03-09晶格振动模式密度
03_04_三维晶格的振动
对三维晶格,第l个原胞中第k个原子运动方程
—— 原子在三个方向上的位移分量
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第k个原子运动方程
将 方 程 解 代 回 3n 个 运 动 方 程
—— 原子在三个方向上的位移分量 —— 一个原胞中有3n个类似的方程 一维原子链位移方程的解 三维原子位移方程的解
03_04 三维晶格的振动 4.1 三维复式格子 —— 一个原胞中有n个原子
原子的质量
晶体的原胞数目 --沿基矢方向的原胞数 第l个原胞的位置 原胞中各原子的位置
原胞中有n个原子
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原胞中各原子的位置 各原子偏离格点的位移 对一维原子链,有
d n m 2 ( n1 n 1 2n ), (n 1, 2, 3, N ) dt
简写成:
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
4.5 二维布里渊区 —— 正方格子的布里渊区 正方格子的基矢
倒格子原胞基矢
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格点 垂直平分线方程
—— 第一布里渊区 大小
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2.声子是一种准粒子
粒子数不守恒,例如温度升高后声子数增加。
声子与声子,声子与其它粒子、准粒子互作用,满足能量 守恒。 不具有通常意义下的动量,常把q称为声子的准动量。
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
3.准动量选择定则
准动量的确定只能准确到可以附加任何 一个倒格矢Gh
ω(q)= ω(q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1+q2=q3+Gh q1+q2=q3+Gh
格波模式数及模式密度密度
b1 ( b2 b3 )
*
* ,
N1 N 2 N3
N1N 2 N3 N
*为倒格矢原胞体积(第一布里渊区体积),
* (2 )3
q的可取数目:
* / * N(晶体的原胞数) N
而每个波矢量q 在倒空间所占体积可写为
* (2 )3 (2 )3
N N Vc
N3 2
可知
q
l1 N1
b1
l2 N2
b3
l3 N3
b3
l1,l2 ,l3 0,1,2,...
量在波每矢一空组间(表l1,示l2出l3来)对,它应们于是一均个匀q矢分量布,的将点这,些每矢个
点的体积等于边长为
b1 , b2 , b3 N1 N 2 N 3 3
• 每个平行六面体的体积为
• 晶体单位体积中格波的频谱密度g(ω)dω定 义为频率ω到ω+dω之间的简正模式数目 除以晶体的体积
g()d
1
8
3
dq sd
s
选取dq的表达式之后,简 模式密度可以表达为:
g ( )d
1
8 3
lds
1
8
3
dsd grad
由于d是任意的
g()
1
8 3
Vc 为晶体体积。
所以波矢q的点在布里渊区中的密度为
N *
N
(2 )3
Vc
(2 )3
一维:
波矢q点在布里渊区中的密度为
N *
N
2
Na
2
固体物理:3_9 晶格振动模式密度
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3-9晶格振动模式密度
• 为准确地求出晶格热容及它与温度的变化 关系,必须较准确的办法计算出晶格振动 的模式密度(或称频率分布函数)。
• 一般来说,ω与q之间的关系是复杂的,除 非在一些特殊情况下,得不到g(ω)解析表 达式。
对于Debye模型有:gD(ω)= gl(ω)+2 gt(ω)。
Debye模型的色散关系是:
ωl=Clq; ωt=Ctq
l
Clq
d
q
Cldq
l
Cl
gl ()
dnl
d
V
(2 )3
ds
V 4 q2 V2
ql (q) (2 )3 Cl 2 2Cl3
gt ()
dnt
d
V
(2 )3
ds V 4 q2 V2 qt (q) (2 )3 Ct 2 2Ct3
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
模式密度(振动模式密度、状态密度、频率分布函数)
计算方法:若设Δn=g(ω) Δω表示ω到ω+ Δω范围内的晶格振动模式数,则定义:
g( ) lim n (1) Δn=(q空间中格波0 分布密度)×(频率为ω
到ω+ Δω的等频面间的体积); (2) q空间中格波分布密度分别为:
) 1
E
dgD ( )[
1 2
e kBT
] 1
弹性波的色散关系ω(q)——ω(q)=Cq 晶格振动的色散关系ω(q)——不同体系不同结论
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3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动模式密度研究
晶格振动模式密度研究王晴晴;宫昊;程荣龙;葛立新【摘要】晶格振动模式密度(声子态密度)即单位频率间隔内的模式数,是反映声子在波矢空间分布疏密程度的物理量.为了准确地求出品格热容量随温度的变化关系,必须用较精确的办法计算出晶格振动的模式密度,进而掌握材料的热力学性质.一般教材中对该部分的讲解晦涩难懂,本文从品格振动的物理意义开始,分析说明并推导一维、二维、三维不同体系的晶格振动模式密度公式,进而求出德拜模型下不同体系晶格热容公式.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2018(037)008【总页数】4页(P4-7)【关键词】晶格振动;声子态密度;德拜模型;晶格热容【作者】王晴晴;宫昊;程荣龙;葛立新【作者单位】蚌埠学院理学院,安徽蚌埠233030;蚌埠学院理学院,安徽蚌埠233030;蚌埠学院理学院,安徽蚌埠233030;蚌埠学院理学院,安徽蚌埠233030【正文语种】中文【中图分类】O481晶格振动模式密度,也称为频谱密度、声子态密度、简正模式密度、频率分布函数等,是在解决晶格热容随温度的变化关系过程中提出来的,一般用g(ω)表示,黄昆先生的《固体物理学》[1]教材中给出的定义式为(1)其中dn表示在ω→ω+dω频率间隔内晶格振动模式的数目.最初对晶格振动模式密度的计算是为了准确求出晶格热容随温度的变化关系,而晶格热容的大小直接反映了固体材料的热力学性质.后来发现,计算晶格振动模式密度对研究晶体的某些电学性质和光学性质也非常有用.但是教材中对于晶格振动模式密度的计算这部分讲解晦涩难懂,特别是对于一般本科院校的学生很难完全理解如何计算和应用.本文将以通俗的语言从晶格振动的物理意义开始,引入一维、二维、三维不同体系格波分布密度和等频率面间的体积,然后举例讲解如何计算晶格振动模式密度,并获得计算通用公式,最后在德拜模型下推导不同体系的晶格热容公式.1 晶格振动模式晶体中原子的排列是具有周期性的,而其排列的具体形式即称为晶格,格子的位置代表了原子的平衡位置.晶体的一些宏观性质如导电性、导热性等就是因为晶体中电子和原子的运动造成的,而晶格振动即晶体中原子在其平衡位置附近的振动,温度越高振动越激烈,温度达到熔点附近则原子将脱离格点的束缚而发生相变.在简谐近似即温度不太高的小振动过程中,研究发现晶格振动中所有原子都以相同的振动频率参与振动,且振动的模式具有波的形式,一般把体系中所有原子一起参与的共同振动叫做一个振动模式.振动模式具有波的形式又叫做格波,格波的能量量子叫声子,声子是一种假想的能量量子.原则上只要找到了体系的振动模式或格波的运动方程,就能方便的求解薛定谔方程,解决相应的问题.振动模式具有波的形式,需要描述体系格波的特性,如格波方程、格波波长、格波波矢等参数.由于晶格具有周期性,只需讨论一个周期内的特性就可反映整个晶体的特性,因此引入了布里渊区的概念.第一布里渊区即倒格子空间的维格纳-赛兹原胞,是倒格子空间的最小周期性单元.在求解晶格振动模式密度的过程中比较关注的就是格波波矢q与频率ω之间的关系即色散关系式ω(q)(又称为晶格振动谱)[2].研究发现一维单原子链一个波矢q对应一个频率ω,而二维、三维体系中一个波矢q对应多个频率ω,即一个波矢将对应多个振动模式.2 晶格振动模式密度的计算2.1 格波分布密度不管是一维、二维还是三维体系都存在边界问题,在求解所有原子的联立方程过程中,很难求出格波解的形式,因此所有体系都要在玻恩-卡曼边界条件下进行,即其中N=N1·N2·N3为总的原胞个数,α1、α2、α3为晶格的三个基矢,h1、h2、h3为一组整数.即波矢q不是连续的,而是q空间均匀分布的量子化的点,点的个数正好为h1·h2·h3个.格波分布密度就是单位体积中的量子化点的个数,所以不同体系的格波分布密度计算公式如下.1) 三维体系q空间的体积为格波分布密度为其中V0=α1·(α2×α3)为原胞的体积,V为晶体的体积.2) 二维体系q空间的面积为格波分布密度为其中A0=|α1×α2|为二维体系原胞的面积,A为二维晶面的面积.3) 一维体系q空间的长度为格波分布密度为其中α为一维体系原胞的间距,L为一维原子链的长度.2.2 晶格振动模式密度计算特例根据晶格振动模式密度的定义,其中dn表示ω→ω+dω频率间隔内晶格振动模式的数目,若能求出ω→ω+dω等频率面(ω(q)=常数对应的q空间中的面)间的体积,则dn=格波频率密度×等频率间体积1) 三维体系,以等频率面是球面为例.图1 三维体系等频率面等频率面间的体积为其中忽略(dq)2项和(dq)3项.ω→ω+dω频率间隔内晶格振动模式的数目为晶格振动模式密度为(2)若可以通过实验的方法获得体系的晶格振动谱ω(q),就可直接求出g(ω)的值.2) 二维体系,以等频率线是圆形为例.等频率线间的面积为π(q+dq)2-πq2≈2πqdq其中忽略(dq)2项.ω→ω+dω频率间隔内晶格振动模式的数目为晶格振动模式密度为(3)3) 一维体系等频率点间距可直接为2dqω→ω+dω频率间隔内晶格振动模式的数目为晶格振动模式密度为(4)2.3 晶格振动模式密度一般表达式实际三维晶体的等频率面一般很复杂,不能用简单的球形来代表.若用dS表示等频率曲面上的面积元,dq为q空间频率ω→ω+dω的垂直距离,则表示第j个模式等频率面的梯度.(假设体系包含n个原子,则三维体系共有3n支格波,其中3支声学波,(3n-3)支光学波;二维体系共有2n支格波,其中2支声学波,(2n-2)支光学波;一维体系共有n支格波,其中1支声学波,(n-1)支光学波.)晶格振动模式密度的一般表达式如下:1) 三维体系:∬2) 二维体系:3) 一维体系:3 实验与理论计算方法求解晶格振动模式密度(声子态密度)的关键在于晶格振动谱的具体表达式.实验上一般采用Raman散射获得晶格振动谱:即将特定频率的光波照射待测样品表面,光子会与声子发生碰撞并散射,若能测定散射前后粒子的频率与波长的改变,就可以根据能量守恒和动量守恒公式确定声子的频率和波矢的关系.另外也可以采用布里渊散射、中子非弹性散射、X射线散射等实验手段确定晶格振动谱.对于晶格振动谱比较简单的体系,可以近似的描述等频率面的形状并求出等频率面间体积,直接用上文中的公式计算声子态密度.对于晶格振动谱复杂的体系,不能单纯的通过公式计算求解,可用Raman振动谱的积分面积和拟合峰高来定性描述声子态密度,若积分面积和拟合峰高比较大,说明声子态密度大,反之则声子态密度小[3].理论模拟计算中,一般采用基于密度泛函理论的第一性原理计算分析[4-6],如利用Materials Studio中的CASTEP程序软件包、Quantum-ESPRESSO软件的PWscf软件包均可以画出声子态密度曲线.4 德拜模型下由声子态密度求解晶格热容材料的热力学性质与其内部的晶格振动有很大关系,基于密度泛函理论的第一性原理可通过较小的计算量获得布里渊区内声子谱,从而求出相应的热力学参数.德拜模型提出将格波看成弹性介质波(长声学波),而热容是原子的各种频率(0到极大值ωD,ωD为德拜频率)振动贡献的总和.即德拜模型下三维体系包括一支纵声学波、两支横声学波,二维体系包括一支纵声学波、一支横声学波,一维体系包括一支纵声学波.弹性波色散关系式可简单写成:纵波:ωL=vLq;横波:ωT=vTq(5)其中vL、vT分别为纵声学波和横声学波的传播速度.将式(5)分别带入式(2)、式(3)、式(4)可得声子态密度.三维体系:二维体系:一维体系:假设体系包含N个原胞,根据式(1)即声子态密度的定义式:1) 三维体系g(ω)dω=3N⟹(6)2) 二维体系g(ω)dω=2N⟹(7)3) 一维体系g(ω)dω=N⟹(8)根据晶格热容的量子理论,晶体内能和晶格热容公式分别为:(9)(10)分别将式(6-8)带入式(9)、式(10)计算得:1) 三维体系2) 二维体系3) 一维体系其中为德拜温度,表征了原子间结合力的一重要物理量,不同材料的德拜温度不同,熔点高,即材料原子健结合力强,则德拜温度越高[7,8].根据德拜温度的定义它是一个跟温度无关的物理量,但实验证实德拜温度随着温度的变化而变化[9],这因为德拜模型忽略了晶体的各向异性及光学波、高频声学波对热容的贡献[10].实际晶格热容随温度的变化曲线直接反映了声子态密度的整体行为[11].而热容是固体原子热运动在宏观性质上的最直接体现.因此研究和分析实际固体的声子态密度具有重大的意义.【相关文献】[1] 黄昆. 固体物理学[M]. 韩汝琦,改.北京:高等教育出版社, 1988.[2] 田强, 洪馥男. 具有在位势的一维双原子链晶格振动的色散关系[J].大学物理, 2006, 25(4):17-17.[3] 苏方宁, 邓再德. 声子态密度对掺稀土玻璃材料上转换发光强度的影响[J]. 玻璃与搪瓷, 2007,35(2):1-5.[4] 郭连权, 林琳, 马贺,等. Mg2Si的声子谱与力热性能的第一性原理计算[J]. 沈阳工业大学学报, 2015, 37(3):294-298.[5] 蒋文灿, 陈华, 张伟斌. TATB晶体声子谱及比热容的第一性原理研究[J]. 物理学报, 2016,65(12):216-224.[6] 付佳琦. 第一性原理研究纤锌矿结构AIN和InN的声子及热力学性质[D]. 内蒙古大学, 2015.[7] 程本培, 虞炳西. 用测定德拜温度的方法判断合金中原子间结合力的变化[J]. 物理测试,1991(5):6-11.[8] 文潮, 孙德玉, 关锦清,等. 用X射线衍射强度测定纳米金刚石的德拜特征温度和熔点[J]. 高压物理学报, 2003, 17(3):199-203.[9] 刘洋. 纳米材料德拜温度、体膨胀系数及热容的尺寸效应[D]. 吉林大学, 2008.[10] 高钦翔, 田强. 光频支格波对晶格热容的贡献[J]. 大学物理, 2002, 21(7):16-17.[11] 王晓旭, 赵琉涛, 成海霞,等. La3Co29-xFexSi4B10的择优占位、电子结构和晶格振动性质的理论研究[J]. 物理学报, 2016, 65(5):266-272.。
固体物理总复习
gap
2 )q 一维双原子链的长声学波 ( a mM B 长声学波中相邻原子的振动 ( A ) 1
光学波 长波极限
2
mM B m , ( ) - mM A M
§3.4
1. 三维复式格子
三维晶格的振动
l i [ t R l k q ] 格波的一般形式 A e k k
ab c
§5 晶体的宏观对称性
点对称操作 1. 绕轴旋转 2.旋转-反演(反演,镜面) 对称操作
1. 绕轴旋转
2.旋转-反演 3.空间平移
晶体的宏观对称性只有8种独立的对称操作: 1,2,3,4,6, 1 ( i ),
2 (m)
和
4
能证明为何晶体中没有5次对称性?
第二章
• 晶体结合的类型? • 晶体结合的物理本质? • 固体结合的类型与固体性质之间的联系?
T —— 电子对比热的贡献, 即电子热容
AT 3—— 晶格振动对比热的贡献, 即晶格热容
温度不太低时,可以忽略电子的贡献 爱因斯坦模型与德拜模型 爱因斯坦温度和德拜温度
§3.9 晶格振动模式密度
晶格振动模式密度 —— 单位频率间隔的振动模式数目
n g ( ) lim 0
在q空间,晶格振动模是均匀分布的,状态密度
本课程的主要内容
晶格动力学
原子核的运动规律 核外电子的运动规律
固体物理
固体电子论
晶格动力学
1. 晶体结构 2. 固体的结合 3. 晶格振动和热学性质
固体电子论
4. 能带理论 5. 外场中电子的运动 6. 金属电子论
第一章 摘
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 §1-7 §1-8 §1-9
3.9 晶格振动模式密度
10/10
g ( )
V 2 c
2 3
2
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
07/10
色散关系 cq2 —— 三维情形 q空间的等频率面是一个球面,球面面积
振动模式密度
V g ( ) 2 3/ 2 (2 ) c
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
01/10
在q空间,晶格振动模是均匀分布的,状态密度
根据 两个等频率面 和 做出一个等频率面
之间的振动模式数目
频率是q的连续函数
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
02/10
之间振动模式数目
振动模式密度函数
V ds g () (2 )3 q( q)
2N
1
2 m 2
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
05/10
也可以直接由q空间的状态密度来计算 状态密度
振动模式密度
g ( )
2N
1
2 m 2
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
06/10
德拜近似下的振动模式密度
振动频率与波矢成正比
08/10
——二维情况 等频率是一个圆 振动模式密度
g ( ) ห้องสมุดไป่ตู้
——一维情况
S 4 c
L g ( ) 2 c
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
09/10
如果色散关系
晶格振动模式密度定义
晶格振动模式密度定义晶格振动模式密度(Phonon Density of States,简称PDOS)是描述晶体中原子振动模式的一种物理量。
晶体中的原子在平衡位置附近以小振幅做简谐振动,这些简谐振动构成了晶体的振动模式。
PDOS给出了不同频率的振动模式在能量空间中的分布情况,反映了晶体各种振动模式的丰度和分布情况。
PDOS对于研究晶体的热力学性质、热传导、声学性质等都具有重要意义。
它是计算晶体热容、热导率、声子散射等性质的基础。
此外,PDOS还可以用于研究晶体的相变、物理化学性质以及材料的设计和优化。
PDOS的具体定义如下:设晶体中的原子总数为N,晶格振动模式的总数为M,则PDOS可以定义为每单位频率范围内单位原子数的平均数,即:PDOS(ω) = (1/ N) * ∑(m=1 to M) δ(ω - ω_m)其中,δ(ω-ω_m)为狄拉克函数,当ω等于ω_m时取值为1,否则取值为0。
PDOS可以分为各向同性的PDOS和各向异性的PDOS。
各向同性PDOS是指晶体中各个晶向上的振动模式在一些频率范围内的分布情况,它是晶体的各向同性介质的特征。
各向异性PDOS是指晶体中不同晶向上的振动模式在一些频率范围内的分布情况,它反映了晶体的各向异性效应,比如晶体的声子色散关系。
在实际计算中,PDOS通常通过量子力学计算或者分子动力学模拟得到。
对于固体材料,计算PDOS是一个复杂的过程,需要考虑晶胞、原子的排列方式、晶格常数等诸多因素。
目前,常用的计算方法包括密度泛函理论(DFT)、哈密顿动力学模拟(HMD)等。
根据计算得到的PDOS,可以进一步研究晶体的声子态密度(Phonon Density of States,简称PhDOS),PhDOS是PDOS的积分,表示在一些频率以下的所有振动模式的能量状态密度。
总结起来,晶格振动模式密度(PDOS)是指描述晶体中不同频率的振动模式在能量空间中的分布情况。
它是了解晶体物理、热学以及声学性质的重要指标,可以通过理论计算或者模拟得到。
晶格振动模式密度
热力学
热容量
晶格振动模式密度可以影响固体 的热容量,通过分析晶格振动模 式密度,可以更准确地描述固体
热容量的变化规律。
热传导
晶格振动模式密度对热传导过程也 有重要影响,它决定了固体内部热 能传递的速率和方式。
相变
晶格振动模式密度在相变过程中扮 演着重要角色,可以影响相变温度 和相变过程中的能量变化。
根据晶体的结构和对称性,建立晶格模型 。
根据原子间的相互作用势,确定原子间的 相互作用。
3. 求解振动方程
4. 计算振动模式密度
根据晶格模型和原子间的相互作用,求解 晶体的振动方程。
根据求解得到的振动方程,计算晶体的振 动模式密度。
结果分析
振动模式密度的分布
振动模式的能量分布
分析计算得到的振动模式密度在晶格 中的分布情况,了解晶体的振动特性。
CHAPTER
材料科学
材料性质预测
晶格振动模式密度可用于预测材 料的物理性质,如热导率、弹性 常数等,有助于材料设计和优化 。
相变研究
通过研究晶格振动模式密度随温 度的变化,有助于理解材料的相 变行为,如金属向绝缘体的转变 等。
环境科学
污染物扩散
晶格振动模式密度可以影响气体在材料中的扩散系数,对于 理解污染物在环境中的传播和扩散具有重要意义。
光学
光的吸收和散射
晶格振动模式密度对光与物质相互作用过程中的吸收和散射有重 要影响,可以改变光的传播方向和强度。
光的折射和反射
晶格振动模式密度可以影响光的折射和反射,从而改变光在物质表 面的行为。
非线性光学效应
通过研究晶格振动模式密度,可以深入了解非线性光学效应的机制, 为新型光学材料和器件的开发提供理论支持。
03_06_晶格热容的量子理论
实际晶体 态密度:
金属铝
• 总态密度是两 支横波(T1,T2) 和一支纵波 (L) 的叠加。 • 低频部分都近 似为抛物线。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
习题3.1
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.10
V ds g (w ) (2 )3 qw ( q)
假设1:N个原子构成的晶体,原子以相同频率 w0 振动;
假设2:谐振子能量是量子化的
温度T下,平衡后谐振子平均能量:
总能量
热容
w0 CV 3NkB f B ( ) —— 爱因斯坦热容函数 k BT
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 爱因斯坦热容函数
爱因斯坦温度
定容比热
在较高温下,该理论与实验符合很好; 但在低温下,与实验结果差别很大,低温下测量有 Cv~ T 3
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
实验表明 —— 在低温时热容量随温度迅速趋于零 。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2. 爱因斯坦模型
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
上面推导使用积分公式
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
T T 3 CV ( ) 9 NkB ( ) D D
D /T
0
x 4e x dx x 2 (e 1)
徳拜公式的比热容曲线
金属镱实验结果与 徳拜模型比较。
2
为简化,做变量代换,令
T T 3 CV ( ) 9 NkB ( ) D D
D /T
晶格振动模式密度定义
晶格振动模式密度定义
晶格振动模式密度,也称为声子态密度,是固体物理学中一种描述晶格振动模式种类
和数量的物理量。
它指的是在特定材料中,固体内能够传播热量和声波的振动模式种类及
其频率密度分布的表征。
这个概念源于声子,它是一种量子力学的概念,解释了晶体内的振动。
当物质中的离
子或原子振动时,它们的能量以干扰的形式向其他周围原子传递,从而形成晶体中的声子。
声子态密度包括所有可能的振动模式类型的密度,每种振动模式代表一个特定的波数
和频率。
声子态密度与晶体中存在的原子的数量和种类有关,并在不同材料和不同温度下
变化。
它还与材料的结构和性质密切相关,因此是研究材料的热、电、磁性质等方面的重
要参量。
晶格振动模式密度可以用实验方法或理论计算方法得到,例如声子谱测量、密度泛函
理论等。
通过比较实验和理论结果,可以对材料的特性进行更深入的研究。
在材料科学研究中,声子态密度常常用于研究材料的热传导、声学性质、相变以及缺
陷和晶格畸变等方面,对于设计新型功能材料、优化材料性能具有重要意义。
固体物理公式总结大全
固体物理公式总结大全目录固体物理公式总结大全 (1)第二章 (2)第三章 (2)第四章晶体缺陷 (4)第五章 (5)第六章 (7)第七章 (8)第二章晶体中粒子的相互作用: 双粒子模型:()nm rbr a r u +-= 晶体的相互作用能:设有2N 个粒令r r a r j j ,=为最近邻离子间的距离,表示第j 个离子到参考原子的距离。
()()∑∑≠≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=00221j n j n j m j m j j n j n j m j m j r a b r a a N r a b r a a N r U 任意两离子间的相互作用能:()n rbr q r u +-=024πεδq 为一个离子的电量,δ同号离子取负值,异号离子取正值。
晶体中有N 个正离子,N 个负离子()()∑≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0024221j n j j j r b r q N r U πεδ 令r r a r j j ,=为最近邻离子间的距离,表示第j 个离子到参考原子的距离。
()n r Br q N r U +-=024πεα,其中,∑≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛±=01j j a α,∑≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0j n j a b N B 第三章晶格振动的模式密度:三维 ωππωd dq qV g 23483)(⨯=二维ωππωd dq q S g 242)(2⨯= 一维ωπωd dq L g 221)(⨯= Nd d g m=⎰ωωω0)( d 晶体维数,N 晶体原胞数晶格振动的总能量:)(0T E E E += 晶体的零点能:ωωωωd g E m⎰=0)(21与温度有关的振动能:ωωωωωd g Tk T E mB )(1)ex p()(0⎰-=声子是一种玻色子,一定温度下符合玻色爱因斯坦统计:ωωωωd g Tk n mB )(1)ex p(1⎰-=德拜温度:BmD k ω =Θ 晶格热容:()()[]ωωωωωωd g T k T k T k k C BB B BV m)(1exp exp 22⋅-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰Tk x T k x B m D B ωω=⇒=高温下,D T Θ>> 低温下,D T Θ<<三维 ()()dx ee x T Nk dx e ex T k c Vk C DDx xxD B x xxB B V ⎰⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=02432433219123 π高温时B V Nk C 3=,低温时,34512⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=D BV T Nk C π 二维 ()()dx ee x T Nk dx e ex T k c Sk C DDx xxD B x xxB B V ⎰⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=-⎪⎭⎫⎝⎛=02322322141 π高温时B V Nk C 2=,低温时,34512⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=D BV T Nk C π 一维 ()()dx e e x T Nk dx e ex T k cLk C D D x x x D B x x xB BV ⎰⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2202211 π 高温时B V Nk C =,低温时,cTk L C B V 32π=第四章 晶体缺陷晶体中原子总数:N 形成一个空位所需能量:1u 形成的空位数:1n ( N>>1n )形成空位后晶体自由能改变:S T U F ∆-∆=∆ 11u n U =∆ W k S B ln =,W 为系统的微观状态数。
晶格振动模式
2 (m M )
(q)
mM
2
m
2
q
M
2a
2a
0
2a
q
2a
称为一维复式晶格的 第一布里渊区
一维复式晶格的色散关系曲线
即一维复式晶格的倒格子原胞
如m<M,色散关系中存在频隙
周期性边界条件:一维双原子链由N个原胞组成,
每个原胞中含有两个不同的基,将若干个相同的
布拉菲晶格: xn Aei(qnat)
复式晶格:
x2n Aei(q2nat )
x Be 2n1
i[q(2n1)at ]
一组确定的q, 决定一种格波,或振动模式。
每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动,而是
表示整个晶体所有原子都参与的频率 ,初相位
的振动,也称为一个振动模式。
有N个原子组成的晶体,一共有3N组特解,即有3N 种不同频率的间歇振动,也即有3N个振动模式。
晶体中原子的实际振动由运动方程的一般解表示
方程的一般解可表示为特解的线性叠加
3N
qk AklSin(lt l ) k 1,2,,3N l 1
模式,即代表一种格波。
例如:
q,
1 2
a
,
2
m
长波极限, ,q 0 整个晶格象刚体一样作整体运
动,因而恢复力为0,故 0 2a, q 邻近原子反向运动(位相相反),所以恢
a 复力和频率取极大值
二、周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链,由N个原子组成,另有 无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长 的一维原子链,各段相应原子运动情况相同。
3.9-晶格振动模式密度、状态方程和热膨胀
为了准确地求出晶格热容以及它与温度的 变化关系, 必须用较精确的办法计算出晶 格振动的模式密度(也称频率分布函数)
原则上, 只要知道了晶格振动谱 ωj(q), 就知道了 各个振动模的频率, 也就知道了模式密度函数 g(ω)
一般来说, ω与 q 之间的关系是复杂的, 除非在一些特殊情况下, 得不到 g(ω) 的
aq
1/
2
aq n , n 取 N / 2 与 N / 2 间的整数值
N
其中只有前面的β依赖于链的长度 2Na
上式两边求对数, 并对 ln(2Na) 求微商, 得到
- d
d ln
ln(2Na)
1 2
d
d ln
ln(2Na)
1 2
d ln
d ln a
从原子相互作用势能的展开式, 可以看到, β 实际是相邻原子势能的二次微商系数
§3-9 晶格振动模式密度 小结
模式密度的一般公式 几种特例:
g
()=
V
(2
)3
|
dS
(q)
|
q
一维单原子链
Debye模型 平方型色散关系
g()=2N
m2 2
1 2
g()
V
2 2c3
2
g(
)=
V
(2
)2
1 c3/ 2
1/ 2
§3-10 晶格的状态方程和热膨胀
1. 晶格状态方程
如果已知晶体的自由能函数 F(T,V), V 为晶体的
解析表达式, 因而往往要用数值计算
铜 晶 体 的 模 式 密 度
实际的晶体的模式密度与 Debye 近似下的模式 密度,除在低频极限以外,存在一定差别 这说明为什么 Debye 热容理论只是在及低温下才 是严格正确的, 因为此时只有低频振动模有贡献
晶格振动和晶体的热力学-To students
—— N个原子头尾相接形成环链,保持所有原子等价特点 —— N很大,原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑 到环链的循环性 设第n个原子的位移 再增加N个原子之后 第N+n个原子的位移
则有 要求
2 q h —— h为整数 Na
波矢的取值范围
N N h 2 2
波矢
2 q h Na
3)选取Born-Von Karman边界条件,还可以抵消 有限理想晶体的边界面对其平移对称性的破坏,从 而使有限理想晶体显露出源于其微观结构周期性的 内在禀性:平移对称性
玻恩-卡门(Born-Karman)周期性边界条件
一维单原子晶格看作无限长,所有原子是等价的
,每个原子的振动形式都一样 实际的晶体为有限,形成的链不是无穷长,链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
晶格振动和晶体的热学性质
凌福日 lingfuri@
• • • • • • • •
3.1 一维晶格的振动 3.2 三维晶格的振动 3.3 简正振动 声子 3.4 晶格振动谱的实验测定方法 3.5 长波近似 3.6 晶格振动热容理论 3.7 晶格振动的非简谐效应 3.8 晶体的热力学函数
群速为0的波矢 的物理意义何在呢?
• 由于邻近原子振动的位相差为qa,即邻近原子散射的子波 的位相差为π,故被B反射的子波到达被A反射的子波时,
它们的位相相同(或相差2π的整数倍)。这种情形适用于
被其它晶格点所反射的子波,在 q= π/a 处,所有的散射子 波相长地干涉,结果反射取极大。这与X射线中的布拉格 条件相同,只不过这里是弹性波。从物理上看,由于反射 极大,它与入射波形成驻波,当然它的群速为零。可见,
预处理
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量 势场来描述电子对离子运动的影响。将电子的运动和离 子的运动分开 。基于将离子、电子划分为两个子系统 而分别加以处理的理论简化方案,分别形成了晶格动力 学和固体电子论两大分支。
03_09_晶格振动模式密度
03_09_晶格振动模式密度
晶体中的原子不是静态的,而是处于无限个振动模式之中。
这些振动模式以不同的频
率振动,并与晶格点的相互作用相互影响。
因此,晶体的振动模式密度是描述晶体振动行
为的一种重要工具。
晶格振动模式密度是指每单位频率内的振动模式数。
在固体物理学中,晶格振动模式
密度是描述晶体振动特性和热力学性质的重要物理量。
它反映了晶体中所有可能的振动模式,包括纵波和横波、彼此耦合的振动等。
晶格振动的频率区间通常被分为三个范围:远红外波段、中红外波段和近红外波段。
在每个频段中,振动模式密度随频率增加而增加,但在不同频率范围内的增长速度是不同的。
在远红外波段,晶格振动主要由晶体内部的振动和声波组成。
这些振动模式通常被称
为声子。
在中红外波段,晶格振动包括晶体的特定振动模式和局部原子的振动模式。
在近
红外波段,晶体中的振动模式包括晶体基元的整体振动和各原子之间的化学键振动。
晶格振动模式密度可以通过测量晶体的各种热力学性质来确定。
例如,温度和压力对
晶格振动模式密度的影响可以通过热容和热膨胀系数来测量。
这些测量结果可以揭示晶体
内在的能量状态和振动行为,从而为研究特定晶体中的物理和化学现象提供有价值的信息。
此外,晶格振动模式密度还可以用于开发新的材料和设计化学反应的方法。
总之,晶格振动模式密度是描述晶体内部振动行为以及热力学性质的重要物理量。
它
反映了晶体内部的能量状态和振动行为,可以在材料科学和化学领域中发挥重要作用,并
促进新颖材料和反应的开发。
固体物理补充习题05
固体物理补充习题(十四系用)1. 将半径为R 的刚性球分别排成简单立方(sc )、体心立方(bcc )和面心立方(fcc )三种结构,在这三种结构的间隙中分别填入半径为r p 、r b 和r f 的小刚球,试分别求出r p /R 、r b /R 和r f /R 的最大值。
提示:每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置,可填充小刚球的大小也各不相同。
2. 格常数为a 的简单二维密排晶格的基矢可以表为a 1 = a ia 2 = -12a i + 32a j (1)求出其倒格子基矢b 1 和b 2 , 证明倒格子仍为二维密排格子;(2)求出其倒格子原胞的面积Ωb 。
3. 由N 个原子(或离子)所组成的晶体的体积V 可以写为V =Nv = N βr 3,其中v 为平均一个原子(或离子)所占的体积,r 为最近邻原子(或离子)间的距离,β是依赖于晶体结构的常数,试求下列各种晶体结构的β值:(1) sc 结构 (2) fcc 结构 (3) bcc 结构(4) 金刚石结构 (5) NaCl 结构。
4. 设两原子间的相互作用能可表示为()m nu r r r αβ=-+ 其中,第一项为吸引能;第二项为排斥能; 、 、n 和m 均为大于零的常数。
证明,要使这个两原子系统处于稳定平衡状态,必须满足n > m 。
5. 设晶体的总相互作用能可表示为()m n A B U r r r=-+ 其中,A 、B 、m 和n 均为大于零的常数,r 为最近邻原子间的距离。
根据平衡条件求:(1)平衡时,晶体中最近邻原子的间距r 0和晶体的相互作用能U 0;(2)设晶体的体积可表为V =N r 3,其中N 为晶体的原子总数, 为体积因子。
若平衡时晶体的体积为V 0,证明:平衡时晶体的体积压缩模量K 为 009mn U K V = 。
6. 设有一由2N 个离子组成的离子晶体,若只计入作近邻离子间的排斥作用,设两个离子间的势能具有如下的形式:式中, 和 为参数;R 为最近邻离子间距。
晶格振动模式密度研究
不同体系的晶格热容公式.
1 晶格振动模式
晶体中原子的排列是具有周期性的,而其排列 的具体形式即称为晶格,格子的位置代表了原子的
平衡位置.晶体的一些宏观性质如导电性、导热性等 就是因为晶体中电子和原子的运动造成的,而晶格 振动即晶体中原子在其平衡位置附近的振动,温度 越高振动越激烈,温度达到熔点附近则原子将脱离 格点的束缚而发生相变.在简谐近似即温度不太高 的小振动过程中,研究发现晶格振动中所有原子都 以相同的振动频率参与振动,且振动的模式具有波 的形式,一般把体系中所有原子一起参与的共同振 动叫做一个振动模式.振动模式具有波的形式又叫 做格波,格波的能量量子叫声子,声子是一种假想的 能量量子.原则上只要找到了体系的振动模式或格 波的运动方程,就能方便的求解薛定谔方程,解决相 应的问题.
个 体
数 积
正 中
好 的
为 量
子h1化·点h2
· 的
个h3
个.格 数,所
波 以
分 不
布 同
密 体
度 系
就 的
是 格
单 波
位 分
布密度计算公式如下.
1)三维体系 q 空间的体积为
( ) ·[( ) ( ) ] h1 2π N1 α1
h2 2π × h3 2π =
N2 α2
N3 α3
( ) 2π 3
( ) 2π 3
2第01387年卷8第月8 期
大 学 物 理
COLLEGE PHYSICS
Vol.37 No.8 Aug 2018
晶格振动模式密度研究
王晴晴,宫 昊,程荣龙,葛立新
(蚌埠学院 理学院,安徽 蚌埠 ) 233030
摘要:晶格振动模式密度(声子态密度)即单位频率间隔内的模式数,是反映声子在波矢空间分布疏密程度的物理量.为 了准确地求出晶格热容量随温度的变化关系,必须用较精确的办法计算出晶格振动的模式密度,进而掌握材料的热力学性质. 一般教材中对该部分的讲解晦涩难懂,本文从晶格振动的物理意义开始,分析说明并推导一维、二维、三维不同体系的晶格振 动模式密度公式,进而求出德拜模型下不同体系晶格热容公式.
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Solid State Physics
固体物理 Solid State Physics
第三章 晶格振动
§ 3.9 晶格振动模式密度
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晶格振动对热容的贡献 —— 量子理论
一个频率为j的振动模对热容的贡献
频率为j的振动模由一系列量子能级组成
2 德拜模型
—— 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波 将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质 晶体总的热容
—— 振动频率分布函数
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和m的计算
晶体总的热容
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爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?
在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?
一维情况振动模式密度 在 的一些点 奇点
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—— 范霍夫奇点,是晶体中一些高对称点__布里渊区边界 —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联
一个振动模的平均能量
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一个振动模对热容贡献
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晶体中有3N个振动模,总的能量
晶体总的热容
1 爱因斯坦模型 —— N个原子构成的晶体,所有原子以相同的频率
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0振动
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§3.9 晶格振动模式密度
晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动
—不同频率的振动模对应不同的能量
给定晶体,总的振动模数目是一定的 按振动频率分布
—用晶格振动模பைடு நூலகம்密度来描述
—从振动模式密度,研究晶体热容、电学和 光学性质 晶格振动模式密度 —单位频率间隔,振动模式的数目
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—— 也可以直接由q空间的状态密度来计算
状态密度
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振动模式密度
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德拜近似下的振动模式密度
振动频率与波矢成正比
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色散关系 —— 三维情形 q空间的等频率面是一个球面,球面面积
振动模式密度
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二维情况 等频率是一个圆 振动模式密度
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一维情况
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如果色散关系 三维情况振动模式密度 二维情况振动模式密度
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在q空间,晶格振动模是均匀分布的,状态密度
根据 两个等频率面 和 做出一个等频率面
之间的振动模式数目
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—— 频率是q的连续函数
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之间振动模式数目
n g ( ) lim 0
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简单几种情况下振动模式密度的表示 一维单原子链 ——
—— 最大频率
振动模式密度
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一维情况下
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考虑到一个频率可以有
振动模式密度
两个值
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