湖南师范大学附属中学2021届高三第一学期数学月考试卷及答案(三)

湖南师大附中2021届高三月考试卷(三)一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分)1.已知R 是实数集，21M x x ⎧<⎫=⎨⎬⎩⎭，{}1N x y y ==-，则()N M =R( )A.()1,2B.[]0,2C.∅D.(],2-∞2.如图，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=( )A.2B.22C.2D.83.若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“m//α”是“m l ⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“21p -(p 是质数)”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是2213-=，3217-=，52131-=，721127-=，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数.已知第10个梅森数为8921-，则第10个梅森数的位数为( )(参考数据：lg20.301≈)A.25B.29C.27D.285.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为( )A.150B.180C.200D.2806.已知定义在R 上的偶函数()f x ，对任意x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时()21xf x -=-.若在1a >时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.()1,2B.232,2⎛⎫⎪⎝⎭C.()23,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D.()2,+∞7.已知O 为ABC △的外心，26OA OB OC ++=0，则ACB ∠的正弦值为( )A.64B.14C.12D.388.l 是经过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>焦点F 且与实轴垂直的直线，A ，B 是双曲线C 的两个顶点，若在l 上存在一点P ，使45APB ∠=︒，则双曲线离心率的最大值为( )A.2B.3C.2D.3二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 9.下列命题正确的是( )A.若随机变量()~100,X B p ，且()20E X =，则1152D X ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与B C D 是互斥事件，也是对立事件C.一只袋内装有m 个白球，n m -个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，()2P ξ=等于()23m nn m A A -D.由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 得到回归直线方程y bx a =+，那么直线y bx a =+至少经过()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 中的一个点10.若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式不一定成立的是( )A.1ab< B.2b aa b+≥ C.2211ab a b<D.22a ab b +<+11.如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM △沿直线AM 翻折成1AB M △，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( )A.存在某个位置，使得1CN AB ⊥B.翻折过程中，CN 的长是定值C.若AB BM =，则1AM B D ⊥D.若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π12.已知曲线()22:201,2,n C x nx y n -+==.点()1,0P -向曲线n C 引斜率为()0n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y .则下列结论正确的是( )A.数列{}n x 的通项为1n nx n =+ B.数列{}n y 的通项为211n n n y n +=+C.当3n >时，1352111nn nx x x x x x --⋅⋅⋅⋅>+ D.12sin 1n n n n x x x y -<+三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若()()()()17217012172111x a a a x x a x +=+++++++，则012316a a a a a +++++=_______.14.已知抛物线2:4C y x =与圆()22:19E x y -+=相交于A ，B 两点，点M 为劣弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE △的周长的取值范围为________.15.既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展.现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以AB 为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道AC (C 与A ，B 不重合)，A ，B 相距400米，在紧邻休闲小道AC 的两侧及圆弧CB 上进行绿化，设BAC θ∠=，则绿化带的总长度()fθ的最大值约为________米.(参考数据：3 1.7≈，3π≈)16.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()00f =，若对任意x ∈R ，都有()()1f x f x '->，则使得()11exf x +>成立的x 的取值范围为________.四、解答题(本题共6小题，共70分) 17.(本小题满分10分) 在①222sin 2cos 2cos cos 122C B C B C B -+++=，②2tan tan tan B bA B c=+a=()sin C C 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c，且满足a =，3b =，________，求ABC△的面积.18.(本小题满分12分) 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期.各种传染疾病的潜伏期不同，数小时、数天、甚至数月不等.某市疾病预防控制(2)将200期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该市疾病预防控制中心随机调查了该地区30名患者，其中潜伏期超过6天的人数为X ，求随机变量X 的期望和方差：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.已知，如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2AB PA ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，M 分别是BC ，PD 中点，点F 在棱PC 上移动.(1)证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； (2)当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时，确定点F 的位置.20.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公差的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n b a =，*n ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n T .①求证：数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列； ②若存在整数(),1m n m n >>，使得()()m m n n m S T T n S λλ+=+，其中λ为常数，且2λ≥-，求λ的所有可能值.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，过2F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若1F PQ △的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线():0l y kx m m =+≠交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，N的半径为NO .设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求EDF ∠的最小值.已知函数()1ln(1)x f x x ++=，()()1mg x m x =∈+R .(1)判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性； (2)若()()f x g x >在()0,+∞上恒成立，求整数m 的最大值；(3)求证：()()()2311212311en n n -+⨯+⨯++>⎡⎤⎣⎦(其中e 为自然对数的底数).湖南师大附中2021届高三月考试卷(三)数学参考答案三、填空题 13.1721-14.()6,815.88016.()0,+∞三、解答题17.【解析】选①因为222sin 2cos 2cos cos 122C B C BC B -+++=， 所以()()()1cos 1cos 2cos cos 22cos 22cos 1C B C B C B C B A --++++=++=-=， 所以1cos 2A =， 因为C 为三角形的内角， ∴A π=，又∵a =，3b =，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：21139232c c =+-⨯⨯⨯，可得：2340c c --=， 解得4c =，或1-(舍去)，∴11sin 3422ABC S bc A ==⨯⨯=△ 选②∵2tan tan tan B bA B c=+， ∴由正弦定理可得：2tan sin tan tan sin B BA B C =+， 可得：sin 2sin cos sin sin sin cos cos B B B A B CA B⨯=+， 可得：2sin 2sin 2sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos cos cos B B B A B B B A B B A C C CA B A B==+， ∵sin 0B ≠，sin 0C ≠，∴解得1cos 2A =，∵()0,A π∈， ∴3A π=.选③由正弦定理得sin sin a bA B=，∵()3sin sin sin 3cos B A C C =+，∴()3sin sin sin 3sin cos A C A C A C +=+， ∴3cos sin sin sin A C A C =， ∵sin 0C ≠，即3cos sin A A =，tan 3A =，又()0,A π∈， ∴3A π=.潜伏期≤6天潜伏期>6天总计50岁以上(含50岁) 7525 100 50岁以下 45 55 100 总计 12080200由上表可得()22007555254518.75 6.63512080100100K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关. (2)由题意可知，一名患者潜伏期超过6天的概率为8022005P ==， 随机变量服从2~30,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴()230125E X =⨯=. ()2236301555D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.答：随机变量X 的期望和方差分别为12与365. 19.【解析】(1)证明：连接AC ，∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒， ∴ABC △为正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥，又AD//BC ， ∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA AE ⊥，∵PA AD A =，PA AD ⊂、平面PAD ， ∴AE ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD .(2)由(1)知，AE 、AD 、AP 两两垂直，故以AE 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()3,1,0B -，()3,1,0C，()0,2,0D ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，()3,0,0E，∴()3,1,2PC =-，()0,2,2PD =-，()0,0,2AP =.设()3,,2PF PC λλλλ==-，()3,,22AF AP PF λλλ=+=-.设平面PCD 的法向量为()111,,x y z =m ，则1111132022PC x y z PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩m m，令1z =11x =，1y =∴(=m .设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ，则sin cos ,AF AF AF θ⋅====⋅m m m当12λ=时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点. 20.【解析】(1)∵12a =，∴121S=， ∴()11321222n S n n n =+-=+，即21322n S n n =+，当2n ≥时，()()22113111112222n S n n n n -=-+-=+-，∴()112n n n a S S n n -=-=+≥， 当1n =时，12a =符合上式， ∴()*1n a n n =+∈N .(2)①证明：∵()*1n a n n =+∈N ， ∴()21nn b n =+，∴()2322232421n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯+， 则()2341222232421n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯+，两式相减，可整理得12n n T n +=⋅，∴11242n n nT n+-==⨯， ∴数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列.②由①可知，12n n T n +=⋅，且由(1)知21322n S n n =+，代入()()m m n n m S T T n S λλ+=+， 可得21121322213222m n m m m m n n n n λλ++⎛⎫++ ⎪⋅⎝⎭=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 整理得22232232m n m m n n λλ++=++，即22323222n mn n m m λλ++++=， 设2322n nn n c λ++=，则m n c c =，则()()22211113123224222n nn n n n n n n n n c c λλλ+++++++++---+-=-=. ∵2λ≥-，∴当3n ≥时，2112402n n n n n c c λ++---+-=<， 即1n n c c +<，∵1m n >>，且24514360288c c λλλ+++-=-=≥，∴()25n c c n >≥， ∴24c c =或23c c =，即2n =，4m =或3.当2n =，4m =时，2λ=-，当2n =，3m =时，1λ=-. 故λ的所有可能值为1-，2-.21.【解析】(1)由椭圆的定义可知，1F PQ △的周长为4a ，∴48a =，2a =， 又离心率为22， ∴2c =，222422b a c =-=-=，因此椭圆方程为22142x y +=. (2)设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 得()222214240k x kmx m +++-=， 由0∆>，得2242m k <+(*)且122421kmx x k -+=+， 因此122221my y k +=+，所以222,2121kmm D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又()0,N m -，所以2222222121km m ND m k k ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得：()()22422241321m k k ND k ++=+， 因为NF m =， 所以()()()2422222224318312121k k ND k kkNF+++==+++.令283t k =+，3t ≥，故21214t k ++=， 所以()222161611112NDt N t t tF =+=++++. 令1y t t =+， 所以211y t'=-. 当3t ≥时，0y '>，从而1y t t =+在[)3,+∞上单调增， 因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =， 所以22134NF ND ≤+=， 由(*)得m <<且0m ≠， 故设12NFND ≥， 设2EDF θ∠=，则1sin 2NFND θ=≥， 所以θ的最小值为6π. 从而EDF ∠的最小值为3π，此时直线l 的斜率为0. 综上所述：当0k =，()()0,2m ∈时，EDF ∠取得最小值为3π. 22.【解析】(1)因为()()()1ln 10x f x x x ++=>，所以()()21ln 11x x f x x --++'=，()0x >， 又因为0x >，所以101x>+，()ln 10x +>， 所以()0f x '<， 即函数()f x 在()0,+∞上为减函数.(2)由()()f x g x >在()0,+∞上恒成立，即()()11ln 1x x x m x++++<在()0,+∞上恒成立，即()()min11ln 1x x x m x ++++⎛⎫< ⎪⎝⎭， 设()()()11ln 1x x x h x x++++=， 所以()()21ln 1x x h x x --+'=，()0x >，令()()1ln 1g x x x =--+，则()11011x g x x x '=-=>++， 即()g x 在()0,+∞为增函数，又()21ln30g =-<，()322ln20g =->，即存在唯一的实数根a ，满足()0g a =，且()2,3a ∈，()1ln 10a a --+=， 当x a >时，()0g x >，()0h x '>，当0x a <<时，()0g x <，()0h x '<，即函数()h x 在()0,a 为减函数，在(),a +∞为增函数，则()()()()()min 11ln 113,4a a a h a a a h x ++++===+∈，故整数m 的最大值为3.(3)由(2)知，()213ln 1211x x x x -+>=-++，()0x >， 令()1x n n =+，则()()()3311ln 1122231111n n n n n n n n ⎛⎫++>->-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭， ()()()11111ln 112ln 123ln 1123123232231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯++⨯++++>--+--++--⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1231231n n n ⎛⎫=-->- ⎪+⎝⎭， 故()()()2311212311e n n n -+⨯+⨯++>⎡⎤⎣⎦.。