使用魔术公式的轮胎模型

使用魔术公式的轮胎模型

使用魔术公式的轮胎模型主要有Pacejka ’89、Pacejka ’94、MF-Tyre 、MF-Swift 四种。 Pacejka ’89和’94轮胎模型

Pacejka ’89 和’94轮胎模型是以魔术公式主要提出者H. B. Pacejka 教授命名的，根据其发布的年限命名。目前有两种直接被ADAMS 引用。

魔术公式是用三角函数的组合公式拟合轮胎试验数据，用一套形式相同的公式就可以完整地表达轮胎的纵向力F x 、侧向力F y 、回正力矩M z 、翻转力矩M x 、阻力矩M y 以及纵向力、侧向力的联合作用工况，故称为“魔术公式”。

魔术公式的一般表达式为：

()()(){}[]Bx Bx E Bx C D x Y arctan arctan sin --=

式中Y(x)可以是侧向力，也可以是回正力矩或者纵向力，自变量x 可以在不同的情况下分别表示轮胎的侧偏角或纵向滑移率，式中的系数B 、C 、D 依次由轮胎的垂直载荷和外倾角来确定。

Pacejka ’89轮胎模型认为轮胎在垂直、侧向方向上是线性的、阻尼为常量，这在侧向加速度常见范围≤0.4g ，侧偏角≤5°的情景下对常规轮胎具有很高的拟合精度。此外，由于魔术公式基于试验数据，除在试验范围的高精度外，甚至在极限值以外一定程度仍可使用，可以对有限工况进行外推且具有较好的置信度。魔术公式正在成为工业标准，即轮胎制造商向整车厂提供魔术公式系数表示的轮胎数据，而不再是表格或图形。

基于魔术公式的轮胎模型还有较好的健壮性，如果没有某一轮胎的试验数据，而使用同类轮胎数据替代仍可取得很好的效果。

图 基于魔术公式的轮胎模型的输入和输出变量

Pacejka ’89轮胎力与力矩的计算 轮胎纵向力计算公式为：

()()()()()V X S BX BX E BX C D F +--=111arctan arctan sin

其中X 1为纵向力组合自变量：X 1=(κ+S h )，κ为纵向滑移率（负值出现在制动态，-100表示车轮抱死）

C ——曲线形状因子，纵向力计算时取B 0值：C = B 0

D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F B F B D 22

1+= BCD ——纵向力零点处的纵向刚度：(

)

Z

F B Z Z e F B F B BCD 542

3-⨯+=

B – 刚度因子：B=BCD/(

C ×D)

S h ——曲线的水平方向漂移：109B F B S Z h += S v ——曲线的垂直方向漂移：S v =0

E ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：8726B

F B F B E Z Z ++=

图 轮胎属性文件中的纵向力计算系数数据块

图 Pacejka ’89轮胎纵向力示例

轮胎侧向力计算公式为：

()()()()()V Y S BX BX E BX C D F +--=111arctan arctan sin

此时的X 1为侧向力计算组合自变量：X 1=(α+S h )，α为侧偏角 C ——曲线形状因子，侧向力计算时取A 0值：C = A 0 D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F A F A D 22

1+= BCD ——侧向力零点处的侧向刚度：()γ54

31arctan

2sin A A F A BCD Z

-⨯⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛= B – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)

S h ——曲线的水平方向漂移：γ8109A A F A S Z h ++=

曲线形状因子

巅因子计算系数 BCD 计算系数 曲线水平漂移计算系数

曲线曲率因子计算系数

S v ——曲线的垂直方向漂移：131211A F A F A S Z Z V ++=γ

E ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：76A

F A E Z +=

图 轮胎属性文件中的侧向力计算系数数据块

图 Pacejka ’89轮胎纵向力示例

轮胎回正力矩计算公式为：

()()()()()V Z S BX BX E BX C D M +--=111arctan arctan sin

此时的X 1为回正力矩计算组合自变量：X 1=(α+S h )，α为侧偏角 C ——曲线形状因子，回正力矩计算时取C 0值：C = C 0 D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F C F C D 22

1+=

BCD ——回正力矩零点处的扭转刚度：(

)()

Z

F C Z Z e C F C F C BCD 5642

31-⨯-⨯+=γ

B – 刚度因子：B=BCD/(

C ×D)

S h ——曲线的水平方向漂移：131211C F C C S Z h ++=γ

曲线形状因子

巅因子计算系数 BCD 计算系数 曲线水平漂移计算系数 曲线曲率因子计算系数 曲线垂直漂移计算系数

S v ——曲线的垂直方向漂移：()

1716152

14C F C F C F C S Z Z Z V +++=γ

E ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：()()

γ1098271C C F C F C E Z Z -⨯++=

图 轮胎属性文件中的回正力矩计算系数数据块

图 Pacejka ’89轮胎回正力矩示例

侧偏刚度（Lateral Stiffness ）

侧偏刚度在Pacejka ’89和’94轮胎模型中假定是一个常量，在轮胎属性文件的参数PARAMETER 数据段中通过LATERAL_STIFFNESS 语句设定。

侧向形变D e ：D e ＝F y /LATERAL_STIFFNESS ； 翻转力矩：M x ＝ -F z ×D e ；

纵向力和侧偏角联合作用的回正力矩M z ；

M Z = M Z,MF + Fx ×D e ，这里M Z,MF 为魔术公式计算所得的回正力矩。

滚动阻力（Rolling resistance ）

滚动阻力系数R R 同样是在轮胎属性文件中规定的具体值，滚动阻力矩M y ： M y = F z ×R e ×R R

曲线形状因子

巅因子计算系数

BCD 计算系数

曲线水平漂移计算系数

曲线曲率因子计算系数

曲线垂直漂移计算系数