悬链线方程的推导

悬链线方程的推导

一根无比柔软的绳子，两固定，自然静止状态下，它的形状是悬链线。其实曲线是以绳子命名的。如何根据绳子的受力来推导出悬链线方程呢？用高等数学所学的知识就够了。

第一步：背景知识 ㈠我们熟悉如何将)2sin(πα⋅+n 转化成余弦的形式，口诀是奇变偶不变，符号看象限。 现在扩展一下，研究正切、余切，正割、余割的转化口诀。 tanx cotx 转换：奇变号变偶不变。也就是说，n 为奇数时，要转化成相反形式，且要补一个负号，n 为偶数时就不用变了。 secx cscx 转换：奇变偶不变，符号看象限。我正弦、余弦非常相似。 ㈡不定积分

C x x C x x x x d x dx xdx C x x C x x x d x x d x x x dx x dx xdx ++=++-+=++==+-=+=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰tan sec ln )2cot()2csc(ln )2

sin()2(cos sec cot csc ln 2tan ln 2

tan 2tan 2tan 22sec 2

cos 2sin 2sin csc 2ππππ

求⎰+22a

x dx

，令t a x tan =，22ππ<<-t a

C C C a x x C a

x a a x C t t tdt a t a tdt a ln )ln(ln tan sec ln sec tan sec 1122222222-=+++=+++=++==+=⎰⎰

㈢

双曲余弦 chx e e y x x =+=-2 双曲正弦 shx e e y x

x =-=-2

反双曲余弦 x>0时，archy y y x =-+=)1ln(2； 反双曲正弦 arshy y y x =++=)1ln(2； 求导：shx

chx chx shx ='=')()( 第二步：微分方程

平衡方程：

,

0cos ,0sin =-⋅=-⋅H T gs T θρθ 解得：

g

H a dx y a y a s H gs

x ρρθ='+='===⎰,11tan 02 边界条件：x=0 y=a ； x=0 y'=0。

求解微分方程

2,0y )()()1()1()1(1,0011)1ln(:111111d d ,11202101122

222a x a x x x e e a a x ch

a y C a y C a

x ch a a x d a x sh a dy a

x d a x sh a dx x a sh dy x a

sh dx dy x a

sh p x a

arshp C p C x a arshp C x a p p dx a p dp dx a p dp p a x p y p y y a y -==+⋅=⋅====+⋅==⋅=====∴==+=

+=

++=+=+∴+==''=''+=

''⎰⎰⎰⎰代入，得

把代入，得把解得，则令