非线性薛定谔方程的五种差分格式
光学课程中一个数值仿真例子光折变离散孤子
1引言差分方法作为求解偏微分方程的基本方法有着直观、明、白容易上手的作用．在物理学中，许多的基本方程，如力学中的拉格朗日方程和哈密顿方程，电磁学或光学中的麦克斯韦方程以及量子力学中的薛定谔方程等，其本质都是一系列的偏微分方程．因此，对偏微分方程的构造和求解，成为物理学中间的一个核心内容，同时也是物理学科教学和学习的主要任务．在以往的教学实践中，许多教材以及教师的讲解往往过分注重于数学上解析方法的讲述，使得很多学生在繁重数学公式面前迷失了物理的本质，并由此产生了不知道自己到底在学物理还是在学习数学的困惑．特别现在许多高校在数学、物理等基础课程学时数遭到压缩的时候，不少学生数学和物理素养不够扎实，这一现象就更为凸显．因此，如何结合目前高校物理学课程设置的现状，探索更有效的教学模式，缓解学生在学习过程中产生不必要的困惑以及提高学习效率，成为了物理学教学环节研究中的一个重要问题．近年来，随着计算机技术和计算机课程的普及，许多基础类或工程类的学科都引入了计算机仿真等模块进行教学，这些模块的引入，使得学生可以更加直观明白有效地理解他们所学习的内容，同时，学生在这些课程和环境的熏陶下，普遍都具有较好的计算机能力．因此，在物理课程中适当引入计算机仿真的模块，对舒缓学生在学习过程中迷失于枯燥的数学公式有一定的作用，而且，引入仿真模块也使得学生更深入地理解数学背后的物理本质有积极的意义．目前，国内对于物理计算机仿真的课程也逐步增多，例如很多高校都开设了计算物理课程的选修或者必修课程．在这些课程中，我们除了讲解一些基本的算法知识，其核心内容就是介绍各类物理学偏微分方程仿真和求解的数值方法．我们在开展这类课程的时候，需要许多实际的例子或者习题对学生进行讲解和训练．而这些例子或者习题，如果能够和前沿领域挂钩，则既可增加学生的科研能力和学习兴趣，又可以让学生快速地了解和把握物理前沿问题．本论文这里所讲的４步差分格式Ｐｅａｃｅｍａｎ－Ｒａｃｈｆｏｒ差分方案，是在简单的Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ差分方案的思路上，基于最简单的差分格式延伸而来的二维差分方案［１］．该差分格式通过把二维问题化成一维问题，具有较好的运算效率，而且直观明白，适合课堂中进行讲解及课后进行实践．下面，我们将以离散系统中的非线性薛定方程为例子，讲述这个差分格式与虚时间方法结合在求解二维非线性薛定方程中的仿真运用．众所周知，光波在线性周期离散系统中传播时会出现一些反常衍射、反常折射及分立衍射等反常现象．这些现象在连续，均匀介质中是从来未有遇见到的［２－３］．在传播过程中，当光波与相邻波导之间的线性耦合以及非线性效应平衡的时候，就会形成自局域态．这种自局域态也叫做离散孤子（Ｄｉｓｃｒｅｔｅｓｏｌｉｔｏｎ）［４－７］．在许多科学领域中，离散孤子的研究都是非常热门的研究课题［８］．长期以来，人们对离散系统的研究都局限在一维的系统中，近年来通过利用全息技术，在光折变晶体中产生二维的周期的阵列波导并产生离散孤子，使得二维离散系统得以在实验建立［７］．由于二维系统要比一维系统展示出更加强大的优越性，使它得到了越来越多科学工作者的关注．特别是近年来，随着全息技术在光子晶体制造方面的技术突破，例如可以通过全息技术制造带缺陷的功能型光子晶体材料［９－１０］．缺陷的存在对阵列波导中离散孤子的影响和潜在应用也进入了人们的视线［１１－１２］．由于缺陷的种类是多样的，这使得二维非线性薛定谔方程的有效求解也成为了其中一个重要的问题．一般来说，求解二维的薛定谔方程要比一维困难得多，而且耗费机时，占据内存，运算时间长．本文通过对传统的求解二维问题ＰＲ差分格式的修改，化成四步，用于求解非线性薛定谔方程，并且应用于模拟二维光折变离散孤子的研究．由于该方法不仅得到比较精确的结果，而且节约计算机时间和无条件稳定，这给人们提供了多一个研究此问题的有效手段，同时，该例子也是目Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．９Ｓｅｐ．２０１２赤峰学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第２８卷第９期（下）２０１２年９月光学课程中一个数值仿真例子：光折变离散孤子陈桂华1，谭穗妍2，庞玮3（１．东莞理工学院电子工程学院，广东东莞５２３８０８；２．华南农业大学应用物理系，广东广州５１０６４２；３．广东工业大学实验教学部大学物理实验中心，广东广州５１０００６）摘要：本文用改进的Ｐｅａｃｅｍａｎ－Ｒａｃｈｆｏｒ（ＰＲ）的差分方案对二维非线性薛定谔方程进行研究，通过结合虚时间方法，以缺陷离散系统模型为例子，分别对带缺陷和不带缺陷光折变晶格波导中的离散孤子进行了模拟，所涉及的内容为目前非线性光学及其它非线性物理领域内的前沿问题．此外，这些内容也可以为计算物理课程、量子力学课程以及光学各类数值仿真模块的例子或习题．关键词：二维非线性薛定谔方程；4步Peaceman-Rachfor 差分方案；离散系统；离散孤子中图分类号：Ｏ４３文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１２）０９－００１０－０３基金项目：国家自然科学基金项目（10947140，11104083）１０－－前非线性物理学界的前沿问题，有助于学生通过学习，更多地接触到前沿的物理知识．24步PR 差分方案的介绍标准形式的非线性薛定谔方程如下所示：ｉ鄣ｕ＝－１（鄣２＋鄣２）ｕ＋Ｖ（ｘ，ｙ）ｕ＋σ｜ｕ｜２ｕ（１）如图１所示，我们把２维空间（ｘ，ｙ）进行离散化．差分格式从传统Ｐｅａｃｅｍａｎ－Ｒａｃｈｆｏｒ（ＰＲ）格式出发，传统的ＰＲ差分格式如下：ｉｕｊ，ｍｎ＋１２－ｕｎｊ，ｍ＝－１（Ｄｘｕｊ，ｍｎ＋１＋Ｄｙｕｎｊ，ｍ）＋（Ｖｊ，ｍ＋σ｜ｕｎｊ，ｍ｜２）（ｕｊ，ｍｎ＋１２＋ｕｎｊ，ｍ）ｉｕｊ，ｍｎ＋１－ｕｊ，ｍｎ＋１２＝－１２ａ（Ｄｘｕｊ，ｍｎ＋１２＋Ｄｙｕｎ＋１ｊ，ｍ）＋（Ｖｊ，ｍ＋σ｜ｕｊ，ｍｎ＋１２｜２）（ｕｊ，ｍｎ＋１２＋ｕｎ＋１ｊ，ｍ）２（２）其中：Ｄｘｕｊ，ｍ＝ｕｊ＋１，ｍ－２ｕｊ，ｍ＋ｕｊ－１，ｍＤｙｕｊ，ｍ＝ｕｊ，ｍ＋１－２ｕｊ，ｍ＋ｕｊ，ｍ－１为ｘ，ｙ方向上的二阶分差分格式．我们把上式化成以下的四步：ｉｕｊ，ｍｎ＋１－ｕｎｊ，ｍτ＝１４［－１ａＤｙｕｊ，ｍｎ＋（Ｖｊ，ｍ＋σ｜ｕｎｊ，ｍ｜２）ｕｊ，ｍｎ］（３）ｉｕｊ，ｍｎ＋１２－ｕｊ，ｍｎ＋１４τ＝１４［－１ａＤｘｕｊ，ｍｎ＋１２＋（Ｖｊ，ｍ＋σ｜ｕｎｊ，ｍ｜２）ｕｊ，ｍｎ＋１２］（４）ｉｕｊ，ｍｎ＋３４－ｕｊ，ｍｎ＋１２τ＝１４［－１ａＤｘｕｊ，ｍｎ＋１２＋（Ｖｊ，ｍ＋σ｜ｕｊ，ｍｎ＋１２｜２）ｕｊ，ｍｎ＋１２］（５）ｉｕｊ，ｍｎ＋１－ｕｊ，ｍｎ＋３４＝１［－１Ｄｙｕｊ，ｍｎ＋１＋（Ｖｊ，ｍ＋σ｜ｕｊ，ｍｎ＋１２｜２）ｕｊ，ｍｎ＋１］（６）以上每一步对于未知的ｕ都是一维求法，其中（３），（５）式为显式，（４），（６）式为隐式．这样的交替差分格式，可以大大的节约了计算时间．同时它和传统的ＰＲ格式一样，也是一个具有二阶精度，无条件稳定的差分格式．假如我们令：Ｈ＝１－２ａ（鄣２鄣ｘ２＋鄣２鄣ｙ２）＋Ｖ＋σ｜ｕ｜２（７）方程（１）就会变成标准形式的非线性薛定谔方程，在实际的运行中，我们只需要把步长τ变成τ＝－ｉ·ｃ（其中ｃ为一个实数），然后在每一步的演化中都把波函数按照初始功率进行归一化，则是虚时间方法．实践表明，虚时间的收敛性要比松弛法相对较为容易控制．3利用4步PR 差分方案研究光折变阵列波导中的离散孤子描述离散孤子在光折变晶体中传播方程的表达形式如下：ｉ鄣鄣ｚｕ（ｘ，ｙ）＝－１２ｋｅ（鄣２鄣ｘ２＋鄣２鄣ｙ２）ｕ（ｘ，ｙ）＋△ｎ（Ｉ）ｕ（ｘ，ｙ）（８）在方程里面，ｋｅ＝ｋ０ｎｅ，ｎｅ为晶体中ｅ光的折射率．在这里ｕ的偏振方向取作与晶体中ｅ光的偏振方向相一致（平行于ｃ轴）．同时：△ｎ（Ｉ）＝Ｎｅ（９）在这里，我们已经略去了光折变效应中的光生伏打效应和载流子扩散效应，只保留其中的屏蔽光折变非线性效应．（９）式中的光强Ｉ（ｘ，ｙ）＝｜ｕ｜２＋｜Ｖ（ｘ，ｙ）｜２，它是用暗辐照Ｉｄ归一化的光强．Ｖ为产生周期阵列波导的光场，一般通过全息技术产生，它的偏振方向和晶体中ｏ光的偏振方向一致（垂直于ｃ轴）．由于光折变晶体一般具有较高的电光各向异性（ｒ１３＜＜ｒ３３），因此Ｖ光的非线性效应可以近似忽略，可看作是线性的传播．Ｎｅ＝ｋ０ｎ３ｅｒ３３Ｅ０／２，Ｅ０为晶体上的外加电场．显然，方程（８）的表达形式可以用４步ＰＲ算法和虚时间算法进行求解．我们选取具有光折变效应的铁电氧化物ＳＢＮ作为我们数值模拟的样本，晶体的电光张量系数ｒ３３＝１３４０ｐｍ／Ｖ，ｅ光图１ｘ，ｙ离散网格（ａ）（ｂ）（ｃ）图２无缺陷下离散孤子的光强分布图（ａ）用全息技术产生的无缺陷阵列波导的（ＸＹ）示意图（ｂ）在该阵列波导中离散孤子的（ＸＹ）示意图（ｃ）离散孤子３维示意图１１－－折射率ｎｅ＝２．２２２９，其横向尺寸取为ｌ＝ｍ＝５ｍｍ．假设产生周期阵列波导的光场利用全息技术产生，由于目前在全息技术中，可以产生缺陷的全息图像的技术已经出现和被报道，如多光束相位控制技术就是其中一种重要的可以产生缺陷的全息技术［１０］，该技术已经被广泛应用于功能性带缺陷的光子晶体的制造中．在这里，我们假设该技术也用于产生带缺陷的周期阵列波导．我们取干涉光强分布为正方格子，其的表达式为：｜Ｖ（ｘ，ｙ）｜２＝｜Ｖ０／２｜２Ｋ（ｘ，ｙ）［ｃｏｓ（πｘ／Ｄ）＋ｃｏｓ（πｙ／Ｄ）］２，其中Ｋ（ｘ，ｙ）为缺陷函数，在模拟中，我们取｜Ｖ０｜２＝４，Ｄ＝１０μｍ．加在光折变晶体上的横向电压我们假设为ＵＶ＝８００Ｖ，则横向电场Ｅ０≈（ＵＶ／Ｗ）（１＋Ｖ０２）姨＝３５７ｖ／ｍｍ［７］．以下是我们运用该数值方法模拟的一些结果．其中图２描述在无缺陷（Ｋ（ｘ，ｙ）＝１）的阵列波导及相应的离散孤子的光强分布，而图３则描述阵列波导在负点缺陷情况下（Ｋ（ｘ，ｙ）＝１－ｅｘｐ［－（ｘ２＋ｙ２）／（０．５Ｄ）２］）的图及其离散孤子的光强分布图．稳定性分析表明，这些孤子解都是稳定的．以上的模拟是在Ｍａｔｌａｂ平台上进行的，现在不少的学科仿真也都基于Ｍａｔｌａｂ平台开展［１３］．同时，Ｍａｔｌａｂ软件的编程和应用，是许多高校理工类学生必修、选修或者自学对象．因此，本文的模拟，可以作为计算物理及相关课程的例题或者习题，供学生进行学习和练习．4结论本文利用４步ＰＲ算法和虚时间方法相结合，研究了二维阵周期列波导中的离散孤子进行了研究，从模拟的结果来看，算法和传统方法得出的结果相一致，由于４步法把二维化为一维问题去进行计算，所以非常节省计算资源．同时本文所论述的例子，可以作为一些专业课程如计算物理课程、量子力学课程以及光学各类课程数值仿真模块的例子或者习题．通过这一学习和练习，学生既可以掌握利用４步ＰＲ算法和虚时间方法相结合的方式处理二维系统的方法，又可以了解到什么是离散系统，什么是离散孤子以及光折边晶体的一些基本知识．对拓展学生的物理知识面有积极的作用．———————————————————参考文献：〔1〕陆金甫，偏微分方程的数值解法(第二版)[M].北京：清华大学出版社，2004.〔2〕H.S.Eisenberg,and Y.Silberberg,“Diffraction Man -agement,”,Phys.Rev.Lett.85,1863(2000).〔3〕D.N.Christodoulides, F.Lederer,and,Y.Silberberg,“Discretizing light behaviour in linear and nonlinearwaveguide lattices ”,Nature,424,817(2003).〔4〕F.Lederer,C.I.Stegeman,et.al.“Discrete solitons in optics ”,Physics Reports,463,1-126(2008).〔5〕H.S.Eisenberg,and Y.Silberberg,“Discrete SpatialOptical Solitons in Waveguide Array ”,Phys.Rev.Lett.81,3383(1998).〔6〕N.K.Efremidis,S.Sears,et.al.“Discrete solitons inphotorefractive optically induced photonic lattices ”,Phys.Rev.E.66,046602(2002).〔7〕J.W.Fleischer,M.Segev,et.al.“Discrete solitons inoptically induced nonlinear photonic lattices ”,Nature,422,147(2003).〔8〕S.Flach, A.V.Gorbach,“Discrete breather-Advancesin theory and applications ”,Physics Reports,467,1-116(2008).〔9〕X.S.Xie,M.Li,et.al.“Phase manipulated multi-beam holographic lithography for tunable optical lat -tices ”,Optics Express,15,7032(2007).〔10〕Juntao Li,Yikun Liu,et.al.“Fabrication of photoniccrystals with functional defects by one-step holographic lithography ”,Optics Express,16,12899(2008).〔11〕I.Makasyuk,and Zhigang Chen,“Band -Gap Guid -ance in Optically Induced Photonic Lattices with a Negative Defect ”,Phys.Rev.Lett.96,223903(2006).〔12〕B.Freedman,G.Bartal,et..al.“Wave and defect dy -namics in nonlinear photonic quasicrystals ”,Nature,440,1166(2006).〔13〕黎永耀,麦志杰,吴剑雄,付神贺,刘岩.基于Matlab 平台下量子力学课中的“实验”课[J].赤峰学院学报,2011,27(10):13-14.（ａ）（ｂ）（ｃ）图３带缺陷阵列波导下离散孤子的示意图（ａ）利用多光速相位控制全息技术产生的带缺陷的阵列波导（ｂ）缺陷离散孤子的（ＸＹ）示意图（ｃ）缺陷离散孤子的三维示意图１２－－。
288 268 非线性薛定谔方程
v c
k nω
n
c
将k在ω0附近展开：
k
k0
k ω
|w0
(w w0 )
1 2
2k ω2
|w0
(w w0 )2
...
对 E作付里叶变换： E(x,t) 1
e(k, ω)ei(ω•tk•x)d kd ω
2π
e(x,t) 1
E(x, t)ei(ω•tk•x)dxd t
2π
NLSE的导出
上式称为Lax方程。算符L、M 称为Lax对。找到Lax对就可以
用反散射法求解非线性方程。
反散射法结果
对于一般的NLSE，i h h 2 2 b | |2 V (x,t)
2m
分四种情况讨论：
NLSE的反散射解法
V (x,t) 0,b const 0 V (x,t) const,b 0
E i ω e, E ike
t
x
ω ~ i , k ~ i
t
xkk0Fra bibliotekk ω
|w0
(w w0 )
1 2
2k ω2
|w0
(w w0 )2
...
k k ' ω 1 k ''( ω)2 2
i ik ' 1 k '' 2 x t 2 t2
E E 1 2E
i ik ' k ''
冲形成孤立波。
NLSE的解析解法
反散射解法
微扰法
高阶NLSE
变分法
NLSE的反散射解法
Schrödinger方程的反散射问题 已知散射数据km, Cm(km), R(k), T(k), ψ(x→∞),则位势 u(x)为：
5第五讲 典型模型方程-波动方程的差分格式
得到 高阶精度的Runge-Kutta方法，其步骤相同。如四阶精度的Runge-Kutta方法
若采用二阶空间差分格式，则其 提高时间导数的差分精度。
， Runge-Kutta方法仅
Comments
• 高阶精度的差分格式需要更多的计算资源和推
导计算的复杂性。 • 一般情况下，二阶精度的差分格式能提供足够 的精度。 • 对于一维波动方程，二阶精度的显格式如 Lax-Wendroff格式在计算资源消耗少的情 况下能给出很好的数值解。隐格式在相对较小 的时间步长情况下，计算中可能导致一些不稳 定解，且需要存储中间时间层上的值和求解方 程组，消耗较多的计算资源，不一定是最优的 原则。
为了使其为稳定差分方法，修正如下
：
因此，此差分方程不一定总相容于PDE，当 则相容，为条件相容。
t 0, x 0 x
t 0, x 0
2
t
0
?
时，v保持为常数，
Lax差分方法的耗散性和色散性分析
当v不为1时，耗散性很强。
理解下图？？？
Euler差分方法（如下）不稳定
其辐角误差为：
因此相对相位误差（relative phase shift error）（见图4.3）为：
因此，当
1 e 1 e
leading phase error lagging phase error
solution : u ( x, t ) sin[6 ( x ct )]
（4-2）
泰勒展开：
n n 1 u u 在 j 处展开， j 在 u n j 处展开，
utt j 在 utt nj 处展开，相减后 泰勒展开：
n 1
（4.57）式两式相减，并整理得：
极坐标下二维非线性薛定谔方程的有限差分方法
收稿日期：2020-09-13作者简介：杨程程（1996-），女，辽宁铁岭人，硕士研究生。
极坐标下二维非线性薛定谔方程的有限差分方法杨程程，张荣培（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳110034）摘要：对圆形区域上的二维非线性薛定谔方程进行了研究。
首先，用极坐标方式表示拉普拉斯算子，将计算区域分别沿r 和θ方向进行网格划分，运用中心差分的方法进行空间离散，离散格式用Kronecker 积表示，并写成非线性常微分方程组的形式。
然后，应用积分因子方法进行时间离散，在实现过程中采用Kroylov 子空间的方法求解指数矩阵与向量的乘积。
最后，在数值试验中给出爆破解的数值算例，证明了该方法可以有效地捕捉爆破现象。
关键词：二维非线性薛定谔方程；极坐标；中心差分；Kroylov 子空间中图分类号：TP273文献标识码：A文章编号：1673-1603（2021）01-0092-05DOI ：10.13888/ki.jsie （ns ）.2021.01.018第17卷第1期2021年1月Vol.17No.1Jan.2021沈阳工程学院学报（自然科学版）Journal of Shenyang Institute of Engineering （Natural Science ）非线性薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，在等离子物理、非线性光学、激光晶体中的自聚焦、晶体中热脉冲的传播以及在极低温度下的Bose -Einstein 凝聚体的动力学等领域内有着重要的应用［1-4］。
近年来，许多学者在求解非线性薛定谔方程时应用了许多数值方法，例如有限差分方法［5］、有限元法［6］、谱方法［7］和紧致积分因子法［8］等等。
但这些方法均在直角坐标系下求解，而在极坐标下求解的非线性薛定谔方程的文章比较少［9］，本文考虑在圆形区域上求解极坐标下的二维非线性薛定谔方程。
考虑计算区域为Ω={}()x ,y :x 2+y 2<1的二维非线性薛定谔方程：iu t +Δu +||u 2u =0（1）式中，u ()x ,y 为复函数；i 2=-1为虚数单位；Δu =u xx +u yy 为拉普拉斯算子。
非标准有限差分法求解薛定谔方程
收稿日期:20181009基金项目:山东省高校科技计划资助项目(J 17K B 053);山东省教育教学研究项目(2018J X Y 3076);青岛理工大学琴岛学院教育教学研究重点项目(2018003A ).作者简介:刘明鼎(1982),男,辽宁大连人,青岛理工大学琴岛学院副教授.第31卷第2期2019年4月沈阳大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f S h e n y a n g U n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c e )V o l .31,N o .2A pr .2019文章编号:2095-5456(2019)02-0165-04非标准有限差分法求解薛定谔方程刘明鼎,林 鑫,张艳敏(青岛理工大学琴岛学院基础部,山东青岛 266106)摘 要:结合非标准有限差分方法构造求解薛定谔方程的两种非标准有限差分格式,格式利用时间和空间的步长函数来近似逼近时间和空间的导数项,计算了两种差分格式的局部截断误差.数值实验验证了非标准有限差分格式的有效性,数值精度高于传统有限差分格式.关 键 词:薛定谔方程;非标准有限差分法;非标准有限差分格式;有限差分格式;局部截断误差中图分类号:O 241.82 文献标志码:A薛定谔方程是物理领域量子力学的一个重要方程.可以用来讨论单色波的一维自调适㊁光学的自陷现象㊁固体中的热脉冲传播㊁等离子体中的L a n gn u i 波㊁超导电子在电磁场中运动以及激光中原子的B o s e -E i n s t e i n 凝聚效应等[13],也被用于研究深水波浪理论㊁柱(球)非线性薛定谔方程[45],因此研究此类方程具有重要的意义.本文结合构造非标准有限差分格式的特点[68],给出求解薛定谔方程的一种非标准有限差分格式.通过分析,证明了构造的差分格式是无条件稳定和收敛的.数值算例验证了该方法是有效的.1 两种非标准有限差分格式的构造考虑如下初边值薛定谔方程:췍u (x ,t )i 췍t =췍2u (x ,t )췍x2+u (x ,t )+f (x ,t ),0<x <L ,0<t ɤT ,(1)初始条件u (x ,0)=φ(x ),0ɤx ɤL ,(2)边界条件u (0,t )=ϕ0(t ),u (L ,t )=ϕ1(t ),0<t ɤT .(3)这里i 为虚数单位,f ,φ,ϕ0,ϕ1为已知连续函数,L ,T 为非负常数.对区域[0,L ]ˑ[0,T ]进行分割,以h =L M为空间步长,Δt =T N为时间步长,网格点为(x m ,t n ),其中x m =m h ,m =0,1, ,M ,t n =n Δt ,n =0,1, ,N ,这里M ,N 为正整数.定义数值解u nm =u (x m ,t n ). 1.1 第一种非标准有限差分格式的构造利用M I C K E N S 方法[6],以及文献[911]在网格点处对式(1)离散后的差分方程为u n +1m-u n mi D 1=u n m +1-2u n m +u nm -1D 2+u n m +f n m .(4)其中,分母函数满足:D 1=e (Δt )-1,D 2=4s i n 2ˑh æèçöø÷2.当Δt ң0,D 1=e (Δt )-1等价于Δt .当h ң0,D 2=4s i n 2h æèçöø÷2等价于h 2.这里对时间的一阶导数离散后的分母利用函数D 1代替传统的分母Δt,对空间的二阶导数离散后的分母利用函数D 2代替传统的分母h 2.这种分母函数的选择也依据薛定谔方程解的性质[4].记D 1D 2=R 1,D 1=R 2,对式(4)整理u n +1m -u n m =i R 1(u n m +1-2u n m +u n m -1)+i R 2u n m +i R 2f nm ,(5)对式(5)进一步整理u n +1m=(1+i R 2-2i R 1)u n m +i R 1u n m +1+i R 1u nm -1+i R 2f nm .(6)Copyright©博看网 . All Rights Reserved.则式(6)即为式(1)第一种非标准有限差分格式.1.2 第一种非标准有限差分格式的局部截断误差记u nm =u (x m ,t n ),利用T a y l o r 展开公式计算得到非标准有限差分格式(6)的局部截断误差.定义差分符号췍t u n m=u n +1m-u nmi D 1,췍x 췍췍xu n m =u nm +1-2u n m +u nm -1D 2.利用T a y l o r 展开得到局部截断误差τn m[11],得到τn m =췍t u n m -췍x 췍췍x u n m -u n m =(췍t u n m -u t (x m ,t n ))-(췍x 췍췍x u n m -u x x (x m ,t n ))-(u n m -u (x m ,t n ))=Δt i D 1æèçöø÷-1u t (x m ,t n ))+(Δt )22i D 1u t t (x m ,췍t n )-h 2D 2æèçöø÷-1u x x (x m ,t n )-h 412D 2u x x x x (췍x m ,t n )=O (Δt +h 2).这里췍t n ɪ(t n ,t n +1),췍x m ɪ(x m ,x m +1),当Δt ң0,h ң0时,局部截断误差τnm ң0.1.3 第二种非标准有限差分格式的构造采用与第一种非标准有限差分格式构造同样的原理,对于u (x ,t)采用非局部的离散方式.在点(x m ,t n )处,令u n m =12(u n m +1+u nm -1),则式(1)离散后的差分方程为u n +1m-u n mi D 1=u n m +1-2u n m +u nm -1D 2+12(u n m +1+u n m -1)+f nm .(7)其中,分母函数D 1㊁D 2与式(4)所对应的分母函数相同.对式(7)进行整理得u n +1m=(1-2i R 1)u nm +i R 1+i R 2æèçöø÷2ˑ(u n m +1+u n m -1)+i R 2f nm .(8)则式(8)即为式(1)第二种非标准有限差分格式.1.4 第二种非标准有限差分格式的局部截断误差使用与第一种非标准有限差分格式计算局部截断误差相同的记号,对式(8)利用T a yl o r 展开得到局部截断误差τn m .τn m =췍t u n m -췍x 췍췍x u n m -12(u n m +1+u n m -1)=(췍t u n m -u t (x m ,t n ))-(췍x 췍췍x u n m -u x x (x m ,t n ))-12((u n m +1-u (x m ,t n )+(u n m -1-u (x m ,t n ))=Δt i D 1-æèçöø÷1u t (x m ,t n )+(Δt )22i D 1u t t (x m ,췍t n )-h 2D 2+h 22-æèçöø÷1u x x (x m ,t n )-h 412D 2+h 4æèçöø÷24u x x x x (췍x m ,t n )=O (Δt +h 2).这里췍t n ɪ(t n ,t n +1),췍x m ɪ(x m ,x m +1),当Δt ң0,h ң0时,局部截断误差τnm ң0.1.5 标准有限差分格式利用标准的有限差分方法构造的显示有限差分格式为u n +1m -u n m i (Δt )=u n m +1-2u n m +u nm -1h2+u n m +f nm .2 数值算例考虑如下初边值问题:췍u i 췍t =췍2u 췍x2+u -e x +i t ,0<x <1,0<t ɤ1,u (x ,0)=e x,0ɤx ɤ1,u (0,t )=e i t ,u (1,t )=e 1+i t ,0<t ɤ1.精确解为u (x ,t )=e x +i t .取时间步长为0.05,空间步长为0.1.D 1=e (Δt )-1,D 2=4s i n2h æèçöø÷2,分别对非标准有限差分格式一㊁格式二与传统标准有限差分格式进行数值比较,结果见表1.表1 数值解误差T a b l e1 E r r o r o f n u m e r i c a l s o l u t i o n(x ,t)精确解实部虚部格式一误差实部虚部格式二误差实部虚部标准差分格式误差实部虚部(0.1,1.0)0.597130.929973.548ˑ10-42.681ˑ10-42.030ˑ10-44.128ˑ10-52.618ˑ10-33.044ˑ10-3(0.2,1.0)0.659931.027778.268ˑ10-43.411ˑ10-44.443ˑ10-41.592ˑ10-45.319ˑ10-42.852ˑ10-3(0.3,1.0)0.729331.135874.368ˑ10-43.584ˑ10-45.361ˑ10-53.234ˑ10-43.559ˑ10-34.981ˑ10-3(0.4,1.0)0.806041.255335.148ˑ10-56.125ˑ10-55.990ˑ10-44.621ˑ10-54.698ˑ10-36.128ˑ10-4(0.5,1.0)0.890811.387358.269ˑ10-47.158ˑ10-46.128ˑ10-56.716ˑ10-47.224ˑ10-45.489ˑ10-3661沈阳大学学报(自然科学版) 第31卷Copyright©博看网 . All Rights Reserved.续表1(x,t)精确解实部虚部格式一误差实部虚部格式二误差实部虚部标准差分格式误差实部虚部(0.6,1.0)0.984491.533264.125ˑ10-45.891ˑ10-46.102ˑ10-47.048ˑ10-48.698ˑ10-47.162ˑ10-4 (0.7,1.0)1.088041.694513.266ˑ10-54.125ˑ10-53.000ˑ10-54.059ˑ10-58.123ˑ10-38.168ˑ10-4 (0.8,1.0)1.202461.872733.200ˑ10-43.128ˑ10-44.159ˑ10-42.618ˑ10-45.136ˑ10-45.126ˑ10-3 (0.9,1.0)1.328932.069682.981ˑ10-45.269ˑ10-42.782ˑ10-42.998ˑ10-43.025ˑ10-36.024ˑ10-4从表1可以看出,利用非标准有限差分方法构造的格式一和格式二的数值精度明显优于传统的有限差分格式.但是格式一和格式二在数值精度方面差别不大.分析其中的原因,主要是因为当方程中具有非线性项的时候,采用非局部的离散方式效果会更好.u2可以通过u2ңu n m+1u n m离散方式来逼近,或者u3ң12(u n m+1+u n m-1)(u n m)2来逼近效果会好于传统的有限差分格式.3结论非标准有限差分格式的构造需要考虑偏微分方程解的特征.非标准格式在保持原偏微分方程的性质方面比传统的差分格式更有效[1113].目前还没有研究薛定谔方程的精确差分格式的相关文献.在接下来的工作中,将利用文献[67]的方法讨论深水波浪非线性薛定谔方程的精确有限差分格式.参考文献:[1]员保云,庞晶.求解非线性薛定谔方程的几种方法[J].激光与光电子学进展,2014,51(4):6166.Y U A N B Y,P A N G J.S e v e r a l m e t h o d s f o r s o l v i n gn o n l i n e a r S c h röd i n g e r e q u a t i o n[J].L a s e r&O p t o e l e c t r o n i c sP r o g r e s s,2014,51(4):6166. 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五次非线性Schrodinger 方程的一个新型守恒紧致差分格式
1 引言
非线性 Schr¨odinger 方程在量子力学、非线性光学等物理领域有着非常广泛的应用. 本 文研究如下一类五次非线性 Schr¨odinger 方程的初边值问题 [1]
iut + uxx − (|u|2 + |u|4)u = f (x, t)u, u(x, 0) = u0(x), x ∈ [a, b], u(a, t) = u(b, t) = 0, t ∈ (0, T ],
Vol. 39 ( 2019 ) No. 4
数学杂志
J. of Math. (PRC)
五次非线性 Schr¨odinger 方程的一个新型守恒紧致差分格式
薛 翔, 王廷春
(南京信息工程大学数学与统计学院, 江苏 南京 210044)
摘 要: 本文研究了带五次项的非线性 Schr¨odinger 方程初边值问题. 利用有限差分法构造了一
校“青蓝工程”.
作者简介: 薛翔 (1990–), 男, 安徽合肥, 硕士, 主要研究方向: 偏微分方程数值解.
556
数学杂志
Vol. 39
象进行了数值模拟; Argyris 和 Akrivis 等人 [6−9] 运用有限元法对该方程进行了数值研究; Dehghan 和 Mirzaize 运用无网格法对该方程进行了数值求解 [10−11]. 文献 [12–14] 则运用谱 方法和拟谱方法对该方程进行了数值求解和误差分析. 因编程简单并能保持原问题的某些守 恒性质, 有限差分法广泛应用于非线性 Schr¨odinger 方程的数值模拟 [15−18]. 然而关于五次非 线性 Schr¨odinger 方程的数值研究尚不多见. 张鲁明、常谦顺等人 [1−2] 对该方程提出两个二 阶有限差分格式, 证明其保持原问题的两个守恒性质, 同时建立了 L2 范数下的最优误差估 计. 王询等人 [19] 用待定系数的方法构建了一类五点有限差分格式, 该格式族在选取适当的参 数后, 其计算精度在空间可达四阶, 然而计算中在每一个时间步都需要求解一个五对角代数 方程组. 为提高精度, 文献 [20] 提出一个紧致有限差分格式, 但该格式是非线性的, 计算中不 可避免的需要迭代, 从而降低计算效率. 另外, 该文作者也没有分析该格式是否在离散意义下 保持原问题的两个守恒性质. 鉴于以上分析, 本文旨在对问题 (1.1)–(1.3) 构造一个线性化紧 致有限差分格式, 使得新格式在离散意义下依然保持原问题的两个守恒性质.
标准非线性薛定谔方程的解析解与数值解
+
βu
u2
+
v2
=0
空间离散偏微分方程组（36）得：
（33） （34）
（1） （35） （36）
6
∂ui ∂t
=
−α
vi+1
− 2vi + vi−1 ∆x2
+ β vi (ui2
+ vi2 )
∂vi ∂t
=α
ui+1
− 2ui ∆x2
+
ui−1
−
β ui
(ui2
+
vi2 )
（37）
其中 ui (t) = u(xi ,t), vi (t) = v(xi ,t), xi = i∆x,i = 1, 2,..., m −1.
υ ''(ξ ) = 3a1 prF 2 − 3a1 pqF + b1rpFG
（14） （15） （16）
将（14），（15），（16）式代入（13）式，并注意到（2），（3）可得到
−Za13F 3 + (3a1 prX − 3Za0a12 − 6Za1b12r )F 2 + (−3a1 pqX p
标准非线性薛定谔方程的解析解与数值解
母应坤
(2006061102)
（黔南民族师范学院 物理与电子科学系，贵州 都匀 558000）
摘 要 ：本文分别介绍了非线性薛定谔方程的两种求解方法即解析法与数值法，并对其
解析解和数值解进行了简单的分析和讨论。
关键词 ：非线性薛定谔方程 ；精细积分；Riccati 方程求解法 ；Weierstrass 椭圆函数解
− 3Za02b1
+
Zb13q p
求解薛定谔–泊松方程组的时间分裂紧致差分格式
关键词
非线性薛定谔–泊松方程组，四阶紧致差分，Sine变换，时间分裂法
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
云南财经大学统计与数学学院，云南 昆明
收稿日期：2018年12月11日；录用日期：2019年1月2日；发布日期：2019年1月9日
文章引用: 姜珊, 刘荣华, 马秀, 王汉权. 求解薛定谔–泊松方程组的时间分裂紧致差分格式[J]. 应用数学进展, 2019, 8(1): 7-25. DOI: 10.12677/aam.2019.81002
th nd th
Abstract
In this paper, we have introduced fourth-order compact finite difference, the time splitting method and the Crank-Nicolson method to solve the nonlinear Schrödinger-Poisson equations. Based on fast Sine transform, we construct a fast solver for the fully discretized system. The presented numerical algorithm has been used to solve one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional nonlinear Schrödinger-Poisson equations. We provide specific numerical examples. Through the MATLAB software, we write matlab programs based on the presented numerical algorithm, calculate approximated error and draw the approximated numerical solution. The numerical results prove that the presented algorithm has spectral accuracy in space direction. They also confirm its efficiency and stability.
非线性薛定谔方程形式
非线性薛定谔方程形式
非线性薛定谔方程形式
非线性薛定谔方程形式，简称NLSE，是一类众多物理模型和理论框架
的基础之一，它提供了连续的描述与研究特定物理系统的方法。
它的
发展源于19世纪末罗素以及拉普拉斯的探究，主要用来研究电子在复
杂结构中的行为。
NLSE的几何形式如下：i*（∂/∂z）ψ（z，t）+ (1/2)*(∂^2/∂t^2)ψ（z，t） + f（|ψ（z，t）|^2）ψ（z，t）= 0。
其中，ψ（z，t）
是时间和空间变量之和，z是空间变量，t是时间变量，f（|ψ（z，t）|^2）表示非线性因素，它使得研究者无法解决NLSE，即找到其固定的解决方案。
因此，研究者只能求出NLSE的近似解决方案。
NLSE可以应用于许多研究领域，如电磁场理论、光子学、激光技术、
量子力学、量子电动力学以及凝聚态物理学等。
许多物理学家认为，NLSE提供了一种统一的研究框架，可以帮助我们理解许多复杂的物理
系统。
NLSE也可以用于解决量子物理学中许多热力学问题，如量子热力学、
量子统计力学、量子热力学、量子流体力学等。
它可以用来解释由原
子和分子的行为引起的复杂的热力学行为，也可以用来研究量子系统
中的质量和能量的流动。
NLSE的最新发展，如超几何光学，还提供了一种新的模型来描述复杂
的光学系统，能够准确预测复杂的介质中的光学响应，并提供新的计
算技术。
总之，NLSE是一种综合框架，它提供了一种可以描述物理系统和量子
热力学行为的方法，并可以用来解决许多复杂的物理问题。
它是许多
研究领域的基础，有助于我们更加深入地理解物理系统和量子热力学。
非线性薛定谔方程的五种差分格式
非线性薛定谔方程的五种差分格式非线性薛定谔方程（NLSE）是一类非常重要的和高度发达的信息传输研究的重要模型。
它的出现为很多无线通信的技术发展提供了重要的基础和参照。
目前，非线性薛定谔方程的差分格式已有五种。
它们是恒定折回差分格式（CFD），动态折回差分格式（DRFD），步进步函数差分格式（SDF），连续步函数差分格式（CDF）和多阶进步函数差分格式（MSDF）。
恒定折回差分格式（CFD）是用于解决非线性薛定谔方程的最简单的一种差分格式。
它最初由Lyons发明，是一种非标准的三点迭代形式，但比一般三点迭代形式更有效。
它的优点在于最大限度地减少了计算量，但它的准确性不高，偏离正确的解。
动态折回差分格式（DRFD）是用于解决非线性薛定谔方程的一种改进的差分格式。
它使用了非标准的五点迭代形式，比三点迭代形式更高效，可以很好地跟踪参数变化并准确地加以反映。
它在计算量上比CFD稍大，但其计算结果更加准确，离正确解更近。
步进函数差分格式（SDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种改进的五点迭代格式。
它在数值处理上有更低的计算量，而且能够比动态折回差分格式更准确地产生数值解。
连续步函数差分格式（CDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种七点迭代格式，它可以更准确地模拟无线信号传输状况。
它有较低的运算量，可以获得较高精度的解。
多阶步函数差分格式（MSDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种变阶函数形式，它可以更准确地模拟信号的非线性传输过程，同时具有低的运行复杂性和高的计算精度，减小了计算时间。
总之，非线性薛定谔方程的不同差分格式均有不同的特征，决定了它们之间的特点和性能差异，旨在满足不同信号处理需求。
一类非线性薛定谔方程的数值解法
III
目录
摘 要........................................................................................................................................... I ABSTRACT.............................................................................................................................. III 第一章 前言...............................................................................................................................1
在此本人郑重承诺:所呈交的学位论文不存在舞弊作伪行为,文责自负.
学位申请人(学位论文作者)签名: 201 年 月 日
关于学位论文著作权使用授权书
本人经河南大学审核批准授予硕士学位.作为学位论文的作者,本人完全了解并同 意河南大学有关保留、使用学位论文的要求,即河南大学有权向国家图书馆、科研信息 机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文(纸质文本和电子文本)以供公众检 索、查阅.本人授权河南大学出于宣扬、展览学校学术发展和进行学术交流等目的,可以 采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手段保存、汇编学位论文(纸质文本和电子文本).
CFD201第4讲-差分方法2
O(? x3 )
2 阶精度
格式1 格式2
? ?u
? ?
?x
? ? ?j
?
a1u j? 3
?
a2u j? 2
?
....... ?
? ?5u
10
? ?
?x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
? ?
?
x
4
?
? ?u ?? ?x
? ?? j
?
b1u j? 3
?
b2u j? 2
?
....... ?
0.1
? ? ?
? ?
4u x4
? ?
?
x
3
?
7
?关键参数： 修正波数
定义： u( x j ) ? eikx j
~
? xu j
?
k e ikx j ?x
耗散、色散误差分别由修正波数
~ k
的实部和虚部决定。
含义： 反应波数（谱）空间内差分的误差
精度
分辨率
? ? 任意函数： f (x j ) ?
f?k e ikx j
求导数，精确解
f ?(x j ) ?
定义： u( x j ) ? eikx j
~
? xu j
?
k e ikx j ?x
例1：
? xu j
?
uj
? u j?1 ?x
1阶迎风
令
u j ? eikx j
则： ? x u j
?
uj
? u j?1 ?x
?
1 (e ikx j ?x
?
e ) ? ik ( x j ? ? x)
e ikx j ?x
非线性薛定谔方程的五种差分格式
-
qn - 1 j- 1
12 2
12 2
12 2
=
9q n + O ( h2 ) + O ( 2 ) . 9t j
并且
δ q 2 n +1 xj h2
=
92 q n +1 9x2 j
+ O ( h2 )
=
92 q n 9x2 j
+
93 q n 9x2 9 t j
+O (
2
+ h2 ) ,
(5)
δ q 2 n - 1 xj h2
[ Abstract] Five kinds of difference form ats of nonlinear Schr dinger equation have been p resented. The analysis of local truncation error, stability and convergence of these schemes have been gained. Their truncation error and speeds have also been compared w ith numerical experiments.
究是很复杂的 , 一般可以采用局部线性化稳定性分析方法. 将非线性差分格式中的系数加以
“冻结 ”,即当作常数 ,然后用分析常系数差分格式稳定性的方法进行考察 , 对于薛定谔方程 ,
将 q前的系数 q 2 看作常数 ,采用 Fourier方法来分析这几种差分格式的稳定性.
3. 1 差分格式 ( a)的增长因子为
n
+ O ( h2 )
j
2
2
288 268 非线性薛定谔方程
NLSE的数值解法
光孤子在光纤中传输满足NLSE：i
q z
1 2
2q t 2
|
q
|2
q
iq
假设光纤无损耗，取 0
初值条件为：q(t, z 0) Asec ht
采用差分格式：
i
q
i1
j
q i1 j
1
(
q
j
i1 1
2q j
i1
q i1 j1
qi j1
2q j
i
qi j1
)
1
(|
q
i
|2
q
i
|
q
En (z) A0 (i)n exp(i z)Jn (2Cz)
离散非线性薛定谔方程
其中Jn是n阶贝塞尔函数。当假设入射光束是低功率时 将 会得到离散衍射，也就是光束的能量分散到波导阵列的量的
边瓣；当入射光束为高功率时，得到的则是光学局域态，此 时沿波导阵列的光场分布为：
En
(z)
A0
exp[i(2C
B( )
n
2
C j (k j )ek j
j 1
1
2
R(k)eik dk
对于一般的非线性方程 u k(u) ， t
首先选择一个微分算子L=L
(u,
ux,
…)，使：L
,
d
dt
0
NLSE的反散射解法
再选另一个线性算子M=M(u,ux,…) , 使： t M Lt L t t t t Lt LM M ML Lt (ML LM ) [M , L]
K. G. Makris, J. Hudock, D. N.Christodoulides, and G. I. Stegeman,“ Lattice surface solitons"
一类非线性Schroedinger方程的守恒差分格式
Ｖ ・ ｏ ０ ｏ２ Ｎ・ ｌ１ １ ０’ ７ ，
一
类 非线 性 Ｓ ｈ ｉ ｉｇ ｒ方 程 的 守恒 差 分 格 式 ｃ ｒ ｄｎ ｅ ｉ
陈 娟 （ 常熟理工学 院 数学系 ， 江苏 常熟 ２５０ ） １５０
摘 要： 对一类带五次项的非线性 Ｓｈ ｉｎｅ 方程的初边值 问题提 出了一个参数型的守恒差分格式， ｃｒ ｉ ｒ ｔ ｇ ｄ
杀ｕｄ， （ ・２ｔ ４ ｘ ） Ｉｄ
其 中 Ｑ（）Ｅ（） 别称 为某 时刻 的 电荷与 能量 ，＝ ｔ ， ｔ分 ｔ Ｏ为初 始 时刻 ，３ 式 表示 电荷守 恒． （） 非 线性 ＳｈｔｉｇｒＮ Ｓ 方 程 在 量 子力 学 、 体 力 学 、 线 性 光 学 和 等 离 子 物 理 学 中有 着 广 泛 的应 ｃｒｄｎｅ（ Ｌ ） ｉ 流 非 用 ‘引， 已有 许多 学者 对其 进行 了深入 研究 ， － 仅用 有 限差 分方 法 进行 数 值 求解 就 已有许 多 成果 ［－１如 ＪＭ． ３６， 、 Ｓｎ．ｅ （９４ 提 出了 “ 跳格 式 ” 改进 的 ＣａｋＮｃｌ ｎ格 式 【 ；９５年 Ｚ ａｇｅ 等人 提 出 了一种 三 ａｚＳｍａ １８ ） 蛙 和 ｒｎ ．ｉ ｓ ｏｏ ３ １９ ｈｎＦｉ
维普资讯
第 ２ 卷第 ｌ ｌ ０期
２０ ０ ７年 １ ０月
常熟理 工学院学报 （ 自然科 学版 ） Ｊｕ ａ ０ ｈｎ ｓｕＩｓｔｔ ｏ ｅｈ ｏ ｇ（ ａｕａ ｃｅｃｓ ｏｒ ｌ ｆ ａｇｈ ｔｕｅ ｆ ｃｎｌ ｙ Ｎ ｔｒ Ｓｉｎｅ） ｎ Ｃ ｎｉ Ｔ ｏ ｌ
（） ６
１（ Ｉ
Ｉ ＋
・
Ｉ“ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ（ ＋ ）寺“ ＋ ） Ｉ “ ７ ＋ ） ； ， （ “
非线性四阶Schrdinger方程的守恒差分格式
第38卷第3期2020年6月沈阳师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f S h e n y a n g N o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)V o l.38N o.3J u n.202文章编号:16735862(2020)03025605非线性四阶S c h röd i n g e r方程的守恒差分格式李德生,李华(沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034)摘要:非线性薛定谔方程在物理学㊁光学等许多领域具有广泛应用,对其研究日益火热㊂主要针对带三次项的非线性四阶S c h röd i n g e r方程的周期初边值问题,构造了一个守恒的线性有限差分格式㊂首先,证明了该差分格式保持了原方程所具有的守恒性质,满足离散整体能量的守恒性和离散的电荷守恒性;然后,应用S o b o l e v不等式对差分格式的解进行了先验估计,再用能量方法证明了格式的稳定性以及在平方模的意义下数值解收敛于真实解,且时间方向和空间方向的收敛阶都是二阶的;最后,结合柯西准则验证了该格式的有效性,数值实验表明,该线性格式在不同的时间层求解可以直接进入循环程序,相比于已有的非线性格式,该格式不需要逐层迭代,而且在不同的空间步长下,运用该格式求得的数值解是稳定的㊂关键词:非线性;四阶S c h röd i n g e r方程;差分格式;守恒;收敛性;稳定性中图分类号:O241.82文献标志码:Ad o i:10.3969/j.i s s n.16735862.2020.03.011A c o n s e r v a t i v e d i f f e r e n c es c h e m ef o r n o n l i n e a rf o u r t h-o r d e rS c h röd i n g e r e q u a t i o nL ID e s h e n g,L IH u a(C o l l e g e o fM a t h e m a t i c s a n dS y s t e m sS c i e n c e,S h e n y a n g N o r m a lU n i v e r s i t y,S h e n y a n g110034,C h i n a)A b s t r a c t:N o n l i n e a r S c h röd i n g e r e q u a t i o nh a s b e e nw i d e l y u s e d i n p h y s i c s,o p t i c s a n dm a n y o t h e rf i e l d s,a n d i t s r e s e a r c h i sb e c o m i ng m o r e a n dm o r e p o p u l a r.Ac o n s e r v a t i v e l i n e a r f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e i sc o n s t r u c t e df o rt h e p e r i o d i ci n i t i a lb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o fn o n l i n e a rf o u r t ho r d e rS c h röd i n g e re q u a t i o n w i t hc u b i ct e r m.I ti s p r o v e dt h a tt h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n m a i n t a i n st h ec o n s e r v a t i o n p r o p e r t y o f t h eo r i g i n a l e q u a t i o n,s a t i s f i e s t h ec o n s e r v a t i o no fd i s c re t e g l o b a l e n e r g ya n dd i s c r e t e c h a r g e c o n s e r v a t i o n,a n dt h e nu s e sS ob o l e v i n e q u a l i t y t oe s t i m a t e t h es o l u t i o no f t h ed i f fe r e n c e s c h e m e p r i o r i,a n dt h e n p r o v e st h es t a b i l i t y of t h es c h e m ea n dt h ec o n v e rg e n c eo f th en u m e r i c a l s o l u t i o n t o t h e r e a l s o l u t i o n i n t h e s e n s e o f s q u a r em o d u l e,a n d t h e c o n v e r g e n c eo r d e r o ft i m e d i r e c t i o na n d s p a c e d i r e c t i o n i s s e c o n d o r d e r.F i n a l l y,c o m b i n e dw i t hC a u c h y c r i t e r i o n t o v e r i f yt h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e s c h e m e,n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s s h o wt h a t t h e l i n e a r s c h e m e c a nb e s o l v e dd i re c t l y i n t o c y c l i c p r o g r a m s a t d if f e r e n tt i m el e v e l s.C o m p a r e d w i t h t h e e x i s t i ng n o n l i n e a rs c h e m e s,t h e r e i s n on e e d f o r l a y e r-b y-l a y e r i t e r a t i o n,a n d t h e n u m e r i c a l s o l u t i o no b t a i n e db y u s i n gt h e s c h e m e i s s t a b l eu n d e r d i f f e r e n t s p a t i a l s t e p s.K e y w o r d s:n o n l i n e a r;f o u r t h-o r d e r S c h röd i n g e re q u a t i o n;d i f f e r e n c e s c h e m e;c o n s e r v a t i o n;c o n v e r g e n c e;s t a b i l i t y0引言本文考虑非线性四阶S c h röd i n g e r方程的周期初边值问题:收稿日期:20191015㊂基金项目:辽宁省科技厅自然科学基金资助项目(20180550996)㊂作者简介:李德生(1963),男,吉林抚松人,沈阳师范大学教授,博士㊂i u t +αu x x +βu x x x x +γ|u |2u =0,(x ,t )ɪ(x L ,x R )ˑ[0,T ](1)u t =0=u 0(x ),x ɪ[x L ,x R ](2)u (x L ,t )=u (x R ,t ),t ɪ[0,T ](3)u x (x L ,t )=u x (x R ,t ),t ɪ[0,T ](4)其中:i 2=-1,α,β,γ为常数;u (x ,t )为一光滑的复值函数;u 0(x )是已知的光滑函数㊂方程(1)满足如下的电荷守恒律和能量守恒律:Q (t )=ʏx Rx L |u (x ,t )|2d x =ʏx Rx L|u (x ,0)|2dx =Q (0),t >0(5)E (t )=ʏx RxL(-α|u x (x ,t )|2+β|u x x (x ,t )|2+12γ|u (x ,t )|4d x =ʏx Rx L (-α|u x (x ,0)|2+β|u x x (x ,0)|2+12γ|u (x ,0)|4d x =E (0)(6)非线性S c h r öd i n ge r 方程的数值解法一直受到广泛关注,并且已经取得许多成果[18]㊂但是目前对于上述带三次项的非线性四阶S c h r öd i n g e r 方程的数值研究还不多㊂文献[9]结合分裂算法与多辛算法,构造了该方程的一个分裂多辛格式;文献[10]将辛欧拉方法与拟谱方法相结合,导出了一个多辛拟谱格式;文献[11]构造了一个非线性的二层守恒格式㊂本文将采用有限差分方法对方程(1)构造一个线性守恒差分格式㊂1 格式的构造及相关引理本文使用的记号如下:(u nj )x =u nj +1-u n j h ,(u n j )췍x =u n j -u n j -1h ,(u n j )^t =u n +1j -u n -1j2τ(u n,v n)=h ðJ j =0u n j 췍v n j , u n 2=(u n ,u n ), u n ɕ=s u p 0ɤj ɤJ|u n j |(u nj )x췍x =u n j +1-2u n j +u n j -1h 2,(u n j )x x 췍x 췍x =u n j +2-4u n j +1+6u n j -4u n j -1+u nj-2h4其中:h 和τ分别为空间步长和时间步长,h =x R -x LJ ,τ=T N ㊂本文约定,C 为非负常数,在不同的地方可以取不同的值㊂现在对问题(1)~(4)构建如下的差分格式:i (u n j )^t +α2(u n +1j +u n -1j )x 췍x +β2(u n +1j +u n -1j )x x 췍x 췍x +γ2|u n j |2(u n +1j +u n -1j )=0(7)u 0j =u 0(x j ), 0ɤj ɤJ (8)u n0=u nJ ,0ɤn ɤN (9)(u n0)x =(u n J )x ,0ɤn ɤN (10)下面,将给出本文中常用的引理㊂引理1[12] 周期边界条件下,有以下恒等式成立:h ðJ j =0(u j )x 췍x v j =-h ðJj =0(u j )x (v j )x (11)引理2[13] (离散S o b o l e v 不等式)存在正常数c 1,c 2,对任何一个网格函数{u nj },j =0,1,2, ,N 有u ɕɤc 1 u n+c 2 u x引理3[14] (离散G r o n w a l l 不等式)设w (k )和ρ(k )是非负网格函数,若c >0,ρ(k )不减且752第3期 李德生,等:非线性四阶S c h r öd i n ge r 方程的守恒差分格式ω(k )ɤρ(k )+cτðk -1l =0ω(l )则对任何0ɤk ɤN 成立ω(k )ɤρ(k )e c k τ㊂引理4[13] 对任意的u ɪZ 0h ,有 u n x 췍x 2ɤ4h2 u n x2㊂引理5[15] 对[0,L ]上任意一个网格函数{u j },j =0,1,2, ,J 成立不等式 u 44ɤC u 3( u x +u /L )2 差分格式的电荷守恒性及能量守恒性定理1 差分格式(7)~(10)满足如下守恒律Q n =12( u n +1 2+ u n 2)= =Q 0(12)E n=α2( u n +1x 2+ u n x 2)-β2( u n +1x 췍x 2+ u n x 췍x 2)-γ2h ðJ -1j =0|u n j |2|u n +1j |2= E 0(13)这是对(5)和(6)式的数值模拟㊂证明 令式(7)与u n +1+un -1作内积并取虚部得12τ( u n +1 2- u n -1 2)=0(14)令Q n =12( u n +1 2+ u n2),则可立得式(12)㊂令式(7)与u n +1-un -1作内积并取实部得-α2( u n +1x 2- u n -1x 2)+β2( u n +1x 췍x 2- u n -1x 췍x2)+γ2h ðJ -1j =0|u n j |2(|u n +1j |2-|u n -1j |2)=0(15)令E n=α2( u n +1x 2+ u n x 2)-β2( u n +1x 췍x 2+ u n x 췍x 2)-γ2h ðJ -1j =0|u n j |2|u n +1j |2,递推即得式(13)㊂在上述证明的计算中应用了引理1㊂定理2 当α2-2βh 2-r ε4>0时,差分格式的解满足 u n ɕɤC ㊂证明 由式(12),可知 u nɤC .再由式(13)可知α2( u n +1x 2+ u n x 2)=C +β2( u n +1x 췍x 2+ u n x 췍x 2)+γ2h ðJ -1j =0|u n j |2|u n +1j |2ɤC +2βh2( u n +1x 2+ u n x 2)+γ2h ðJ -1j =0|u n j |2|u n +1j |2ɤC +2βh 2( u n +1x 2+ u n x 2)+γ4h ðJ -1j =0(|u n j |4+|u n +1j |4)ɤC +2βh 2( u n +1x 2+ u n x 2)+γ4( u n 44+ u n +1 44)ɤC +2βh2( u n +1x 2+ u n x 2)+γε4( u n +1x 2+ u n x 2)因此,当α2-2βh 2-r ε4>0时,有 u n x 2ɤC ,应用S o b o l e v 不等式即可得到 u n ɕɤC ㊂其中ε为一正常数㊂上述证明过程应用了引理2,4,5㊂3 差分格式的收敛性定理3 设定解问题(1)~(4)的解u (x ,t )ɪC 4,3((x L ,x R )ˑ[0,T ]),则差分格式(7)~(10)的解在852沈阳师范大学学报(自然科学版) 第38卷平方模的意义下一下收敛于问题(1)~(4)的解,且收敛阶为O (τ2+h2)㊂证明 记U n j =u (j h ,n τ),则截断误差R nj满足:R n j =i (U n j )^t +α2(U n +1j +U n -1j )x 췍x +β2(U n +1j +U n -1j )x x 췍x 췍x+γ2|U n j |2(U n +1j +U n -1j )(16)用式(16)减去式(7),记e n j =U n j -u nj,可得R nj =i (e nj )^t +α2(e n +1j +e n -1j )x 췍x +β2(e n +1j +e n -1j )x x 췍x 췍x +γ2|U n j |2(U n +1j +U n -1j )-γ2|u n j |2(u n +1j +u n -1j)(17)e 0j =0(18)e n0=e nJ ,0ɤn ɤN(19)(e n0)x =(e n J )x ,0ɤn ɤN(20)由T a y l o r 展开易知R n j的阶数为O (τ2+h 2)㊂把式(17)与e n +1+e n -1作内积,然后取虚部,可得12τ( e n +1 2- e n -1 2)+I m (P ,e n +1+e n -1)=I m (R n ,e n +1+e n -1)(21)其中P =γ2|U n |2(U n +1+U n -1)-γ2|u n |2(u n +1+un -1)㊂现估计式(21)左端最后一下和右端项㊂P 的表达式等价于P =γ2|U n |2(e n +1+e n -1)-γ2(U n 췍e n +e n 췍u n )(u n +1+u n -1),由此可得I m (P ,e n +1+e n -1)ɤC ( e n +1 2+ e n 2+ e n -1 2)I m (R n ,e n +1+e n -1)ɤ R n 2+12( e n +1 2+ e n -1 2)代入式(21)整理可得12( e n +1 2- e n -1 2)ɤτ R n 2+C τ( e n +1 2+ e n 2+ e n -1 2)即12-C æèçöø÷τ( e n +1 2- e n -1 2)ɤτ R n 2+C τ e n 2+2C τ e n -1 2上式对n 求和,可得12-C æèçöø÷τ( e N +1 2- e N 2)ɤτðNn =1 R n2+2C τðNn =1( e n 2- e n -1 2)+12-Cæèçöø÷τ( e 1 2+ e 0 2)ɤT R n2+2C τðNn =1( e n +1 2- e n -1 2)+12-C æèçöø÷τ( e 1 2+ e 0 2)这里R n =s u p 0ɤn ɤNR n2取τ足够小,满足12-C æèçöø÷τ>0,由G r o n w a l l 不等式有e n 2ɤC ( e 1 2+ e 0 2+ R n 2)(22)e 1可由其他二阶方法求得,如文献[11]]中的方法㊂综上可知 e n 2ɤO (τ2+h2)㊂类似的,可以证明该格式是稳定的4 数值结果对方程(1)的周期初边值问题进行数值实验,在方程(1)中取952第3期 李德生,等:非线性四阶S c h r öd i n ge r 方程的守恒差分格式α=1,β=-1,γ=1,u0(x)=x2(1-x)2,xɪ[0,1],tɪ[0,1]㊂本文是三层格式,不是自启动的,需要用其他的同阶格式算出u1(如文献[11]中的格式),由于该方程的周期精确解未知,但是可以根据柯西准则,来证明该格式的有效性㊂分别取h=0.1,h=0.2,时间步长取定τ=0.05,可以求得2个数值解U1,U2,然后计算2个数值解在不同的时间层上的误差,其误差用 ㊃Ѳ ɕ估计,得到表1㊂表1误差估计T a b l e1E r r o r e s t i m a t i o n时间层 e ɕt=0.12.1889e-04 t=0.26.0815e-08 t=0.32.1888e-04 t=0.41.2163e-07 t=0.52.1887e-04时间层 e ɕt=0.61.8244e-07 t=0.72.1886e-04 t=0.82.4326e-07 t=0.92.1885e-04 t=1.03.0407e-07由表1可知,最大误差不超过2.1889e-04,远小于O(τ2+h2)㊂综上,本文的差分格式是有效的㊂5结论利用有限差分法对非线性四阶S c h röd i n g e r方程构建了一个三层的线性有限差分格式,与文献[11]的非线性格式相比,在具有相同收敛阶的前提下,大大减少了计算量,并且该格式依旧具有电荷守恒及能量守恒的性质,且该格式在一定条件下是稳定的,数值例子证明了该格式是非常有效的㊂参考文献:[1]张鲁明,常谦顺.非线性S c h röd i n g e r方程的守恒数值格式[J].计算物理,1999,16(6):661668.[2]张鲁明,常谦顺.非线性S c h röd i n g e r方程的一个新的守恒差分格式[J].高校应用数学学报A辑(中文版),2000, 15(1):7278.[3]李昊辰,孙建强,骆思宇.非线性薛定谔方程的平均向量场方法[J].计算数学,2013,35(1):5966.[4]张荣培,张怡,刘佳.二维分数阶非线性薛定谔方程的守恒数值方法[J].沈阳师范大学学报(自然科学版),2018, 36(2):169173.[5]吕理想,张晓萍.不同形式非线性薛定谔方程及其分步傅里叶法求解[J].计算物理,2007,24(3):373377.[6]龚伦训.非线性薛定谔方程的J a c o b i椭圆函数解[J].物理学报,2006,55(9):44144419.[7]黄红,王兰.薛定谔方程的局部1维多辛格式[J].江西师范大学学报(自然科学版),2011,35(5):455458.[8]陈皓,高明,汪青杰.用有限差分法解薛定谔方程[J].沈阳航空工业学院学报,2005,22(1):8788.[9]孔令华,曹莹,王兰,等.带三次非线性项的四阶S c h röd i n g e r方程的分裂多辛算法(英文)[J].计算物理,2011,28(5):730736.[10]黄浪扬.广义非线性S c h r d i n g e r方程的多辛格式与模方守恒律[J].计算物理,2009,26(5):693698.[11]林超英,黄浪扬,赵越,等.带三次项的非线性四阶S c h röd i n g e r方程的一个局部能量守恒格式[J].计算数学,2015, 37(1):103112.[12]常红.C a m a s s a-H 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非线性schrodinger方程几个守恒差分格式
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（保密的学位论文在解密后适用本承诺书） 作者签名： 张静 日 期： ２００６．３．２０ 非线性Ｓｃｈｒ？ｄｉｎｇｅｒ方程几个守恒差分格式iv图表清单 表３． １ 005.0=τ时五个差分格式误差比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２ 表３． ２ 01.0=τ时五个差分格式误差比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２ 表４． １ 0.05τ=时格式ＩＩ误差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２０ 表４． ２ 0.01τ=时格式ＩＩ误差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２０ 表４． ３ 0.005τ=格式ＩＩ与已有格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２１ 表４． ４ 0.01τ=时格式ＩＩ与已有格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２１ 表５． １ 0.05τ=时格式ＩＩＩ误差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３０ 表５． ２ 0.01τ=时格式ＩＩＩ误差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３０ 表５． ３ 0.005τ=格式ＩＩＩ与已有格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１ 表５． ４ 0.01τ=时格式ＩＩＩ与已有格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１ 图４． １ 格式ＩＩ的误差曲线，h τ＝０．１，＝０．０５．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２２ 图４． ２ 格式ＩＩ的误差曲线，h τ＝０．１，＝０．０１．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２２ 图４． ３ 格式ＩＩ与文［１６］格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２３ 图５． １ 格式ＩＩＩ误差曲线0.05,0.1h τ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３２ 图５． ２ 格式ＩＩＩ与文［１６］格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３２ v 常用符号注释表 符号 定义 (,)ξη ξ与η的内积 ξ∞ ξ元素的∞范数 2ξ ξ元素的２范数 ξ ξ元素的范数 ()n j x U 网格函数在网格点空间方向的向前差商 ()n j x U 网格函数在网格点空间方向的向后差商 ˆ()n j x U 网格函数在网格点空间方向的中心差商 ()n j xx U 网格函数在网格点空间方向的二阶差商 ()n j t U 网格函数在网格点时间方向的向前差商 ()n j t U 网格函数在网格点时间方向的向后差商 ˆ()n j t U 网格函数在网格点时间方向的二阶差商 1 第一章 绪论 １．１ 引言 偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了微分方程的数值解问题。
非线性薛定谔方程
非线性薛定谔方程
非线性薛定谔方程（Nonlinear Schrödinger Equation，
简称NLSE）是描述一维量子力学中非线性光学现象的方程。
它可以用来描述具有波动性的物质或波动现象，比如光子
在非线性介质中传播、超导电子对的行为等。
一般情况下，非线性薛定谔方程可以写成如下形式：
i ∂ψ/∂t + (∇²/2m + V)ψ + g |ψ|²ψ = 0
其中，i是虚数单位，∂ψ/∂t表示波函数ψ对时间的导数，∇²是拉普拉斯算子，m是粒子的质量，V是势能函数，g
是非线性项。
该方程的第一项描述了波函数随时间的演化，第二项描述
了波函数的动能和势能，第三项描述了非线性效应。
非线性薛定谔方程的解通常是表示波的幅度和相位的波函数ψ。
在求解非线性薛定谔方程时，常会采用数值方法，如有限差分法、有限元法等。
非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真
1、非线性薛定谔方程非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equation ，NLSE)是奥地利物理学家薛定谔于1926 年提出的，应用在量子力学系统中。
由于量子力学主要研究粒子的动力学运动状态，所以不能运用牛顿力学公式来表示。
通常在量子力学中，研究系统的状态一般通过波函数(x ，t)来表示。
而对波函数的研究主要是求解非线性薛定谔方程。
本文主要研究光脉冲在光纤中传输状态下的演变。
一般情况下，光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到光纤的色散和非线性效应的影响。
通过Maxwell 方程，考虑到光纤的色散和非线性效应，可以推导出光信号在光纤中的传输方程，即非线性薛定谔方程。
NLSE 是非线性偏微分方程，一般很难直接求出解析解，于是通过数值方法进行求解。
具体分为两大类：(1)分布有限差分法(split-step finite differencemethod ，SSFD)；(2)分步傅里叶变换法(split-step Fourier transform method ，SSFT)。
一般情况，在达到相同精度，由于分步傅里叶变换法采用运算速度快的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分法运算速度快一到两个数量级。
于是本文介绍分步傅里叶变换法来对光纤中光信号的传输方程，即非线性薛定谔方程进行数值求解。
并通过MATLAB 软件对结果数值仿真。
非线性薛定谔方程的基本形式为:22||t xx iu u u u =+其中u 是未知的复值函数.目前，采用分步傅立叶算法(Split step Fourier Method)求解非线性薛定谔方程的数值解应用比较多。
分步傅立叶方法最早是在1937年开始应用的，这种方法己经被证明是相同精度下数值求解非线性薛定愕方程最快的方法，部分原因是它采用了快速傅立叶变换算法(FastFourier Transform Algorithm)。
基于MATLAB 科学计算软件以及MATLAB 强大的符号计算功能，完全可以实现分步傅立叶数值算法来对脉冲形状和频谱进行仿真。
显式与隐式方法求解含时薛定谔方程及误差分析
显式与隐式方法求解含时薛定谔方程及误差分析
郑纾寒;潘超钰;陈保义
【期刊名称】《物理与工程》
【年(卷),期】2024(34)1
【摘要】含时薛定谔方程是量子力学最重要的方程之一,它可以给出不同相互作用势下体系波函数的演化。
相互作用势的复杂形式使得薛定谔方程一般没有解析解。
如何较准确地数值求解含时薛定谔方程,对许多物理问题有着重要意义。
本文采用显式与隐式的方法求解薛定谔方程。
从结果可以发现,隐式的方法得到的波函数精度远高于显式方法,且误差具有收敛性。
为了进一步探索隐式格式的可行性,本文还采用有限温度下的屏蔽势,利用隐式方法具体求解粲夸克偶素的波函数演化。
【总页数】5页(P57-61)
【作者】郑纾寒;潘超钰;陈保义
【作者单位】天津大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O41
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暨南大学学报（自然科学版）２００６芷
的解的绝对值与原方程的解析解的绝对值得误差的绝对值的图像：４１．如图１～８所示当ｒ＝０．２７５时，得到图９
４．２可以通过数值实验得到４种差分格式的运行时问．用ＭＡＴＬ～Ｂ在ＰｅｎｔｉｕｍＰＣ上实现４种差分格式引，当时间步长为０Ｏｌ，空间步长为０．２时，得到表１所示时间．
图１由差分格式（ｂ）得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图３由差分格式（ｄ）得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
圈５从图像上方看差分格式（ｂ）得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图７从图像上方看差分格式（ｄ）得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图２由差分格式（ｃ）得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图４由差分格式（ｅ）得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图６从图像上方看差分格式（Ｃ）得到的艇的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图８从图像上方看差分格式（ｅ）得到的解的绝
对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
非线性薛定谔方程的五种差分格式
作者：王秀凤， 陈辉， 范德辉， 张传林， WANG Xiu-feng， CHEN Hui， FAN De-hui， ZHANG Chuan-lin
作者单位：暨南大学数学系,广东,广州,510632
刊名：
暨南大学学报（自然科学与医学版）
英文刊名：JOURNAL OF JINAN UNIVERSITY（NATURAL SCIENCE & MEDICINE EDITION）
年，卷(期)：2006,27(3)
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2.李文娴.LI Wen-xian非线性薛定谔方程二层差分格式的讨论[期刊论文]-嘉应学院学报2009,27(3)
3.张鲁明非线性Schr(o)dinger方程的高精度守恒差分格式[期刊论文]-应用数学学报2005,28(1)
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5.王秀凤.张磊.WANG Xiu-feng.ZHANG Lei非线性Schr(o)dinger方程的辛算法[期刊论文]-西南民族大学学报（自然科学版）2007,33(5)
6.谢树森.尹丽萍.XIE Shu-Sen.YIN Li-Ping耦合非线性薛定谔方程的高精度守恒差分格式[期刊论文]-中国海洋大学学报(自然科学版)2009,39(3)
7.闫凯.YAN Kai非线性薛定谔方程的数值计算研究[期刊论文]-牡丹江师范学院学报（自然科学版）2009(2)
8.张静.张鲁明.陈娟.Zhang Jing.Zhang Luming.Chen Juan非线性Schrosinger方程的一种数值模拟方法[期刊论文]-数学物理学报2007,27(6)
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