三角函数典型例题剖析与规律总结
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型题1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2.2.在直角三角形ABC中，若∠C为直角，则∠A的三角函数为：正弦函数sinA=对边a/斜边c，取值范围为[0,1]。
余弦函数cosA=邻边b/斜边c，取值范围为[0,1]。
正切函数tanA=对边a/邻边b，取值范围为R（实数集）。
3.任意锐角的正弦值等于其余角的余弦值，余弦值等于其余角的正弦值，即sinA=cosB，cosA=sinB，其中A+B=90°。
4.特殊角的三角函数值：30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√3.45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1.60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3.6.正弦、余弦的增减性：当0°≤A≤90°时，XXX随A的增大而增大，cosA随A的增大而减小。
7.正切的增减性：当0°<A<90°时，XXX随A的增大而增大。
8.解直角三角形的方法：已知边和角（其中必有一边）→求所有未知的边和角。
依据：①边的关系：a^2+b^2=c^2；②角的关系：A+B=90°；③三角函数的定义。
9.应用举例：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，用i=h/l表示。
方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角。
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角。
例1：在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，sinA=3/5，求XXX的值。
高中数学三角函数的诱导公式(2) 例题解析
三角函数的诱导公式（2） 例题解析一、重点、难点剖析公式五的推导也体现了对称思想。
正确运用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并能解决有关三角函数求值、化简和恒等证明问题，初步掌握从未知到已知、复杂到简单的转化过程。
二、典型例题例1、若α是第二象限角，且54)540sin(0-=+α，求)180tan()]360cos()180[sin(0200ααα+-+- 的值． 解： 34tan ,53cos ,54sin ,54)540sin(0-=-==∴-=+ααααΘ， ()100334251tan cos sin )180tan()]360cos()180[sin(20200-=-=+=+-+-∴αααααα。
说明：熟练掌握诱导公式及同角三角函数间的关系式．例2、求证ααααα3tan )360sin()540sin(1)180cos()cos(1=-︒+-︒+︒+- 证明：左边＝ααααααααsin sin 1cos cos 1sin )180sin(1cos cos 1--=--︒- ＝αααααααα2222cos cos sin sin sin sin 1cos cos 1=--＝tan 3α＝右边，所以，原式成立． 说明：例2是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性．尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左边三角式的化简．例3、已知)32tan()0()3cos(326αππαπαπ-≠=+<<，求，m m 的值． 解：因为）（332παπαπ+-=-， 所以：)]3(cos[)32cos(παπαπ+-=-=)3cos(πα+-＝－m 由于，326παπ<<所以，2320παπ<-< 于是：)32(cos 1)32sin(2απαπ--=-=21m -，所以：tan()32cos()32sin()32(απαπαπ--=-=m m 21-- 说明：通过观察，获得角3πα+与角απ-32之间的关系式απ-32=π-（3πα+），为顺利利用诱导公式求cos(απ-32)的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于观察并充分挖掘隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，它对于培养我们的思维能力、创新意识，训练素质有着很好的作用．例4、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。
三角函数典型例题剖析与规律总结
三角函数典型例题剖析与规律总结221sin ;261sin 1sin 11sin 10sin 211min max ===-=∴≤≤-∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当(2).11)32cos(5132cos ,1)32cos(1min max =-=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴≤+≤-y x y x x 时，；当时，当πππ(3)[]222592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+∈- ⎪⎝⎭∴当sin 1x =-，即2(2x k k Z ππ=-+∈）时，y 有最小值9-； 当sin 1x =，即2(2x k k Z ππ=+∈），y 有最大值1。
(4)413,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-=====-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即从而ππππ 小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx 的有界性；（2）tanx 的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。
根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；（1）()sin x ωα+一次形式（2）sin ()x f y =或cos ()x f y =的形式，通过()1f y ≤来确定或其他变形来确定。
三：函数的周期性例 求下列函数的周期()x x f 2c o s )(1=())62s i n (2)(2π-=x x f 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。
（1） 把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当π2+u u 增加到且必须增加到π2+u 时，函数ucos 的值重复出现，而),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x增加到π+x 且必须增加到π+x 时，函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。
常见三角函数题错误剖析
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黄 邦活
三角函数是高 中数学 的重 要 内容 之一 ， 由于 三 但
角函数 变化 灵 活 ， 巧性 较强 ， 具 体求 解 时稍 不 留 技 在
心， 就会造成失误 。为此 ， 本文就 常见 三角函数题 错误 进行剖析 ， 供学习参考 。
剖析 ： 上述 解法 虽注 意到 了 ｓ ｘ的有界 性 ， 却 ｉ ｎ 但
没有注意到当 ｓ ＝ 一１时 ， 导致 ｓ ｙ＝— ＞１矛 ｉ 会 ｉ ｎ ４ 盾， 从而产 生 了误 解 。事实上 ， 深挖 题设 ｓ ｘ＋ｓ ｙ＝ ｉ ｎ ｉ ｎ 的隐含 条 件 ， 一１ ｉｙ 由 ≤ｓ ≤１且 一１ ｉ ≤ １得 ｎ ≤ｓ 似 ≤ｓ ｘ ｌ所 以应是 当 ｓ ＝一 时 ， ＝ ４ ｉ ￣ ， ｎ＜ ｉ 眦 ｕ
三角函数例题和知识点总结
三角函数例题和知识点总结三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们将通过一些例题来加深对三角函数知识点的理解，并对相关知识点进行总结。
一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
按旋转方向不同，角可分为正角、负角和零角。
2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
弧度与角度的换算关系为：180°＝π 弧度。
3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它到原点的距离为 r（r ＝√（x²＋ y²)），则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r ，cosα ＝ x/r ，tanα ＝ y/x （x ≠ 0）二、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图像：正弦函数的图像是一个周期为2π，振幅为 1 的波浪线。
性质：定义域为 R，值域为-1, 1，是奇函数，在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ （k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ （k∈Z）上单调递减。
2、余弦函数 y ＝ cos x图像：余弦函数的图像是一个周期为2π，振幅为 1 的波浪线。
性质：定义域为 R，值域为-1, 1，是偶函数，在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ （k∈Z）上单调递减。
3、正切函数 y ＝ tan x图像：正切函数的图像是由无数个周期为π的分支组成，其定义域为｛ x ｜x ≠ π/2 ＋kπ, k∈Z ｝。
性质：值域为 R，是奇函数，在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ ）（k∈Z）上单调递增。
三、三角函数的诱导公式1、同角三角函数的基本关系sin²α ＋cos²α ＝ 1 ，tanα ＝sinα ／cosα2、诱导公式sin( α ）＝sinα ，cos( α ）＝cosα ，tan( α ）＝tanαsin( π α ）＝sinα ，cos( π α ）＝cosα ，tan( π α ）＝tanαsin( π ＋α ）＝sinα ，cos( π ＋α ）＝cosα ，tan( π ＋α ）＝tanαsin( 2π α ）＝sinα ，cos( 2π α ）＝cosα ，tan( 2π α ）＝tanα四、三角函数的和差公式1、两角和与差的正弦公式sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβsin(α β) ＝sinαcosβ cosαsinβ2、两角和与差的余弦公式cos(α ＋β) ＝cosαcosβ sinαsinβcos(α β) ＝cosαcosβ ＋sinαsinβ3、两角和与差的正切公式tan(α ＋β) ＝（tanα ＋tanβ) ／（1 tanαtanβ)tan(α β) ＝（tanα tanβ) ／（1 ＋tanαtanβ)五、例题解析例 1：已知sinα ＝ 3/5，且α为第二象限角，求cosα 和tanα 的值。
高中数学三角函数解题实例及解题思路详解与举例分析和讲解
高中数学三角函数解题实例及解题思路详解与举例分析和讲解三角函数是高中数学中一个重要的章节，也是学生们经常遇到的难点之一。
在解题过程中，掌握一些解题技巧和思路是非常重要的。
本文将通过具体的题目举例，详细解析三角函数解题的思路和方法，并给出一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握三角函数的应用。
一、正弦函数的解题实例1. 题目：已知一角的正弦值为0.6，求该角的余弦值。
解析：根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，已知sinθ = 0.6，我们可以设对边为3，斜边为5。
根据勾股定理，可以求得邻边为4。
然后，根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，代入已知的值，得到cosθ = 4/5。
2. 题目：已知一角的正弦值为0.8，求该角的余切值。
解析：根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，已知sinθ = 0.8，我们可以设对边为8，斜边为10。
根据勾股定理，可以求得邻边为6。
然后，根据余切函数的定义tanθ = 对边/邻边，代入已知的值，得到tanθ = 8/6 = 4/3。
二、余弦函数的解题实例1. 题目：已知一角的余弦值为0.5，求该角的正弦值。
解析：根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，已知cosθ = 0.5，我们可以设邻边为1，斜边为2。
根据勾股定理，可以求得对边为√3。
然后，根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，代入已知的值，得到sinθ = √3/2。
2. 题目：已知一角的余弦值为0.6，求该角的正切值。
解析：根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，已知cosθ = 0.6，我们可以设邻边为6，斜边为10。
根据勾股定理，可以求得对边为8。
然后，根据正切函数的定义tanθ = 对边/邻边，代入已知的值，得到tanθ = 8/6 = 4/3。
三、正切函数的解题实例1. 题目：已知一角的正切值为1.5，求该角的余弦值。
解析：根据正切函数的定义tanθ = 对边/邻边，已知tanθ = 1.5，我们可以设对边为3，邻边为2。
三角函数例题和知识点总结
三角函数例题和知识点总结一、三角函数的基本概念在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们描述了三角形中边与角之间的关系。
首先，我们来了解一下角度的度量。
角度可以用度（°）或弧度来表示。
一个完整的圆周对应的角度是 360°，而用弧度表示则是2π 弧度。
接下来，我们认识一下常见的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）。
正弦函数sinθ 表示在直角三角形中，对边与斜边的比值；余弦函数cosθ 表示邻边与斜边的比值；正切函数tanθ 则是对边与邻边的比值。
二、三角函数的基本公式1、同角三角函数的基本关系sin²θ ＋cos²θ ＝ 1tanθ ＝sinθ ／cosθ2、诱导公式例如：sin(π θ) ＝sinθ ，cos(π θ) ＝cosθ 等三、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波形，其值域为-1, 1，在 x ＝π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝3π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。
2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π 的波形，值域同样为-1, 1，在 x ＝2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝π ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。
3、正切函数 y ＝ tan x 的图像其周期为π，定义域为x ≠ π/2 ＋kπ （k 为整数），值域为 R 。
四、三角函数的例题例 1：已知sinθ ＝ 08，且θ 在第一象限，求cosθ 和tanθ 的值。
因为sin²θ ＋cos²θ ＝ 1，所以cosθ ＝√（1 sin²θ) ＝√（1 08²) ＝06 。
tanθ ＝sinθ ／cosθ ＝ 08 ／ 06 ＝ 4 ／ 3 。
例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的周期和振幅。
三角函数典型例题剖析与规律总结材料
三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。
分析：要求1sin 2+=y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足21sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。
求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 2222cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
（2）函数的最大值与最小值。
例。
求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y（3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
三角函数知识点归纳总结及例题
《三角函数》一、任意角的概念与弧度制1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈第四象限角：{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈锐角：{}090αα<< 小于90的角：{}90αα<例题 ：1．下列各角中，与27︒角终边相同的是（ ） A ．63︒ B ．153︒C ．207︒D ．387︒2．已知cos0,sin0,22αα<<且cos α<0，则角α为（ ）A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角3．若角α为第二象限角，则角2α为（ ）象限角 A ．第一 B ．第一或第二C ．第二D ．第一或第三5、若α为第二象限角，那么2α为第几象限角？ ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2α在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π815730.571801'︒=︒≈︒=π9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：21122S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制. 例题：4．512π=（ ） A ．70°B ．75°C ．80°D ．85°5．300︒-化成弧度制为（ ） A ．103πB ．56π-C ．53π-D ．73π二、任意角的三角函数1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan yxα=其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r =例6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，若(4,3)P 是角θ终边上的一点，则cos θ=（ ）A ．35B ．45C ．43D ．347．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，终边与单位圆交于12P ⎛- ⎝⎭，则sinα=（）A．3-B．12-C．3-D．38．已知tan2α=，则2221sin2cossin2cosαααα++=-（）A．32B．52C．4 D．52、三角函数值对应表：口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c”）sinαtanαcosα第一象限：0,0.>>yx sinα>0,cosα>0,tanα>0,第二象限：0,0.><yx sinα>0,cosα<0,tanα<0,第三象限：0,0.<<yx sinα<0,cosα<0,tanα>0,度030456090120135150180︒270360弧度06π4π3π2π23π34π56ππ32π2πsinα01222321322212010cosα132221212-22-32-1-01 tanα03313无3-1-33-0无0第四象限：0,0.<>y x sin α<0,cos α>0,tan α<0,4、同角三角函数基本关系式22sin cos 1αα+=sin tan tan cot 1cos ααααα=⇒= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-(ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin •，三式之间可以互相表示)5.诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是απ+2n 中整数n 的奇偶性，把α看作锐角)212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数；212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数. ①.公式（一）：α与()2,k k Z απ+∈απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(=+k②.公式（二）：α与α-()sin sin αα-=-；()cos cos αα-=；()tan tan αα-=-③.公式（三）：α与πα+()sin sin παα+=-；()cos cos παα+=-；()tan tan παα+=④.公式（四）：α与πα-()sin sin παα-=；()cos cos παα-=-；()tan tan παα-=-⑤.公式（五）：α与2πα+sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭； ⑥.公式（六）：α与2πα-sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；⑦.公式（七）：α与32πα+ 3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭；3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭； ⑧.公式（八）：α与32πα- 3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；例题：9．已知α为第三象限角，且sin α=，则cos α=（ ）A B ．C D ．10．在[]0,2π上满足1sin 2x ≥的x 的取值范围是（ ）A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．若sin 3α=，2a ππ<<，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．12 D12．已知1cos 2α=-，()0,απ∈，则α=（ ）.A ．6πB ．56πC ．3π D ．23π13．sin330︒等于（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．214．sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．15．若α是第三象限角，则点()()()tan 3,cos παπα-+在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．2sin 3π=（ ）A ．12 B ．12-C D ． 17．sin 210︒的值为（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．三、三角函数的图像与性质5、三角函数的图像与性质表格 sin y x =cos y x =tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-+∈上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k Z ∈上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k Z ∈上是增函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈ 对称轴()2x k k Z ππ=+∈对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ 对称轴()x k k Z π=∈对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴函数 性 质21．已知函数()sin 022f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象过点30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()f x 图象的一个对称中心为（ ） A ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0C ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,022．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．12C ．1-D ．12-23．函数sin 2y x =的图象的一条对称轴的方程是（ ） A ．2x π=-B ．4πx =-C ．8x π=D ．58x π=24．若α，β为锐角，且2cos()sin()63ππαβ-=+，则（ ） A ．3παβ+=B ．6παβ+=C ．3παβ-= D ．6παβ-=25．函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．26．函数cos(),[0,2]y x x π=-∈的简图是（ ）A ．B ．C ．D ．27．函数2cos 53y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．5πB ．52πC ．2πD ．5π28．已知[]0,x π∈，则满足1cos 2x >-的x 的取值范围是（ ） A ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,,33πππ⎡⎤⎛⎤⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦C ．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．20,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭29．函数3cos 28y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个对称中心是（ ） A ．,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,016π⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭D ．7,016π⎛⎫⎪⎝⎭1、将函数sin y x =的图象上所有的点，向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象。
三角函数经典例题精析
数学高考总复习：三角函数的图象与性质经典例题精析类型一：周期1. 求下列函数的周期：（1）；（2）解析：（1），∴周期为；（2）函数的周期，∴周期为.总结升华：①求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式：或，否则很容易出现错误。
②二者的共同点是，如：的周期是，的周期是.举一反三：【变式】求函数的最小正周期．（1）；（2）；（3）【答案】（1），∴周期为；（2），∴周期为；（3），∴周期为；类型二：定义域2．求函数的定义域。
思路点拨：找出使函数有意义的不等式组，并解答即可.解析：将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，由于x∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即：∴因此函数的定义域为：。
总结升华：①sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R，不是角度。
求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。
②求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.举一反三：【变式1】求函数的定义域：【答案】要使得函数有意义，需满足，解得或，∴定义域为：.【变式2】已知的定义域为，求的定义域.【答案】∵中，∴中，解得，∴的定义域为：.类型三：三角函数的图象3．试述如何由的图象得到的图象.【答案】方法一：.方法二：.举一反三：【变式1】由的图象得到的图象需要向__________平移________个单位.【答案】左，；∵，∴由的图象得到的图象需要向左平移个单位.举一反三：【变式2】将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A． B． C．D．【变式3】写出下列函数图象的解析式（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。
（2）将函数的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移个单位，得到所求函数的图象。
三角函数典型例题剖析与规律总结44439
三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。
分析：要求1sin 2+=y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足21sin -≥x 的x值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。
求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 2222cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
（2）函数的最大值与最小值。
例。
求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y（3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y 分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
三角函数应用题总结分类及经典例题
三角函数应用题总结分类及经典例题在数学中，三角函数是一类常见的函数，具有广泛的应用。
本文将对三角函数应用题进行总结分类，同时给出一些经典例题。
一、角度与弧度的转换例题1：已知角度为45°，求其对应的弧度。
解：根据角度与弧度的换算公式，角度转换为弧度的公式为：$$\text{弧度} = \text{角度} \times \frac{\pi}{180}$$将角度代入公式，可得：$$\text{弧度} = 45° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$$例题2：已知弧度为$\frac{3\pi}{2}$，求其对应的角度。
解：根据角度与弧度的换算公式，弧度转换为角度的公式为：$$\text{角度} = \text{弧度} \times \frac{180}{\pi}$$将弧度代入公式，可得：$$\text{角度} = \frac{3\pi}{2} \times \frac{180}{\pi} = 270°$$二、三角函数的基本关系例题3：已知正弦函数$y = \sin(x)$中，当$x = \frac{\pi}{2}$时，求$y$的值。
解：将$x$代入正弦函数的公式，可得：$$y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$例题4：已知余弦函数$y = \cos(x)$中，当$x = \pi$时，求$y$的值。
解：将$x$代入余弦函数的公式，可得：$$y = \cos(\pi) = -1$$例题5：已知正切函数$y = \tan(x)$中，当$x = \frac{\pi}{4}$时，求$y$的值。
解：将$x$代入正切函数的公式，可得：$$y = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$三、三角函数的图像特点例题6：画出正弦函数$y = \sin(x)$的图像。
解：根据正弦函数的性质，我们可以先确定一个周期内的特征点，如$0, \frac{\pi}{2}, \pi$等。
(完整版)三角函数典型例题剖析与规律总结材料,推荐文档
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 已知，且，则可以表示（）））） 分析 由题意求，不仅要看选择支给出的四个角中哪一个角在区间内，还要看哪一个角的正弦值为 依据诱导公式，有，，由此排除了 又，故，）若，则等于（）） ）））已知，那么的值是（ （A）（B） （C）（D） 分析（1）方法1 因为 （注意）. （注意由有）. 于是原式，故选. 方法 2 利用，，， 又，，，故选（A）. （2）本题是的条件下，求两角和的值，只要求出这两个角和的正切值，并确定其取值范围即可． 设，， 由，有，，， 故， 并且，，.建议收藏下载本文，以便随时学习！ 由此可知，故选.的值 设，则，且 又设，则，且，故． 又由，可得， 即． 函数的定义域为建议收藏下载本文，以便随时学习！ 分析 所求函数定义域应该由下列条件确定： 解得为，故所求定义域为． 又由，则，，即所求值域为 函数的单调递增区间是 分析 由，得函数的定义域为 由于函数由函数和复合而成，而函数在其定义域内是减函数，故只要求出函数的单调递减区间，为 因此，已知函数的递增敬意是 满足的的取值范围是 满足的的取值范围是此类题既要用到函数的单调性，还要注意相应式有意义对的限制条件． 例7 若，则在上满足的的取值范围是（）． （A）（B） （C）（D） 分析这是一道既要运用三角函数的性质，又要运用以反三角函数表示一定范围内的角的题目．如下图， 满足已知条件的的取值范围是， 其中满足：，故， 同样，因此本题应选B．。
三角函数专题(知识归纳、记忆技巧、典型真题剖析)
.....三角函数专题（知识归纳/记忆技巧/典型真题题剖析）一、三角函数的概念(1) 角的概念：终边相同角的集合：所有与α终边相同的角,连同α在内,可构成集合{}0|360,k k Z ββα=⋅+∈或{}|2,k k Z ββπα=+∈(2) 象限角：第一象限角的集合|22,2x k x k k Z πππ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭第二象限角的集合|22,2x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭第三象限角的集合|22,2x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<-∈⎨⎬⎩⎭第四象限角的集合|22,2x k x k k Z πππ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭(3) 轴线角：终边在x 轴上角的集合{}|,k k Z ααπ=∈,终边在y 轴上角的集合|,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭,终边在坐标轴上角的集合|,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭(4) 角度、弧度的换算关系：（1）3602rad π=,1180rad π=,1801rad π⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）扇形的弧长、面积公式：设扇形的弧长为l ,圆心角为()rad α,半径为r ,则l r α=⋅,扇形的面积21122S lr r α==⋅ 3、三角函数定义： 若(),P x y 是角θ终边上任意异于O 的一点,O 为坐标原点,OP r =,则sin ,cos ,tan ,cot y x y x r r x yθθθθ==== 4、三角函数在各象限的符号规律：口诀“一全正, 二正弦,三正切,四余弦.sin α cos α tan α（cot α）二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1、同角三角函数的基本关系式（1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=（2）商的关系：sin cos tan ,cot .cos sin αααααα== （3）平方关系：22sin 1cos αα+=sin αcot αtan α+ + ——+ + + + ————sin αcos α-cot αtan αtan αcot α±注意：（1）诱导公式可概括为2k α⋅±的各三角函数值的化简公式。
三角函数例题和知识点总结
三角函数例题和知识点总结三角函数是数学中一个重要的分支，在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过一些例题来深入理解三角函数的知识点。
一、三角函数的基本概念三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。
例如，一个直角三角形的一个锐角为θ，对边为 a，邻边为 b，斜边为 c，则sinθ ＝ a/c，cosθ ＝ b/c，tanθ ＝ a/b。
二、特殊角的三角函数值我们需要牢记一些特殊角（如 0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。
｜角度｜ 0°｜ 30°｜ 45°｜ 60°｜ 90°｜｜｜｜｜｜｜｜｜ sin ｜ 0 ｜ 1/2 ｜√2/2 ｜√3/2 ｜ 1 ｜｜ cos ｜ 1 ｜√3/2 ｜√2/2 ｜ 1/2 ｜ 0 ｜｜ tan ｜ 0 ｜√3/3 ｜ 1 ｜√3 ｜不存在｜三、三角函数的诱导公式诱导公式用于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
例如，sin(180° α) ＝sinα，cos(180° α) ＝cosα 等。
四、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波浪线，其值域为-1, 1，在0, 2π内，函数在 x ＝π/2 处取得最大值 1，在 x ＝3π/2 处取得最小值－1。
2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π的波浪线，值域为-1, 1，在0, 2π内，函数在 x ＝ 0 处取得最大值 1，在 x ＝π 处取得最小值－1。
五、例题解析例 1：已知sinα ＝ 1/2，且α为锐角，求α的度数和cosα的值。
因为sinα ＝ 1/2，且α为锐角，所以α ＝ 30°。
三角函数解三角形知识点总结例题剖析
三角函数5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2Cr l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A 12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
三角函数性质与应用例题和知识点总结
三角函数性质与应用例题和知识点总结三角函数是数学中重要的一类函数，它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
本文将通过一些例题来深入探讨三角函数的性质，并对相关知识点进行总结。
一、三角函数的基本概念三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
以正弦函数为例，对于一个锐角α，它的正弦值定义为对边与斜边的比值，即sinα ＝对边／斜边。
余弦函数cosα ＝邻边／斜边，正切函数tanα ＝对边／邻边。
二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sinx，cos(x＋2π) ＝ cosx。
例如，sin(π/6 ＋2π) ＝sin(π/6) ＝ 1/2。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sinx；余弦函数是偶函数，即 cos(x) ＝ cosx。
比如，sin(π/4) ＝sin(π/4) ＝√2/2，cos(π/4) ＝cos(π/4) ＝√2/2。
3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是-1, 1，正切函数的值域是 R。
4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
余弦函数在2kπ, π ＋2kπ（k∈Z）上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ（k∈Z）上单调递增。
正切函数在(π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ)（k∈Z）上单调递增。
三、三角函数的应用例题例题 1：已知sinα ＝ 08，且α是锐角，求cosα和tanα的值。
解：因为sin²α ＋cos²α ＝ 1，所以cosα ＝√（1 si n²α) ＝√（1 08²) ＝ 06。
tanα ＝sinα ／cosα ＝ 08 ／ 06 ＝ 4 ／ 3。
例题 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3)的周期、振幅和初相。
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三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。
分析：要求1sin 2+=y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足21sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。
求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 2222cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
（2）函数的最大值与最小值。
例。
求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y（3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
解：(1)221sin ;261sin 1sin 11sin 10sin 211min max ===-=∴≤≤-∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2).11)32cos(5132cos ,1)32cos(1min max =-=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴≤+≤-y x y x x 时，；当时，当πππ(3)[]222592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+∈- ⎪⎝⎭∴当sin 1x =-，即2(2x k k Z ππ=-+∈）时，y 有最小值9-； 当sin 1x =，即2(2x k k Z ππ=+∈），y 有最大值1。
(4)413,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-=====-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即从而ππππ 小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx 的有界性；（2）tanx 的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。
根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；（1）()sin x ωα+一次形式（2）sin ()x f y =或cos ()x f y =的形式，通过()1f y ≤来确定或其他变形来确定。
三：函数的周期性例 求下列函数的周期()x x f 2cos )(1=())62sin(2)(2π-=x x f分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。
（1） 把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当π2+u u 增加到且必须增加到π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必须增加到π+x 时，函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。
（2） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-62sin 2)262sin(2πππx x 即())62sin(2)()62sin(26421sin 2ππππ-=∴-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x f x x 的周期是π4。
小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。
一般地，函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数，),0,0R x A ∈>≠ω的周期ωπ2=T 。
四．函数的奇偶性例 判断下列函数的奇偶性xxx x f x x x f sin 1cos sin 1)()2)(sin()()1(2+-+=+=π分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。
解：（1）函数的定义域R 关于原点对称。
是偶函数。
)()(sin )sin()()(,sin )sin()(x f x f x x x x x f x x x x x f ∴=-=--=--=+=ππ（2函数应满足∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈∴≠+.,2320sin 1Z k k x R x x x ππ，且函数的定义于为函数的定义域不关于原点对称。
∴ 函数既不是奇函数又不是偶函数。
评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证)(x f -是否等于)(x f -或)(x f ，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。
五：函数的单调性 例：下列函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上是增函数的是（ ） x y A sin .=x y B cos =x y C 2sin =x y D 2cos =分析：判断。
在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2ππππ≤≤∴≤≤ 解：sin y x =与cos y x =在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上都是减函数，∴排除,A B ，2x ππ≤≤，22,x ππ∴≤≤知sin 2y x =在[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。
小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ωϕωϕωA x A y x A y 其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：式的方向相同（反）。
的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos ),(sin )0(02)"0()1(R x x y R x x y A A x ∈=∈=<>>+ωϕω练习：1. 函数xy sin 1=的定义域为（ ） {}[)(]{}0.1,00,1.,..≠-∈≠∈x x D C Z k k x R x B R A π2. 函数)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的值域是( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎝⎛-1,211,2323,2121,23.DCBA 3. 函数)0)(4sin(>+=ωπωx y 的周期为32π，则ω=------------. 4. 下列函数中是偶函数的是（ ）1sin sin sin 2sin .+==-==x y Dxy Cx y B x y A5. 下列函数中，奇函数的个数为（ ）（1）x x y sin 2=（2）[]π2,0,sin ∈=x x y （3）[]ππ,,sin -∈=x x y （4）x x y cos =432.1.D C B A6. 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上，下列函数为增函数的是（ ） x y Dxy Cxy Bxy A cos sin cos 1sin 1.-=-=-==7. 函数x y 2sin =的单调减区间是（ ）[]()Z k k k Dk k Ck k B k k A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++4,423,243,4223,22ππππππππππππππππ8. 如果4π≤x ，则函数x x y sin cos 2+=的最小值是——————9. 函数)2434(tan πππ≠≤=x xx y 且的值域为（ ） [](][)(][)+∞-∞-+∞-∞--,11,,11,1,1DCBA答案：B B 3 C C D B221B例1已知，且，则可以表示（）．（A）（B）（C）（D）分析由题意求，不仅要看选择支给出的四个角中哪一个角在区间，还要看哪一个角的正弦值为依据诱导公式，有，，由此排除了B和D．又，故，因此本题应选C．点评反三角函数的记号既然表示一个特定区间上的角，就可以此为基础表示其他指定范围内的角．例2（1）若，则等于（）．（A）（B）（C）（D）（2）已知，那么的值是（）．（A）（B）（C）（D）分析（1）方法1因为（注意）.（注意由有）.于是原式，故选.方法2 利用，，，又，，，故选（A）.（2）本题是的条件下，求两角和的值，只要求出这两个角和的正切值，并确定其取值范围即可．设，，由，有，，，故，并且，，.由此可知，故选.点评本题是利用反三角函数的概念，通过设辅助角，把反三角函数的运算转化为三角函数的问题来解决，这是常用的处理方法，同时，揭示了反三角函数和三角函数的内在联系．例3的值=．分析本题实质上是求角的大小，可以先求它的某种三角函数值，再估计其取值范围而确定．设，则，且又设，则，且，故．∴又由，可得∴，即．例4函数的定义域为，值域为．分析所求函数定义域应该由下列条件确定：解得为，故所求定义域为．又由，则，∴，即所求值域为点评求值域时既要认识给定函数是复合函数，又要注意定义域的制约作用．例5函数的单调递增区间是．分析由，得函数的定义域为由于函数由函数和复合而成，而函数在其定义域内是减函数，故只要求出函数的单调递减区间，为因此，已知函数的递增敬意是点评这里不仅要正确运用复合函数单调性的规律，而且要注意函数的单调区间定是其定义域的子区间．例6满足的的取值范围是；满足的的取值范围是．分析此类题既要用到函数的单调性，还要注意相应式有意义对的限制条件．例7若，则在上满足的的取值范围是（）．（A）（B）（C）（D）分析这是一道既要运用三角函数的性质，又要运用以反三角函数表示一定范围内的角的题目．如下图，满足已知条件的的取值范围是，其中满足：，故，同样，因此本题应选B．。