15-4互易定理

例 求图示两端口的Y 参数。
解

I1
+ U1

3 3
6
I2
+ 15 U 2


为互易对 称两端口
1 I Y11 1 U
I Y21 2 U 1
2 0 U
1 0.2S 3 // 6 3
1 I1 3 0.0667 S U 1
0 U 2
u
k 1
b
k
ˆk ik 0 i k 0 和 u
k 1

b
u
k 1
b
k
i k u1 i 1 u2 i 2 uk i k
k 3


b

u1 i 1 u2 i 2 Rk ik i k 0


b

u
k 1
b

k k
i u1 i1 u 2 i2 u k ik
§2-2 互易定理 特勒根定理
1. 特勒根定理1
任何时刻，一个具有n个结点和b条支路的集总 电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:
u i
k 1
b
k k
0
功率守恒
表明 任何一个电路的全部支路吸收的功率之
和恒等于零。
定理证明： 1 2 3
b
应用KCL:
2
i1 i2 i4 0 i4 i5 i6 0 i2 i3 i6 0
激励 线性 电阻 网络 NR (a) c i2 d
电压源 a i1 b
响应 线性 电阻 网络 NR (b) c
电流 + uS2 – d
则端口电压电 流满足关系：
i2 i1 uS 1 uS 2
或 uS 1i1 uS 2i2
注意
当 uS1 = uS2 时，i2 = i1
证明: 由特勒根定理：
即：
a 2A + U1 – b
线性 电阻 网络 NR (a)
a c + U2 5 I – b d
线性 电阻 网络 NR (b)
c 2A
+ –
d
解2
应用特勒根定理：

ˆ ˆ u1i u i u1 i1 u 2 i2 1 2 2
ˆ ˆ 10i 5 ( 2 ) 5 i (2) u 2 0 1 1
2. 特勒根定理2
2
4
1 2 3 6
5
4 3
1 任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路 的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不 同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方 向下，满足:
2 4 5
2
4 4
1 2 3 6
5
4 3 1
1
2
6
3 3 1
(uk , ik )
拟功率定理
ˆk ) ˆk , i (u
k 3


k 3 b
u1 i1 u 2 i2 Rk ik i k 0


b

ˆ 两式相减，得： u1i 1
ˆ2 u1 i1 u 2 i2 u2i

k 3

将图(a)与图(b)中端口条件代入，即:
u1 uS1 , u2 0 , u1 0, u 2 uS 2 ˆ2 0 i1 uS 2i2 uS1i1 0 i
响 应
线性 电阻 网络 NR (b)
图a
图b
电流
电压 c +
uS2
–
d
则端口电压电流在 数值上满足关系：
i2 u1 iS 1 uS 2
或 u1iS 1 uS 2i2
注意
1. i2的方向 2.当 iS1 = uS2 时，i2 = u1
应用互易定理分析电路时应注意：
① 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理 想电源搬移； ②互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致 （要么都关联，要么都非关联)； ③ 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激 励下，端口两个支路电压电流关系。 ④含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
U ab I 3I U (3 ) I ( I S I ) ( 3 ) I S
如要电路具有互易性，则：U ab
U cd ( 1) 3 ( 3 )

2
结论 一般有受控源的电路不具有互易性。
k k
u iˆ
k 1
b
k k
0
ˆi u
k 1
b
0
定理证明： 对电路2应用KCL:
1
2
3
u iˆ
k 1
b
ˆ ˆ ˆ i i i 0 1 2 4 ˆ4 i ˆ5 i ˆ6 0 i ˆ2 i ˆ3 i ˆ6 0 i
ˆ ˆ ˆ un1i ( u u ) i u i 1 n1 n3 2 n3 3 ˆ4 un 2i ˆ5 (un 2 un 3 )i ˆ6 (un1 un 2 )i
2. 互易定理的算式描述（教材中内容）
不含独立源、受控源，即：只由电阻、电感、 ①互易双口： 电容、耦合电感和理想变压器组成，且零初 始状态的无源双口网络。记作 NR 。 ②定理内容：对于互易双口，下列关系成立
Z12 Z 21 Y12 Y21 h12 h21 h '12 h '21 AD BC 1 A ' D ' B ' C ' 1
例1 求(a)图电流I ，(b)图电压U
1 1 + 244 2 I + 6 6 12V I 12V – – (a) (a) 解 利用互易定理 + 6A U – 6A 4 4 1 1 + 2 2 6 6 U – (b) (b)
12 1 I 1.5A 1 6 // 6 2
ˆ i I 0.5A 1



例4 问图示电路与取何关系时电路具有互易性
解 在a-b端加电流源，解得：
II
U cd U 3I U ( 1) I 3I ( 1) 3I S
在c-d端加电流源，解得：
1 1 – –UU+ + a a I 1 c c IS I 3 1 IS 3 + +U U – – b b dd
a
I
I2
1
2 2 c + b
2
I'
8V
d –
例3 测得a图中U1＝10V，U2＝5V，求b图中的电流I
a 2A + U1 – b 解1 ①利用互易定理知c图的 线性 电阻 网络 NR (a) a c + U2 5 I – b d a + 线性 电阻 网络 NR (b) 线性 电阻 网络 NR (c) c 2A + –
即： a


i2 i1 uS 1 uS 2
线性 电阻 网络 NR
或 uS 1i1 uS 2i2
c i2
d a i1 b 线性 电阻 网络 NR
证毕！ c
+ uS2 – d
+ uS1 –
b
(a)
(b)
情况2 a iS1
激励 线性 电阻 网络 NR c + u2 – d
电流源 a + u1 – b
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ un1 (i 1 i2 i4 ) un 2 ( i4 i5 i6 ) ˆ2 i ˆ3 i ˆ6 ) 0 un 3 (i
k k
ˆ ˆ ˆ u1i u i u i 1 2 2 6 6
② R1=1.4 , R2=0.8, Us=9V时, I1=3A, 求此时的U2 解
①电路中的支路电压必须满足KVL; ②电路中的支路电流必须满足KCL; ③电路中的支路电压和支路电流必须满足关联 参考方向； （否则公式中加负号） ④定理的正确性与元件的特征全然无关。
互易定理和互易双口
互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个 具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响 应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。 具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路 的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的 灵敏度分析和测量技术等方面。
U 3 2 6V
例2 求电流I
解 利用互易定理
8 I ' 2 4 // 2 1 // 2 8 2A 4 I1 = I '2/(4+2)=2/3A I1
4 8V – + a 1
2
b 2
2 c
d
I
4
I2 = I '2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = - 2/3A

I 1 3A



2A + –

+ 无源 4V 电阻 – 网络
b
1A + 2V –
3A +
(5 / 4)U 2

+ 无源 4.8V 电阻 – – 网络

U2
–
b

+
ˆk U 1 ( I1 ) U 2 I 2 Rk I ˆk I k U1 ( I 1 ) U 2 I 2 Rk I k I
注意 互易二端口四个参数中只有三个是独立的。
对称二端口： 对称二端口除满足互易条件外，还满足
Z11 Z 22 Y11 Y22 A D A' D '
注意
对称二端口只有两个参数是 独立的。
对称二端口是指两个端口电气 h11h22 h12 h21 1 特性上对称。电路结构左右对称的 h '11 h '22 h '12 h '21 1 一般为对称二端口。见P298。 结构不对称的二端口，其电气 特性可能是对称的，这样的二端口 也是对称二端口。
响应 线性 电阻 网络 NR (b)
电压 c iS2
b
(a)
d
则端口电压电 流满足关系：
u2 u1 iS 1 iS 2
或 u1iS 1 u2iS 2
注意 当 iS1 = iS2 时，u2 = u1
情况3 a
激 励
线性 电阻 网络 NR (a)
图a
图b
电流源
iS1
b
电压源 a c + i2 u1 – b d
k k
4
1 2 3 1 6
5
4 3
u i
k 1
u1i1 u2i2 u6i6
un1i1 (un1 un 3 )i2 un 3i3 (un1 un 2 )i4 un 2i5 (un 2 un 3 )i6
支路电 压用结 点电压 表示
un1 (i1 i2 i4 ) un 2 (i4 i5 i6 ) un 3 (i2 i3 i6 ) 0
d c 2A
ˆ1 5V(开路电压） u
ˆ1 U
– b
+ –
d
a
Req b
线性 电阻 网络 NR (c)
c 2A
a
+ U1 – b
d
线性 电阻 网络 NR
(a)
c + U2 – d
②结合a图，知c图的等效电阻：
戴维宁等 效电路 a I b 5 5 + 5V –
u1 10 Req 5Ω 2 2 5 I 0.5A 55
k 3 k 3

(负号是因为U1 , I1的方向不同 )

4 3 2 1.25U 2 4.8 2 U 2 1
U 2 2.4 /1.5 1.6V


例2
I1 + U1 –
I1

I2

P

+ + I2 U2 U1 – –
2

P

+
U2
–


已知： U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A U 2 10V 求U 1 . 解
U1 I 1 U 2 ( I 2 ) U 1 ( I1 ) U 2 I 2


U1 2 I1
U1 U1 U 1 ( I1 ) U 2 I 2 2


U1 10 U 1 (5) 10 1 2

U 1 1V

注意 应用特勒根定理：
1. 互易定理
对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端 口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激 励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激 励所产生的响应相同。 其实可以是一个含电阻、电容、电感、耦合 电感以及理想变压器的无源双口网络，这样的双 口称作互易双口。
情况1 + uS1 – b a
2 I Y22 2 U 1 I Y12 2 U
1 0 U
0.2S 0.0667 S
2 0 U
③互易定理推论（和前面所讲互易定理一致）
例1 ① R1=R2=2, Us=8V时, I1=2A, U2 =2V
把两种情况看成是结构相同，参数不同的两 个电路，利用特勒根定理2
U2=2V, I1 + Us – R1 + 无源 U1 电阻 – 网络 I2=U2/R2=1A I2 R2 + U2 –
由(1)得：U1=4V, I1=2A,
由 (2)得 : U 1 9 3 1.4 4.8V I 2 U 2 /R2 (5 / 4)U 2