线段垂直平分线的性质定理的逆定理
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
辅助线作法？ P
A
？？ C
B
A
P
c
B
P
？
c
B
尝试一： 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB， PC =PC， ∠PCA =∠PCB
失败！SSA不能证全等。
尝试二：
证明：连结点P和AB的中点C(作△PAB的中线PC)，
知识要点
线段垂直平分线的逆定理： 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
P
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
三 例题1:
已知：如图，在△ABC中，AB,AC的中垂线DP与EP相交于点P,
求证：点P在BC的中垂线上。
优翼 课件
冀教版八年级数学上（JJ）
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段垂直平分线性质定理的逆定理
定兴二中肖村分校 白金山
导入新课
情境引入
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一 个公共汽车站，使两个小区到车站的直线距离一样长，该公 共汽车站应建在什么地方？
AE=AE ∴ △ABE ≌△ADE（SSS）． ∴BE=DE（全等三角形对应线段相等）
证明两条线段相等的方法：
一、全等三角形。 二、线段中垂线性质 定理
挑战自我
已知：如图，在△ABC中， ∠C =90°，线 段BC的中垂线交AB于点D,点D为AB中点， 点F为AC中点，连结DF， 求证：DF是线段AC的垂直平分线
B A
P
当堂练习
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ A ）
A．AB垂直平分CD；
Ｃ
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
Ａ
O
Ｂ
D．CD平分∠ ACB ．
Ｄ
知识梳理
线段中垂线的判定方法：
∵AB =AC， ∴ 点A在线段BC的中垂线上。 ∵MB =MC ， ∴ 点A在线段BC的中垂线上。
分析：
课堂小结
请你谈谈知识上的收获！ 请你谈谈解题方法上的收获！ 请你谈谈数学学习活动中的感受！
课后作业
课本117页A组、B组习 题完
当堂练习
2、已知：如图，AB=AD，BC=DC,
点E是AC上一点，
求证：BE=DE.
证明：在△ABC 和△ADC 中，
AB=AD， BC =DC，
AC=AC ∴ △ABC ≌△ADC（SSS）． ∠BAC =∠DAC (全等三角形对应角相等) 在△ABE 和△ADE 中，
AB=AD， ∠BAE =∠DAE（已证）
证明：如图，连结PA,PB,PC，
∵DP是AB的中垂线， ∴ PB=PA (线段中垂线性质定理) ∵EP是AC的中垂线， ∴ PA=PC(线段中垂线性质定理) ∴ PB=PC（等量代换） ∴点P在BC的中垂线上（逆定理 到线段两 端距离相等的点在这条线段的中垂线上）
解决问题
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一 个公共汽车站，使两个小区到车站的直线距离一样长，该公 共汽车站应建在什么地方？
∴直线AM 是线段BC 的垂直 平分线．（两点确定一条直线）
对比掌握线段中垂线的两大判定方法： 一、定义，证垂直，证平分。 二、两次逆定理，两点确定一条直线
当堂练习
2、已知：如图，AB=AD，BC=DC,
点E是AC上一点，
求证：BE=DE.
证明：∵ AB =AD， ∴ 点A在线段BD的中垂线上。（逆定理） ∵BC =DC ， ∴ 点C在线段BD的中垂线上。（逆定理） ∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线．（两点确 定一条直线） 。 ∴ BE=DE(中垂线性质定理，线段中 垂线上的点到线段两端距离相等) 。
在△PCA 和△PCB 中，
PA =PB，
PC =PC，
AC=BC
P
∴ △PCA ≌△PCB（SSS）．
∠PCA =∠PCB （全等三角形对应角相等）
又 ∵ ∠PCA +∠PCB=180 °
A
c
B
∴ ∠PCA =90 °
∴ PC⊥AB ．
又 AC =BC ，
∴ 直线PC是线段AB的垂直平分线，
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．
B A
讲授新课
一 线段垂直平分线性质定理：
如果一个点在线段的中垂线上， 那么它到线段两端的距离相等。 A
P
？
？
B
逆命题：
如果一个点到线段两端的距离相等， 那么它一定在该线段的中垂线上。
A
P B
讲授新课
二 逆命题的证明:
画图，写出 已知求证
已知：PA=PB, 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。A 分析： 一证垂直，二证平分。
A
？？ C
B
A
P
c
B
P
？
c
B
尝试一： 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB， PC =PC， ∠PCA =∠PCB
失败！SSA不能证全等。
尝试二：
证明：连结点P和AB的中点C(作△PAB的中线PC)，
知识要点
线段垂直平分线的逆定理： 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
P
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
三 例题1:
已知：如图，在△ABC中，AB,AC的中垂线DP与EP相交于点P,
求证：点P在BC的中垂线上。
优翼 课件
冀教版八年级数学上（JJ）
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段垂直平分线性质定理的逆定理
定兴二中肖村分校 白金山
导入新课
情境引入
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一 个公共汽车站，使两个小区到车站的直线距离一样长，该公 共汽车站应建在什么地方？
AE=AE ∴ △ABE ≌△ADE（SSS）． ∴BE=DE（全等三角形对应线段相等）
证明两条线段相等的方法：
一、全等三角形。 二、线段中垂线性质 定理
挑战自我
已知：如图，在△ABC中， ∠C =90°，线 段BC的中垂线交AB于点D,点D为AB中点， 点F为AC中点，连结DF， 求证：DF是线段AC的垂直平分线
B A
P
当堂练习
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ A ）
A．AB垂直平分CD；
Ｃ
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
Ａ
O
Ｂ
D．CD平分∠ ACB ．
Ｄ
知识梳理
线段中垂线的判定方法：
∵AB =AC， ∴ 点A在线段BC的中垂线上。 ∵MB =MC ， ∴ 点A在线段BC的中垂线上。
分析：
课堂小结
请你谈谈知识上的收获！ 请你谈谈解题方法上的收获！ 请你谈谈数学学习活动中的感受！
课后作业
课本117页A组、B组习 题完
当堂练习
2、已知：如图，AB=AD，BC=DC,
点E是AC上一点，
求证：BE=DE.
证明：在△ABC 和△ADC 中，
AB=AD， BC =DC，
AC=AC ∴ △ABC ≌△ADC（SSS）． ∠BAC =∠DAC (全等三角形对应角相等) 在△ABE 和△ADE 中，
AB=AD， ∠BAE =∠DAE（已证）
证明：如图，连结PA,PB,PC，
∵DP是AB的中垂线， ∴ PB=PA (线段中垂线性质定理) ∵EP是AC的中垂线， ∴ PA=PC(线段中垂线性质定理) ∴ PB=PC（等量代换） ∴点P在BC的中垂线上（逆定理 到线段两 端距离相等的点在这条线段的中垂线上）
解决问题
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一 个公共汽车站，使两个小区到车站的直线距离一样长，该公 共汽车站应建在什么地方？
∴直线AM 是线段BC 的垂直 平分线．（两点确定一条直线）
对比掌握线段中垂线的两大判定方法： 一、定义，证垂直，证平分。 二、两次逆定理，两点确定一条直线
当堂练习
2、已知：如图，AB=AD，BC=DC,
点E是AC上一点，
求证：BE=DE.
证明：∵ AB =AD， ∴ 点A在线段BD的中垂线上。（逆定理） ∵BC =DC ， ∴ 点C在线段BD的中垂线上。（逆定理） ∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线．（两点确 定一条直线） 。 ∴ BE=DE(中垂线性质定理，线段中 垂线上的点到线段两端距离相等) 。
在△PCA 和△PCB 中，
PA =PB，
PC =PC，
AC=BC
P
∴ △PCA ≌△PCB（SSS）．
∠PCA =∠PCB （全等三角形对应角相等）
又 ∵ ∠PCA +∠PCB=180 °
A
c
B
∴ ∠PCA =90 °
∴ PC⊥AB ．
又 AC =BC ，
∴ 直线PC是线段AB的垂直平分线，
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．
B A
讲授新课
一 线段垂直平分线性质定理：
如果一个点在线段的中垂线上， 那么它到线段两端的距离相等。 A
P
？
？
B
逆命题：
如果一个点到线段两端的距离相等， 那么它一定在该线段的中垂线上。
A
P B
讲授新课
二 逆命题的证明:
画图，写出 已知求证
已知：PA=PB, 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。A 分析： 一证垂直，二证平分。