3.2.3导数的四则运算法则 高中数学选修1-1课件资源

3.2.3 导数的四则运算法则
学习目标：
1.理解两函数的和(或差)的导数法则， 会求一些函数的导数．
2.理解两函数的积（或商）的导数法则， 会求一些函数的导数
3.会求一些简单复合函数的导数.
教学重难点
教学重点：
导数公式和导数的四则运算法则。
教学难点：
灵活地运用导数的四则运算法则进 行相关计算
同理有
(v 0).
(cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
(u)v u w v w u v w uw v
u(1x)
u(x) -u2(x).
课后作业
课本P91
练习A 1,2
练习 设 y = sec x，求 y .
解 根据推论 2，有
y
(
s
exc)
1
coxs
-
(cosx) cos2 x
csoi2n xsxtax nsexc.
即 同理可得
(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x .
四、复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
即
(u v) = u v
这个法则可以推广到有限个可导函数的和
的情形,即
( u 1 u 2 u n ) u 1 u 2 u n .
例 1 求函数 y2x-1sinx3的导数.
x
解 y(2x-1sinx3)
x (2x)-(1)(six)n (3)
x
=2xln2+x12 +coxs.
且 yx yuux，或 yxf(u)(x)
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 则)
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以 limu0. x 0 lxi m 0 xy lxi m 0 u y u xlxi m 0 uylxi m 0 ux
yx 2
1 (1-x2)
(1-x2)x
-x .
1- x2
达标练习
5. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
解 f(x)cosx2(x2)x2xcosx2
课堂小结
导数的四则运算法则
推论 1 推论 2 推论 3
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uv-uv v2
lu i0 m u y lx i0 m u xyuux，
即 yxyuux.
例5：求 ysin2x 的导数
分析：(sin x) cos x (sin 2x)cos 2x ?
解1：yx(sin2x)(2sinxcosx)
2 (c x c o x o - s ss x isn x i) n 2co 2xs
2a - (a x)2 .
例 4 设 函数 y = tan x，求 y .
解
y(taxn)sinx
coxs
(six)n cox- ssixn (cx o)s
co2xs
co 2cxs o 2sxsi2n xc1 o 2xsse2x c.
即 同理可得
(tan x) = sec2x . (cot x) = - csc2x .
yu(u2)2u, ux(sx i)ncox.s
所以
y x y u u x 2 u cx o 2 s sx ic n x o . s
例 7 设y 1-x2, 求 y .
解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
yu (
u)1 1 也 在 心 中 运 算 . 2u 2(1-x2)
这样可以直接写出下式
由于 yu(u5)5u4, ux(2x1)2.
所以 y x y u u x 5 u 4 2 1 ( 2 x 0 1 ) 4 .
例 6 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利 用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.而
v (x + x) = v(x) + v .
因此 y = [u(x + x)±v(x + x)] - [u(x) ± v(x)]
= [(u+ u)± (v + v)] - ( u±v)
所以
= u±v .
y uv, x x x
ylim ylim uv x 0x x 0x x lim ulim vuv, x 0x x 0x
例 2 设 f(x)(1x2)(1-x12),求 f (1).
解 根据乘法法则，有
f(x ) (1 x 2 )(1 -x 1 2) (1 x 2)1 ( -x 1 2) 2x(1-x12)(1x2)x23 2 2x x3
所以 f(1)4.
三、函数商的导数
法则 3 设 u=u(x)、v =v(x) 都是 x 的可导
函数, 且v≠ 0, 则
y
u v
也是 x 的可导函数,且
yu vuvv-2uv (v0)
(证明方法同法则1,故证明从略.)
推论 2
1 v
Hale Waihona Puke Baidu
-
v v2
(c为常数)
例3 设函数 y a - x , 求 y .
a x
解 根据除法法则，有
(a-x)(ax)-(a-x)a (x)
y
(ax)2
-(ax)-(a-x) (ax)2
解2： ysin2x可由y=sinu,u=2x复合而成
y u co u ,u x s 2
y u .u x 2 cu o 2 c s2 o xs yx yu ux =2cos2x
练习 设 y = (2x + 1)5，求 y .
解 把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5 看成是由 y = u5，u = 2x + 1 复合而成，
二、函数积的导数
法则 2 如果 u=u(x)、 v =v(x) 都是 x 的 可导函数 ，则 y=uv 也是 x 的可导函数 ，且
y =(uv) = uv + uv (证明方法同法则1,故证明从略.)
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数). 这个法则可以推广到有限个可导函数积的 情形,例如 (uvw) = uvw + uvw + uvw .