2021-2022年高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列的求和及应用练习理

2021年高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列的求和及应用练习理

一、选择题

1.已知数列112，314，518，71

16，…，则其前n 项和S n 为( )

A.n 2＋1－1

2n

B.n 2＋2－1

2n

C.n 2

＋1－12

n －1

D.n 2

＋2－

12

n －1 解析 a n ＝(2n －1)＋1

2

n ，

∴S n ＝n （1＋2n －1）2＋12⎝ ⎛

⎭⎪

⎫1－12n 1－

12＝n 2＋1－12

n .

答案 A

2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则数列{a n }的前40项和S 40等于( ) A.20 B.40 C.60 D.80 解析 由a n ＋1＝

a n a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，可得a 3＝3，a 4＝1，a 5＝13，a 6＝1

3

，a 7＝1，a 8＝3，…，这是一个周期为6的数列，一个周期内的6项之和为26

3

，又40＝6×6＋4，

所以S 40＝6×26

3＋1＋3＋3＋1＝60.

答案 C 3.

122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1

的值为( ) A.n ＋12（n ＋2）

B.34－n ＋1

2（n ＋2）

C.34－12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2

D.32－1n ＋1＋1n ＋2

解析 ∵1（n ＋1）2

－1＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－1

5＋…＋1n －1n ＋2

＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 答案 C

4.各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则∑n

k ＝1

a 2k ＝( ) A.n （n ＋5）

2 B.3n （n ＋1）

2 C.

n （5n ＋1）

2

D.

（n ＋3）（n ＋5）

2

解析 当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2，即3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3，

当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得：3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1).∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，

∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴∑n

k ＝1

a 2k ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n （n －1）

2×3＝3n （n ＋1）

2

，选B.

答案 B

5.数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝

⎛⎭

⎪⎫

cos 2

n π

3

－sin 2

n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( ) A.470 B.490 C.495

D.510

解析 因为a n ＝n 2

⎝

⎛⎭⎪⎫cos

2

n π

3

－sin 2

n π3＝n 2cos 2n π

3

， 由于cos 2n π3以3为周期，且cos 2π3＝－12，cos 4π3＝－1

2，

cos 6π

3

＝1，

所以S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋222＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－42＋522＋62＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－282＋292

2＋302

＝∑k ＝1

10

⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－（3k －2）2

＋（3k －1）2

2＋（3k ）2

＝∑k ＝110

⎝ ⎛

⎭⎪⎫9k －52＝470.

答案 A

二、填空题

6.在数列{a n }中， a n ＝

1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，若b n ＝2

a n a n ＋1

，则数列{b n }的前n 项和S n 为________.

解析 a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝n （n ＋1）

2

n ＋1

＝n

2

. ∴b n ＝

2

a n a n ＋1

＝

2n （n ＋1）4

＝8n （n ＋1）＝8⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

n －1n ＋1，

∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝8⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1

＝8⎝

⎛

⎭⎪⎫1－1n ＋1＝8n

n ＋1

. 答案

8n n ＋1