2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
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由题意可知图形如图： 的面积为 ，可得 ＝ ，则
＝ ， ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
外接球的半径为： ，
球 的表面积： ＝ ．
11.已知 ＝ ，直线 ＝ ， 为 上的动点．过点 作 的切线 ， ，切点为 ， ，当 最小时，直线 的方程为（）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ．
则以 为直径的圆的方程为 ．
联立 ，可得直线 的方程为 ＝ ．
12.若 ＝ ，则（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
指数函数的图像与性质
对数函数的图象与性质
【解析】
先根据指数函数以及对数函数的性质得到 ；再借助于函数的单调性即可求解结论．
【解答】
因为 ＝ ＝ ；
同理可得 ，又 ＝ ，
故 平面 ；
建立如图所示的空间直角坐标系，则有 ， ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，可取 ，
同理可求得平面 的法向量为 ，
故 ，即二面角 的余弦值为 ．
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
【解答】
， 为单位向量，且 ＝ ，
＝ ，
可得 ，
＝ ，
所以 ，
则 ．
已知 为双曲线 的右焦点， 为 的右顶点， 为 上的点，且 垂直于 轴．若 的斜率为 ，则 的离心率为________．
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用已知条件求出 ， 的坐标，通过 的斜率为 ，转化求解双曲线的离心率即可．
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，得到函数在 ＝ 处的导数，再求得 ，然后利用直线方程的点斜式求解．
【解答】
由 ＝ ，得 ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
又 ＝ ＝ ，
∴函数 ＝ 的图象在点（ ）处的切线方程为 ＝ ，
即 ＝ ．
故选： ．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直
【解析】
（1）设圆 的半径为 ，求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到 ， ，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 及平面 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
【解答】
不妨设圆 的半径为 ， ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ， ，
，
在 中， ＝ ，故 ，
【解答】
若 ＝ ，则 ＝ ＝ ＝ ，
则 ＝ ＝ ，
2.设集合 ＝ ， ＝ ，且 ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合 ， ，再由交集的定义，可得 的方程，解方程可得 ．
【解答】
集合 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
由 ＝ ，可得 ＝ ，
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】
不妨设圆 的半径为 ， ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ， ，
，
在 中， ＝ ，故 ，
同理可得 ，又 ＝ ，
故 平面 ；
建立如图所示的空间直角坐标系，则有 ， ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，可取 ，
同理可求得平面 的法向量为 ，
故 ，即二面角 的余弦值为 ．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 ．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【答案】
甲连胜四场只能是前四场全胜， ＝ ．
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况，
甲连胜四场的概率为 ，乙连胜四场比赛的概率为 ，
【解答】
， 满足约束条件 ，
不等式组表示的平面区域如图所示，
由 ，可得 时，目标函数 ＝ ，可得 ，
当直线 过点 时，在 轴上截距最大，
此时 取得最大值： ＝ ．
设 ， 为单位向量，且 ＝ ，则 ＝________．
【答案】
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
直接利用向量的模的平方，结合已知条件转化求解即可．
【解答】
设正四棱锥的高为 ，底面边长为 ，侧面三角形底边上的高为 ，
则依题意有： ，
因此有 ＝ （负值舍去）；
4.已知 为抛物线 ＝ 上一点，点 到 的焦点的距离为 ，到 轴的距离为 ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
直接利用抛物线的性质解题即可．
【解答】
为抛物线 ＝ 上一点，点 到 的焦点的距离为 ，到 轴的距离为 ，
展开式含 的项为： ＝ ；
故 的展开式中 的系数为 ；
9.已知 ，且 ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的三角函数
【解析】
利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于 的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得 的值．
【解答】
由 ＝ ，得 ＝ ，
【解析】
（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场比赛，乙连日胜四场比赛，丙上场后连胜三场，由此能求出需要进行五场比赛的概率．
（3）丙最终获胜，有两种情况，比赛四场结束且丙最终获胜，比赛五场结束丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，由此能求出丙最终获胜的概率．
因为 ＝ 即 ；
令 ＝ ，由指对数函数的单调性可得 在 内单调递增；
且 ；
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
若 ， 满足约束条件 则 ＝ 的最大值为________．
【答案】
【考点】
简单线性规划
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在 轴上的截距最大值即可．
【解析】
根据条件可知 、 、 三点重合，分别求得 、 、 即可．
【解答】
由已知得 ， ＝ ，
因为 、 、 三点重合，所以 ＝ ， ＝ ，
则在 中，由余弦定理可得 ＝ ＝ ，
所以 ＝ ＝ ，
则在 中，由余弦定理得 ，
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
【解答】
甲连胜四场只能是前四场全胜， ＝ ．
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况，
甲连胜四场的概率为 ，乙连胜四场比赛的概率为 ，
丙上场后连胜三场的概率为 ，
∴需要进行五场比赛的概率为：
＝ ．
丙最终获胜，有两种情况，
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ，
比赛五场结束丙最终获胜，
则 ＝ ．
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
直接由散点图结合给出的选项得答案．
【解答】
由散点图可知，在 至 之间，发芽率 和温度 所对应的点 在一段对数函数的曲线附近，
结合选项可知， ＝ 可作为发芽率 和温度 的回归方程类型．
6.函数 ＝ 的图象在点（ ）处的切线方程为（）
即为 ， ，
若选 ，即有 ，由 ，可得 不为整数，排除 ；
若选 ，即有 ，由 ，可得 ＝ ，成立．
8. 的展开式中 的系数为（）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
先把条件整理转化为求 展开式中 的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．
【解答】
因为 ；
要求展开式中 的系数即为求 展开式中 的系数；
7.设函数 ＝ 在 的图象大致如图，则 的最小正周期为（）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
三角函数的周期性
【解析】
由图象观察可得最小正周期小于 ，大于 ，排除 ， ；再由 ＝ ，求得 ，对照选项 ， ，代入计算，即可得到结论．
【解答】
由图象可得最小正周期小于 ，大于 ，排除 ， ；
由图象可得 ＝ ＝ ，
由题意 ， ， ，
∴ ， ， ＝ ，解得： ＝ ，
故椭圆 的方程是 ＝ ；
由（1）知 ， ，设 ，
则直线 的方程是 ，
联立 ＝ ，
由韦达定理 ，
代入直线 的方程为 得：
，即 ，
直线 的方程是 ，
联立方程 ＝ ，
由韦达定理 ，
代入直线 的方程为 得 ，
，
化简可得 ，
所以数列 的前 项和为 ．
【考点】
等差数列与等比数列的综合
数列的求和
【解析】
（1）设 是公比 不为 的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比 ；
（2）求得 ， ，运用数列的数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简整理，可得所求和．
【解答】
设 是公比 不为 的等比数列，
为 ， 的等差中项，可得 ＝ ，
即 ＝ ，
即为 ＝ ，
解得 ＝ （ 舍去），
所以 的公比为 ；
若 ＝ ，则 ＝ ，
＝ ，
则数列 的前 项和为 ＝ ，
＝ ，
两式相减可得 ＝
，
化简可得 ，
所以数列 的前 项和为 ．
如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ＝ ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新wk.baidu.com标Ⅰ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】
D
【考点】
复数的模
【解析】
由复数的乘方和加减运算，化简 ，再由复数的模的定义，计算可得所求值．
丙上场后连胜三场的概率为 ，
∴需要进行五场比赛的概率为：
＝ ．
丙最终获胜，有两种情况，
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ，
比赛五场结束丙最终获胜，
则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：
胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 ，
∴丙最终获胜的概率 ．
【考点】
相互独立事件
相互独立事件的概率乘法公式
即 ＝ ，解得 ＝ （舍去），或 ．
∵ ，∴ ，
则 ．
10.已知 ， ， 为球 的球面上的三个点， 为 的外接圆．若 的面积为 ， ＝ ＝ ＝ ，则球 的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
【解析】
画出图形，利用已知条件求出 ，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．
【解答】
【解析】
由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得 ，说明要使 最小，则需 最小，此时 与直线 垂直．写出 所在直线方程，与直线 的方程联立，求得 点坐标，然后写出以 为直径的圆的方程，再与圆 的方程联立可得 所在直线方程．
【解答】
化圆 为 ＝ ，
圆心 ，半径 ＝ ．
∵ ＝ ＝ ．
∴要使 最小，则需 最小，此时 与直线 垂直．
则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：
胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 ，
∴丙最终获胜的概率 ．
已知 ， 分别为椭圆 ＝ 的左、右顶点， 为 的上顶点， ． 为直线 ＝ 上的动点， 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 ．
（1）求 的方程；
（2）证明：直线 过定点．
【答案】
【解答】
为双曲线 的右焦点 ， 为 的右顶点 ，
为 上的点，且 垂直于 轴．所以 ，
若 的斜率为 ，可得： ，
＝ ，代入上式化简可得 ＝ ， ，
可得 ＝ ， ，
解得 ＝ ．
如图，在三棱锥 的平面展开图中， ＝ ， ＝ ， ， ， ＝ ，则 ＝________ ．
【答案】
【考点】
余弦定理
棱锥的结构特征
设 是公比不为 的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ＝ ，求数列 的前 项和．
【答案】
设 是公比 不为 的等比数列，
为 ， 的等差中项，可得 ＝ ，
即 ＝ ，
即为 ＝ ，
解得 ＝ （ 舍去），
所以 的公比为 ；
若 ＝ ，则 ＝ ，
＝ ，
则数列 的前 项和为 ＝ ，
＝ ，
两式相减可得 ＝
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有： ＝ ；
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 和温度 （单位： ）的关系，在 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ＝ ,…, 得到下面的散点图：
由此散点图，在 至 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是（）
＝ ， ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
外接球的半径为： ，
球 的表面积： ＝ ．
11.已知 ＝ ，直线 ＝ ， 为 上的动点．过点 作 的切线 ， ，切点为 ， ，当 最小时，直线 的方程为（）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ．
则以 为直径的圆的方程为 ．
联立 ，可得直线 的方程为 ＝ ．
12.若 ＝ ，则（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
指数函数的图像与性质
对数函数的图象与性质
【解析】
先根据指数函数以及对数函数的性质得到 ；再借助于函数的单调性即可求解结论．
【解答】
因为 ＝ ＝ ；
同理可得 ，又 ＝ ，
故 平面 ；
建立如图所示的空间直角坐标系，则有 ， ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，可取 ，
同理可求得平面 的法向量为 ，
故 ，即二面角 的余弦值为 ．
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
【解答】
， 为单位向量，且 ＝ ，
＝ ，
可得 ，
＝ ，
所以 ，
则 ．
已知 为双曲线 的右焦点， 为 的右顶点， 为 上的点，且 垂直于 轴．若 的斜率为 ，则 的离心率为________．
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用已知条件求出 ， 的坐标，通过 的斜率为 ，转化求解双曲线的离心率即可．
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，得到函数在 ＝ 处的导数，再求得 ，然后利用直线方程的点斜式求解．
【解答】
由 ＝ ，得 ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
又 ＝ ＝ ，
∴函数 ＝ 的图象在点（ ）处的切线方程为 ＝ ，
即 ＝ ．
故选： ．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直
【解析】
（1）设圆 的半径为 ，求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到 ， ，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 及平面 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
【解答】
不妨设圆 的半径为 ， ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ， ，
，
在 中， ＝ ，故 ，
【解答】
若 ＝ ，则 ＝ ＝ ＝ ，
则 ＝ ＝ ，
2.设集合 ＝ ， ＝ ，且 ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合 ， ，再由交集的定义，可得 的方程，解方程可得 ．
【解答】
集合 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
由 ＝ ，可得 ＝ ，
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】
不妨设圆 的半径为 ， ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ， ，
，
在 中， ＝ ，故 ，
同理可得 ，又 ＝ ，
故 平面 ；
建立如图所示的空间直角坐标系，则有 ， ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，可取 ，
同理可求得平面 的法向量为 ，
故 ，即二面角 的余弦值为 ．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 ．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【答案】
甲连胜四场只能是前四场全胜， ＝ ．
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况，
甲连胜四场的概率为 ，乙连胜四场比赛的概率为 ，
【解答】
， 满足约束条件 ，
不等式组表示的平面区域如图所示，
由 ，可得 时，目标函数 ＝ ，可得 ，
当直线 过点 时，在 轴上截距最大，
此时 取得最大值： ＝ ．
设 ， 为单位向量，且 ＝ ，则 ＝________．
【答案】
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
直接利用向量的模的平方，结合已知条件转化求解即可．
【解答】
设正四棱锥的高为 ，底面边长为 ，侧面三角形底边上的高为 ，
则依题意有： ，
因此有 ＝ （负值舍去）；
4.已知 为抛物线 ＝ 上一点，点 到 的焦点的距离为 ，到 轴的距离为 ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
直接利用抛物线的性质解题即可．
【解答】
为抛物线 ＝ 上一点，点 到 的焦点的距离为 ，到 轴的距离为 ，
展开式含 的项为： ＝ ；
故 的展开式中 的系数为 ；
9.已知 ，且 ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的三角函数
【解析】
利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于 的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得 的值．
【解答】
由 ＝ ，得 ＝ ，
【解析】
（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场比赛，乙连日胜四场比赛，丙上场后连胜三场，由此能求出需要进行五场比赛的概率．
（3）丙最终获胜，有两种情况，比赛四场结束且丙最终获胜，比赛五场结束丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，由此能求出丙最终获胜的概率．
因为 ＝ 即 ；
令 ＝ ，由指对数函数的单调性可得 在 内单调递增；
且 ；
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
若 ， 满足约束条件 则 ＝ 的最大值为________．
【答案】
【考点】
简单线性规划
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在 轴上的截距最大值即可．
【解析】
根据条件可知 、 、 三点重合，分别求得 、 、 即可．
【解答】
由已知得 ， ＝ ，
因为 、 、 三点重合，所以 ＝ ， ＝ ，
则在 中，由余弦定理可得 ＝ ＝ ，
所以 ＝ ＝ ，
则在 中，由余弦定理得 ，
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
【解答】
甲连胜四场只能是前四场全胜， ＝ ．
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况，
甲连胜四场的概率为 ，乙连胜四场比赛的概率为 ，
丙上场后连胜三场的概率为 ，
∴需要进行五场比赛的概率为：
＝ ．
丙最终获胜，有两种情况，
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ，
比赛五场结束丙最终获胜，
则 ＝ ．
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
直接由散点图结合给出的选项得答案．
【解答】
由散点图可知，在 至 之间，发芽率 和温度 所对应的点 在一段对数函数的曲线附近，
结合选项可知， ＝ 可作为发芽率 和温度 的回归方程类型．
6.函数 ＝ 的图象在点（ ）处的切线方程为（）
即为 ， ，
若选 ，即有 ，由 ，可得 不为整数，排除 ；
若选 ，即有 ，由 ，可得 ＝ ，成立．
8. 的展开式中 的系数为（）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
先把条件整理转化为求 展开式中 的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．
【解答】
因为 ；
要求展开式中 的系数即为求 展开式中 的系数；
7.设函数 ＝ 在 的图象大致如图，则 的最小正周期为（）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
三角函数的周期性
【解析】
由图象观察可得最小正周期小于 ，大于 ，排除 ， ；再由 ＝ ，求得 ，对照选项 ， ，代入计算，即可得到结论．
【解答】
由图象可得最小正周期小于 ，大于 ，排除 ， ；
由图象可得 ＝ ＝ ，
由题意 ， ， ，
∴ ， ， ＝ ，解得： ＝ ，
故椭圆 的方程是 ＝ ；
由（1）知 ， ，设 ，
则直线 的方程是 ，
联立 ＝ ，
由韦达定理 ，
代入直线 的方程为 得：
，即 ，
直线 的方程是 ，
联立方程 ＝ ，
由韦达定理 ，
代入直线 的方程为 得 ，
，
化简可得 ，
所以数列 的前 项和为 ．
【考点】
等差数列与等比数列的综合
数列的求和
【解析】
（1）设 是公比 不为 的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比 ；
（2）求得 ， ，运用数列的数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简整理，可得所求和．
【解答】
设 是公比 不为 的等比数列，
为 ， 的等差中项，可得 ＝ ，
即 ＝ ，
即为 ＝ ，
解得 ＝ （ 舍去），
所以 的公比为 ；
若 ＝ ，则 ＝ ，
＝ ，
则数列 的前 项和为 ＝ ，
＝ ，
两式相减可得 ＝
，
化简可得 ，
所以数列 的前 项和为 ．
如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ＝ ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新wk.baidu.com标Ⅰ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】
D
【考点】
复数的模
【解析】
由复数的乘方和加减运算，化简 ，再由复数的模的定义，计算可得所求值．
丙上场后连胜三场的概率为 ，
∴需要进行五场比赛的概率为：
＝ ．
丙最终获胜，有两种情况，
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ，
比赛五场结束丙最终获胜，
则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：
胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 ，
∴丙最终获胜的概率 ．
【考点】
相互独立事件
相互独立事件的概率乘法公式
即 ＝ ，解得 ＝ （舍去），或 ．
∵ ，∴ ，
则 ．
10.已知 ， ， 为球 的球面上的三个点， 为 的外接圆．若 的面积为 ， ＝ ＝ ＝ ，则球 的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
【解析】
画出图形，利用已知条件求出 ，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．
【解答】
【解析】
由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得 ，说明要使 最小，则需 最小，此时 与直线 垂直．写出 所在直线方程，与直线 的方程联立，求得 点坐标，然后写出以 为直径的圆的方程，再与圆 的方程联立可得 所在直线方程．
【解答】
化圆 为 ＝ ，
圆心 ，半径 ＝ ．
∵ ＝ ＝ ．
∴要使 最小，则需 最小，此时 与直线 垂直．
则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：
胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 ，
∴丙最终获胜的概率 ．
已知 ， 分别为椭圆 ＝ 的左、右顶点， 为 的上顶点， ． 为直线 ＝ 上的动点， 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 ．
（1）求 的方程；
（2）证明：直线 过定点．
【答案】
【解答】
为双曲线 的右焦点 ， 为 的右顶点 ，
为 上的点，且 垂直于 轴．所以 ，
若 的斜率为 ，可得： ，
＝ ，代入上式化简可得 ＝ ， ，
可得 ＝ ， ，
解得 ＝ ．
如图，在三棱锥 的平面展开图中， ＝ ， ＝ ， ， ， ＝ ，则 ＝________ ．
【答案】
【考点】
余弦定理
棱锥的结构特征
设 是公比不为 的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ＝ ，求数列 的前 项和．
【答案】
设 是公比 不为 的等比数列，
为 ， 的等差中项，可得 ＝ ，
即 ＝ ，
即为 ＝ ，
解得 ＝ （ 舍去），
所以 的公比为 ；
若 ＝ ，则 ＝ ，
＝ ，
则数列 的前 项和为 ＝ ，
＝ ，
两式相减可得 ＝
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有： ＝ ；
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 和温度 （单位： ）的关系，在 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ＝ ,…, 得到下面的散点图：
由此散点图，在 至 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是（）