2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高一(下)期中数学试卷(理科)

2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高一（下）期中数学试
卷（理科）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意，请将正确答案转涂到答题卡相应的位置）
1．（5分）不等式≤0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D．（﹣1，2]
2．（5分）下列命题正确的是（）
A．单位向量都相等
B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
C．|+|=|﹣|，则•=0
D．若与是单位向量，则•=1
3．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）
A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b2
4．（5分）已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）
A．﹣B．C．2 D．
5．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）
A．B．C．D．
6．（5分）已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）
A．5 B．3 C．2 D．
7．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．
8．（5分）已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．2
9．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）
A．2 B．1 C．D．
10．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣
11．（5分）数列{a n}是递减的等差数列，{a n}的前n项和是S n，且S6=S9，有以下四个结论：
①a8=0；
，都有S n≤S k成立，则k的值等于7或8时；
②若对任意n∈N
+
③存在正整数k，使S k=0；
④存在正整数m，使S m=S2m．
其中所有正确结论的序号是（）
A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④
12．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C．D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）
13．（5分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于．
14．（5分）数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2016=．15．（5分）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．
16．（5分）函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N （x，y），O为坐标原点，当1≤x≤4时，求出•的取值范围．
三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）
17．（10分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，
，．
（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．
18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=15，a3和a5的等差中项为9（1）求a n及S n
（2）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．
19．（12分）解关于x的不等式[（m+3）x﹣1]（x+1）＞0（m∈R）．20．（12分）已知数列{b n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n项和T n．21．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos ∠ADC=﹣．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）求AC边的长．
22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；
（3）求数列{a n}的前n项和S n，并求满足S n＞0的所有正整数n的值．
2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高一（下）期中
数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意，请将正确答案转涂到答题卡相应的位置）
1．（5分）（2007•湖南）不等式≤0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D．（﹣1，2]
【解答】解：依题意，不等式化为，
解得﹣1＜x≤2，
故选D
2．（5分）（2016春•赣州期中）下列命题正确的是（）
A．单位向量都相等
B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
C．|+|=|﹣|，则•=0
D．若与是单位向量，则•=1
【解答】解：对于A，单位向量是模长为1的向量，它们的方向是任意的，∴单位向量不一定相等，A错误；
对于B，∵零向量与任意向量方向相同，都共线，若是零向量，则与不一定共线，∴B错误；
对于C，若|+|=|﹣|，则+2•+=﹣2•+，∴4•=0，即•=0，∴C正确；
对于D，与是单位向量，且夹角为θ，∴•=1×1×cosθ=cosθ≤1，∴
D错误．
综上，正确的命题是C．
故选：C．
3．（5分）（2016春•运城期末）若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b2
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b＞0，
∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，
可知：B，C，D都正确，
因此A不正确．
故选：A．
4．（5分）（2016春•赣州期中）已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）
A．﹣B．C．2 D．
【解答】解：=（﹣2，﹣4），可得||=2，
由题意可得在上的投影为
||cos120°=2×（﹣）=﹣．
故选B．
5．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若
2asinB=b，则角A等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，
∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，
∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，
∴A=．
故选D．
6．（5分）（2015•安徽一模）已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域
上的一个动点，则|AM|的最小值是（）
A．5 B．3 C．2 D．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，
结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，
即|AM|min=．
故选：D．
7．（5分）（2009•天津）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）
A．8 B．4 C．1 D．
【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，
，
当且仅当即时“=”成立，
故选择B．
8．（5分）（2016•潮南区模拟）已知平面向量与的夹角为，且||=1，
|+2|=2，则||=（）
A．1 B．C．3 D．2
【解答】解：由已知，|+2|2=12，即，所以||2+4||||×+4=12，所以||=2；
故选D．
9．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）
A．2 B．1 C．D．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵，a3a5=4（a4﹣1），
∴=4，
化为q3=8，解得q=2
则a2==．
故选：C．
10．（5分）（2014•北京）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，
则k的值为（）
A．2 B．﹣2 C．D．﹣
【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，
故由约束条件作出可行域如图，
由kx﹣y+2=0，得x=，
∴B（﹣）．
由z=y﹣x得y=x+z．
由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．
故选：D．
11．（5分）（2016春•合肥校级期中）数列{a n}是递减的等差数列，{a n}的前n 项和是S n，且S6=S9，有以下四个结论：
①a8=0；
②若对任意n∈N
，都有S n≤S k成立，则k的值等于7或8时；
+
③存在正整数k，使S k=0；
④存在正整数m，使S m=S2m．
其中所有正确结论的序号是（）
A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④
【解答】解：∵S6=S9，
∴a7+a8+a9=0，
由等差数列性质得：3a8=0，可得：a8=0，选项①正确；
∵数列{a n}是递减的等差数列，由已知a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…，
∴当n等于7或8时，s n取最大值，选项②正确；
∵a8=0，则S15=（a1+a15）×15=15a8=0，
∴存在正整数k=15，使s k=0，选项③正确；
由等差数列性质，S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，即S10=S5 ，
∴存在正整数m=5，使s m=s2m，选项④正确，
则其中所有正确结论的序号是①②③④．
故选：D．
12．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C．D．
【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）
13．（5分）（2017春•梅河口市校级期中）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：
5：7，则此三角形的最大内角的度数等于．
【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，
∴由正弦定理可得：a：b：c=3：5：7，
∴C为最大角，a=，b=，
∴由余弦定理可得：cosC===﹣，
∵C∈（0，π），
∴C=．
故答案为：．
14．（5分）（2016春•南充校级期末）数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n 项和为S n，则S2016=3024．
【解答】解：∵=0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…，
=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…，
每四项的和为2，
∴数列{a n}每四项的和为2+4=6，
而2016÷4=504，
∴S2016=3024．
15．（5分）（2013•江西）设，为单位向量．且、的夹角为，若
=+3，=2，则向量在方向上的射影为．
【解答】解：∵、为单位向量，且和的夹角θ等于，∴=1
×1×cos=．
∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．
∴在上的射影为=，
故答案为．
16．（5分）（2017春•梅河口市校级期中）函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y ﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，当1≤x≤4时，求出•的取值范围．
【解答】解：设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），
∴f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．
∴不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2y﹣y2）=f（1﹣1﹣2y+y2）=f（y2﹣2y），
∵函数y=f（x）为定义在R上的减函数，
∴x2﹣2x≥y2﹣2y，
化为（x﹣1）2≥（y﹣1）2，
∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）为奇函数，
又函数y=f（x）在R上的为减函数，
化为（x﹣1）2≥（y﹣1）2，
即或
又∵1≤x≤4，画出可行域．
M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，∴=x+2y=t．
化为y=．
由图可知：当直线y=经过点A（4，﹣2）时，t取得最小值0．
当直线y=经过点B（4，4）时t取得最大值4+2×4=12．
综上可得：的取值范围是[0，12]．
三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）
17．（10分）（2009•上海）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．
（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．
【解答】证明：（1）∵m∥n
∴asinA=bsinB
即a•=b•．其中R为△ABC外接圆半径．
∴a=b
∴△ABC为等腰三角形．
（2）由题意，m•p=0
∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0
∴a+b=ab
由余弦定理4=a2+b2﹣2ab•cos
∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab
∴（ab）2﹣3ab﹣4=0
∴ab=4或ab=﹣1（舍去）
=absinC
∴S
△ABC
=×4×sin=
18．（12分）（2016春•赣州期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=15，a3和a5的等差中项为9
（1）求a n及S n
（2）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）∵数列{a n}为等差数列，所以设其首项为a1，公差为d，
∵S3=3a3，a3+a5=18，
，解得a1=3，d=2，
∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，
a n=2n+1，
=n2+2n；
（2）由（1）知a n=2n+1，
∴b n===（﹣），（n∈N*），
数列{b n}的前n项和T n，T n=b1+b2+b3+…+b n，
=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），
=1﹣，
=．
19．（12分）（2017春•梅河口市校级期中）解关于x的不等式[（m+3）x﹣1]（x+1）＞0（m∈R）．
【解答】解：下面对参数m进行分类讨论：
①当m=﹣3时，原不等式为x+1＞0，∴不等式的解为{x|x＜﹣1}．
②当m＞﹣3时，原不等式可化为．
∵，∴不等式的解为{x|x＜﹣1或．
③当m＜﹣3时，原不等式可化为．
∵，
当﹣4＜m＜﹣3时，原不等式的解集为；
当m＜﹣4时，原不等式的解集为；
当m=﹣4时，原不等式无解，即解集为∅．（11分）
综上述，原不等式的解集情况为：
①当m＜﹣4时，解集为；
②当m=﹣4时，无解，即∅；
③当﹣4＜m＜﹣3时，解集为；
④当m=﹣3时，解集为{x|x＜﹣1}；
⑤当m＞﹣3时，解集为{x|x＜﹣1或．
20．（12分）（2016•菏泽一模）已知数列{b n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n项和T n．【解答】解：：（I）∵数列{b n}的前n项和，∴b1=B1==1；
当n≥2时，b n=B n﹣B n﹣1=﹣=3n﹣2，当n=1时也成立．∴b n=3n﹣2．
（II）=（3n﹣2）•2n+（﹣1）n•2n．
设数列{（3n﹣2）•2n}的前n项和为A n，
则A n=2+4×22+7×23+…+（3n﹣2）•2n，
2A n=22+4×23+…+（3n﹣5）•2n+（3n﹣2）•2n+1，
∴﹣A n=2+3（22+23+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1=﹣4﹣（3n﹣2）•2n+1=（5﹣3n）•2n+1﹣10，
∴A n=（3n﹣5）•2n+1+10．
数列{（﹣1）n•2n}的前n项和==[1﹣（﹣2）n]．
∴数列{a n}的前n项和T n=（3n﹣5）•2n+1+10[1﹣（﹣2）n]．
21．（12分）（2016春•哈密市期末）如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为
3，且cosB=，cos∠ADC=﹣．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）求AC边的长．
【解答】解：（1）因为cosB=，所以sinB=．
又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=，
所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）
=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB=×﹣（﹣）×=．
（2）在△ABD中，由=得=，
解得BD=2．
故DC=2，从而在△ADC中，由AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC
=32+22﹣2×3×2×（﹣）=16，
得AC=4．
22．（12分）（2017春•梅河口市校级期中）已知数列{a n}中，a1=1，
a n+1=
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；
（3）求数列{a n}的前n项和S n，并求满足S n＞0的所有正整数n的值．
【解答】（1）解：由a1=1，a n+1=，
得，，；
（2）证明：设，
∵==，∴数列{}是以，即为首项，以为公比的等比数列；
（3）解：由（2）得，
即，
由，得，
∴，
∴S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）
=
=
=．
显然当n∈N*时，{S2n}单调递减，
又当n=1时，＞0，当n=2时，＜0，∴当n≥2时，S2n＜0；
，
＞0，
同理，当且仅当n=1时，S2n
﹣1
综上，满足S n＞0的所有正整数n为1和2．
参与本试卷答题和审题的老师有：wodeqing；742048；沂蒙松；双曲线；wfy814；changq；xintrl；sxs123；lcb001；wyz123；w3239003；铭灏2016；caoqz；whgcn；涨停（排名不分先后）
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2017年6月13日。