轴交点坐标B(0,-2), 直线l 与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB , ∴S=12|OA||OB|=12×1×2=1.20.(本小题满分12分)一条光线经过点P(2,3)射在直线l :x +y +1=0上,反射后经过点Q(1,1),求:(1)入射光线所在直线的方程; (2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度.解 (1)设点Q′(x′,y′)为点Q 关于直线l 的对称点,QQ′交l 于点M .∵k l =-1,∴k QQ′=1, ∴QQ′所在直线的方程为y -1=1·(x-1), 即x -y =0.由⎩⎪⎨⎪⎧x +y +1=0,x -y =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-12,y =-12,∴交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-12,∴⎩⎪⎨⎪⎧1+x′2=-12,1+y′2=-12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x′=-2,y′=-2,∴Q′(-2,-2).设入射光线与l 交于点N ,则P ,N ,Q′三点共线, 又∵P(2,3),Q′(-2,-2),∴入射光线所在直线的方程为y --23--2=x --22--2,即5x -4y +2=0.(2)|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′| =[2--2]2+[3--2]2=41,即这条光线从P 到Q 所经路线的长度为41.21.(本小题满分12分)设直线l 经过点(-1,1),此直线被两平行直线l 1:x +2y -1=0和l 2:x +2y -3=0所截得线段的中点在直线x -y -1=0上,求直线l 的方程.解 设直线x -y -1=0与l 1,l 2的交点分别为C(x C ,y C ),D(x D ,y D ),则⎩⎪⎨⎪⎧x C +2y C -1=0,x C -y C -1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x C =1,y C =0,∴C(1,0)⎩⎪⎨⎪⎧x D +2y D -3=0,x D -y D -1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x D =53,y D=23,∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53,23. 则C ,D 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13, 即直线l 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13. 又直线l 经过点(-1,1),由两点式得直线l 的方程为 y -131-13=x -43-1-43,即2x +7y -5=0. 22.(本小题满分12分)已知三条直线l 1:2x -y +a =0(a >0);l 2:-4x +2y +1=0;l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值;(2)能否找到一点P ,使P 同时满足下列三个条件: ①点P 在第一象限;②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12;③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5.若能,求点P 的坐标;若不能,说明理由.解 (1)直线l 2的方程等价于2x -y -12=0,所以两条平行线l 1与l 2间的距离d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪a -⎝ ⎛⎭⎪⎫-1222+-12=7510,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +12=72.又因为a >0,解得a =3.(2)假设存在点P ,设点P(x 0,y 0),若点P 满足条件②,则点P 在与l 1,l 2平行的直线l′:2x -y +c =0上,且|c -3|5=12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c +125,解得c =132或116,所以2x 0-y 0+132=0或2x 0-y 0+116=0.若P 点满足条件③,由点到直线的距离公式, 得|2x 0-y 0+3|5=25·|x 0+y 0-1|2, 即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|, 所以x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0. 若点P 满足条件①,则3x 0+2=0不合适. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0-y 0+132=0,x 0-2y 0+4=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-3,y 0=12.不符合点P 在第一象限,舍去.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0-y 0+116=0,x 0-2y 0+4=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=19,y 0=3718.符合条件①.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19,3718同时满足三个条件.。
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必修2第3章《直线的方程》单元测试题
一、选择题
1. 直线l 经过原点和点(11)-,,则它的倾斜角是( )
A.
34π B.54π C.4π或5
4
π D.4π- 2. 斜率为2的直线过(3,5),(a ,7),(-1,b )三点,则a ,b 的值是( ) A.4a =,0b = B.4a =-,3b =- C.4a =,3b =- D.4a =-,3b =
3. 设点(23)A -,,(32)B --,,直线过(11)P ,且与线段AB 相交,则l 的斜率k 的取值范围是( ) A.34k ≥
或4k -≤ B.3
44
k -≤≤ C.344k -≤≤ D.以上都不对
4. 直线(2)(1)30a x a y ++--=与直线(1)(23)20a x a y -+++=互相垂直,则a =( ) A.1-
B.1
C.1±
D.3
2
-
5. 直线l 过点()12A ,,且不过第四象限,那么直线l 的斜率的取值范围是( ) A.[]02,
B.[]01,
C.102⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,
D.102⎛⎫ ⎪⎝⎭
,
6. 到两条直线3450x y -+=与512130x y -+=的距离相等的点()P x y ,必定满足方程( ) A.440x y -+= B.740x y +=
C.440x y -+=或4890x y -+= D.740x y +=或3256650x y -+= 7. 已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行,则它们之间的距离是( )
A.4 8. 已知等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是320x y -+=,直角顶点是(32)C -,,则两条直角边AC ,BC 的方程是( )
A.350x y -+=,270x y +-= B.240x y +-=,270x y --= C.240x y -+=,270x y +-= D.3220x y --=,220x y -+=
9. 入射光线线在直线1l :230x y --=上,经过x 轴反射到直线2l 上,再经过y 轴反射到直线3l 上,则直线3l 的方程为( )
A.230x y -+= B.230x y -+= C.230x y +-= D.260x y -+=
10.已知x ,y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≤≥+-0305k y x x y x ,且z =2x +4y 的最小值为-6,则常数k =( )
A.2 B.9 C.3 D.0 二、填空题
11. 已知三点(23)-,,(43),及(5)2
k
,在同一条直线上,则k 的值是 .
12. 在y 轴上有一点m
,它与点(连成的直线的倾斜角为120
þ,则点m 的坐标为 . 13. 设点P 在直线30x y +=上,且P 到原点的距离与P 到直线320x y +-=的距离相等,则点P 坐标是 .
14. 直线l 过直线240x y -+=与350x y -+=的交点,且垂直于直线1
2
y x =,则直线l 的方程是 .
15.若x ,y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+-≥-+0530103y x y x y x ,设kx y =,则k 的取值范围是 .
三、解答题
16. 已知ABC ∆中,点A(1,2),AB 边和AC 边上的中线方程分别是0335=--y x 和0537=--y x ,求BC 所在的直线方程的一般式。
17. 过点(3,4)p 的直线l
(1)求l 在两个坐标轴上截距相等的方程。
(2)求l 与x,y 正半轴相交,交点分别是A.B,当AOB 面积最小时的方程。
18. 已知直线方程为(2)(12)430m x m y m ++-+-=.
(1) 证明:直线恒过定点M ;
(2) 若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点,求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程.
19. 用解析法证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高的长.
20. 已知直线180l mx y n ++=:,直线2210l x my +-=:,12l l ∥
()(00)A m n m n >>,,的直线l 被1l 、2l
l 的方程.
21.已知x ,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤≤+3521123y x x y y x ,目标函数为y x z 53+=。
(1)使z 取得最小值的最优解是否存在?若存在,请求出;
(2)请你改动约束条件中的一个不等式,使目标函数只有最大值而无最小值。
必修2第3章《直线的方程》单元测试题
命题:十四中学 成先斌
ACACA DDBBD
12 (02)-,
31()55-,或31()55-, 10580x y ++= [2
1
,2] 16. 解析:设C 点坐标为(a,b )因为点C 在AB 边的中线上,所以有5a-3b-3=0 AC 的中点坐标为
)22,21(b a ++,又因为AC 的中点在AC 边的中线上,所以有052
23217=-+⨯-+⨯b a 联立解得C (3,4)同理,可得B (-1,-4)则BC 的方程是:022=--y x
17.解析:(1)430x y -=或70x y +-=
(2)设l 的斜率为k ,因分别与x,y 正半轴相交,所以0k < 则设:4(3)l y k x -=-
则4
(3,0)A k
-
(0,43)B k -
1
2
AOB S OA OB ∴=⋅⋅
14116(3)(43)(249)22k k k k
=-⋅-=--
116124(9)()24222k k ⎡⎡⎤=+-+-≥⋅+⎢⎢⎥⎣⎦⎣
24= 当且仅当169k k -=-
时,则4
3
k =(舍)or
4
3
k =-
故:43240l x y +-=
18.解析:(1) (2)(12)430m x m y m ++-+-=可化为(23)24x y m x y --=---
由2301
2402x y x x y y --==-⎧⎧⎨⎨---==-⎩⎩
得 ∴ 直线必过定点P (– 1,– 2)
(2) 设直线的斜率为k ,则其方程为2(1)y k x +=+
即:20kx y k -+-= 易得A (2
1k
-,0)
,B (0,k – 2),显然k < 0 ∴ 1214
|1||2|(4)22AOB S k k k k
∆=
--=--
1(442≥+=
∴ min ()4AOB S ∆=,此时4
k k
-=-(k < 0),即2k =- ∴ 直线方程为240x y ++=
19. 证明:建立如图所示坐标系,
(0)A a ,,(0)B b ,,(,0)C a -(00)a b >>,
则直线AB 方程为0bx ay ab +-=,直线BC 的方程为0bx ay ab -+=.
设底边AC 上任意一点为(0)P x ,
,()a x a -≤≤, 则P 到AB
的距离为PE =
=
,
P 到BC
的距离为PF =
=
A 到BC
的距离为h =
=
PE PF h +==
=∵,
∴原结论成立.
20. 解:∵12l l ∥,2
160m -=∴得4m =±.
0m >∵,4m =∴.故1:480l x y n ++=,24820l x y +-=:.
又1l 与2l
=18n =或22n =-(舍)
.
故A 点坐标为(418),.再设l 与1l 的夹角为θ,斜率为k ,1l 斜率为1
2
-
,
sin 2
θ=
∵,4θ=π∴,1()
2
tan 1141()2k k
--==+-π,解得13k =或3k =-. ∴直线l 的方程为1
18(4)3
y x -=-或183(4)y x -=--.
即3500x y -+=或3300x y +-=.
21.解:(1)存在。
作出可行域如图中阴影部分。
直线y x z 53+=是一组与直线053=+y x 平行的直线,其中
5z 是直线5
53z
x +-=在y 轴上的截距,当直线y x z 53+=过P 点时,z 取得最小值。
解方程组⎩⎨⎧=-+=352y x x y ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=45413y x 。
故其最优解为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=-=454
13y x 。
(2)从上图中分析,只要使可行域不存在最低点即可,因此,我改动约束条件中的最后一个不等式,使
约束条件变为⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤≤+35211
23y x x y y x ,此时目标函数只有最大值而无最小值。
0=。