重整化群简介

Landau 相变理论
L.D. Landau(1908-1968): 1962 Nobel奖“for his pioneering theories for condensed matter, especially liquid helium" 理论多面手(等离子物理,流体力学,核物理,量子场论和天体 物理)
重整化群方法
重整化群的基本思想
重整化群的基本思想是把关联长度发散的临界点与非线性 变换的不动点联系起来，这是统计物理学的一种新的方法， 即不直接计算配分函数Z，而是研究配分函数z保持不变的变 换性质，重整化群之所以能描述连续相变就是因为该相变具 有不动点，并对应着关联长度趋于无穷，这样一来，连续相 变的研究可以化为研究非线性化变换在不动点和不动点附近 线性化后的群方程的本征值问题。因此说：重整化群方法开 创了临界现象的微观理论，而且这种方法在物理学其他领域 中的无限自由度问题的研究提供了重要的思想方法。
重整化群方法
重整化群方法
重整化群方法
重整化群方法
重整化群的含义
重整化群是处理包含多种长度标度问题的一种方法，它一步一步 地处理问题，每一种长度标度作为一步，对所有大小标度的热涨落 做统计平均，用重整化近似依次积分掉涨落，每一种长度的涨落被 积分掉以后便从以前的函数中产生一个新的函数（称为泛函），这 个变换进行到一定程度就能出现这个系统的不变量。因此我们将这 样产生的变换群称作“重整化群”。 “重整化群”变换（简称Rs手续），分两步：第一步进行 kadanoff变换（粗粒平均），第二部将尺寸和自旋重新标度，并使 它达到自相似。Rs手续后的哈氏量的参数变了，但其形式没变，变 换的总体构成一个非线性半群（没有逆变换，即只能粗化，不能细 化）。
凝聚态物理理论: 二级相变理论,超导理论, 超流HeII理论 和Fermi液体理论. 概念: 元激发, 序参数 和对称破缺
Landau 相变理论
Landau 首次提出序参量的概念
Landau的二级相变理论: 强调对称性的重要性, 对称性的 存在与否是不容模棱两可的,高对称性相中某一对称元素 突然消失,就对应于相变的发生,导致低对称相的出现. 核心：对称破缺 特例：连续相变不存在对称性上的差别(汽-液相变) 序参量: 低温有序相的一个标志, 描述偏离对称的性质和 程度. 为某个物理量的平均值,可以是标量,矢量,复数或更 加复杂的量. 随对称性的不同, 它在高温时为零, 而低温下 取有限值, 在Tc处转变. 对称破缺意味着序参量不为零的 有序相的出现. 对于没有破缺对称性的系统，应选取某个对相变点上 下两相之间的差别敏感的量与它在相变点的差别为序 参量。
重整化群方法
RG变换示意图
重整化群方法
重整化群方法
临界指数
以铁磁体为例。序参量： M
(T Tc 0)
(T Tc 0)
(1).用无外场作用下系统的磁比热Cm(T, B=0)在临界点附近的 温度依赖，定义临界指数α 和α ’
Cm (T , B 0) (T Tc )
Cm (T , B 0) (Tc T )


比例系数可以不同！
(2) 用自发磁化M(T,B=0)在临界点附近的温度依赖定 义临界指数
M (T , B 0) (Tc T )

(T Tc 0)
相变与临界现象
以二维ISing模型为例
相变与临界现象
Z 是x y 的多项式，非常光滑，对大量微观状态积分只 会使函数更光滑，但是相变的时候，热力学量有跳跃或 发 散，与实际不符！
Renormalization Group
简介
重整化群的由来 （相变与 临界现象）
• 相变
• 定义：一个多粒子系统在不同的温度和压强或其他外部条件下可 • 以处在不同的状态, 不同状态之间的转变叫相变. • 相变的分类标志: 热力学势及其导数的连续性. • 热力学势: 自由能, 内能 • 一阶导数: 压力(体积), 熵(温度), 平均磁化强度等 • 二阶导数: 压缩系数, 膨胀系数, 比热, 磁化率等.
相变与临界现象
• 二级相变点称为临界点（Critical Point） 在这点 附近系统出
• 现非常特殊的性质称为临界现象（Critical Phenomena）
即：内能连续（没有潜热），两相（或两相以上的相）区别消失 成为新的相
Hale Waihona Puke Baidu
临界现象
临界点：二级相变的相变点 临界现象: 物质处在或接近于临界点时所表现出来的独特 行为 系统的某些自由度表现出长波尺度上的反常大涨落，与远 离临界点的正常物质不同。这些大涨落使得凝聚态系统的 正常宏观规律以某些剧烈和微妙的方式受到破坏。 临界指数 标度律 普适性
相变与临界现象
• 状态突变
• 一级相变或不连续相变: 热力学势连续, 一阶导数不连的 • 二级相变或连续相变: 热力学势和一阶导数连续,二阶导 • 数不连续的状态突变。 • 为什么研究相变？ • 因为它刻划体系的特征。 • 例如，研究材料学的，关心‘相’的性质，研究相变理论的，关 心相变的准确位置尤其是相变点附近的行为特征。
Landau 相变理论
Landau 相变理论
Landau 相变理论
重整化群方法
Kenneth G. Wilson（1936 6 .8—2013 6 .8）美国物理 学家。因建立相变的临界现象理论，即重正化群变换理论， 获得了1982年度诺贝尔物理学奖。 Wilson 认为：相变的临界现象与物理学其他现象不同的 地方在于，人们必须在相当宽广的尺度上与系统中的涨落 打交道。所有尺度上的涨落在临界点都是重要的，因此， 在进行理论描述时，要考虑到整个涨落谱。威尔逊的临界 现象理论是在重正化群变换理论的基础上作了实质性的修 改后建立的。威尔逊的临界现象理论，全面阐述了物质接 近于临界点的变化情况，还提供了这些临界量的数字计算 方法。