八年级数学下册2第十七章 勾股定理
人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共15张PPT)
知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,
2023-2024学年人教版八年级数学下册课件17.1 勾股定理第1课时 勾股定理
( D ) .
A.6
32
B.
5
18
C.
5
24
D.
5
图17.1-3
5.如图17.1-4，在Rt △ 中，∠ = 90∘ ，
∠ = 30∘ ，垂直平分斜边，交于点，是
垂足，连接.若 = 2，则的长是( C ) .
A.4
B.8
C.4 3
D.2 3
图17.1-4
6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是
我国古代数学的骄傲.如图17.1-5所示的“赵爽弦图”是由
四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正
方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长
为，若 +
2
图17.1-5
= 21，小正方形的面积为5，则大正
2 41或6
9.已知直角三角形的两边长分别为8，10，则第三边长为_________.
10.如图17.1-7，已知△ 和△ 都是等腰直角
三角形，∠ = ∠ = 90∘ ，为边上一点，
求证：22 = 2 + 2 .
提示：证明△ ≌△ SAS ，得 = ．证
学习过程中，我们已经学会了运
用如图17.1-9所示的图形，验证
著名的勾股定理，这种根据图形
直观推论或验证数学规律和公式
图17.1-9
的方法，简称为“无字证明”．实际
上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规
律，它体现的数学思想是 ( C ) .
A.统计思想
B.分类思想
C.数形结合思想
轻松达标
1.在△ 中，∠，∠，∠的对应边分别是，，，若∠ = 90∘ ，
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT课件
b
a
c b
a
c a
b
证明：∵S大正方形＝c2，
cb
S小正方形＝(b - a)2，
a b- a
赵爽弦图
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
∴c2 4 1 ab b a2 a2 b2.
2
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和
聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案
被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把 直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
勾股
勾2 + 股2 = 弦2
利用勾股定理进行计算
例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
(1) 若 a = b = 5，求 c；
(2) 若 a = 1，c = 2，求 b.
问题1 试问正方形 A、B、 C 面积之间有什么样的数 量关系？
S正方形A S正方形B S正方形C
AB C
问题2 图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三 角形三边之间有什么特殊关系？
AB C
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
C A
B
C A
B
左图：SC
4
1 2
2
3
11
13
右图： SC
4
1 2
4
3
11
25
你还有其 他办法求C 的面积吗？
根据前面求出的 C 的面积直接填出下表：
最新人教版数学八年级下册第十七章 -勾股定理
第十七章—勾股定理一、勾股定理1. 概念：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a2+b 2=c 2.2. 公式变形： ①：a2=c 2-b 2,b 2=c 2-a 2②:c=22b a + ,a=22b c - ,b=22a c -勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证3.勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题.b acbac cabcab a bccbaED CBA5.勾股定理的常见类型：（1）勾股定理在实际问题中的应用一般情况下，遇到高度、长度、距离、面积等实际问题时，可以构造直角三角形、运用勾股定理求解。
第十七章勾股定理(教案)2023-2024学年人教版数学八年级下册
6.增强学生的合作交流意识，通过小组讨论和合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通技巧。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的表述及其在直角三角形中的应用，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
b.通过实际案例和练习题，指导学生识别直角三角形的特征，强调在实际问题中如何定位直角三角形，并准确应用勾股定理。
c.对于勾股定理逆定理的理解，教师可以通过构造非直角三角形和直角三角形的对比，让学生通过观察和分析，总结出直角三角形的特性，从而掌握判断方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量旗杆的高度或者计算建筑物与地面的距离。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述及其计算方法。对于难点部分，如定理的证明，我会通过直观的图形演示和逐步的逻辑推理来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理勾股定理的应用立体图形中的最短路程问题优秀教学案例
（三）小组合作
1.分组合作：将学生分成小组，鼓励学生进行合作学习和讨论交流。每个小组共同解决问题，共同思考和探讨。
2.小组讨论：鼓励学生发表自己的观点和思考，培养学生的团队合作精神和沟通能力。学生可以通过讨论、辩论等方式，共同解决问题。
（3）通过实际问题，感受数学与生活的联系。
2.方法目标：通过本节课的学习，使学生掌握以下方法：
（1）观察分析法：观察立体图形，发现最短路程问题；
（2）勾股定理运用法：运用勾股定理，解决最短路程问题；
（3）实际问题解决法：将数学知识运用到实际生活中，解决实际问题。
（三）情感态度与价值观
1.情感目标：通过本节课的学习，使学生能够对数学产生浓厚的兴趣，激发学生学习数学的积极性。具体包括：
本节课的教学目标是通过解决立体图形中的最短路程问题，巩固学生对勾股定理的理解，提高学生运用勾股定理解决实际问题的能力。同时，通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作精神和沟通能力。
在教学过程中，我以生活中的实际问题为切入点，引导学生运用勾股定理解决立体图形中的最短路程问题。在解决问题的过程中，学生需要充分运用空间想象能力和逻辑思维能力，从而达到提高学生数学素养的目的。
为了更好地实施本节课的教学，我采用了多媒体教学手段，通过动画、图片等形式，直观地展示立体图形和最短路程问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。同时，在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现规律，培养学生自主探究的能力。
在课堂拓展环节，我设计了一些具有挑战性的练习题，让学生在课后进行思考和探索，进一步提高学生的数学素养和解决问题的能力。通过对本节课的学习，学生不仅掌握了勾股定理在立体图形中的应用，还提高了空间想象能力和解决问题的能力，为今后的数学学习奠定了坚实的基础。
人教版八年级数学下册课件勾股定理复习课(课2)
c
（1）如果∠A和∠B是邻补角，那么∠A+∠B=180〫.
重难点3：勾股定理逆定理的应用
Ca B
知识梳理
3. 勾股定理逆定理的应用
② 实质：由“数”到“形”的转化； ③ 应用：判定一个三角形是否为直角三角形.
知识梳理
4. 勾股数
勾股数
正整数
判断一组数是不是勾股数的步骤： 看、找、算、判.
重点解析
反走私艇 B 离走私艇 C 12 海里，若走私艇 C
从边的方面判断：如果已知条件与边有关系，则可以通过勾股定理的逆定理进行判断.
两个角都是40〫
重点解析
1.有些命题在不容易确定题设和结论的情况下，可 以先改写成“如果……那么……”的形式，然后确 定题设和结论. 2.判断一个命题是假命题只需要举出一个反例即可.
重点解析
重难点2：勾股定理的逆定理
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是， 请指出哪个角是直角. （1）在△ABC中，∠A=25〫、∠B=65〫； 解：（1）在△ABC中，因为∠A=25〫、∠B=65〫，所以 ∠C=180〫-∠A-∠B=90〫，所以这个三角形是直角三角形. ∠C是直角.
重点解析
重难点4：勾股数
判断下列各组数是不是勾股数：
深化练习
1.在△ABC中，∠A、 ∠B 、 ∠C的对边分别是a、b、c，下列判断 错误的是（ B ）.
A.如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形.
深化练习
A.如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形. 解析：因为∠C- ∠B=∠A，所以 ∠C=∠B+∠A. 因为∠C+∠B+∠A=180〫，所以 ∠C+∠C=180〫. 解得：∠C=90〫，所以△ABC是直角三角形.
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》复习教案
第17章勾股定理全章复习教学目标：1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。
教学过程：(一)知识结构图：见PPT(二)基础知识：1.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a2 + b2 = c2几何语言：在Rt △ABC 中, ∠C=90°∴a2+b2=c2练习：1.求出下列直角三角形中未知的边．2.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X=3. 三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC8A 15B 30° 2C B A 2 45° A CB2 .勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形 几何语言： 在△ABC 中,∵a2+b2=c2∴ △ABC 是直角三角形，∠C=90°互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.基础练习二：1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )A 5，12，13B 2，3，3C 4，7，5D 1， 2 ， 52.若△ABC 中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,求AC 边上的高.三、典例分析：例1、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD 的面积变式 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
121334归纳： 转化思想例2、下图是学校的旗杆,小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮他D BA C归纳： 方程思想 例3、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
人教版八年级下册数学《勾股定理》教学说课复习课件巩固
C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么数量关系？
AB C
S正方形A S正方形B S正方形C
一直角边2 +
另一直角边2 =
斜边2
等腰直角三角形三边的关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
探究新知
问题3 网格中为一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关 系？(每个小正方形的面积为单位1)：
A C
、地面构成的两个直角三角形，
什么量没有发生变化?
O
BD
问题3 下滑后梯子底端外移的距离是哪条线段的长度?
如何计算?
解：可以看出，BD=OD-OB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1. OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
二 用勾股定理巧证明“HL”
思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一 条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后 ，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A ′ B ′ C ′ 中，∠C= ∠C ′=90°，AB=A′ B ′，AC=A′ C′ ．
求证：△ABC≌△A ′B ′C′ ．
12
3 4 5 ，…
1
12
3
4
5
“数学海螺”
归纳总结
利用勾股定理表示无理数的方法 （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 整数的直角三角形的斜边. （2）以原点O为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数 轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点 右边的点表示是正无理数.
八下数学第十七章勾股定理全章课件
在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.
在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.
B′
∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，
解得x＝2.即AM＝2.
探究新知
方法点拨
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的
D
3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内
通过？为什么？
C 2m
解：如图，连接AC。 在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC AB2 BC2 12 22
AB
1m
5
5 2.236 2.2
∴木板可以从门框内通过。
巩固练习
如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方 向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距离
在Rt△AFD′中，AF2=D′F2+AD′2,
(8-x)2=x2+42， 解得x=3. ∴AF=AB-FB=8-3=5， ∴S△AFC= AF•BC=10．
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第 二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第 二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命 题.
A的面 B的面 C的面
积
积
积
C A
图1
9
9 18
B 图2-1
C A
B 图2-2
图2
4
48
A、B、C 面积关系
SA+SB=SC
直角三角形 两直角边的平方和 三边关系 等于斜边的平方
八年级下册数学知识点归纳：第十七章勾股定理
人教版八年级下册数学知识点归纳第十七章勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a, b, c满足a2＋b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°1AB可表示如下：∠C=90°⇒BC=2（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°1AB=BD=AD 可表示如下： D为AB的中点⇒CD=25、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°BD2=CD•AD⇒AB2=ADAC•CD⊥AB AB2=BC•BD6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB•CD=AC•BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系2c22a=+，那么这个三角形是直角三角形。
b8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
第十七章 勾股定理(单元解读)八年级数学下册(人教版)
教材内容 ---教学目标定位
1.经历股定理及其逆定理的探索过程;知道这两个定理的联系与区别能运用 这两个定理解决一些简单的实际问题. 2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会运用这两个定理解决一些几 何问题. 3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题， 知道原命题成立时其逆命题不一定成立. 4.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感:通过对勾股 定理的探索和交流，培养数学学习的信心.
知识结构
◆本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的 逆定理及其应用.在第二节中结合勾股定理逆定理的内容展开，穿插介绍了 逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.
知识结构
勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个 判定定理.教科书按照先性质后判定的顺序，第一节安排了对于勾股定理的 观察、计算、猜想、证明及简单应用的探究过程，第二节勾股定理逆定理 的安排也是设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的完整过程.展现 了“从特殊到一般”的研究几何图形的基本思路和定理课观察→计算→猜 想→证明的基本流程.
教材内容 ---地位和作用
◆勾股定理既是对直角三角形性质的丰富与深化，又是学习锐角三角函数 的基础;是“以形求数、以数溯形”的重要工具;在解决面积问题、三角形 问题、四边形问题圆的问题中都有勾股定理的“倩影”. ◆勾股定理的证明和应用历来都是中考命题的重点.近年来各地中考中有关 勾股定理方面的命题主要有以下几个方面:利用股定理解决门框是否能通过 的问题、利用勾股定理解决梯子移动的问题、利用勾股定理解决芦苇倾斜 的问题、利用勾股定理在数轴上表示无理数、利用勾股定理建立方程、折 叠问题、最短路径问题等。尤其是“利用勾股定理建立方程解决问题”几 乎在每个省份的考查中都有体现.
八年级数学下册第17章《勾股定理》知识点与常见题型总结
八年级下册 .勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解： ⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BC CD AB⋅==D B AC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，Q 12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=QRt ACD Rt AED ∆≅∆QAC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ． 4D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答： 解：设BN =x ，由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
人教版八年级下册第17章勾股定理教学设计
二、学情分析
八年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何知识和代数运算。在此基础上，他们对勾股定理的学习将更加深入地理解直角三角形的性质，并为后续学习相似三角形、解直角三角形等内容奠定基础。学生在这个阶段好奇心强，求知欲旺盛，但逻辑思维能力和空间想象能力仍需进一步培养。此外，部分学生可能在学习过程中对几何证明产生恐惧心理，需要教师关注并引导。因此，在教学勾股定理时，教师应关注以下几点：
5.着重培养学生的几何直观和空间想象能力，为后续学习打下坚实基础。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握勾股定理的概念及表述。
2.掌握勾股定理的证明方法，能运用定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
（二）教学设想
1.教学导入：
-通过介绍勾股定理的历史背景，引发学生对勾股定理的好奇心，激发学习兴趣。
4.设计丰富的例题和练习，引导学生运用勾股定理解决实际问题，提高学生的应用能力和解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对勾股定理的敬畏之心，认识到数学的简洁美和规律美，增强学生对数学的热爱。
2.引导学生体验探究过程，培养学生勇于探索、克服困难的精神，提高学生的自信心。
3.通过勾股定理在现实生活中的应用，使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
-利用多媒体展示直角三角形图像，让学生观察并思考直角三角形边长之间的关系。
2.新课导入：
-采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证等步骤发现勾股定理。
-结合实际例题，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。
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A.12 cm C.20 cm
B.16 cm D.28 cm
一、选择题
2.下列命题的逆命题是真命题的是（ C ） A.全等三角形对应角相等 B.同角的余角相等 C.等腰三角形顶角的平分线和底边上的高重合 D.如果a=b，那么|a|=|b|
一、选择题
3. （2016台州）如图M17-2，数轴上点A，B分别对应 1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径 画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画 弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ B ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂
线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为
Rt△ABM较长直角边，AM=
EF，则正方形ABCD
的面积为（ C ）
A． 12S
B． 10S
C． 9S
D． 8S
二、填空题
6.（2018吉林）如图M17-5，在平面直角坐标系中，A （4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径 画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为_（__-1_，__0_）__.
一、选择题
4. （2017陕西）如图M17-3，将两个大小、形状完全相 同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合， 点C′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB=∠AC′B′=90°， AC=BC=3，则B′C的长为（ A ）
一、选择题
5. （2017温州）四个全等的直角三角形按如图M17-4所
三、解答题
解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=30°.
（2）过点P作PH⊥AB于点H，如答图M17-2.
∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=50.
在Rt△PBH中，∠BPH=30°，
∴BH= PB=25.
∴PH=
∵
＞25，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的.
或3，4．
三、解答题
14. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三 角形三边的长度，求三角形的面积”为主题开展数学活 动，小颖想到借助正方形网格解决问题.图M17-10①② 都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1， 每个小正方形的顶点称为格点.
三、解答题
操作发现：小颖在图M17-10①中画出△ABC，其顶点 A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶 点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A， 她借助此图求出了△ABC的面积． （1）在图M17-10①中，小颖所画的△ABC的三边长 分别是AB=_____5_____，BC=__________， AC=__________；△ABC的面积为__________．
二、填空题
7.（2018北京）如图M17-6所示的网格是正方形网格， ∠BAC_____＞_____∠DAE.（填“＞”“＜”或“=”）
二、填空题
8.（2018 黑龙江）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3， BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使 其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积 是___3_.6_或__4_._3_2_或_4_._8___.
三、解答题
解：连接AC，AD，如答图M17-1.
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
则AC=
在Rt△ACD中，AD2=AC2+DC2，
则AD=
=13.
答：能放入的细木条的最大长度是13 cm.
三、解答题
11. 如图M17-8，在四边形ABCD中，AC⊥BC， AB=17，BC=8，CD=12，DA=9. （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积.
c= （m2+1），③
∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ. 当a=5时，
（m2-1）=5，解得m=
（舍去）.
Ⅱ. 当b=5时，即m=5，代入①③,得a=12，c=13.
Ⅲ. 当c=5时， （m2+1）=5，解得m=±3.
∵m＞0，∴m=3. 代入①②,得a=4，b=3.
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13
三、解答题
解决问题：（2） 已知△ABC中，AB= ， BC=2 ，AC=5 ，请你根据小颖的思路，在图 M17-10②的正方形网格中画出△ABC，并直接写出 △ABC的面积．
解：（2）画出△ABC如答图M17-3. △ABC的面积=6×5- ×3×1- × 5×5- ×2×6=10.
三、解答题
13. （2017宜昌）阅读：能够成为直角三角形三条边长 的三个正整数a，b，c称为勾股数.世界上第一次给出勾 股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其
勾股数组公式为
其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数. 应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外 两条边长.
三、解答题
解：当n=1时，a= （m2-1），①b=m，②
9.（2018无锡）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命 题是___菱__形__的__四__条_边__相__等_.
三、解答题
10. 如图M17-7所示是一个长、宽、高分别为12 cm，4 cm，3 cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的 粗细忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算， 能放入的细木条的最大长度是多少？
三、解答题
解：（1）∵∠ACB=90°，
∴AC2=AB2-BC2=172-82=225.
∴AC=15.
（2）∵AD2+CD2=92+122=225=AC2，
∴∠D=90°.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD = ×8×15+
×12×9
=114．
三、解答题
12. （2017长沙）为了维护国家主权和海洋权利，海监 部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图 M17-9，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的 速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方 向上，继续航行1 h到达B处，此时测得灯塔P在北偏东 30°方向上. （1）求∠APB的度数； （2）已知在灯塔P的周围 25海里内有暗礁，问海监 船继续向正东方向航行是 否安全？
xxx学校八年级数学下册
课 后 练 习 复习
作者：江雷 单位：xxxx
2020年4月25日
第十七章 勾股定理
本章知识梳理
思维导图
考纲要求
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单 的实际问题；探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、 直角边 ”定理.
考点 勾股定理及其应用
一、选择题
1.（2018资阳）如图M17-1，将矩形ABCD的四个角向 内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH， EH=12 cm，EF=16 cm，则边AD的长是（ C ）