数学建模课程作业

问题一养老金问题

一、问题重述

一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存100元。银行的年利率为4%，且可以任意分段按复利计算，试求解以下问题：

<1> 试问此人在5年后共积累了多少养老金？

<2> 如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？

<3> 如果复利和存款连续计算？

二、问题的分析

复利的计算是对本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。

复利计算的特点：把上期末的本利和作为下一期的一并作为本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。

复利的计算公式是：

n

1(+

=

⨯

S)

i

p

其中：P=本金；i=利率；n=持有期限

问题<1>求解以年为周期，五年以后共积累的养老金,且可以任意分段按复利计算，对于此问题我们可以假设从2010年开始，通过使用EXCEL求解，建立模型如下：2010年1月份的能存满5年100*（1.04）^5，剩下2010年的11个月只能做存满4年算：11*100*（1.04）^4；

2011年1月份的能存满4年100*（1.04）^4，剩下2011年的11个月只能做存满3年算：11*100*（1.04）^3；

2012年1月份的能存满3年100*（1.04）^3，剩下2012年的11个月只能做存满2年算：11*100*（1.04）^2；

2013年1月份的能存满2年100*（1.04）^2，剩下2013年的11个月只能做存满1年算：11*100*1.04；

2014年1月份的能存满1年100*1.04，剩下2014年的11个月均没有达到存满一年

的条件。

问题<2>求解以日为周期，五年以后共积累的养老金,且可以任意分段按复利计算。对于此问题我们同样假设从2010年开始，通过使用EXCEL求解。银行的年利率为4%，转化为日利率为：（4/365）%=0.0109589%。使用EXCEL中的FV函数求解。

FV函数是基于固定利率及等额分期付款方式，返回某项投资的未来值。

语法 FV(rate,nper,pmt,pv,type) 其中各个参数如下：

rate 为各期利率；

nper 为总投资（或贷款）期，即该项投资（或贷款）的付款期总数；

pmt 为各期所应支付的金额，其数值在整个年金期间保持不变，通常 pmt 包括本金和利息，但不包括其他费用及税款。如果忽略 pmt，则必须包含 pv 参数。

pv 为现值，即从该项投资开始计算时已经入帐的款项，或一系列未来付款的当前值的累积和，也称为本金。如果省略 pv，则假设其值为零，并且必须包括 pmt 参数。 type 数字0或 1，用以指定各期的付款时间是在期初还是期末，具体表示意思如下：

问题<3>复利和存款连续计算，五年以后共积累的养老金，且可以任意分段按复利计算。

复利和存款连续计算的话，计算公式如下：

ni

⨯

=

(

p

e

S)

其中：P=本金；i=利率；n=持有期限

三、问题的求解

通过EXCEL软件求解以上模型得到以下结果：

问题<1>求解：

如果存款和复利按年计算，此人在5年后共积累的养老金为：

1408.51+1354.3363+1302.246+1252.16+1204=6521.252元

问题<2>求解：

如果存款和复利按日计算，此人在5年后共积累的养老金为：6733.93元。问题<3>求解：

如果存款和复利连续计算，此人在5年后共积累的养老金为：

1413.002079+1357.597511+1304.365386+1253.220522+1204.081075= 6532.266573元

参考文献

[1] 姜启源,谢金星. 数学建模案例选集[M]. 北京:高等教育出版社, 2006年

[2] 李超. Excel函数与图表实例精讲[M]. 北京:科学出版社，2006.

问题二护士值班安排问题

一、问题重述

某医院负责人每日至少需要下列数量的护士：

每班护士在值班开始时向病房报到，连续工作八个小时，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要雇佣多少护士？

二、基本假设

1．假设每班护士在值班开始时都能准时向病房报到；

2. 假设每班护士在交接班时所耗时间在自己的值班时间内；

三、符号说明

为了便于描述问题，我们用下面的符号来代替问题中涉及的一些基本变量。

四、模型的建立与求解

考虑班次的时间安排，是从6时开始第一班，而第一班最少需要护士数为60，故x1≥60 ，又每班护士连续工作八个小时，以此类推，可以看出每个班次的护士可以为下一个班次工作四小时，据此可以建立如下线性规划模型：

目标函数： 654321min x x x x x x Z +++++= 约束条件： x1+x2≥70

x2+x3≥60 x3+x4≥50 x4+x5≥20 x5+x6≥30 x6+x1≥60 x1≥60

xi ≥0 (i=2,3,4,5,6)

通过lingo 编程解此线性规划模型得到以下结果：

程序代码：

min =x1+x2+x3+x4+x5+x6;

x1+x2>=70; x2+x3>=60; x3+x4>=50; x4+x5>=20; x5+x6>=30; x6+x1>=60;

x1>=60; @gin (x1); @gin (x2); @gin (x3); @gin (x4); @gin (x5); @gin (x6);

运行结果：

Global optimal solution found at iteration: 5 Objective value: 150.0000

Variable Value Reduced Cost X1 60.00000 1.000000 X2 10.00000 1.000000