混沌理论及其应用实例精品PPT课件
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混沌理论 综述 很全ppt课件
混沌与分岔
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展 2. 混沌的概念 3. 混沌的特点 4. 混沌现象举例 5. 分岔的概念 6. 混沌的研究方法 7. 分岔的研究方法 8. 混沌在现代科技领域的应用
.
混沌与分岔的起源与发展
❖ 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
.
分岔的概念
❖ 分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学 系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。
❖ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
.
混沌的概念
❖ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
❖ n周 期 轨道的定义：当 x0为f 的一个n 周期点时， 称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
.
混沌现象举例--昆虫繁衍
下面取λ为不同值对虫口方程进行迭代求解： 1. 取λ：0—1迭代 ❖ 容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=λXn (1—Xn)迭代
归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳定态。 2. 取λ：1—3迭代 ❖ 迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的1周
混沌的特点
2. 内在随机性
❖ 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展 2. 混沌的概念 3. 混沌的特点 4. 混沌现象举例 5. 分岔的概念 6. 混沌的研究方法 7. 分岔的研究方法 8. 混沌在现代科技领域的应用
.
混沌与分岔的起源与发展
❖ 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
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分岔的概念
❖ 分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学 系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。
❖ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
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混沌的概念
❖ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
❖ n周 期 轨道的定义：当 x0为f 的一个n 周期点时， 称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
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混沌现象举例--昆虫繁衍
下面取λ为不同值对虫口方程进行迭代求解： 1. 取λ：0—1迭代 ❖ 容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=λXn (1—Xn)迭代
归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳定态。 2. 取λ：1—3迭代 ❖ 迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的1周
混沌的特点
2. 内在随机性
❖ 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
混沌理论与管理思想的发展课件
领导力是一种影响力 ，可以通过影响他人 的思想和行为来实现 目标。
领导力是一种素质， 是领导者必备的核心 能力。
混沌理是一种研究复 杂系统行为的科学，其 核心是动态、非线性、
不可预测性。
领导力作为一种复杂的 社会现象，需要应对不 断变化的环境和情况， 因此与混沌理论有很好
01
混沌理论在组织行为学中的应用，可以帮助我们更好地理解和 预测组织中的行为和结果。
02
混沌理论可以解释组织中的一些复杂现象，例如组织的变革、
组织的演化等。
混沌理论还可以帮助我们更好地理解组织中的非线性关系和非
03
因果关系，以及这些关系对组织行为的影响。
05
混沌理论与领导力
领导力的基本概念
领导力是一种能力， 可以影响和激励他人 ，以实现共同的目标 。
混沌理论与管理 思想的发展课件
目录
• 混沌理论概述 • 混沌理论对管理思想的影响 • 混沌理论在管理思想中的发展 • 混沌理论与组织行为学 • 混沌理论与领导力 • 混沌理论与决策制定
01
混沌理论概述
混沌理论的基本概念
混沌理论是一种研究非线性动态系统行为的理论，揭示了自然和社会现象中的复杂 性和不确定性。
04
混沌理论与组织行为学
组织行为学的基本概念
1
组织行为学是一门研究组织内部成员行为的学科 ，其目的是通过理解和预测组织成员的行为，以 提高组织的绩效和效率。
2
组织行为学的研究范围包括个体行为、群体行为 、领导行为、组织行为等。
3
组织行为学强调人的因素在组织中的作用，以及 组织对人的行为的影响和塑造。
决策类型
根据不同的分类方法，决 策可以分为确定性决策、 不确定性决策、风险性决 策等。
混沌系统理论 ppt课件
D log N(r) 或 log(1/ r)
DlimlogN(r) r0 log1(/ r)
一般地，我们就把这样定义的容量维叫做豪斯道夫 维数，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此
时的D 值称为该分形的分形维数，简称分维。也有人
把该维数称为分数维。
奇怪吸引子
奇怪吸引子又叫分形吸引子，因为它们都是相空间的分形点集， 不能用传统的规则几何图形表示。一个耗散系统的相空间当时间 趋于无穷大时，如果收缩到一个非整数维的点集，这就是一个奇 怪吸引子。
混沌系统理论 ppt课件
蝴蝶效应
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次 演讲中提出：一只南美洲的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，在两 周以后可以引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。
此效应说明，事物发展的结果， 对初始条件具有极为敏感的依赖 性，初始条件的极小偏差，将会 引起结果的极大差异，甚至会呈 现一种混沌状态。
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。 Nhomakorabea伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
xn1axn(1xn)
它经常被用来描述没有世代交叠的昆虫群体的繁殖 演化，称为虫口模型。a为控制参数，虫口数x为状 态变量，xn为第n代虫口数，虫口模型给出第n代虫 口与第n+1代虫口的关系，知道n代虫口就可以按 逻辑斯蒂方程计算第n+1代虫口。
混沌系统理论 ppt课件
非周期定态
在奇怪吸引子上的运动是系统的一种稳 定定态行为。 在奇怪吸引子上的运动具有回归性，但 混沌的回归性是不严格的，是非周期的。 非周期运动也可能是定态行为，非周期 定态未必都是混沌。
｛ ｛ 回归性
严格的周期性 周期性
准周期性
｛混沌式非周期
非周期性
非混沌式非周期
非线性回归 完备分类
对初始条件的敏感依赖性
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。
洛伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
“上帝的指纹”
混沌理论的特征
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家--曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自然的分形 几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
康托尔三分集
谢尔宾斯基地毯
分 形 项 链
在离散系统中，通常取逻辑斯蒂方程为典型系 统。
Logistic Equation：
x n 1 a x n (1 x n ) 或
xn1 1 x 2
虫口模型
逻辑斯蒂方程在生态学中的应用是无世代交叠的 虫口系统，x为状态变量，a或λ为控制变量。方程 给出第n代虫口数与第n+1代虫口数的确定性关系。 0<x<1， 0<a<4
近代物理实验--混沌通信原理及其应用课件PPT
2021/3/10
21
注意事项
1.在拔出和插入模块前，一定要关闭实验仪电源。
2. 在调整混沌过程中，把W1(W2、W3)调到最大，再 慢慢调小，出现很小的图形时，按下示波器的自动 按键，使其自动选择合适显示档位。
3.系统地混沌区域较小，一定要仔细调节，一旦出 现混沌态，就不能再大幅度调节W1(W2)否则会失去 混沌态，需重新调节。
2021/3/10
8
实验仪器
信号发生器 示波器
2021/3/10
9
实验原理-非线性电阻的伏安特性
非线性电阻伏安特性
对欧姆定律不适用的导体和器件 ，即电流和电压不成 正比的电学元件叫做非线性元件。非线性元件表现出 混沌现象
2021/3/10
10
实验原理-混沌波形发生实验
蔡氏电路混沌发生实验
L-C振荡电路
从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运
动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的
2021/3/10
28
2021/3/1024 几种混沌的照片2021/3/10
25
拓展研究内容： 1.简述混沌理论在通讯中的应用
2021/3/10
26
拓展研究内容--混沌与蝴蝶效应：
❖ 1960年，美国麻省理工学院教授洛伦兹研究“长期天气预 报”问题时，在计算机上用一组简化模型模拟天气的演变。 他原本的意图是利用计算机的高速运算来提高技期天气预报 的准确性。但是，事与愿违，多次计算表明，初始条件的极 微小差异，均会导致计算结果的很大不同。
近代物理实验 --混沌通信原理及其应用
2021/3/10
1
研究混沌的意义
❖ 混沌的发现和混沌学的建立，同相对论和 量子论一样，是对牛顿确定性经典理论的重 大突破，为人类观察物质世界打开了一个新 的窗口。
混沌理论浅说【精品-ppt】
一则西方寓言：
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。
马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小 的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。 这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。
3、什么是混沌呢？
它的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文Chaos）。
这些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己
Байду номын сангаас
的规律。
混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。
60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生
物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，
2、从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑 的，成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的微小变化往往导 致运动形式质的变化，出现与外界激励有本质区别的行为，发生空间规整 性有序结构的形成和维持。正是非线性作用，才形成了物质世界的无限多 样性、丰富性、曲折性、奇异性、复杂性、多变性和演化性。
理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素 的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模 型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非 线性效应。
经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方 法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理 实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看来，经典科学实 质上是线性科学。线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展，在 自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。
《混沌理论及应用》课件
混沌同步
混沌同步可以实现两个或多个非线性系统的同步通信，具有高度的同步性和可靠性。
混沌在图像处理中的应用
混沌加密图像
混沌加密图像可以对图片进行 加密保护，使其具有高度的安 全性和不可逆性。
混沌水印技术
混沌水印技术可以对图片进行 水印嵌入和提取，具有高度的 鲁棒性和安全性。
混沌编码解码
混沌编码解码可以对数据进行 加密和解密，隐藏其中的信息， 具有高度的安全性和可靠性。
2
混沌加密
混沌加密是利用混沌的随机特性对数据进行保护，具有高度的安全性和可靠性。
3
混沌控制器
混沌控制器可以在控制系统中实现非线性强耦合的混沌控制和同步。
混沌在通信中的应用
混沌扩频通信
混沌扩频通信利用混沌序列进行扩频信号的编码和解码，具有高抗干扰性。
混沌调制通信
混沌调制通信利用混沌信号代替传统的正弦信号进行通信，具有更高的安全性和抗干扰性。
总结
1 混沌理论的优点与不足
混沌理论具有良好的创新性、广泛的应用前景，但在实际应用中也存在一些问题和不足。
2 混在实际应用中的前景
混沌技术在通信、图像处理、非线性控制等领域有广泛的实际应用前景。
3 混沌理论在其他领域的发展及应用
混沌理论的应用研究正向更广的领域拓展，如金融市场、生物医学等。
混沌理论及应用
混沌理论在科学、通信、图像处理等领域都有广泛的应用。本课件介绍了混 沌的基本特性和在不同领域中的具体应用。
引言
定义混沌
混沌是指一个看似随机、无序的非线性系统中存在的规律性行为。
历史背景
混沌理论的概念最早由伦敦数学家罗伯特·迈·梅耶在1975年提出。
混沌在科学中的重要性
混沌理论改变了人们对科学中确定性的看法，揭示了系统中固有的不确定性和复杂性。
混沌同步可以实现两个或多个非线性系统的同步通信，具有高度的同步性和可靠性。
混沌在图像处理中的应用
混沌加密图像
混沌加密图像可以对图片进行 加密保护，使其具有高度的安 全性和不可逆性。
混沌水印技术
混沌水印技术可以对图片进行 水印嵌入和提取，具有高度的 鲁棒性和安全性。
混沌编码解码
混沌编码解码可以对数据进行 加密和解密，隐藏其中的信息， 具有高度的安全性和可靠性。
2
混沌加密
混沌加密是利用混沌的随机特性对数据进行保护，具有高度的安全性和可靠性。
3
混沌控制器
混沌控制器可以在控制系统中实现非线性强耦合的混沌控制和同步。
混沌在通信中的应用
混沌扩频通信
混沌扩频通信利用混沌序列进行扩频信号的编码和解码，具有高抗干扰性。
混沌调制通信
混沌调制通信利用混沌信号代替传统的正弦信号进行通信，具有更高的安全性和抗干扰性。
总结
1 混沌理论的优点与不足
混沌理论具有良好的创新性、广泛的应用前景，但在实际应用中也存在一些问题和不足。
2 混在实际应用中的前景
混沌技术在通信、图像处理、非线性控制等领域有广泛的实际应用前景。
3 混沌理论在其他领域的发展及应用
混沌理论的应用研究正向更广的领域拓展，如金融市场、生物医学等。
混沌理论及应用
混沌理论在科学、通信、图像处理等领域都有广泛的应用。本课件介绍了混 沌的基本特性和在不同领域中的具体应用。
引言
定义混沌
混沌是指一个看似随机、无序的非线性系统中存在的规律性行为。
历史背景
混沌理论的概念最早由伦敦数学家罗伯特·迈·梅耶在1975年提出。
混沌在科学中的重要性
混沌理论改变了人们对科学中确定性的看法，揭示了系统中固有的不确定性和复杂性。
图像处理应用实例ppt课件
（3）图像增强 使用膨胀算法，使与白色象素连接的背景
点(黑色象素)合并到目标象素中，结果是使白象 素区域增大，空洞缩小。
（4）车牌区域检测
车牌区域检测就是利用车牌字符垂直边缘紧 密连接的特征来检测的。
（5）颜色分析 颜色分析就是根据待定车牌区域的颜色信息判断车牌
Him=0如果Im
e e e d d 0 i (0 ) (r0 )2 / 2 (0 )2 / 2
不同尺寸；256－Byte
(4) 匹配
1 2048
HD 2048
Aj Bj
j 1
循环策略：旋转校正
☆ 国际上影响最大、识别率很高
2、多通道Gabor滤波器方法
特点：用多通道Gabor滤波器或小波滤波器形成多幅不同频 率的图像；计算每幅图像的均值与方差；由欧氏距离进行 判决识别。
4. 易接受性。
可以不与人体接触，甚至能够在人们没有觉察的情况 下把虹膜图像拍摄下来。
虹膜识别技术的基本原理
图
虹
特
像
膜
征
获
定
提
取
位
取
特 征 数 据 库
识
别
识别 或
认
认证
证 结
果
虹膜定位
1. Daugman定位方法
max (r,x0, y0)
G
(r)
*
r
r,
x0
,
y0
I(x, y) ds
2r
缺点：最优化求解易陷于局部极值点； 如果全空间搜索，时间开销很大
缺点：阈值选取；耗时长 优点：对瞳孔定位时，稳定性较好
尺度校正
x(r, ) (1 r)xp ( ) rxs ( ) y(r, ) (1 r) yp ( ) rys ( )
第6章 混沌与分岔ppt课件
BIT
PEMC
1. 对初值的敏感性
混沌的特点
混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在 《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著 名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动 流体块中的对流为模型，提出了著名的 Lorenz 方程。 Lorenz 用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
BIT
PEMC
混沌与分岔的起源与发展
混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的 研究得到迅速发展，如
Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌；
Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
BIT
PEMC
混沌概念
混沌，英文为 chaos ，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首先 提出。 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
BIT
PEMC
混沌与分岔的起源与发展
分岔现象最早来源于 1729 年 Musschenbrock 对压杆失稳实 验的观察，这种分岔现象在固体力学中称屈曲。 1834年雅可比首次提出分岔这个术语。 1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的分 岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔研 究的重要动力。 20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研究 中发现大量的分岔现象。 以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直 到20世纪60年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性 分析等方面逐渐形成了现代数学理论。
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我们就说这个函数是线性的. 反之,该函数为非线性的.
3
牛顿第二定律研究自由落体:
m dv mg , dt dx v dt
xt0 , vt0
通常我们所处理的是线性系统:原因处理方法简单 (数理方法)
建立微分方程组
只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于
这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体
Period 4
25
Case 4
sufficient small
R
Irregular Random Nonperiodic orbit disclosed orbit
Chaos
26
Attractors of Chua’s circuit
27
28
实验现象的观察一
周期一
周期二
29
实验现象的观察二
铁条
磁铁
y
Duffing方程 yvy (y3y)Fsitn
10
yvy (y3y)Fsitn
F 0 y 1, y 1 y0
两个稳态 一个非稳态
11
双稳态系统 U(x)1kx21x4
24
x
k
k
12
v, F 0
不规则运动
13
yvy(y3y)Fcots v0.3,F0
14
15
16
17
Experiment of Shaw(1984)
以往和未来的全部运动状态
4
无阻尼单摆
d2
d2t
g l
sin
0
m
d21
d2t
gl sin1
0
d22
d2t
gl sin2
0
d2(d12 t2)g lsin1 (2)0
5
研究手段
线性问题: 线性方程普适方法 非线性问题: 非线性方程很难找到普遍的解决方
法，只能对具体问题做具体分析 针对个别问题的特点采取特殊的处理方法,有时
加很强的约束条件 20世纪60年代开始，电子计算机的应用, “计算物理”和“实验数学” ，非线性的研究
广泛开展
6
实验系统: 力学实验,电路实验,光学系统,生物 系统,化学反应等
计算机数值计算方法: 建立模型和描述方程, 编写程序,模拟系统的演化,并分析系统的性质
理论解析分析: 有时+计算机分析
xn1axn(1xn)
图1-1 Logistic映象的分叉与混沌 36
变量空间分岔的自相似行为
37
典型的混沌系统
非线性映象系统(时间离散、变量连续)
(1) Logestic 映象
xn1axn(1xn)
(2) 帐篷映射
xn111axn 38
Regular Period 2
Regular Period 4
12345
Regular Period 8
Irregular chaos
To chaos: double period bifurcation 20
Chua’s circuit
XSC 1
G T AB
R 1.4kohm
L1 18mH
C2 100nF
x x, xmax x
x xx2
x1cet ,
t0,
xx0
1c
t, x 34
变换 迭代
y x,
y y (1 y )
x n 1 a n ( 1 x x n )x n , [ 0 ,1 ]a ,[ 0 ,4 ]
Logistic map ,虫口模型
35
Logistic 映象
混沌理论及其应用 绪论
1
第1章 前言
1.1线性与非线性 1.2非线性系统和混沌现象 1.3混沌研究的发展及意义 1.4 课程内容简介
2
1.1 线性与非线性
如果在某个坐标系下,函数f具有叠加原理的性 质: y1=f(x1) , y2=f(x2) , y1+y2=f(x1+x2) , f(ax)=af(x)
7
1.2 非线性系统和混沌现象
非线性广泛存在自然界和社会生活中,线性行为只是平衡态
附近的近似结果,自然界本质是非线性的.
弹性振动
1.简谐振动: 振子质量m=1,角频率 ,x为位
移, 势能 U(x) 12x2
2
牛顿第二定律: m d 2x mx f dU
线性系统
d 2t
dx
x 2 x
Dripping faucet Light source Light sensor
Drop 1 t 1 Drop 2 t 2 Drop 3 t 3
…
. Drop n t n
18
Experiment of Shaw(1984)
The time sequence: t1,t2,t3,...,
Define the time interval: tn tn1tn
周期四
周期五
30
实验现象的观察三
周期三
单吸引子
31
实验现象的观察四
阵发混沌
32
虫口模型
虫口模型1: 虫口增长率与现有的虫口数成正比
xx, 0
解
xx0et, t0,xx0 t , x
考虑实际外界因素影响: 资源不足,不同区域间作用
33
模型2
虫口过密,考虑虫与虫之间争夺有限的资源是限制虫 口增长的主要因素
R3 22kohm
3
2 C1 10nF
8
U1A
1
4 R2 TL082CD
R1 22kohm
3.3kohm
R6 220ohm
8
U1B
5
7 6
4 R5 TL082CD
R4 220ohm
2.2kohm
f (V )
0
V
21
Chua’s circuit
Oscillograph
U C2
R U C1
iL
L
C2
C1 RN
x 2 x 0
8
2. 实际系统中 一维弹性系统的势能一般为:
U ( x) 1 kx2 1 x3 1 x 4 ......
2
3
4
k ,
f dU kx x 2 x3 ...
dx x f
非线性系统
9
达芬(Duffing)振子
周期力
Fsint
感应器
Chaos in dynamical systems p.2-3
The time interval sequence:
t1,t2,t3,...,
Try to find inflow rate vs. the time intervals
19
Experiment of Shaw(1984)
Inflow rate increasing
Regular Period 1
方程解 VS. 电阻 R
22
Case 1
Greater R
Regular Closed Orbits Limited cycle
Period 1
23
Case 2
Decrease R
Regular Closed Orbits
Period 2
24
Case 3
Decrease R
Regular Closed Orbits
3
牛顿第二定律研究自由落体:
m dv mg , dt dx v dt
xt0 , vt0
通常我们所处理的是线性系统:原因处理方法简单 (数理方法)
建立微分方程组
只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于
这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体
Period 4
25
Case 4
sufficient small
R
Irregular Random Nonperiodic orbit disclosed orbit
Chaos
26
Attractors of Chua’s circuit
27
28
实验现象的观察一
周期一
周期二
29
实验现象的观察二
铁条
磁铁
y
Duffing方程 yvy (y3y)Fsitn
10
yvy (y3y)Fsitn
F 0 y 1, y 1 y0
两个稳态 一个非稳态
11
双稳态系统 U(x)1kx21x4
24
x
k
k
12
v, F 0
不规则运动
13
yvy(y3y)Fcots v0.3,F0
14
15
16
17
Experiment of Shaw(1984)
以往和未来的全部运动状态
4
无阻尼单摆
d2
d2t
g l
sin
0
m
d21
d2t
gl sin1
0
d22
d2t
gl sin2
0
d2(d12 t2)g lsin1 (2)0
5
研究手段
线性问题: 线性方程普适方法 非线性问题: 非线性方程很难找到普遍的解决方
法，只能对具体问题做具体分析 针对个别问题的特点采取特殊的处理方法,有时
加很强的约束条件 20世纪60年代开始，电子计算机的应用, “计算物理”和“实验数学” ，非线性的研究
广泛开展
6
实验系统: 力学实验,电路实验,光学系统,生物 系统,化学反应等
计算机数值计算方法: 建立模型和描述方程, 编写程序,模拟系统的演化,并分析系统的性质
理论解析分析: 有时+计算机分析
xn1axn(1xn)
图1-1 Logistic映象的分叉与混沌 36
变量空间分岔的自相似行为
37
典型的混沌系统
非线性映象系统(时间离散、变量连续)
(1) Logestic 映象
xn1axn(1xn)
(2) 帐篷映射
xn111axn 38
Regular Period 2
Regular Period 4
12345
Regular Period 8
Irregular chaos
To chaos: double period bifurcation 20
Chua’s circuit
XSC 1
G T AB
R 1.4kohm
L1 18mH
C2 100nF
x x, xmax x
x xx2
x1cet ,
t0,
xx0
1c
t, x 34
变换 迭代
y x,
y y (1 y )
x n 1 a n ( 1 x x n )x n , [ 0 ,1 ]a ,[ 0 ,4 ]
Logistic map ,虫口模型
35
Logistic 映象
混沌理论及其应用 绪论
1
第1章 前言
1.1线性与非线性 1.2非线性系统和混沌现象 1.3混沌研究的发展及意义 1.4 课程内容简介
2
1.1 线性与非线性
如果在某个坐标系下,函数f具有叠加原理的性 质: y1=f(x1) , y2=f(x2) , y1+y2=f(x1+x2) , f(ax)=af(x)
7
1.2 非线性系统和混沌现象
非线性广泛存在自然界和社会生活中,线性行为只是平衡态
附近的近似结果,自然界本质是非线性的.
弹性振动
1.简谐振动: 振子质量m=1,角频率 ,x为位
移, 势能 U(x) 12x2
2
牛顿第二定律: m d 2x mx f dU
线性系统
d 2t
dx
x 2 x
Dripping faucet Light source Light sensor
Drop 1 t 1 Drop 2 t 2 Drop 3 t 3
…
. Drop n t n
18
Experiment of Shaw(1984)
The time sequence: t1,t2,t3,...,
Define the time interval: tn tn1tn
周期四
周期五
30
实验现象的观察三
周期三
单吸引子
31
实验现象的观察四
阵发混沌
32
虫口模型
虫口模型1: 虫口增长率与现有的虫口数成正比
xx, 0
解
xx0et, t0,xx0 t , x
考虑实际外界因素影响: 资源不足,不同区域间作用
33
模型2
虫口过密,考虑虫与虫之间争夺有限的资源是限制虫 口增长的主要因素
R3 22kohm
3
2 C1 10nF
8
U1A
1
4 R2 TL082CD
R1 22kohm
3.3kohm
R6 220ohm
8
U1B
5
7 6
4 R5 TL082CD
R4 220ohm
2.2kohm
f (V )
0
V
21
Chua’s circuit
Oscillograph
U C2
R U C1
iL
L
C2
C1 RN
x 2 x 0
8
2. 实际系统中 一维弹性系统的势能一般为:
U ( x) 1 kx2 1 x3 1 x 4 ......
2
3
4
k ,
f dU kx x 2 x3 ...
dx x f
非线性系统
9
达芬(Duffing)振子
周期力
Fsint
感应器
Chaos in dynamical systems p.2-3
The time interval sequence:
t1,t2,t3,...,
Try to find inflow rate vs. the time intervals
19
Experiment of Shaw(1984)
Inflow rate increasing
Regular Period 1
方程解 VS. 电阻 R
22
Case 1
Greater R
Regular Closed Orbits Limited cycle
Period 1
23
Case 2
Decrease R
Regular Closed Orbits
Period 2
24
Case 3
Decrease R
Regular Closed Orbits