物理光学 谢敬辉 北理工 第一章第3讲(20140312)

其中 kx , k y , kz 标轴分量
是常矢量 k = kx i + k y j + kz k
的三个坐
三维简谐平面波
• 三维波的波矢
三维波的波矢k，又称传播矢，波的传播方 向完全由k确定
k = kx i + k y j + kz k
kx,ky和kz是波矢矢k的三个直角角坐标分量 若k矢量的方向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则： k = k = k 2x+k 2y+k z2 k = k (cos α i + cos β j + cos γ k )
2 2 2 2 2 2 2 2 & # ∂2 f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f y y y 2 x x x z z z ( ∇ f = % + + , + + , + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 % ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ( $ '
拉普拉斯告诉我们一个函数的曲率。
三维简谐平面波
三维标量波的波动微分方程：
∂ ∂
Laplace
∂ + ∂ ∇
∂ + ∂
,:
∂ = µε ∂ ∂ = υ ∂
∂ = υ ∂
可以证明，以上的方程的解的形式为：
E ( x, y, z, t ) = E ( k x x + k y y + k z z − kυ t )
写出特征方程 写出特征根
r + pr + q = 0
2
r1
r2
根据特征根的不同情形写出微分方程通解 r1 x r2 x y = c e + c e r ≠r 1 2
1 2
r1 = r2 = r
y = c1e + c2 xe
rx
rx
r1,2 = α ± β i
y = c1eα x cos β x + c2eα x sin β x
复振幅： E＝A exp(ik • r )
y α
r γ Σ
o
β
z
s=r k
复振幅：只关心光波在 空间的分布。
三维波的位相
三维简谐平面波
＝Ｃ时，
ϕ ( r , t0 ) = k • r − kυ t0 + ϕ 0
' k ⋅r =C
等相面的方程为：
是平面的点法式方程，且波矢k与一 系列等相面垂直。
r
代替z, 则波函数可写成E( r
1.2.3 三维简谐平面波
1. 三维波动微分方程
三维波的概念:
光波的基本性质
电磁波在三维空间中传播，确定空间考察点的位置需要用三维空间位置矢量 r
用 )或E( x ,y, z ;t ), 按照一维标量波动微 分方程的推导方式，可从麦克斯韦方程组推导出三维矢量波动微分方程为：
2
Laplace微分算符的作用
一个标量函数的拉普拉斯运算（哈米尔顿算符的标量积） % ∂f ∂f ∂f ( 2
∇ f
≡ ∇ ⋅ ∇f
= ∇⋅' , , * & ∂x ∂y ∂z )
∂2 f ∂2 f ∂2 f = + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2
一个矢量函数的拉普拉斯同上，但要对函数的每一分量做运算。
第一章第3讲
Wave Optics
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光波的基本性质
1.1 介绍麦克斯韦电磁理论的要点。重点要了解麦克斯韦方程组的意义及如何 由交变的电场和磁场产生电磁波。
∫ E ⋅ dl = − ∫∫
C A A
∂B ⋅ ds ∂t
1-1 1-2 1-3
∫∫ D ⋅ds = ∫∫∫ ρ ⋅ d ν
ν
∂B ∇× E = − ∂t ∇•D = ρ
思考：当电磁波在三维空间传播，考察点位置坐标需要三个坐标变量，波动方程？ 三维波的概念: 电磁波在三维空间中传播，确定空间考察点的位置需要用三维空间位置矢量 r
r = xi + y j + zk
用 ,t )或E( x ,y, z ;t ), 按照一维标量波动微 分方程的推导方式，可从麦克斯韦方程组推导出三维矢量波动微分方程
说明：讨论球面波和平面波问题具有普遍意义； 任何一个波源，都可以看成是由若干 点波源组成的集合；构成任何复杂波面的基元是球面波或平面波。
② 平面波：等相面为平面、且等相面上各点的扰动大小时刻相等的光波
（１－２４）式表示的一维简谐平面波是平面波：
⎡ 2π ⎤ E ( z − vt ) = E0 cos ⎢ ( z − vt ) + ϕ0 ⎥ ⎣ λ ⎦ 因为ϕ (z,t 0 ) = (kz − kυ t0 ) + ϕ0 = C的等相面
E ( z ) = E0 exp[ j (kz + ϕ0 )]
波的传播实际上就是位相的传播，位相的传播速 度＝波的传播速度
dz υϕ = dt
=υ dϕ = 0
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光波的数学描述
• 一维简谐平面波的波函数的有关参量
– 时间参量
• 时间周期 振动 • 时间频率 • 时间角频率 某考察点处的波的位相随时间的变化
∂B ∇× E = − ∂t ∇⋅ D = ρ ∇⋅ B = 0 ∂D ∇× H = J + ∂t
1 D = ε E; H = B µ J =σE
σ、 µ、ε均为标量
J = 0, σ = 0 ρ =0
∂B ∇× E = − ∂t ∂E ∇ × B = µε ∂t ∇⋅ E = 0 ∇⋅ B = 0
平面波的复数形式： E＝E0 exp[i (k • r − ωt )]
三维简谐平面波
② 时间和空间参量
T ,ν , ω 时间参量 的定义和性质与一维简谐平面波的完全相同；
ϕ0表示三维平面波在坐标原点处的初相位
三维简谐平面波
三维平面波
回顾 平面波
按波面分类
球面波 柱面波
① 波面的概念
某一时刻t0具有相同位相值φ的点的位置轨迹（或集合）称 为光波的波面或等相面。
按以上的定义，光波波面形状的方程应为：
ϕ

=
确定面形
通过以上的波的位相函数可知，波面的形状可以为：平面（波）、球面 （波）、锥面（波），复杂（波）等。
回忆
解析几何中平面的几种表示
ni = − + − + + − + = + =
（1-48）表示的也是三维平面波
E ( r , t ) = E ( k ⋅ r − kν t + ϕ 0 )
3. 三维简谐平面波 ① 波函数
E ( r , t ) = E0 cos( k • r − kυ t + ϕ 0 )
λ = E0 cos(kz − 2π vt + ϕ0 ) 2π = E0 cos(kz − t + ϕ0 )
T = E0 cos(kz − ωt + ϕ0 )
λ
E ( z, t ) = E0 exp[ j (kz − ωt + ϕ0 )] = E ( z ) exp(− jωt )
= E0 exp[ j (kz + ϕ0 )] exp(− jωt )
波函数取正弦或余弦形式的三维平面波称为三维简谐平面波。
= E0 cos( k x x + k y y + k z z − kυ t + ϕ 0 )
k = k = k 2x+k 2y+k z2 k = k (cos α i + cos β j + cos γ k ) k x = k cos α , k y = k cos β , k z = k cos γ
思考 一下 ？？
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光波的基本性质
1.2 光波的数学描述。平面波和球面波的波函数。 光波的数学描述
⎡ 2π ⎤ E ( z − vt ) = E0 cos ⎢ ( z − vt ) + ϕ0 ⎥ ⎣ λ ⎦ 2π v = E0 cos( z − 2π t + ϕ0 )
一维简谐平面波的复指数形 式和复振幅
Human wave
一般人浪的相速度大约每秒20个座位！？
沿空间任一方向k传播的平面波
E＝A cos(k • r − ωt ) E＝A cos[k (x cosα + y cos β + z cos γ ) − ω t ]
平面波的复数形式： E＝A exp[i (k • r − ωt )]
x P(x,y,z) k
k x = k cos α , k y = k cos β , k z = k cos γ
三维简谐平面波
• 三维波的波函数
E ( x, y, z, t ) = E (k x x + k y y + k z z − kν t ) E ( r , t ) = E ( k ⋅ r − kν t + ϕ 0 ) ϕ ( r, t ) = k ⋅ r − kν t + ϕ 0 表示三维波的位相
∂ E ( z, t ) 2 ∇ E ( z, t ) − εµ =0 2 ∂t
⎡ 2π ⎤ E ( z − vt ) = E0 cos⎢ ( z − vt ) + ϕ 0 ⎥ ⎣ λ ⎦
补充：
二阶常系数偏微分方程求解
• 二阶常系数齐次偏微分方程 yʹ′ʹ′ + pyʹ′ + qy = 0