卫星轨道基本概念

卫星轨道
本节中将简单说明人造卫星轨道的特性。

为方便起见，假设卫星轨道是圆形的，这样也可得到许多有用的信息。

以地心为中心可画出一个半径无穷大的圆球，这个球面称为天球（celestial sphere）。

天空中的太阳、月亮以及星星和地心的联机会和天球相交于一点，因此天体的运动可用它们在天球上的轨迹来表示（图1）。

地球赤道面和天球的交线称为天球赤道。

地球实际上是绕日运行的，但以固定在地球上的坐标系来看，太阳会绕地球运行，这就是太阳的视运动（apparent motion）。

太阳在天球上的轨迹称为黄道，黄道面和赤道面的交线称为二分线，二分线和天球的交点称为二分点，即
图1 天球及太阳的视运动。

图2 地心赤道面坐标系。

春分点和秋分点。

黄道面和赤道面的夹角约为23o27′。

黄道面上有两点距赤道面最远，位于北半球的称为夏至点，位于南半球的称为冬至点。

当太阳在夏至点时，它直射北回归线；当太阳在冬至点时，它直射南回归线。

地心赤道面坐标系
以地心为原点可以建立一个坐标系，X 和Y 轴在赤道面上，X 轴指向春分点，Z 轴为地球自转轴，指向北极。

这个坐标系不随地球自转而转动，称为地心赤道面坐标系，如图2 所示。

由于岁差（precession）的缘故，春分点会往西移动，故地心赤道面坐标也不是惯性坐标系。

不过由于卫星绕地运动的周期远小于岁差的周期，因此讨论卫星轨道时，可将地心赤道面坐标系当做惯性坐标，在实用上可令X 轴指向某一年（如1950 年）的春分方向。

近地点坐标系
描述卫星在轨道面上运动最方便的坐标系是近地点坐标系xω ,
yω ,zω ，如图3 所示。

这个坐标系原点在地心（即焦点）上，xω和yω 轴在轨道面上，xω轴指向近地点，将xω轴沿卫星运动方向转动90∘就得到
图3 卫星的椭圆轨道，υ为真近点角。

yω 轴，zω轴则和xω , yω轴形成右手坐标系。

因为卫星在轨道面上运动，故其zω坐标等于零。

经典轨道要素
要完全描述卫星在轨道上的运动，除了初始时间外，需要6 个参数，这些称为经典轨道要素（classical orbital elements）。

这些是椭圆轨道的半长轴a , 偏心率（eccentricity）e,真近点角（true anomaly）υ ,升交点赤经（right ascension of ascending node）Ω,轨道倾角（orbitalinclination）i以及近地点辐角（argument of perigee）ω。

最后三个角度称为经典定向角。

半长轴a和偏心率e可以完全决定椭圆形的大小；真近点角υ可决定卫星在椭圆轨道上的位置，一般说来通常都用平近点角（mean anomaly）代替真近点角。

至于经典定位角Ω , i ,
ω则决定轨道面的走向（orientation）。

我们把地心赤道面坐标当做惯性坐标系。

如图4 所示，卫星北上通过赤道面的点称为升交点（ascending node）。

升交点和春分方向的地心角称为升交点赤经Ω。

换句话说，轨道面和赤道面有一交线，这条交线和X轴的夹角就是Ω角。

卫星南下通过赤道的点称为降交点（descending node）。

轨道面和赤道面的夹角就是轨道倾角i，当然这两个平面的法线之间的夹角也等于i。

i角一般由赤道往北上轨道以反时针方向计算，其范围由0∘到180∘（有的文献中以顺时针方向计
图4 经典定向角Ω , i,ω的定义。

算）。

在轨道面上，升交点和近地点间的地心角称为近地点辐角ω。

必须指出，Ω , i和ω的范围如下：
0 ≤ Ω < 2π , 0 ≤ i < π , 0 ≤ ω < 2π
对太阳视运动的轨道来说，其升交点和降交点分别在春分点和秋分点，其轨道倾角23o27'，为升交点赤经是0o。

对理想的双体运动来说，例如小物体绕大物体运行，轨道面在空间中是不会随时间改变其走向的。

若双体运动受到其他外力影响，则轨道面是会变动的，也就是说Ω , i 和ω会随时间变动。

由图4 可以定义西退轨道或东进轨道。

当dΩ / dt > 0，称为东进轨道。

当dΩ / dt < 0，称为西退轨道。

卫星的角速度和周期
卫星的周期可按牛顿万有引力定律决定出来。

假设卫星的轨道是圆形的，则卫星受到的离心力会和引力互相平衡，即
上式中r 是卫星的地心距离，ω是卫星的角速度，G和M分别是万有
引力常数和地球质量。

(1)式右边表示单位卫星质量受到引力，这个引
力，根据牛顿万有引力定律，和两物体质量的乘积成正比，和两者距
离的平方成反比。

(1)式也可改写为
其中a e 为地球平均半径（在这里使用圆球形地球模式），H 为卫星高
度，为海平面上的重力加速度。

使用下面的值：
则(2)式可改写为
卫星周期为
将(3)式代入上式，有
使用下面的GPS和LEO卫星高度值：
代入(3)式和(4)式，分别得到GPS和LEO卫星的周期和角速度如下：
地球同步轨道
在赤道面上绕地球运行的卫星，其角速度有可能和地球自转角速度一样。

从地球上看来它是静止的，因此它可连续不断的观测到地球的某一部分，这种卫星称为地球同步卫星（geosynchronous satellites）或地球静止卫星（geostationary satellites）。

现在令(4)式所示的周期等于地球自转周期，即P=1440 min，有
H=35,853 km
因此所有的地球同步卫星都在赤道上空约36000 公里处。

因为地
球同步卫星必须随地球以同样的角速度向东自转，所以它一定要在赤道上空，只有在这情况下离心力和地心引力才会平衡。

地球同步卫星，
严格的说轨道倾角等于零，升交点赤经则无法定义。

太阳同步轨道
上面已说过，以固定在地心的坐标系来看，太阳是绕地心运行的。

太阳绕地心运动的周期为一年，故阳光在赤道面上的投影线绕地心的角速度为
假设地球是圆球形的，而且它的密度是球对称的，那么在讨论卫星绕地心运动时，可假设这是两个质点的连心力运动。

在这情况下，卫星的轨道在空间中就是固定的。

事实上地球并不是全球形的，它的赤道半径rE 比两极半径rP 稍大
换句话说，地球的纬度圈是圆形的，但经度圈是椭圆形的（见附录A5.1）。

由于地球赤道隆起会造成引力的变动，因此卫星的轨道面会随时
间变动。

根据Escobal 1965，升交点赤经时间变化率为
其中J 2 和地球赤道隆起有关，其值为J 2 = 1082.28 ×10− 6，n 的表达式为
而n 的定义为
标准化质量和μ是卫星和地球的质量和除以地球的质量。

因为卫星质量远小于地球质量，故μ ≅ 1。

K 2是万有引力常数成以地球质量，其值为
e. r . 即赤道半径，换句话说(8)和(9)式中的所有长度都是以赤道半径为单位。

因为卫星轨道几乎都是圆形的，故可令e= 0 。

于是对圆形轨道来说，(8)和(9)式可简化为
上式中a为赤道半径。

由(10)式可知，升交点赤经的时间变化率是卫星高度H和轨道倾角i 的函数。

假如(10)式所示的升交点赤经时间变化率等于(7)式所示的值，则这种卫星轨道称为太阳同步轨道，即
由上式可知，太阳同步卫星的高度和轨道倾角有一定的关系。

大部分太阳同步卫星高度约七八百公里，故轨道倾角大约98度。

因为阳光在赤道面的投影线移动速度和卫星升交点的移动速度
一样，所以投影线和卫星升交点间的地心角保持固定。

虽然地球是自转的，但太阳直射点处的子午线和卫星升交点处的子午线之间，经度差值永远固定。

换句话说，太阳同步卫星北上或南下时，永远在同样的当地太阳时通过赤道。

大致而言，在短时间内卫星轨道面在太空中变化很小，一天只随太阳转动0.986度，而在它下方的地球却以较快的角速度自转不停，以卫星在某圈时飞越赤道的经度为准，可算出下一圈向西退回的经度数，这称为西退经距（longitudinal distance）。

例如NOAA卫星的周期为101 分钟，在这段时间内地球向东转过的经度数为
太阳同步卫星的观测藉由这个原理才能涵盖全球。