北京科技大学学年度第学期高等数学A试题及答案

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《高等数学》A试卷A答案

《⾼等数学》A试卷A答案⼀、填空题（每⼩题4分,共20分）： 1．设ln(y x =，则1d 2x y dx ==. 2．曲线sin ,1cos x t t y t =-??=-? 在 2t π= 处的切线斜率为1.3．若1lim ()x f x →存在，且111()2lim ()x x f x xf x -→=+，则1()2x f x x e -=-.4．若01()f x '=，则000(2)()lim arctan u f x u f x u u→+--=3.5．若2lim 8xx x a x a →∞+??= ?-??，则a =ln 2.⼆、选择题（每⼩题4分,共20分）：1．设()232x x f x =+-，则当0x →时（ D ）. （A ）()f x 与x 是等价⽆穷⼩量（B ）()f x 是⽐x 较低阶的⽆穷⼩量（C ）()f x 是⽐x 较⾼阶的⽆穷⼩量（D ）()f x 与x 是同阶但⾮等价⽆穷⼩量2．若函数()f x 在0x 点存在左、右导数，则()f x 在点0x （ A ）.（A ）连续（B ）可导（C ）不可导（D ）不连续3．当1x →时，12111x x e x ---的极限（ C ）. （A ）等于2 （B ）等于0 （C ）不存在但不为∞ （D ）为∞4．设函数21()1lim nn xf x x →∞+=+，讨论()f x 的间断点，其结论为（ A ）.（A ）存在间断点1x = （B ）存在间断点1x =-（C ）存在间断点0x = （D ）不存在间断点5．设对任意的x ，总有()()()x f x x ?ψ≤≤，且[]lim ()()0x x x ψ?→∞-=，则lim ()x f x →∞（ C ）.（A ）存在且等于0 （B ）存在但不⼀定等于0（C ）不⼀定存在（D ）⼀定不存在三、计算题（本题共4题，共计24分）： 1.（5分）设tan y x y =+，求d y ；解：(tan )()d y d x y =+ 22s c 1e 1sec d ydy dx y d d xyy ==-+2.（6分）求极限：)lim x xx →-∞；解：)lim x xx →-∞limlim 05x x ==-=3.（6分）求极限：lim x +→；解：01lim lim 1()2x x x x ++→→=?22lim lim 212x x x x ++→→===4.（7分）设2(cos )y f x =，且f ⼆阶可导，求22d d yx.解：22(cos )2cos (sin )sin 2(cos )dyf x x x xf x dx''=?-=- (2cos 2)2sin )((cos 2sin )(cos 2cos 2'2''2'2 2xf x x xf x xf dx yd -=---=四、解答题（本题共3⼩题，共计24分）： 1.（6分）设1x =1n x +=列{}n x 的极限存在，并求其极限.证明：单调性：当1n =时，1x =，21x x =>，假设当n k =时有1k k x x +>，则当1n k =+时仍然有，21k k x x ++=即，数列}{n x 是单调增加数列。

北京科技大学高数A答案4.2

习题4-2 （A ）1.比较下列积分大小（1）211e e x x dx dx ⎰⎰和解：利用例2.1的结果，当f(x)不等于0时，因为f(x)≣0,而()baf x dx ⎰是数值，它只有是零和不是零两种可能，设若()baf x dx ⎰=0，则由已证得例2.1结果，在[a,b]上必有f(x)≡0,与f(x)不恒等于0矛盾，所以得出结论：若在[a,b]上，f(x)≣0且f(x)不恒等于0，则()baf x dx ⎰>0.210(e e )x xdx -⎰在[0,1]上e x -2ex≣0且e x -2ex不恒等于0，所以21(e e )x xdx -⎰>0，所以1e xdx ⎰>210e xdx ⎰。

（2）1123x dx x dx ⎰⎰和解：11123230( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰，因为在[0,1]上x 2-x 3≣0且x 2-x 3不恒等于0，所以111232300( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰>0，所以12x dx ⎰>13x dx ⎰。

（3）222311x dx x dx ⎰⎰和解：2222323111( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰，因为在[1,2]上x 2-x 3 ≤0且x 2-x 3不恒等于0，所以2222323111( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰<0，所以221x dx ⎰<231x dx ⎰。

（4）2222sin sin x x dx dx xxππ⎰⎰和解：构造函数f(x)= sinx-x,则f ’(x)=cosx-1,在（0，2π] 上单调递减，从而有f(x)= sinx-x <f(0)=0,所以sinx <x,而在（0，2π] 上sinx ,x 都是大于0的，所以sinx/x 在（0，2π] 上小于1，所以在（0，2π] 上sin x x>22sin x x，所以222sin sin x x dx xxπ-⎰（）>0，有20sin x dx xπ⎰>222sin x dx xπ⎰（5）110arctan ln(1)1x x dx dx x++⎰⎰和解：构造函数f(x)=ln(1+x)-arctan 1x x+,在[0,1]上f ’(x)=222arctan (1)(1)(1)xx x x x ++++>0,所以f(x)在[0,1]上是增函数 f(x)>f(0)=0,有10arctan (ln(1))1x x dxx+-+⎰>0，于是1ln(1)x dx +⎰>10arctan 1x dx x+⎰。

高等数学a1期末考试题库及答案

高等数学a1期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数y=f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，那么在点x=a处的切线斜率是多少？A. f(a)B. f'(a)C. f'(a)+1D. f(a)+f'(a)答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x / x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个选项是连续函数？A. 函数y=x^2在x=0处B. 函数y=1/x在x=0处C. 函数y=|x|在x=0处D. 函数y=x^3在x=1处答案：D4. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数y=x^3-3x+1的导数是______。

答案：3x^2-32. 函数y=e^x的不定积分是______。

答案：e^x + C3. 函数y=ln(x)的定义域是______。

答案：(0, +∞)4. 如果函数f(x)=x^2-4x+c，且f(1)=-3，则c的值为______。

答案：0三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数y'=3x^2-12x+11，令y'=0，解得x=1或x=11/3。

经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

2. 计算定积分∫(0 to 2) (2x+3) dx。

答案：首先求原函数F(x)=x^2+3x，然后计算F(2)-F(0)=4+6-0=10。

四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上一定有最大值和最小值。

答案：根据闭区间上连续函数的性质，函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值。

可以通过构造f(x)在[a,b]上的上界和下界，然后利用连续性证明存在最大值和最小值。

北京科技大学2009-2010学年度第1学期高等数学A试题及答案

北京科技大学2009--2010学年第一学期高等数学A(I) 试卷（A 卷）院(系) 班级学号姓名考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．设方程y x y =确定y 是x 函数，则d y = .2．设曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则l i m ()n n f ξ→∞= ．3．111n n n n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ．4．设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x =⎰ ．5. 2111limnn k nk →∞==∑ .二、选择题（本题共15分，每小题3分）6．设函数21()lim1nn x f x x→∞+=-，讨论函数()f x 的间断点，其结论为（）.()A 不存在间断点 ()B存在间断点是1x=()C存在间断点是0x = ()D存在间断点是1x =-装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊7．设函数561cos 2()sin , ()56x xxf x t dtg x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）()A 低阶无穷小 ()B高阶无穷小()C等价无穷小 ()D同价但不等价的无穷小8．设01,0,()0,0, ()()1,0,x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，下列结论正确的是（）.()A ()F x 在0x =处不连续()B ()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导()C()F x 在(,)-∞+∞内可导，且()()F x f x '=()D()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=9．设函数(),()f x g x 为恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<, 则当a x b <<时有（）.()A ()()()()f x g b f b g x < ()B ()()()(f x g a f a g x > ()C()()()()f x g x f b g b >()D ()()()(f x g x f a g a> 10．下列各选项正确的是（）.()A 若级数21nn u ∞=∑与级数21nn v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑收敛;()B 若级数1n nn u v ∞=∑收敛，则级数21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛;()C若正项级数21n n u ∞=∑发散，则1nu n≥;()D若正项级数21nn u ∞=∑收敛，且(1,2,)nn u v n ≥= , 则级数21n n v ∞=∑收敛.三、（本题共63分，每小题7分）11（7分）. 设22e sin()xy x y y +=，求(0)y '。

大一高等数学a期中试题及答案

大一高等数学a期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是不定积分∫x^2 dx的解（）。

A. x^3B. x^3 + CC. 3x^2 + CD. 3x^2答案：C4. 以下哪个选项是定积分∫(0 to 1) x dx的值（）。

A. 0C. 1D. 2答案：B5. 函数y=e^x的原函数是（）。

A. e^xB. e^x + CC. ln(x)D. ln(x) + C答案：B6. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + y = 0的通解（）。

A. y = e^(-x)B. y = e^xC. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：A7. 以下哪个选项是函数y=x^3的二阶导数（）。

A. 3x^2B. 6xC. 18xD. 6答案：B8. 以下哪个选项是函数y=ln(x)的一阶导数（）。

B. xC. ln(x)D. e^x答案：A9. 以下哪个选项是函数y=x^2 - 4x + 4的最小值（）。

A. 0B. 1C. 4D. -4答案：A10. 以下哪个选项是函数y=x^3 - 3x的拐点（）。

A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数是____。

答案：3x^22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是____。

答案：x = -13. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是____。

答案：-cos(x) + C4. 函数y=e^x的二阶导数是____。

答案：e^x5. 函数y=ln(x)的二阶导数是____。

答案：1/x^2三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x+8在x=2处的切线方程。

大学数学1试题(A)参考答案

大学数学1试题（A）参考答案一、选择题1. 答案：C解析：题目中要求求出f(x)=3x2-7x+5的导数。

根据求导法则，导数的求法为f'(x)=[3*(2x)^(2-1)-7*(1x)^(1-1)]，即f'(x)=6x-7。

根据选项，可知C选项是正确答案。

2. 答案：B解析：题目中要求求出f(x)=2sin(x)+cos(x)的导数。

根据求导法则，导数的求法为f'(x)=2*cos(x)-sin(x)。

根据选项，可知B选项是正确答案。

3. 答案：A解析：题目中要求求出下列等差数列的前n项和。

根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

根据选项，可知A选项是正确答案。

4. 答案：D解析：题目中要求求出平面上一点到x轴的距离。

根据平面几何知识，点P(x,y)到x轴的距离为|y|，即D选项是正确答案。

5. 答案：C据求导法则，在极值点处的导数为零。

对函数f(x)求导得到f'(x)=3x2-3=0，解得x=±1。

根据选项，可知C选项是正确答案。

二、填空题1. 答案：-√3解析：题目中要求求出方程x2+3x+3=0的解。

根据二次方程求根公式，解出x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，代入a=1，b=3，c=3，可得到x=(-3±√(3^2-4*1*3))/(2*1)，计算得x=-√3。

2. 答案：15解析：题目中要求求出3,5,7...97的等差数列的前n项和，根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。

根据选项，可得n=16，代入公式计算得Sn=16*(3+97)/2=15*100/2=1500/2=750。

3. 答案：-1解析：题目中要求求出方程sin(x)=cos(x)的解。

根据三角函数的定义，sin(x)=cos(π/2-x)，即sin(x)=sin(π/2-x)，因此x=π/2-x+2kπ，化简得到x=-1/2+2kπ，其中k为整数。

北京科技大学2009-2012高等数学第一学期期中考试题

C

G ( x ) 是 g ( x ) 的高阶无穷小;

D
G ( x) 是 g ( x) 的低阶无穷小.
17．设有下列四个条件：(1) f ( x) 在 a, b 上连续； (2) f ( x) 在 a, b 上有界； (3) f ( x) 在 a, b 上可导； (4) x0 a , b , lim f ( x ) 存在, 则上述 4 个命题的正确关系
A

偶函数

B

奇函数
2．以下哪个说法（
A
非奇非偶函数）与 lim xn A 的定义等价.
n

C

D

有界函数
(0,1), 存在自然数 N , 当 n N 时，有 xn A 100 . B 1, 存在自然数 N , 当 n N 时，有 xn A . C 对任意的自然数 N , 存在 0, 当 n N 时，有 xn A . D 存在自然数 N , 对任意 0, 当 n N 时，有 xn A .
北京科技大学 2009——2010 学年第一学期
高等数学 A(I) 期中试卷
院(系) 班级学号姓名考场
题号得分评阅
一
二
三
课程考核成绩
说明: 1 、考场、学院、班、学号、姓名均需写全 , 不写全的试卷为废卷 ; 2 、涂改学号及姓名的试卷为废卷； 3 、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.
高等数学 AI 期中试卷
第 3 页共 7 页
得分
四、应用题（本题共 5 分）
k3 2 2 x ,其中 x 是箭离原点的水平距离, 20．一射手在原点射出的箭的轨迹方程为 y kx 300 y 是相应的高度( x 轴为地平线，距离单位为 m), 正数 k 是轨迹曲线在原点处的切线斜率. 问 (1) 正数 k 取何值时，箭的水平射程最大？ (2) 正数 k 取何值时，箭射中 30m 远处一直立墙面的高度最大？

北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案

敛区间 t 2 ，即 1 x 3 ，当 x 3 时级数发散，当 x 1 时级数收敛，故原级数收敛域为 [ 1, 3) 。 13．解： ï í
ì ïz = ï x= 0 ï ï î
y- 1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为： y - 1 = z + x ，
2
2
I=
蝌邋+
=
A 5
x2 y 1 = [ ] 2 ydy 1 2 y 1 2 5 [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy = 5 1 2 8 a n 1 1 tn ， lim ，收敛半径 R 2 ，收 n n a 2 n 1 2 n n

12．解：令 t x 1 ，则原级数化为
五．综合题 (10 分)
17 ．设曲线 C 的起点为 A ，终点为 B ，
f ( ) 1 ，求函数 f ( x) ，使曲线积分
A，B 两点分别为 (1, 0) 和 ( , ) 时
C
[sin x f ( x)] x dx f ( x)dy 与路径无关，并求当
2 2
x
0
15．解：特征方程 r r 2 0 ， r1 1, r2 2 ，齐次方程通解为 Y c1e c2e 为求原方程的特解 y 。，考虑两个方程，

2
x
2 x
，
，对于前一方程，因 0 不是特征根，可设 y ' ' y '2 y x 1 （1）和 y ' ' y '2 y e x （2）
(8 y 1) xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ，

大学数学1试题（A）参考答案

大学数学 I （A 卷）参考答案选择题选择题1．C 2. D 3. A 4. A 二、填空题二、填空题 5. xdx xsin 5ln 5cos - 6. 0 7.61 8.1,1==b a三、计算题三、计算题 9．原式xx x x x x ln )1(1ln lim1-+-=® 2分xx x x11ln ln lim 1-+=® 4分21111limxx x x +=® 6分21=7分 10．A X A E =-)(1分()÷÷÷øöçççèæ----=--1101211201A E 5分÷÷÷øöçççèæ-----=-=-210111121)(1A A E X 7分11．令tdt dx t x x t 2,,2=== 2分原式ò=pcos tdt t 3分 ò-=ppsin sin tdt tt5分 2cos 0-==p t7分 12．原式òò=12xxxydy dx3分()ò-=104221dx xx x5分 241=7分13．两边求导得．两边求导得xyyyye y e y xe e +=+'' 4分xyy x exee ye y --=' 7分四、讨论题：（每小题9分，共18分） 14．将微分方程化为．将微分方程化为xx y x dxdysin 1=+ 2分其通解为其通解为xxc y cos -=7分由初始条件得1-=p c ，所求解为，所求解为xx y cos 1--=p9分15．对方程组的增广矩阵做初等变换，化为阶梯矩阵．对方程组的增广矩阵做初等变换，化为阶梯矩阵÷÷÷øöçççèæ--®÷÷÷øöçççèæ-40003130101161031011121k k 3分当4¹k 时，方程组无解。

2012-2013-1-线性代数A 期末试卷及答案

②若秩 (A) ≥ 秩 (B) ，则 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解；
③若 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，则秩 (A) = 秩 (B) ；
④若秩 (A) = 秩 (B) ，则 AX = 0 与 BX = 0 同解。
以上命题中正确的是
。
（A）①②
（B）①③
（C）②④
（D）③④
5. 方阵 A 与 B 相似的充分必要条件是
北京科技大学 2012--2013 学年第一学期
线性代数试卷（A 卷）
院(系)
班级
学号
姓名
试卷卷面成绩
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
得
分
评
阅
审
核
小计
占课程考核成绩 70%
平时成绩占 30%
课程考核成绩
注意事项：（1）本试卷共八道大题，共八页，请认真核对。（2）正确填写学院、班级、姓名、学号等个人信息，空填或错填的试卷为无效试卷。（3）请使用钢笔、签字笔或者圆珠笔答卷，使用铅笔答卷无效。
(A)2000
(B)-2000
。 (C)2300
(D)-2300
3.设向量组α1,α2 ,α3 线性无关，向量 β1 可由α1,α2 ,α3 线性表示，而向量 β2 不能由α1,α2 ,α3 线性表示，
则对于任意常数 k ，必有
。
（A）α1,α2 ,α3, kβ1 + β2 线性无关；
（B）α1,α2 ,α3, kβ1 + β2 线性相关；
⎟ ⎟ ⎟
,
α
3
⎜
=
⎜ ⎜
0 7
⎟

大学数学试题a及答案

大学数学试题a及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是实数集的符号表示？A. ZB. QC. RD. N答案：C2. 函数f(x)=2x+1的反函数是：A. f^(-1)(x)=(x-1)/2B. f^(-1)(x)=(x+1)/2C. f^(-1)(x)=x/2+1D. f^(-1)(x)=x/2-1答案：A3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B4. 以下哪个不是矩阵的基本运算？A. 矩阵加法B. 矩阵乘法C. 矩阵除法D. 矩阵转置答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 圆的面积公式为__________，其中r为半径。

答案：πr^22. 微分方程dy/dx + y = x的通解是__________。

答案：y = e^(-x)∫xe^(x)dx + Ce^(-x)3. 函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的导数为__________。

答案：04. 矩阵A=\[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\]的行列式值为__________。

答案：-2三、解答题（每题15分，共30分）1. 计算定积分∫(0到π) sin(x)dx。

答案：定积分∫(0到π) sin(x)dx = [-cos(x)](0到π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 2。

2. 求解二阶常系数线性微分方程y'' - 2y' + y = 0的通解。

答案：特征方程为r^2 - 2r + 1 = 0，解得r1 = r2 = 1，因此方程的通解为y = C1e^x + C2xe^x。

四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫(a到b)f(x)dx存在。

答案：根据黎曼积分的定义，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则存在一个实数I，使得对于任意的正数ε，都存在一个正数δ，使得对于任意的分割P，只要每个子区间的长度小于δ，那么上和U(P,f)与下和L(P,f)与I的差的绝对值都小于ε。

北京科技大学2010-2011学年第一学期高等数学AI期末A卷及答案

北京科技大学2010-2011学年第一学期高等数学A （I ）期末（A ）试卷院（系）________ 班级________学号________姓名________考场_______说明：1、要求正确的写出主要的计算或推倒过程，过程有错或只写答案者不得分；2、考场、学院、班级、学号、姓名均需全写，不写全的试卷为废卷；3、涂改学号以及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上作答，在其它纸上解答一律无效. 1.曲线{(1)0t 10y x t t e y +-=++=在t=0处的切线方程为。

2.若f （t ）=21lim (1)tx x t x→∞+，则()f t '=。

3.已知2(tan )sec f x x '=，则f （x ）= 。

4.当c=时，曲线2y x =和3(0)y cx c =>所围成的图形的面积为23。

5.幂级数21n nn e x n∞=∑的收敛半径为。

一、填空题（每小题4分，共24分）0ζ>，当(,)x a a ζζ∈-+时必有（）（A ）()(()())0x a f x f a --≥（B ）()(()())0x a f x f a --≤（C ）2()()0()()f t f x x a t x -≥≠-（D ）2()()0()()f t f x x a t x -≤≠-7.设函数f （x ）有原函数xlnx ，则()xf x dx =⎰（）（A ）211(ln )24x x c ++（B ）211(ln )42x x c ++（C ）211(ln )42x x c-+（D ）211(ln )24x x c-+8.设15sin 00sin (),()(1)xx t ta x dt x t dt tβ==+⎰⎰，则当0x →时，()()a x x β是的（）（A ）高阶无穷小（B ）低阶无穷小（C ）同阶但不等价的无穷小（D ）等价无穷小9.设10(1,2,),n nn a n L a ∞=>=∑且收敛，常数,2πλ∈（0，，则级数n1-1tan )nn n a n λ∞=∑（）（（）（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）收敛性与λ有关10.曲线1nxy xe =（）（A ）仅有水平渐近线（B ）仅有铅直渐近线（C ）无渐近线（D ）既有铅直渐近线又有斜渐近线11.求极限22201lim (1)x t x x t e dt x -→+∞+⎰. 12.求22ln xxedx +⎰.13.求sin 2x xdx ⎰.14.求。

高数下册期末a卷考试题及答案

高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。

答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。

高数A1练习题参考答案(原题在主页中)

2019—2020(1)高数A1(B 卷)(正考)参考答案与评分细则 2019.12.28 出题组考试时间：2020年01月07日上午9:00~11:00一、填空题（每题3分，共15分）：1、31．2、dx x x x )()(222ϕϕ'． 3、12． 4、C x F +−)23(31． 5、2π．二、单项选择题（每题3分，共15分）：1、)(D2、)(D3、)(C4、)(A5、)(B三、计算题（每小题6分，共12分）：解1：原式3020sin lim 22sin limx xx x x x x x x −=⋅−=→→ …2′203cos 1lim2x xx −=→ …4′22032lim2x x x →= …5′ 31= …6′解2：原式⋅−−→⎪⎭⎫⎝⎛−+=xx x x x x 13310131lim …3′xxx x x x x −−→→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛−+=13lim3100131lim …5′ 3e = …6′四、计算题（每小题6分，共18分）：解1：)11(2022'+++='⎰dt t x y x …1′)()(112)(22222'+++'=x x x x …3′42121x x xx +++=…4′dx y dy '= …5′dx x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=42121 …6′ 解2：y y y e x y x '⋅='−+−2)1(4 …3′yx y x e y e x y −−++='∴24， 02≠+−yx e y …4′ 5)1(='=∴y k 切 …5′切线：)1(351−=−x y …6′解3：)1()(22'+'=t t e te dx dy …1′ttt ete e 22222+= …3′ 21+=t …4′ )1()21(222'+'+=∴te t dx y d …5′ t e 221= …6′五、计算题（每小题6分，共18分）：解1： ()⎰⎰=4ln ln 43xd x dx x x …2′⎰−=)(ln 44ln 44x d x x x …4′⎰−=dx x x x 34414ln …5′C x x x +−=164ln 44 …6′解2：原积分dx x ⎰−=2|sin |2ππ …2′dx x dx x ⎰⎰+−=−204sin 2sin 2ππ …3′[][]2004cos 2cos 2ππx x −=− …5′122−= …6′解3：令12+=x t ，则2)1(2−=t x …1′且40:→x 时，有31:→t …2′故原积分⎪⎪⎭⎫⎝⎛−+=⎰2111231t d t …3′ dt t dt t t ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+−=+=31311111 …4′ 31)]1ln([+−=t t …5′ 2ln 2−= …6′六、（本题8分）：解：函数y 的定义域为R x ∈ …1′ 令0)23()(2=+−='xe x x xf …2′ 解得驻点11=x ，22=x …4′ 列表讨论如下：综述：函数)(x f 在区间]1(，−∞，)2[∞+，上单调增加，在区间]21[，上单调减少，极大值为 e f 3)1(=，极小值为2)3(e f = …8′七、（本题8分）：解：面积: ⎰−=40)21(dx x x A …2′ 42234132⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=x x …3′34=. …4′ 体积 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=4022)21()(dx x x V π…6′ 403212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=x x π …7′38π=…8′八、（本题6分）：证：设3131)(x xx f +−+=，0≥x …1′当0>x 时，0)1(1131)(32>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−='x x f …3′ 说明当0>x 时，)(x f 单调递增 …4′ 即当0>x 时，0)0()(=>f x f …5′也就是0131)(3>+−+=x x x f 故当0>x 时，3131x x+>+ …6′。

大一高数a1期末试题及答案

大一高数a1期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. 8D. 12答案：A2. 计算极限lim(x→0) (sin x / x)。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 求不定积分∫(3x^2-2x+1)dx。

A. x^3 - x^2 + x + CB. x^3 + x^2 - x + CC. x^3 - x^2 + x - CD. x^3 + x^2 + x - C答案：A4. 判断以下级数是否收敛：∑(n=1 to ∞) (1/n^2)A. 收敛B. 发散答案：A5. 求函数y=ln(x)的导数。

A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值：______。

答案：172. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值：______。

答案：1/33. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：x=1, x=24. 判断函数f(x)=x^3-3x+1的单调性。

答案：在区间(-∞, 1)上单调递增，在区间(1, +∞)上单调递减。

三、解答题（共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点，并说明极值类型。

（15分）答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1, x=2。

通过二阶导数测试，f''(x)=6x-12，f''(1)=-6<0，f''(2)=6>0，所以x=1处为极大值点，x=2处为极小值点。

2. 计算定积分∫(0 to 2) (x^2-2x+1) dx，并求出原函数。

（15分）答案：原函数为F(x)=1/3x^3-x^2+x，定积分值为F(2)-F(0)=8/3-4+2=2/3。

北京科技大学2024-2025学年度第1学期高等数学A试题及答案

装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）217．在空间直角坐标系下，z 轴的对称式方程为【】．（A ）1001zy x ==-；（B ） 2300--==z y x ；（C ）001zy x ==；（D ）10z y x == ． 8．函数)(x f 在点a 可导，则ax a f x f a x --→)()(lim 22下列结论正确的是【】( A ) )('a f ( B ) )('2a f ( C ) )()('2a f a f ( D ) 09. 已知函数)(x f 具有随意阶导数，且2)]([)('x f x f =，则当n 为大于2的整数时，)(x f的n 阶导数)()(x f n 是【】（A ） 1)]([!+n x f n （B ）1)]([+n x f n （C ）n x f 2)]([ （D ）n x f n 2)]([!。

10. 设)(x f 的导数是x sin ，则)(x f 的一个原函数为【】（A ）1+x sin （B ）1-x sin （C ）1+x cos （D ）1-x cos三、（8分）计算x ->+∞四、（8分）设⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=22)1(21)1ln(t arctgt y t x 求.,22dx y d dx dy五、（8分）求不定积分⎰-dx xx1arcsin六、（8分）利用定积分定义计算极限 121lim +∞→+++p pp p n n n (0)p >)装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊七、（8分）求极限 xx x x cos 11sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛八、（8分）求定积分312x dx --⎰九、（8分）求极限 )1ln(d lim21cos 02x te xt x +⎰-→十、（5分）已知汽车行驶每小时的耗油费用为y （元），它与行驶速度x （公里 / 小时）的关系为325001x y =．若汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100元，问汽车最经济的行驶速度为多少？装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊十一、（5分）如图：已知半径为R 的半球形水池充溢了水，求当抽出水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时，水面下降的高度。

北京科技大学2011-2012学年第一学期高等数学AI期中试卷

x tan x = 1 cos x 2
1
3
n 13n x n , x 0, x xlim
在 x=0 可导，则 a=
,b=
。
(A)不连续 12.设 lim
x a
（B）连续但不可导
(C)可导（）
（D）无法判定
f ( x) f (a ) ( x a)
2
1 ，则 f ( x) 在点 x=a 处
(B)
ln 2 2 n!
(C)
(ln 2) n 1 n!
(D)
(ln 2) n n!
)
f 0） =0，则f ( x)在x 0可导的充要条件是 18. 设（
(A)
(
lim
1 f (h) f (h) 存在 h 0 h
(B)
1 ）1 存在 lim2 （ f c o sh h 0 h
(A)有一个实根 (C)有三个正实根 15. 设 y f ( x x ), 其中f 可导，则
2
(B)有三个实根，且至少有一个正实根 (D)有三个实根，且至少有两个正实根
f (1 sin x) 3 f (1 sin x) 8x a( x) ，其中 a( x) ( x)( x 0), 且f ( x)在x 1处可导，
自觉遵守考试规则，诚信考试，谢绝作弊
6 f ( x) sin 6 x xf ( x) 16. 若 lim 0, 则 lim 3 x 0 x 0 x x2
（A）36
装订线内不得答题
x
（）
(B)6
n
(C)0
(D)+ （）

北京科技大学2002-2003学年度第二学期高等数学(A)试题及答案.

北京科技大学2002-2003学年度第二学期高等数学（A）试题一、填空题（4分x5=20分）1、设f(x,y)=sin(xy2)，则fyx(" π2,1)=__________x2y2(2xy+3x2+4y2)dl=_________ 2、设l为椭圆+=1，其周长为a，则⎰l433、函数u=ln(x+4、交换积分次序∞沿点A(1,0,1)指向B(3,-2,2)方向的方向导数为_________ 1x2⎰dx⎰0n0nf(x,y)dy+⎰1dx⎰33-x20f(x,y)dy=___________ 5、若幂级数∑a(x-1)n=1在x=0收敛，在x=2发散，则该幂级数的收敛域为_________二、单项选择题（4分x5=20分）'1、fx'(x0,y0)与fy(x0,y0)存在是f(x,y)在点(x0,y0)可微的（）(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件2、函数f(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则（）(A) limf(x,y)不存在 (B) f(x0,y0)必不存在x→x0y→y0' (C) f(x,y)在点(x0,y0)必不可微 (D) fx'(x0,y0)与fy(x0,y0)必不存在22223、设D1=(x,y)|1≤x+y≤4,x≥0,y≥0,D=(x,y)|1≤x+y≤4,且f(x,y)在D上连续，则{}{}必有（）(A)(C) ⎰⎰Df(x,y)dxdy=4⎰⎰f(x,y)dxdy (B) ⎰⎰f(x2,y2)dxdy=4⎰⎰f(x2,y2)dxdyD1DD1⎰⎰Df(x3,y3)dxdy=4⎰⎰f(x3,y3)dxdy (D) 上述说法都不成立 D14、当（）时，∑(-1)unn=1∞n(un>0)一定收敛。

∞1(A) un+1≤un(n=1,2, )(B) limun=0 (C) un> (D) ∑un收敛n→∞nn=15、设P(x,y),Q(x,y)具有一阶连续偏导数，若（）则⎰Pdy-Qdx与路径无关。

北京科技大学《高等数学》2006-2007学年第二学期期末试卷A卷

北京科技大学 2006 --2007 学年第二学期高等数学试卷（A ）院(系) 班级学号姓名试卷卷面成绩占课程考核成绩80 % 平时成绩占 20 %课程考核成绩题号一二三四五六七小计得分阅卷审核一、填空题（15 分）1．曲面z =+ y 2 在点(2,1, 3) 的切平面方程为2．交换积分次序 dx ∫0ln x f (x , y )dy =3．设l 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 与平面 x + y + z = 0 的交线，则(x 2 + y 2 + z 2 )dl = 4．级数x 2n −1 的收敛半径是5．求微分方程 y "+ y '− 2y = 0 的通解 y =二、单选题（15 分）1．设u = f (x + y , xz ) 有二阶连续偏导数，则= （）（ A ） f '2+ (x + z )f 12'' + xzf '2'2 （B ） x f 12''+ xzf '2'2（ C ） f '2 + xf 12''+ xzf '2'2 （D ） x zf '2'2得分得分自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊装订线内不得答题2．若 f (x , y )dxdy = ∫d θcos θf (r cos θ, r sin θ)rdr ，其中a > 0 为常数，则积分区域 D 是D 2（）（ A ） x 2 + y 2 ≤ a 2 （B ） x 2 + y 2 ≤ a 2 , x > 0 （ C ） x 2 + y 2 ≤ ax （D ） x 2 + y 2 ≤ ay3．设∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1， ∑1 为上半球面 z = ， D xy 为曲面 ∑ 在 xoy 平面上的投影区域，则下列等式成立的是（）（ A ） ∫ zdS = 2∫ zdS （B ）∫ zdS = 0 ∑ ∑1 ∑（ C ） ∫ z 2 dS = 2∫ z 2dxdy （D ）∫ z 2dS = 2∫ z 2dxdy ∑ ∑1 ∑ D xy4．设幂级数a n (x − 1)n 在 x = 2 处条件收敛，则该级数在x = 处是（）（ A ）条件收敛（B ）绝对收敛（ C ）发散（D ）敛散性不一定5．设线性无关的函数 y 1 , y 2 , y 3 都是二阶非齐次线性方程 y "+ p (x )y '+ q (x )y = f (x ) 的解， c 1 , c 2 为任意常数，则该方程的通解是（）（ A ） c 1y 1 + c 2 y 2 + y 3 （B ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (c 1 + c 2 )y 3 （ C ） c 1y 1 + c 2 y 2 − (1 − c 1 − c 2 )y 3 （D ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (1 − c 1 − c 2 )y 31．（8 分）设u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + xy + 3x − 2y − 6z ，求点 P 0 (1,1,1) 处从点 P 0 到点 P 1 (3, 0, − 1) 方向的方向导数P 0 和在点 P 0 处的梯度 gradu (1,1,1)2．（8 分）计算 I = x 2 + y 2 − 4 dxdy , 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 9D3．（8 分）计算∫∫ (x2+ y 2 )dv ，其中Ω 是由曲线绕 z 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z = 2， z = 8 所围成的区域。

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装订线内不得答题
自
觉
遵守考试规则，诚信考试，绝不
作弊
7．设设||3)(2
3
x x x x f +=,则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为【】．
（A ） 0 ； (Ｂ）１ ; （C) 2 ； (D) 3
8．积分
=+⎰
-
xdx x x 2sin )sin (2
2
4π
π
【】
（A ）３/4 (Ｂ) 0 （C) 4/3 （D) １
9
．
下
列
不
等
式
正
确
的
有
【】
(Ａ) ⎰
⎰<
1
21
sin sin dx x xdx , （B)
⎰
⎰
<
1
21
cos cos dx x xdx ,
(C)
⎰⎰>π
ππ
π
22sin 2
dx e dx e
x x
, (D ）
⎰
⎰
<
π
π
20
23sin sin xdx xdx
１0．设y
x z =, 则=dz 【】
(A ) )(ln dy x y xdx x y
+
(B ) )(ln dx x y
xdy x y + (C ) )(ln dy x y xdx y x + (D ) )ln (ydx dy x
x x y +
三、计算题(每小题9分,共63分)
1１．dx e x
a x a x x
x ⎰+∞
-→=+-1
2
0)(lim ,求a 的值。

１２、求dx x x x ⎰
-+2
2
2)1(
1３.计算⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-+-+-∞→222222291
3912911
91lim n n n n n n 。

1４.求直线⎩⎨⎧=++-=--+0
10
1:z y x z y x L 在平面0:=++∏z y x 上的投影直线L '
15．求不定积分⎰
-dx x
x
1arcsin
１６．设⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=2
2
)
1(21
)1ln(t arctgt y t x 求
.,22dx y d dx dy
１7.0)1
1
(
lim 2=--++∞→b ax x x x ,求a ，b 的值。

四、证明题（７分）
)(x f = 是在区间]1 ,0[上任一非负连续函数。

)1 ,0(0∈x ,使得在区间 ] ,0[0x 上以)(0x f 为高的矩形面积,等于在区间
)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积。

)(x f y =在)1 ,0(内可导, 并且x
x f x f )
(2)(->',证明（1)中的)1 ,0(0∈x 是唯一
北京科技大学 200７--20０8年第一学期
答案:
一、（1）分子分母有理化得34,(2))(230x f '(3）22x - （４）1-x （5)π3
2
二、（6)C(７)C （8）C (9)Ｂ (１０)Ｂ
三、计算题
11解:dx e e e x a x a im l x a x
x ⎰+∞
---→===+-1
1420)(，则4=a
12.解:dx x x dx x x x ⎰⎰--+=-+2
22
2
)1(1)1(2)1(,令t x sin 1=-
原式ππ
π
4
3
cos )2sin 211(22
2
=++
=
⎰-
tdt t
1３.解⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-+-+-∞→222222291
3912911
91lim n n n n n n ＝2
1
)(911lim n
i n i n -∑∞
=∞→=
⎰
-1
2
11dx x ＝ａrcsi ｎ
10
3
x = arcs ｉn
3
1
14．解：过直线L 做平面ππ⊥',交线为L '，
直线L
的方向向量{}2,2,01111--=--=k j s ，取{}1,1,0
，{}1,1,011-==j n ，
取L 上一点{}0,1,0,01 ,0)1(:=--=--'z y z y 即π,投影直线⎩⎨⎧=--=++'0
10
:z y z y x L
1５.解法1:;令 tdt t dx t x x t cos )(sin 2,)(sin ,arcsin
2===则
]
cos cos [2cos 2sin 2cos sin 2cos ⎰⎰⎰⎰
--=-==tdt t t t td tdt t tdt t t
t
原式＝]
=C x x x ++--2arcsin
12
解法2：原式=]arcsin 1arcsin 1[21arcsin 2x d x x x x d x ⎰
⎰--
--=--
C
x x x x
d x x ++--=+--=⎰2arcsin 122arcsin 12
16. )1(2
t t dx
dy ++-=， t t t dx y d 2)1)(21(22
2++-=
1７．解：01
)()1(lim )11(
lim 22=+-+--=--++∞→∞→x b
x b a x a b ax x x x x ，1=a ,1-=b 18. 解:１8
四、证明题 19．（1０分）证明：
(1)令⎰-=1
)()(x dt t f x x g ]1 ,0[∈, 并且)(x g 在)1 ,0(可导,0)1()0(==g g 。

由罗尔定理知,
存在)1 ,0(0∈x ，使得0)(0='x g 。

⎰-='1
)()()(x dt t f x xf x g , 代入0x 得到⎰=1
00
)(x dt t f x , 命题成立。

0)(')(2)()()()(''>+=+''+=x xf x f x f x f x x f x g (由已知x
x f x f )
(2)(-
>'), 即)(x g '是x 的单调函数, 故零点是唯一的。

装订线内不得答题
自觉
遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊。