2017中国西部数学邀请赛试题及解析
2017年数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准及参考答案 .doc
2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解： 在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l n c o sl n c o s211==cos cos cos x x ee dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n c o sx x c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。
2．求()n n n +∞→22sin lim π解 由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。
3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。
则21xx yy w w c-=_________。
解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。
所以1221=4xx yy w w f c-。
4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。
这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。
2017年全国高中数学联赛陕西赛区试题(一试)解析pdf版
abc （ a ≥1 且 a Z ） abc
f '(a )
bc(a b c) abc b 2 c bc 2 ≥0 (a b c) 2 (a b c) 2
所以 f ( a ) 在 [1, ) 上单调递增 所以 f ( a ) min f (1) 令 g (b)
A、
1 2
B、
1 3
C、
2 2
D、
3 3
【解析】由 AOB 60 ， OA OB b ，得 A
3 1 2 a, 2 a , B (0, a ) ，所以直线 AB 为
y
3 xa 3
3 y xa 3 由 2 2 x y 1 a 2 b2
A
Q
D P Q1 B
C
1 1 1 AC , PP AC , QQ1 AC ， 1 2 2 2
P1 C1 B1
因 为 AC PR, AC PQ, AC QR ， 所 以 RR1 平 面
R D1 A1 R1
PQR ， PP 1 平面 PQR ， QQ1 平面 PQR ，所以三棱柱
4
)4∴Βιβλιοθήκη 4≤
4
≤
5 4
∴
2 ≤ sin( ) ≤ 1 2 4
∴ 4 5 ≤ 10 sin(
4
) 4 ≤ 4 10
∴ B y 4 5 ≤ y ≤ 4 10
∵A 中的元素是 3 的倍数的正整数，而 B 中的元素是 3 的倍数的有 3 和 6 ∴集合 A B 中元素的个数有 2 个 所以选 B 8、设 x ≥ y 0，若存在实数 a, b 满足 0≤ a ≤ x ，0≤ b ≤ y ，且
2017中国西部数学邀请赛试题及解析
2017中国西部数学邀请赛1.设素数p 、正整数n 满足()2211nk p k=+∏.证明：2p n <.1.按照()211nk k=+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论.（1）若存在()1k k n ≤≤，使得()221pk+，则221p n ≤+.于是，2p n ≤<.（2）若对任意的()1k k n ≤≤，()221pk+，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且()21p k +. 则()22p k j-.于是，|()()p k j k j -+.当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <.2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()1212100n n x x x x x x n +++=，求n 的最大可能值.2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得1nii xn =≥∑，所以：1100ni i x =≤∏又等号无法成立，则199nii x=≤∏而()()()111111111n nnniiiii i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏则11198nniii i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ⇒+⇒≤⨯=取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立3.如图1，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，设ABD ACD ∆∆、的内心分别为12,I I ，12,AI D AI D ∆∆的外心分别为12O O 、，直线12I O 与21I O 交于点P .证明：PD BC ⊥.3.由1111O A O I O D ==及内心的性质，知1O 为ABD ∆外接圆弧AD 的中点.如图2，延长12,BI DI 交于点1J ，则1J 为ABD ∆中B ∠内的旁心，且1O 为11I J 的中点 类似地，延长12,DI CI 交于点2J ，则2J 为ACD ∆ 中C ∠内的旁心，且2O 为22I J 的中点过点D 作DP BC '⊥.只需证明12I O 、21I O 、DP '三线共点 对12DI I ∆用角元塞瓦定理，只需证明：212121121221sin sin sin 1sin sin sin P DI DI O O I I P DI O I I DI O '∠∠∠⋅⋅='∠∠∠ 事实上，由2222O J O I =，知212212O I J O I I S S ∆∆=，则212212122121212122122121212122sin sin 2sin sin O I J o I I S DI O O I J I J I O I I S O I I O I I I J I I I O ∆∆∠∠===∠∠⋅⋅同理：121212112sin sin O I I I J DI O I I ∠=∠，又2211sin cos sin cos P DI CDI P DI BDI '∠∠='∠∠所以只需证明：212121cos 1cos I J CDI I J BDI ∠=∠即2112I J I J 、在边BC 上的投影长度相同.如图3，设1212,,I I J J ，在边BC 上的投影分别为1212,,,H H K K则2112H K DK DH =-11()()221()2AB AD BD AD CD AC AB AC BC =+--+-=+-同理：121()2H K AB AC BC =+- 所以：2112H K H K =，命题得证4、给定整数(),2n k n k ≥≥，甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的n n ⨯的方格纸上玩游戏：两人轮流选择一个白色小方格将其染为黑色，甲先进行.如果某个人染色后，每个k k ⨯的正方形中都至少有一个黑色小方格，则游戏结束,此人获胜.问谁有必胜策略?4、解将方格纸按从上到下标记行，从左到右标记列.若21n k ≤-，则甲将第k 行第k 列的小方格染为黑色后，每个k k ⨯正方形中至少有一个黑格，因此甲获胜.下面假设2n k ≥，我们证明当n 为奇数时，甲存获胜策略；当n 是偶数时，乙有获胜策略.对于一个已经有若干个方格染为黑色的局面：如果有两个不相交的k k ⨯正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为奇数，我们称其为“好局面”；如果有两个不相交的k k ⨯正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为偶数，称其为“坏局面”.我们证明当某人面对好局面时，他有获胜策略^假设甲面对好局面，他先取定两个不相交的k k ⨯正方形A 和B ，其中都是白格，由于白格总数为奇数，可选取不在,A B 中的另一个白格，将它染为黑色，此时白格总数为偶数，且,A B 中仍然都是白格，因此变为一个坏局面轮到乙面对坏局面，如果他染色后.仍有两个不相交的k k ⨯正方形中都 是白格，此时白格总数是奇数，又回到好局面；如果他染色后，不存在两个不相交的k k ⨯正方形，注意到此时至少有一个全白格的k k ⨯正方形，设1,,m A A 是所有全白格k k ⨯正方形，则它们两两相交，故必包含于某个()()2121k k -⨯-的正方形S ，因此S 的中心方格P 是1,,m A A 的公共格，这样甲将P 染为黑色后，所有k k ⨯正方形中都含有黑格，于是甲获胜.总之，当某人面对好局面时，他可以在自己的下一回合获胜或是仍面对好局面，而游戏必在有限步内结束，因此他有获胜策略.由上述论证亦可知.当某人面对坏局面时，他要么让对方下一回合即可获胜，要么留给对方好局面，因此对方有获胜策略；在2n k ≥时.由于四个角上的k k ⨯正方形互不相交，且一开始都是白格.因此当n 是奇数时，一幵始是好局面，甲有获胜策略； 当n 是偶数时.一开始是坏局面，乙有获胜策略.5.已知九个正整数129,,,a a a （允许相同）满足：对任意的19i j k ≤<<≤，均存在与i j k 、、不同的()19l l ≤≤，使得100i j k l a a a a +++=；求满足上述要求的有序九元数组()129,,,a a a 的个数.5.对满足条件的正整数组()129,,,a a a ，将129,,,a a a 从小到大排列为129b b b ≤≤≤.由条件，知分别存在{4,5,,9}l ∈及{1,2,,6}l '∈，使得123789100l l b b b b b b b b '+++=+++=.①注意到，172839,,,l l b b b b b b b b '≥≥≥≥.② 结合式①，知结论②中的不等号均为等号 于是，238b b b ===.因此，设()1289,,,,(,,,,)b b b b x y y z =，其中，x y z ≤≤.由条件，知使100l x y z b +++=的l b 的值只能为y ，即2100x y z ++=.③ （1）当25x y z ===时，有()129,,,(25,25,,25)b b b =，此时，得到一组()129,,,a a a .（2）当,x z 中恰有一个为y 时，记另一个为w ，由式③知3100w y +=.该条件也是充分的.此时，y 可以取1,2,,24,26,27,,33这32种不同值，且每个y 值对应一组()129,,,b b b ，进而，对应九组不同的()129,,,a a a ，共有329288⨯=个数组()129,,,a a a .（3）当x y z <<时，由条件，知存在某个{,,}l b x y z ∈，使得3100l y b +=， 与式③比较得l y b x z +=+，则必有l b y =.故5025,x y z +==.该条件也是充分的.此时，对1224x =，，，，每个x 值对应一组()129,,,b b b ，进而，对应9872⨯=组不同的()129,,,a a a ，共有24721728⨯=个数组()129,,,a a a .综上，知符合条件的数组个数为128817282017++=.6.如图，在锐角ABC ∆中，点D E 、分别在边AB AC 、上，线段BE 与DC 交于点H M N ，、分别为线段BD CE 、的中点。
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A卷)试题及答案考点分析
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训 参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又 当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积 的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。
2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯市西部四校联考高三下学期期中数学试卷(理科)【解析版】
2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯市西部四校联考高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣9＜0}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．（5分）设i为虚数单位，则复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（5分）的展开式中常数项为（）A．﹣6B．﹣2C．2D．64．（5分）设A（1，1）、B（7，4），点C满足＝2，则点C的坐标是（）A．（3，2）B．（3，5）C．（5，3）D．（8，5）5．（5分）以下是某样本数据，则该样本的中位数、极差分别是（）A．23、32B．34、35C．28、32D．28、35 6．（5分）已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A．B．C．D．7．（5分）抛物线y2＝4x上有两点A、B到焦点的距离之和为8，则A、B到y轴的距离之和为（）A．8B．7C．6D．58．（5分）已知输入的x＝11，执行如图所示的程序框图，则输出的x的值为（）A．12B．23C．47D．959．（5分）设x，y满足约束条件，若z＝ax+y仅在点（2，1）处取得最大值，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣1，+∞）10．（5分）已知函数f（x）为定义域在R上的奇函数，当x＞0，f（x）＝lnx﹣2x﹣f（1），则当x＜0时，f（x）的表达式为（）A．f（x）＝ln（﹣x）+2x+1B．f（x）＝﹣ln（﹣x）﹣2x+1C．f（x）＝﹣ln（﹣x）﹣2x﹣1D．f（x）＝﹣ln（﹣x）+2x﹣1 11．（5分）△ABC的三个内角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，若c＝2，tan A+tan B＝﹣tan A tan B，则△ABC的面积的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，]C．（，]D．（0，]12．（5分）已知函数f（x）＝的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y＝f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数y＝|sin x|的最小正周期T＝．14．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．15．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于．16．（5分）已知sin x﹣cos x＝，0≤x≤π，则sin（2x+）的值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}为等比数列，a n＞0，a1＝2，2a2+a3＝30．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足，b n+1＝b n+a n，b1＝a2，求b n．18．（12分）在2016年高考结束后，针对高考成绩是否达到了考生自己预期水平的情况，某校在高三部分毕业生内部进行了抽样调查，现从高三年级A、B、C、D、E、F六个班随机抽取了50人，将统计结果制成了如下的表格：（Ⅰ）根据上述的表格，估计该校高三学生2016年的高考成绩达到自己的预期水平的概率；（Ⅱ）若从E班、F班的抽取对象中，进一步各班随机选取2名同学进行详细调查，记选取的4人中，高考成绩没有达到预期水平的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的一点，P A＝PD＝4＝AD＝2BC，CD＝2．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面P AD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设|PM|＝t|MC|，试确定t的值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，线段AB的中点为M，直线MP⊥AB，若P点的坐标为（x0，0），求x0的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+2（1﹣a）lnx，（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[e，+∞）上的最小值．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c＝M，求证：+≥1．2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯市西部四校联考高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣9＜0}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：A＝{x|x2﹣9＜0}＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝{﹣1，0，2}，共3个元素，故选：A．2．（5分）设i为虚数单位，则复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解答】解：＝＝＝2+i，故选：A．3．（5分）的展开式中常数项为（）A．﹣6B．﹣2C．2D．6【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝••＝（﹣1）r•••x3﹣3r，令3﹣3r＝0，解得r＝1，∴展开式中常数项为T2＝﹣1××＝﹣6．故选：A．4．（5分）设A（1，1）、B（7，4），点C满足＝2，则点C的坐标是（）A．（3，2）B．（3，5）C．（5，3）D．（8，5）【解答】解：∵＝2，∴＝2，∴＝＝＝（5，3），故选：C．5．（5分）以下是某样本数据，则该样本的中位数、极差分别是（）A．23、32B．34、35C．28、32D．28、35【解答】解：将数据从小到大按顺序排成一列为12，15，20，22，23，28，31，32，34，45，47，共11个数据，则中位数为第6个数28，最大值为47，最小值为12，则极差47﹣12＝35，故选：D．6．（5分）已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A．B．C．D．【解答】解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为A，（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B，（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，故选：D．7．（5分）抛物线y2＝4x上有两点A、B到焦点的距离之和为8，则A、B到y 轴的距离之和为（）A．8B．7C．6D．5【解答】解：抛物线的准线方程为x＝﹣1．则点A到此抛物线焦点的距离为x A+1，点B到此抛物线焦点的距离为x B+1．∴点A、B到此抛物线焦点的距离之和为x A+1+x B+1＝x A+x B+2＝8+2＝10．则A、B到y轴的距离之和为：10﹣2＝8．故选：A．8．（5分）已知输入的x＝11，执行如图所示的程序框图，则输出的x的值为（）A．12B．23C．47D．95【解答】解：x＝11，n＝1≤3，x＝23，n＝2≤3，x＝47，n＝3≤3，x＝95，n＝4＞3，输出x＝95，故选：D．9．（5分）设x，y满足约束条件，若z＝ax+y仅在点（2，1）处取得最大值，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣1，+∞）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，即A（2，1），若z＝ax+y仅在点（2，1）处取得最大值，即A是函数取得最大值的最优解，由z＝ax+y得y＝﹣ax+z，即目标函数的斜率k＝﹣a，要使是函数取得最大值的最优解，若a＝0，y＝z，不满足条件，若﹣a＞0，此时直线在B处取得最大值，不满足条件．若﹣a＜0，即a＞0时，则满足﹣a＜﹣2，即a＞2，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）为定义域在R上的奇函数，当x＞0，f（x）＝lnx﹣2x﹣f（1），则当x＜0时，f（x）的表达式为（）A．f（x）＝ln（﹣x）+2x+1B．f（x）＝﹣ln（﹣x）﹣2x+1C．f（x）＝﹣ln（﹣x）﹣2x﹣1D．f（x）＝﹣ln（﹣x）+2x﹣1【解答】解：f（1）＝﹣2﹣f（1），解得：f（1）＝﹣1，由奇函数的性质可得：设x＜0，则﹣x＞0，故f（﹣x）＝ln（﹣x）﹣2（﹣x）+1＝﹣f（x），求得f（x）＝﹣ln（﹣x）﹣2x﹣1，故选：C．11．（5分）△ABC的三个内角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，若c＝2，tan A+tan B＝﹣tan A tan B，则△ABC的面积的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，]C．（，]D．（0，]【解答】解：由tan A+tan B＝﹣tan A tan B，得tan A+tan B＝（1﹣tan A tan B），∴tan（A+B）＝，即tan C＝﹣．∵0＜C＜π，∴C＝．则sin C＝．又c＝2，由余弦定理可得：，即a2+b2+ab＝12，∴12＝a2+b2+ab≥3ab，得ab≤4．则．∴△ABC的面积的取值范围是（0，]．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y＝f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，）【解答】解：当x＜0时，f（x）＝x2+x+a的导数为f′（x）＝2x+1；当x＞0时，f（x）＝的导数为f′（x）＝﹣，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2，当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为：y﹣（x12+x1+a）＝（2x1+1）（x﹣x1）；当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣＝﹣（x﹣x2）．两直线重合的充要条件是﹣＝2x1+1①，＝a﹣x12②，由x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②令t＝，则t＞0，且a＝（t4+2t2+8t+1）在（0，+∞）为增函数，∴a＞，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数y＝|sin x|的最小正周期T＝π．【解答】解：根据y＝|sin x|的周期等于y＝sin x的周期的一半，故y＝|sin x|的周期为×2π＝π．故答案为：π．14．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水＝V柱可得3×，解得r＝4．故答案为：415．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于4．【解答】解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则e＝＝2，即c＝2a，设焦点为（c，0），渐近线方程为y＝x，则d＝＝＝b＝，又b2＝c2﹣a2＝3，解得a＝1，c＝2．则有焦距为4．故答案为：4．16．（5分）已知sin x﹣cos x＝，0≤x≤π，则sin（2x+）的值为．【解答】解：∵sin x﹣cos x＝，sin2x+cos2x＝1，∴可得：25sin2x﹣5sin x﹣12＝0，解得：sin x＝或﹣，又∵0≤x≤π，sin x≥0，∴sin x＝，∴cos x＝sin x﹣＝，sin2x＝2sin x cos x＝，cos2x＝2cos2x﹣1＝﹣，∴sin（2x+）＝sin2x cos+cos2x sin＝﹣＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}为等比数列，a n＞0，a1＝2，2a2+a3＝30．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足，b n+1＝b n+a n，b1＝a2，求b n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1＝2，2a2+a3＝30．∴2×2q+2×q2＝30，解得q＝3．∴a n＝2×3n﹣1．（II）∵b n+1＝b n+a n，b1＝a2，∴n≥2时，b n﹣b n﹣1＝a n﹣1＝2×3n﹣2，b1＝6．∴b n＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）＝6+2[3﹣1+30+…+3n ﹣2] ＝6+2×＝+3n ﹣2．18．（12分）在2016年高考结束后，针对高考成绩是否达到了考生自己预期水平的情况，某校在高三部分毕业生内部进行了抽样调查，现从高三年级A 、B 、C 、D 、E 、F 六个班随机抽取了50人，将统计结果制成了如下的表格：（Ⅰ）根据上述的表格，估计该校高三学生2016年的高考成绩达到自己的预期水平的概率；（Ⅱ）若从E 班、F 班的抽取对象中，进一步各班随机选取2名同学进行详细调查，记选取的4人中，高考成绩没有达到预期水平的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，调查的50人中达到自己实际的水平有： 3+6+6+6+4+3＝28（人）， 故所求的概率为P ＝＝0.56； （Ⅱ）调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ， 则ξ＝0，1，2，3； 当P （ξ＝0）＝＝；P （ξ＝1）＝＝；P （ξ＝2）＝＝；P （ξ＝3）＝＝，所求的分布列为则E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．19．（12分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的一点，P A＝PD＝4＝AD＝2BC，CD＝2．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面P AD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设|PM|＝t|MC|，试确定t的值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，∵P A＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又平面P AD⊥底面ABCD，且平面P AD∩底面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD，而BQ⊂平面ABCD，∴PQ⊥BQ，又底面ABCD为直角梯形，∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，∵BC∥AD，BC＝，∴四边形QBCD为平行四边形，则BQ∥CD，得BQ⊥AD，又PQ∩AD＝Q，∴BQ⊥平面P AD，∵BQ⊂平面PBQ，则平面PQB⊥平面P AD；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，QB、AD、QP两两互相垂直，以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP为x、y、z轴距离空间直角坐标系，则Q（0，0，0），P（0，0，），C（﹣2，2，0），∵|PM|＝t|MC|，∴，可得M（）．，＝（）．设平面MQB的一个法向量为，由，得，取z＝1，得．由图可知，平面CBQ的一个法向量．由|cos＜＞|＝||＝||＝cos30，解得t＝3．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，线段AB的中点为M，直线MP⊥AB，若P点的坐标为（x0，0），求x0的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝，则a＝c，由当点位于右顶点时，到椭圆右焦点F的最小距离，最小值为a﹣c，则a﹣c＝﹣1，则a＝，c＝1，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的方程：；（Ⅱ）设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x M，y M）．，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，由△＞0，∴x1+x2＝，则x M＝＝，y M＝k（x M﹣1）＝﹣，∴AB的垂直平分线MP的方程为y﹣y M＝﹣（x﹣x M），令y＝0，得x0＝x M+ky M＝﹣＝＝﹣，∵k≠0，∴0＜x0＜．∴x0的取值范围（0，）．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+2（1﹣a）lnx，（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[e，+∞）上的最小值．【解答】解：（1）a＝2时，f（x）＝x2﹣4x﹣2lnx，f′（x）＝2x﹣4﹣＝，令f′（x）＞0，解得：x＞1+或x＜1﹣（舍），令f′（x）＜0，解得：x＜1+，故f（x）在（0，1+）递减，在（1+，+∞）递增；（2）f′（x）＝2x﹣4+＝，令g（x）＝（x﹣1）2﹣a，2＜a≤（e﹣1）2时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在[e，+∞）递增，f（x）min＝f（e）＝e2﹣4e+2（1﹣a），a＞（e﹣1）2时，令g（x）＞0，解得：x＞1+，或x＜1﹣（舍），令g（x）＜0，解得：e＜x＜1+，故f（x）在[e，1+）递减，在（1+，+∞）递增，故f（x）min＝f（1+）．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（1）∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，∴x2+y2＝2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2＝（5﹣1）2+3﹣1＝18，由切割线定理，可得|MT|2＝|MA|•|MB|＝18．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c＝M，求证：+≥1．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M＝4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c＝4，即[（a+b）+（b+c）]＝1∴+＝[（a+b）+（b+c）]（+）＝（1+1++）≥（2+2）≥×4＝1，当且仅当＝即a+b＝b+c＝2，即a＝c，a+b＝2时，取等号．∴+≥1成立．。
2017年全国高中数学联赛陕西赛区预赛真题(Word)
2017年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题6分，共8小题，共48分）1.已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n N +=−∈，则13579a a a a a ++++= （ ）A. 40B. 44C. 45D. 492.设n 为正整数，以下各组数,a b 中，使得ba为既约分数的是 （ ）A. 1,21a n b n =+=−B. 21,52a n b n =−=+C. 1,31a n b n =+=+D. 31,52a n b n =+=+3.在空间直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为()()()3,4,10,4,55,2,0A B C 、、，则tan 2A 的值为（ ）A.B.C.D.4.如图，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，222:O x y a +=与y 轴正半轴交于点B ，过点B 的直线与椭圆E 相切，且与O 交于另一点A .若∠AOB =60°，则椭圆E 的离心率为（ ）A.6B.12C.6D.125.已知函数()2241,02,0x x x x f x x e⎧++<⎪=⎨>⎪⎩，则()()y f x x R =∈上关于坐标原点对称的点共有（ ）A. 0对B. 对1C. 2对D. 3对6.如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别为棱AB 、AD 、AA 1的中点.以△PQR 为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也均在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上，则这个三棱柱的体积为（ ）A.38B.C.316D.7.设集合{|,|4.3n A n N B y y x +⎧⎫=∈==+⎨⎬⎩⎭则集合A B 中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.设0x y >≥，若存在实数a 、b 满足0,0a x b y ≤≤≤≤，且()()222222.x a y b x b y a −+−=+=+则x y的最大值为（ ）A. 3B.C.2D. 1二、填空题（每题8分，共4小题，共32分） 9.设函数()23axf x x =+.若()()f f x x =恒成立，则实数a 的值为_____. 10.袋中装有两个红球、三个白球、四个黄球，从中取出四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为______.11.设a 、b 、c 为互不相同的正整数，则abca b c++的最小值为_______.12.设方程()6xy x y =+的全部正整数解为()()()1122,,,,,,.n n x y x y x y 则()1nk k k x y =+∑________.第二试一、（本小题满分20分）设△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .向量()()sin ,,sin sin ,m A b c n C B a b =+=−−，且存在实数λ，使得m n λ=. （Ⅰ）求∠C 的大小；（Ⅱ）若a b kc +=，求实数k 的取值范围.二、（本小题满分20分）已知抛物线2:E y x =的焦点为F ，过y 轴的正半轴上一点M 的直线l 与抛物线E 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且 2.OA OB ⋅=. （Ⅰ）证明：直线l 过定点；（Ⅱ）设点F 关于直线OB 的对称点为G ，求四边形OABC 面积的最小值.三、（本小题满分20分）已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =−+++∈在区间(),0−∞上单调递减，在区间()0,1上单调递增，且()f x 在R 上有三个零点，1为其中的一个零点.（1）求()2f 的取值范围；（2）试讨论直线:1l y x =−与曲线():C y f x =的公共点的个数.四、（本小题满分30分）如图，1O 与2O 交于A 、B 两点，直线PQ 为两圆距离点B 较近的公切线，且分别与1O 、2O 切于点P 、Q .设QB 、PB 的延长线分别与AP 、AQ 交于点C 、D .证明：AC BC AD BD ⋅=⋅.五、（本小题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足()()() 1.a b b c a c +++=2221.2。
2017～2018学年度第一学期西部片区八年级数学竞赛试题答案及评分标准
2017～2018学年度第一学期西部片区八年级数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（3′×10=30′）1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．B 7．D 8．B 9．C 10．D 二、填空题（3′×8=24′）11．70°或40°12．40°13．三角形或四边形或五边形14．3 15．4 16．10 17．3 18．400三、解答题（共5小题，满分46分）19．（本题8分）解：∵AD是BC边上的高，∠B=42°，∴∠BAD=48°，………………………………………2′∵∠DAE=18°，∴∠BAE=∠BAD﹣∠DAE=30°，……………………4′∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠BAE=60°，……………………………6′∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=78°．…………………8′20．（本题8分）解：结论：BF=AE．………………………………2′证明：∵CF⊥BE，∴∠BFC=90°，……………………………………3′又∵AD∥BC，∴∠AEB=∠FBC；………………………………4′由于以点B为圆心，BC长为半径画弧，∴BE=BC，…………………………………………5′在△ABE与△FCB中，，∴△ABE≌△FCB（AAS），………………………7′∴BF=AE．…………………………………………8′21．（本题8分）解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；…………2′（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；…………5′（3）根据题意可得：P的对应点P2的坐标为：（﹣x，y﹣3）．………………………………8′22．（本题10分）解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，…………………………………2′∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，……3′∵△CMN的周长为15cm，∴AB=15cm；……………………………………………5′（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，…………………6′∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，……………7′∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，……8′∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，…………………………………9′∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．………10′23．（本题12分）解：（1）EF=BE+CF．……………………………………2′证明：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EDB=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴OE=BE，………………………………………………4′同理CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，即BE+CF=EF．…………………………………………6′（2）EF=BE﹣CF．……………………………………8′证明：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠CBO，……………………………………9′∴BE=OE，同理：CF=OF，………………………………………10′∴EF=OE﹣OF=BE﹣CF．………………………………12′。
2017年全国初中数学联合竞赛试题(初三组)
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第一试(A) 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++＝ （ ）A. 2．B. 1．C. 0．D. 1-．2．已知△ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下三个结论： （1）以（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为 （ ） A ．0． B ．1． C ．2． D ．3．3．若正整数满足a b c ≤≤且2()abc a b c =++，则称为好数组.那么，好数组的个数为 （ ）A. 1． B ．2． C ．3． D ．4．,,a b c (,,)a b c 4．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若180BAD ACB ∠+∠=︒，且3BC =，4AD =，5AC =，6AB =，则DOOB＝ （ ）A. 109．B. 87． C. 65． D. 43．5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD BC ⊥于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上，满足BAF CAE ∠=∠.已知15BC =，6BF =，3BD =，则AE ＝ （ ） A. B. C.．D..6．对于正整数n ，设n a 1232001111a a a a ++++=A.1917． B. 1927． C. 1937． D. 1947．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．=的值为_______．a 2．如图，平行四边形中，72ABC ∠=︒，AFBC ⊥于点F ，AF交于点，若2DE AB =，则AED ∠＝_______．ABCD BD ,,a b c.3．设,m n 是正整数，且m n >.若9m与9n的末两位数字相同，则m n -的最小值为 ．4．若实数,x y 满足3331x y xy ++=，则22x y +的最小值为 ．第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)y ax bx c c =++≠的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数3233y a x b x c =++的图象与x 轴的交点个数为 （ ）A ．0．B ．1．C ．2．D ．不确定．2．题目和解答与（A ）卷第1题相同. 3. 题目和解答与（A ）卷第3题相同. 4．已知正整数,,a b c 满足26390ab c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++＝ （ ）A. 424．B. 430．C. 441．D. 460． 5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若180BAD ACB ∠+∠=︒，且3BC =，4AD =，5AC =，6AB =，则DOOB＝ （ ） A. 43． B. 65． C. 87． D. 109．6．题目和解答与（A ）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．题目和解答与（A ）卷第1题相同. 2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，,D E 分别为线段,BC OA 的中点，7ACB OED ∠=∠，5ABC OED ∠=∠，则OED ∠＝_________.3. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.4. 题目和解答与（A ）卷第4题相同.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知实数,x y 满足3x y +=，221112x y x y +=++，求55x y +的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，AB AC >，45BAC ∠=︒，E 是BAC ∠的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF AB ⊥.已1AF =，5BF =，求△ABC 的面积.三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)a b ，使得34938b a=⨯+.第二试 （B ）一、（本题满分20分）已知实数,,a b c 满足a b c ≤≤，16a b c ++=，22211284a b c abc +++=，求c 的值.二、（本题满分25分）求所有的正整数m ，使得21221m m --+是完全平方数.三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ∠=∠，OA OD ⊥，OB OC ⊥.求证：2222AB CD AD BC +=+.。
2017年四川赛区全国初中数学联赛(初二组)决赛试卷及逐题详解
2017年四川赛区全国初中数学联赛(初二组)决赛试卷及逐题详解2017年四川赛区全国初中数学联赛（初二组）决赛试卷及逐题详解考试时间：2017年3月26日上午8:45—11:15）姓名成绩复核人一二三四五合计一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、六位朋友一起去吃饭，实行AA制，即大家均摊费用。
因为小王忘了带钱，所以其他人每人多付了5元钱，这顿饭共花费钱为（）A、90元B、120元C、150元D、180元2、若关于x的不等式组x m92x 1的整数解共有5个，则实数m的取值范围是（）A、8≤x＜9B、8＜x≤9C、9≤x＜10D、9＜x≤103、如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E是AB边的中点，F是BC上的动点，将△EFB沿着EF所在直线折叠得到△EFB'，连接DB'，则DB'的最小值是（）A、10-1B、3C、13-1D、24、已知三角形的边长分别为a,b,13，且a,b为整数，a<b<13，则(a,b)的组数共有是（）A、26组B、30组C、36组D、49组5、已知△ABC中，AB=210，BC=6，AC=2，点M是BC 的中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则BD=（）A、1B、1361C、3132D、136、已知非零实数满足x+y+z=2，x2+y2+z2=2，则2107年全国初中数学联赛（初二决赛）试题第1页共1页111x2+y2+z222=y+2017z+2017x+2017xy+yz+zx的值为（）A、1或3B、1或-3C、-1或3D、1或3二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、已知a=1122，则2a-5ab+2b的值为，b=2+32-38、如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC,BD相交于点M，且AB=AC，AB⊥AC，BC=BD，则∠AMB的度数为9、从0,1,2,3,4,5这六个数中任选两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率为10、如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=BC=10，点D,E在线段BC上，且CD=2，BE=5，点P,Q分别在线段AC,AB上的动点，则四边形PQED周长的最小值为三、解答题（本大题共三个小题，第11题20分，第12，13题各25分，满分70分）11、已知关于x的方程x-2-1=a有仅有两个解，求实数a的取值范围。
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab??＝（）A.2．B.1．C.0．D.1?．【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90abbc，3(2)(3)72abbc，解得218ab??，318bc??，所以32bcab1.2．已知△ABC的三边长分别是,,abc，有以下三个结论：（1）以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以222,,abc为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1abbcca为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc??，则有bca??.（1）因为bca??，所以2bcbca，即22()bca??（），即bca??，故以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4abc为边长可以构成三角形，但以2224,9,16abc为边长的三角形不存在；（3）因为abc??，所以||11,||11,||11ababbcbccaac，故三条边中||1ca??大于或等于其余两边，而||1||111abbcabbc（）（）（）（）111||1acacca=，故以||1ab??，||1bc??，||1ca??为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,abc满足abc??且2()abcabc，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(,,)abc为好数组，则2()6abcabcc，所以6ab?.显然，a只能为1或2.若a＝2，由6ab?可得2b?或3，2b?时可得4c?，3b?时可得52c?（不是整数）；若a＝1，则2(1)bcbc，于是可得(2)(2)6bc，可求得(,,)abc ＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.109．B.87．C.65．D.43．【答】A.过B作//BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBAD ACB??，所以△ABC∽△AEB，所以ACBCABEB?，所以631855ABBCEBAC.再由//BEAD，得4101895DOADOBBE.5．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC?于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知15BC?，6BF?，3BD?，则AE＝（）A.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即90FAEBAC.又因为ADBC?，故2ADDEDFDBDC.而639DFBFBD，15312DCBCBD，所以29312ADDE，所以6AD?，4DE?.从而222264213AEADDE.6．对于正整数n，设na是最接近n的整数，则1232001111aaaa（）A.1917．B.1927．C.1937．D.1947．【答】A.对于任意自然数k，2211()24kkk不是整数，所以，对于正整数n，12n?一定不是整数.设m是最接近n的整数，则1||2mn??，1m?.易知：当1m?时，1||2mn2211()()mnm??221144mmnmm.于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足221mmnmm时，m是最接近n的整数，即nam?.所以，使得na＝m的正整数n的个数为2m.注意到2213131822001414210，因此，12200,,,aaa?中，有：2个1，4个2，6个3，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）EOCBADCBFDE8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147aaaa.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式311aa成立的实数a的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(11)aa.令1xa??，则0x?，且21ax??，于是有322(1)(1)xx，整理后因式分解得2(3)(1)0xxx，解得10x?，23x?，31x??（舍去），所以1a??或8a?.验证可知：1a??是原方程的增根，8a?是原方程的根.所以，8a?.2．如图，平行四边形ABCD中，72ABC，AFBC?于点F，AF交BD于点E，若2DEAB?，则AED?＝_______．【答】66?.取DE的中点M，在Rt△ADE中，有12AMEMDEAB.设AED，则1802AME，18ABM.又ABMAMB，所以180218，解得66.3．设,mn是正整数，且mn?.若9m与9n的末两位数字相同，则mn?的最小值为．【答】10.由题意知，999(91)mnnmn是100的倍数，所以91mn??是100的倍数，所以9mn?的末两位数字是01，显然，mn?是偶数，设2mnt??（t是正整数），则29981mntt.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t的最小值为5，从而可得mn?的最小值为10.4．若实数,xy满足3331xyxy，则22xy?的最小值为．【答】12.因为333322031()(1)333xyxyxyxyxyxy22(1)[()()(1)(1)]3(1)xyxyxyxyxy2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）MEFCBDA22(1)(1)xyxyxyxy2221(1)[()(1)(1)]2xyxyxy，所以1xy或1xy??.若1xy，则22xy?＝2.若1xy??，则22222111[()()][1()]222xyxyxyxy，当且仅当12xy??时等号成立.所以，22xy?的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)yaxbxcc的图象与x轴有唯一交点，则二次函数3233yaxbxc的图象与x轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数2yaxbxc的图象与x轴有唯一交点，所以2140bac，所以240bac??.故二次函数3233yaxbxc的判别式323363623211()4(4)()1616bacbacbb61516b?0?，所以，二次函数3233yaxbxc的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4．已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc??＝（）A.424．B.430．C.441．D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得22(9)3(1)75ab，所以23(1)75b??，又b为正整数，所以16b??.若b＝1，则2(9)75a??，无正整数解；若b＝2，则2(9)72a??，无正整数解；若b＝3，则2(9)63a??，无正整数解；若b＝4，则2(9)48a??，无正整数解；若b＝5，则2(9)27a??，无正整数解；若b＝6，则2(9)0a??，解得9a?，此时18c?.2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）因此，9a?，b＝6，18c?，故222abc＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.43．B.65．C.87．D.109．【答】D.解答过程与（A）卷第4题相同.6．题目和解答与（A）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．题目和解答与（A）卷第1题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，,DE分别为线段,BCOA的中点，7ACBOED，5ABCOED，则OED?＝_________.【答】10?.如图，设OEDx??，则5ABCx??，7ACBx??，DOC??18012BACx，10AOCx??，所以1802AODx，180(1802)ODExxx，所以1122ODOEOAOC，所以60DOC，从而可得10x??.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,xy满足3xy??，221112xyxy，求55xy?的值.解由221112xyxy可得2233222()xyxyxyxyxy.设xyt?，则222()292xyxyxyt，332()[()3]3(93)xyxyxyxyt，代入上式可得22(392)3(93)tttt，解得1t?或3t?.……………………10分当3t?时，3xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2330mm的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当1t?时，1xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2310mm的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123xyxyxyxyxyttt.……………………20分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）DEOBAC二、（本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC?，45BAC，E 是BAC?的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB?.已知1AF?，5BF?，求△ABC的面积.解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以∠AED＝1802??∠EAD＝∠BAC，……………………10分所以??AGBC?，所以??ACBG?，所以AC＝BG (15)分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD ＝5－1＝4，……………………20分△ABC的AB边上的高sin4522hAC.所以，△ABC的面积116226222SABh (25)分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)ab，使得34938ba.解显然，4938b??为奇数，所以a为奇数.又因为33493849385ba，所以5a?.……………………5分由34938ba可得38493ba，即22(2)(24)73baaa.……………………10分设2(2,24)aaad，则d为奇数.注意到224(2)(4)12aaaa，所以|12d，所以d＝1或3.……………………15分若d＝1，则有22 27, 243,b aaa或22 23, 247, ba aa均无正整数解.……………………20分若d＝3，则有221237,243,baaa?或12223,2437,baaa解得11a?，3b?.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25分第二试（B）一、（本题满分20分）已知实数,,abc满足abc??，16abc，22211284abcabc，求c的值.解设abx??，aby?，依题意有2212(16)(16)1284xyxyx，整理得21(8)(8)8xyx，所以8x?或8(8)yx??.……………………10分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共7页）FEABCD（1）若8x?，则8ab??，此时c＝8.（2）若8(8)yx??，即8(8)abab，则(8)(8)0ab，所以8a?或8b?.当8a?时，结合abc??可得24abc，与16abc矛盾.当8b?时，结合abc??及16abc可得0a?，8c?.综合可知：8c?.……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m，使得21221mm 是完全平方数.解当m＝1时，212211mm是完全平方数.……………………5分当1m?时，设212221mmn（n为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)mmmmmm，故可得12122(21)(2)mmn，……………………10分所以22212112(21)(21)(21)mmmmnnn.……………………15分设121mxn，121myn，则xy?，222mxy??，所以,xy均为2的方幂.……………………20分又22myx被4除余数为2，所以，只可能2x?，2my?，故22222mm，解得3m?.综上可知：满足条件的正整数m有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分25分）如图，O为四边形ABCD内一点，OADOCB，OAOD?，OBOC?.求证：2222ABCDADBC.证明由题设条件可知90AODBOC，又OADOCB，所以△AOD∽△COB，……………………5分所以ODAOOBCO?，从而OCAOOBOD?.……………………10分又AOCAOBBOCAOBAODDOB，所以△AOC∽△DOB，所以OACODB.……………………15分设AC和BD交于点P，则90APDAOD，所以ACDB?，……………………20分所以222222222222()()()()ABCDAPPBPDPCAPPDPBPCADBC .……………………25分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共7页）PDAO CB。
2017中国西部数学邀请赛
取 ｌ ：９ ９ ， ２＝ ３＝… ＝ ９ ７ ｏ ２＝１ ， 可 使
； ＋ ＋ …＋ ＝ ｍ
整除．
ａ ｌ ， ａ ２ ， …， ａ ， 均有
①
（ 王广廷 供题 ）
的整 数 解 （ ， ， …， ）的组 数 能 被 ２ ¨
８ ． 已知 整数 ｎ ≥２ ． 证明： 对任 意 正实 数
） （
） ≤
（ 张端 阳
口 ・ ①
供题 ）
１ ｋ＝ｌ
６ ． 在锐角△ Ａ Ｂ Ｃ 中， 点 Ｄ、 Ｅ分 别 在 边 Ａ Ｂ 、 Ａ Ｃ上 ， 线段 Ｂ Ｅ与 Ｄ Ｃ交 于点 日， Ｍ、 Ⅳ分 别为线段 Ｂ Ｄ、 Ｃ Ｅ的 中点． 证明： 日为△ Ａ ＭＮ 的垂心 的充分必要 条件 是 、 ｃ 、 、 四点共 圆且 Ｂ Ｅ上 Ｃ Ｄ ． （ 石 泽晖 供题 ）
Ｉ ２ Ｊ １ Ｃ Ｏ Ｓ
—Ｊ Ｉ ２ ｃ ｏ ｓ— ￣
１
Ｃ ＤＩ ：
ｊ ９ ９ （ ｎ＋ ９ ８ ） ≥１ ０ ０ ｎ
ｎ≤ ９ ９ ×９ ８ ＝９ ７ ０ ２ ．
Ｂ Ｄ Ｉ １
即， ２ Ｉ ， 、 ｊ 在 ＢＣ上的投影 长度相同．
如图３ ， 设 、 Ｉ ， 、 在Ｂ ｃ上 的投 影 分
此人获胜． 问： 谁有必胜 策略？
（ １ ） 若存在ｋ （ １ ≤ ≤ ｎ ） ， 使得ｐ ２ Ｉ （ ＋ １ ） ，
则Ｐ ≤ｎ ＋１ ．
于是 ， ｐ ≤￣ ／ ＋１ ＜ ２ ｎ ．
供题 ） （ ２ ） 若对任意的 ｋ （ １ ≤ ≤ｎ ） ， ｐ ２ １ 、 （ ＋ １ ） ， 由条件 ， 知存在 １ ≠ ≤ ， 使得
故Ⅱ ￣ ＜ １ ０ ０ ．
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2 2 1 AM AN 3 AB AC 4 AB AC ， 8
由 3 S ABC
1 3 AB AC sin A AB AC 得 AB AC 4 2 4
2
所以 AB AC 2 ，所以 3 AB
AC 8 3 ，当且仅当 AB
x x1 3x 2 5 x3 x1 2 3
★解析：由柯西不等式
x3 的最小值和最大值。 5 x2 5 x3 3 x3 5 1
2
x x x1 3x 2 5 x3 x1 x1 3 x 2 x1 2 3 3 5
当 x1 1 ， x 2 0 ， x 3 0 时取等号，故所求的最小值为 1 ； 又 x1 3 x 2 5 x 3 x1
x 2 x3 1 5x x1 3 x 2 5 x 3 5 x1 2 x 3 3 5 5 3
2
512 b1 ② 55
★证明：记 f ( x ) x kx m ， x a, b ，则 f ( x ) 1,1 。于是
2
f (a ) a 2 ka m 1 ①； f (b) b 2 kb m 1 ② ab ab 2 ab )( ) k( ) m 1 ③ 2 2 2 ①+②- 2 ③知 f(
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2017A1、设 f ( x ) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ，又当 0 x 7 时， f ( x ) log 2 (9 x ) ，则 f ( 100) 的值为 ◆答案：
2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)_PDF压缩
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a =，3a =1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.。
鄂尔多斯市西部四校联考2017届高三下学期期中数学试卷(文科) 含解析
2016—2017学年内蒙古鄂尔多斯市西部四校联考高三（下)期中数学试卷(文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣2，﹣1，1，2｝,B={﹣3，﹣1，0,2｝,则A∩B的元素的个数为（)A．2 B．3 C．4 D．12．设i为虚数单位，则复数（﹣2i﹣1）•i的共轭复数为（）A．﹣2﹣i B．2﹣i C．﹣2+i D．2+i3．以下是某样本数据，则该样本的中位数、极差分别是( ）数据31，12，22，15，20，45，47，32,34，23，28A．23、32 B．34、35 C．28、32 D．28、354．设A(1，1）、B（7，4），点C满足=2，则点C的坐标是( ) A．（3，2）B．（3,5) C．(5,3）D．（8，5)5．已知命题p：∃x∈R,log5x≥0,则（)A．￢p：∀x∈R，log5x＜0 B．￢p：∃x∈R，log5x≤0C．￢p：∀x∈R，log5x≤0 D．￢p:∃x∈R，log5x＜06．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A．B．C．D．7．抛物线y2=4x上有两点A、B到焦点的距离之和为8，则A、B到y轴的距离之和为（)A．8 B．7 C．6 D．58．已知输入的x=11，执行如图所示的程序框图,则输出的x的值为（）A．12 B．23 C．47 D．959．设x，y满足约束条件，若z=3x+y的最大值是( ）A．6 B．7 C．0 D．310．已知函数f（x)为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x ﹣2x﹣f(1），则f（﹣1）的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．﹣e11．△ABC的三个内角A、B、C,所对的边分别是a、b、c，若a=2，c=2,tanA+tanB=﹣tanAtanB，则△ABC的面积S△ABC=（）A．B．1 C．D．212．已知函数f(x）=的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则点A的横坐标的取值范围可能是（）A．(﹣，0）B．（﹣1，﹣) C．(，1) D．（1，2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数y=|sinx|的周期为．14．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于．16．函数y=的最大值为．三、解答题(共5小题,满分60分）17．已知数列{a n}为等比数列，a n＞0，a1=2，2a2+a3=30．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）若数列{b n｝满足,b n+1=b n+a n，b1=a2,求b5=？18．在2016年高考结束后，针对高考成绩是否达到了考生自己预期水平的情况，某校在高三部分毕业生内部进行了抽样调查，现从高三年级A、B、C、D、E、F六个班随机抽取了50人，将统计结果制成了如下的表格：班级 A B C D E F抽取人数 6 10 12 12 6 4其中达到预期水平的366 6 4 3 人数(Ⅰ）根据上述表格的数据估计,该校这些班中,哪个班的学生高考成绩达到自己的预期水平的概率较高？(Ⅱ）若从A班、F班，从抽查到的达到预期水平的所有对象中，再随机选取2名同学进行详细调查，求选取的2人中含有A班同学的概率．19．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点，BQ∩AC=N，M是棱PC上的一点，PA=PD=4=AD=2BC，CD=2．(Ⅰ）求证：直线MN∥平面PAB;（Ⅱ)求四棱锥P﹣AQM的体积．20．已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的离心率，且P（0，1）是椭圆C上的点，F是椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点，直线OM的斜率k OM=﹣，求直线l的方程．21．已知函数f（x)=x2﹣4x+2（1﹣a）lnx，（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x)在区间［e，+∞]上的单调性；（Ⅱ）当a＞2时,求函数f(x）在区间［e，+∞］上的最小值．选修4—4：坐标系与参数方程22．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；(2）设点M的直角坐标为（5，),直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA｜•|MB｜的值．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式｜x﹣2｜﹣｜x+3｜≥|m+1|有解,记实数m的最大值为M．（1)求M的值；（2）正数a,b，c满足a+2b+c=M，求证：+≥1．2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯市西部四校联考高三（下）期中数学试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A=｛﹣2，﹣1，1，2｝，B=｛﹣3，﹣1，0，2},则A∩B 的元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．1【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据交集的运算求出A、B的交集即可．【解答】解：A={﹣2,﹣1，1，2}，B=｛﹣3，﹣1，0,2｝，则A∩B={﹣1，2}，2个元素,故选:A．2．设i为虚数单位,则复数（﹣2i﹣1)•i的共轭复数为（）A．﹣2﹣i B．2﹣i C．﹣2+i D．2+i【考点】A5:复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数(﹣2i﹣1)•i=2﹣i的共轭复数为2+i．故选：D．3．以下是某样本数据，则该样本的中位数、极差分别是（）数据31,12，22，15，20，45，47，32，34，23，28A．23、32 B．34、35 C．28、32 D．28、35【考点】BC:极差、方差与标准差；BB:众数、中位数、平均数．【分析】将数据从小到大按顺序排成一列,结合中位线和极差的定义进行求解即可．【解答】解：将数据从小到大按顺序排成一列为12，15，20，22，23，28,31，32，34，45,47，共11个数据,则中位数为第6个数28，最大值为47，最小值为12，则极差47﹣12=35，故选：D．4．设A(1,1)、B（7，4)，点C满足=2,则点C的坐标是（）A．(3，2）B．（3,5）C．（5，3) D．(8，5）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的坐标运算性质即可得出．【解答】解：∵=2，∴=2，∴===（5，3)，故选：C．5．已知命题p：∃x∈R，log5x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log5x＜0 B．￢p:∃x∈R，log5x≤0C．￢p：∀x∈R，log5x≤0 D．￢p：∃x∈R，log5x＜0【考点】2J：命题的否定．【分析】由题意,命题p：∃x∈R，log5x≥0，其否定是一个全称命题，按书写规则写出答案即可【解答】解：命题p：∃x∈R，log5x≥0是一个特称命题，其否定是一个全称命题，所以命题p：∃x∈R,log5x≥0的否定为￢p：∀x∈R,log5x＜0，故选：A．6．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】几何体为椎体与柱体的组合体,分四种情况进行判断．【解答】解:由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体,则俯视图为A,（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B,（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，（4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为故选：D．7．抛物线y2=4x上有两点A、B到焦点的距离之和为8，则A、B 到y轴的距离之和为（)A．8 B．7 C．6 D．5【考点】K8:抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线为x=﹣1，根据抛物线的定义可知A，B此抛物线焦点的距离之和等于x A+1+x B+1．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1．则点A到此抛物线焦点的距离为x A+1，点B到此抛物线焦点的距离为x B+1．∴点A、B到此抛物线焦点的距离之和为x A+1+x B+1=x A+x B+2=8+2=10．则A、B到y轴的距离之和为:10﹣2=8．故选:A．8．已知输入的x=11，执行如图所示的程序框图，则输出的x的值为( ）A．12 B．23 C．47 D．95【考点】EF:程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析继续循环和退出循环的条件特征,可得答案．【解答】解:x=11,n=1≤3，x=23，n=2≤3，x=47，n=3≤3，x=95，n=4＞3，输出x=95，故选：D．9．设x，y满足约束条件，若z=3x+y的最大值是（）A．6 B．7 C．0 D．3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由得，即A(2，1)，此时z的最大值为z=3×2+1=7，故选:B．10．已知函数f(x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时,f（x）=4x ﹣2x﹣f（1），则f(﹣1）的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．﹣e【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据条件令x=1，先求出f（1）的值，然后利用函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：当x＞0时，f(x)=4x﹣2x﹣f（1)，∴当x=1时，f（1）=4﹣2﹣f（1），即2f（1）=2，则f（1）=1，则当x＞0时，f(x）=4x﹣2x﹣1，∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f(﹣1）=﹣f(1）=﹣1，故选:B．11．△ABC的三个内角A、B、C,所对的边分别是a、b、c,若a=2，c=2,tanA+tanB=﹣tanAtanB，则△ABC的面积S△ABC=（) A．B．1 C．D．2【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由已知结合两角和的正确求得C，利用正弦定理求得A，则B可求,代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由tanA+tanB=﹣tanAtanB，得tanA+tanB=（1﹣tanAtanB），∴tan（A+B）=,即tanC=﹣．∵0＜C＜π,∴C=．则sinC=．由正弦定理可得：，得sinA=,∴A=．则B=．∴S△ABC=×=．故选：C．12．已知函数f（x）=的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则点A的横坐标的取值范围可能是( ）A．（﹣，0）B．（﹣1，﹣）C．（，1) D．(1，2）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，求得x14﹣2x1﹣1=0,由零点存在定理,判断A，B，再由关系式,确定x2的范围，即可判断C，D．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2+x的导数为f′(x)=2x+1;当x＞0时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=,设A（x1，f(x1）），B（x2，f(x2）)为该函数图象上的两点,且x1＜x2,当x1＜x2＜0,或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，当x1＜0时,函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x12+x1）=（2x1+1)（x﹣x1)；当x2＞0时，函数f（x）在点B(x2，f(x2）)处的切线方程为y+=（x﹣x2）．两直线重合的充要条件是=2x1+1①，﹣=﹣x12②，由x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②可得x14﹣2x1﹣1=0，设f（x）=x4﹣2x﹣1，由f（﹣）=＞0,f（0）=﹣1＜0，可得x1∈（﹣，0)，A可能；由f（﹣1）=＞0，B不正确；由①可得x2＞1，由②可得=x12＜，即有x2＞8,则C,D不正确．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数y=|sinx｜的周期为π．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=|Asin(ωx+φ）|的周期为,得出结论．【解答】解:∵函数y=|Asin（ωx+φ)｜的周期为，∴函数y=|sinx｜的周期为=π，故答案为:π．14．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 4 cm．【考点】L＠：组合几何体的面积、体积问题．【分析】设出球的半径,三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：415．已知双曲线=1(a＞0,b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于 4 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用离心率公式和渐近线方程,结合点到直线的距离公式可得b，再由a，b,c的关系即可得到c，进而得到焦距．【解答】解:双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则e==2，即c=2a，设焦点为（c,0），渐近线方程为y=x,则d===b=，又b2=c2﹣a2=3,解得a=1，c=2．则有焦距为4．故答案为：4．16．函数y=的最大值为．【考点】HW:三角函数的最值．【分析】直接利用换元法,通过三角函数的有界性，转化函数为二次函数，即可得出．【解答】解：由题意，设sinx+cosx=t，∵sinx+cosx=sin（x+）=t，∴≤t，且t≠0．那么：sin2x=t2﹣1函数y转化为：f（t)=,（≤t,且t≠0）∴f（t)的最大值为：，即函数y的最大值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列｛a n}为等比数列，a n＞0，a1=2，2a2+a3=30．(Ⅰ)求a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足，b n+1=b n+a n,b1=a2,求b5=？【考点】8H：数列递推式．【分析】(Ⅰ)由题意，｛a n}为等比数列，a1=2，2a2+a3=30．即可求出q，可得a n；（Ⅱ）根据b n+1=b n+a n,b1=a2，依次递推计算b2,b3，b4可得b5的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，{a n}为等比数列，a1=2,2a2+a3=30．设公比为q，a n＞0．可得：4q+2q2=30，解得:q=3或﹣5（舍去）∴a n=2•3n﹣1（Ⅱ）由b1=a2，∴b1=2×3=6．b n+1=b n+a n，∴b2=b1+a1=2+6=8．b3=b2+a2=8+6=14．b4=b3+a3=14+18=32．b5=b4+a4=32+54=86．18．在2016年高考结束后，针对高考成绩是否达到了考生自己预期水平的情况，某校在高三部分毕业生内部进行了抽样调查,现从高三年级A、B、C、D、E、F六个班随机抽取了50人,将统计结果制成了如下的表格:班级 A B C D E F抽取人数 6 10 12 12 6 4366 6 4 3 其中达到预期水平的人数（Ⅰ）根据上述表格的数据估计,该校这些班中，哪个班的学生高考成绩达到自己的预期水平的概率较高？（Ⅱ）若从A班、F班,从抽查到的达到预期水平的所有对象中，再随机选取2名同学进行详细调查，求选取的2人中含有A班同学的概率．【考点】CB:古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）分别求出A班、B班、C班、D班、E班、F班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率，从而得到该校这些班中，F班的学生高考成绩达到自己的预期水平的概率较高．（Ⅱ）A班、F班抽查到的达到预期水平的所有对象有6人,从中抽取2人,基本事件总数n==15，选取的2人中含有A班同学包含的基本事件的个数m==9，由此能求出选取的2人中含有A班同学的概率p（A）．【解答】解：（Ⅰ）A班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率P（A）=，B班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率P(B）=，C班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率P（C）=，D班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率P（D)==，E班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率P（E）==，F班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率P(F）=,该校这些班中，F班的学生高考成绩达到自己的预期水平的概率较高．（Ⅱ）A班、F班抽查到的达到预期水平的所有对象有6人,从中抽取2人，基本事件总数n==15，选取的2人中含有A班同学包含的基本事件的个数m==9，∴选取的2人中含有A班同学的概率p（A）===．19．如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，BQ∩AC=N,M是棱PC上的一点，PA=PD=4=AD=2BC,CD=2．（Ⅰ）求证:直线MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四棱锥P﹣AQM的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PQ⊥AD,从而PQ⊥平面ABCD,以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MN∥平面PAB．(Ⅱ）求出平面PAQ的法向量和，从而求出M到平面PAQ的距离d，四棱锥P﹣AQM的体积V P﹣AQM=V M﹣PAQ,由此能求出结果．【解答】证明：(Ⅰ）∵PA=PD,Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点，QA为x轴,QB为y轴,QP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0）,C(﹣2，2，0），N（0，1，0)，P（0,0，2），M(﹣1，1，），=（1，0，﹣），=（﹣2，2,0），=（﹣2,0，2），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则,取x=，得=（），∵==0，MN⊄平面PAB，∴直线MN∥平面PAB．解：（Ⅱ)平面PAQ的法向量=（0，1，0）,=(﹣1，1，）,M到平面PAQ的距离d===1,S△PAQ===2，∴四棱锥P﹣AQM的体积：V P﹣AQM=V M﹣PAQ==．20．已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的离心率，且P(0,1)是椭圆C上的点，F是椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点,线段AB的中点为M，O为坐标原点,直线OM的斜率k OM=﹣,求直线l的方程．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3:椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，则b=1，利用椭圆的离心率公式，即可求得a的值，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程,利用韦达定理及中点坐标公式，求得M点坐标，利用直线的斜率公式,即可求得k的值,求得直线l的方程．【解答】解：(Ⅰ)由椭圆的离心率e==，则a=c，b2=a2﹣c2=c2，由椭圆的焦点在x轴上,由P(0，1）是椭圆上一点,则b=1，c2=1，a2=2,∴椭圆的标准方程:；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F(1，0），设直线AB的方程：y=k（x﹣1），(k ≠0），A(x1，y1），B（x2，y2）,M（x0，y0）,，整理得:（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1﹣1）+k（x2﹣1)=﹣，x0==，y0==﹣，则M(,﹣)，∴直线OM的斜率k OM=﹣=﹣=﹣,解得:k=1，∴直线l的方程：x﹣y﹣1=0．21．已知函数f（x）=x2﹣4x+2(1﹣a）lnx,（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a=2时,求函数f（x）在区间[e,+∞]上的单调性；(Ⅱ）当a＞2时,求函数f（x）在区间［e，+∞］上的最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：(1)a=2时，f（x）=x2﹣4x﹣2lnx,f′（x)=2x﹣4﹣=＞0，故f（x）在［e，+∞)递增；(2）f′（x）=2x﹣4+=，令g（x）=（x﹣1）2﹣a，2＜a≤（e﹣1）2时,g（x）≥0，即f′(x）≥0，f（x）在[e,+∞）递增，f（x）min=f（e）=e2﹣4e+2（1﹣a)，a＞（e﹣1)2时,令g（x）＞0,解得：x＞1+,或x＜1﹣(舍）,令g（x）＜0，解得：e＜x＜1+,故f（x）在[e,1+)递减,在（1+，+∞）递增，故f(x)min=f（1+）．选修4—4：坐标系与参数方程22．已知直线l:（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A,B，求｜MA|•｜MB|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；(2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1)2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，(5，)在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T,则|MT｜2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB｜=18．选修4—5：不等式选讲23．已知关于x的不等式｜x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1｜有解，记实数m 的最大值为M．(1）求M的值；（2)正数a,b，c满足a+2b+c=M，求证:+≥1．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】(1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：(1)由绝对值不等式得|x﹣2｜﹣｜x+3｜≥≤｜x﹣2﹣(x+3）|=5，若不等式｜x﹣2｜﹣｜x+3|≥｜m+1|有解，则满足|m+1｜≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．(2）由(1）知正数a，b,c满足足a+2b+c=4，即［（a+b)+（b+c)]=1∴+=[(a+b）+（b+c）］（+）=（1+1++）≥（2+2)≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时,取等号．∴+≥1成立．2017年6月21日。
2017年全国奥林匹克数学竞赛决赛解答(成都)1
1 15
乙工效：1÷18＝ 乙工效：
1 18
1 1 ×（1－40%）＝ 25 25
1 1 ×（1－10%）＝ 18 20
1 1 1 1 x ）÷ ＝（1－ x ）÷ 25 15 20 18 1 1 1 1 x＝ － x － 18 450 15 300
x＝10
答：在施工期间共有 10 天雨天。 15.（此题为解答题，简写出解题过程）有一个空的蓄水池，装有一个进水管和一个出水管。如果单独开 进水管，2 小时可以将空池注满：如果单独开水管，3 小时可以将填满池水放完。现在按进水管开 1 小时、 出水管开 1 小时、进水管开 1 小时、出水管开 1 小时、进水管开 1 小时、出水管开 1 小时……，进水管和 出水管不能同时打开， 只能按照这样的顺序轮流被打开。 那么将蓄水池里的水蓄满至少要________个小时。 【答案】7 【解析】进水管工效：1÷2＝ 一个周期工作量：
9.如图，三角形 ABC 的面积为 1，且 AD=BD,CE=2BE。那么，四边形 DBEF 的面积等于_______。
【答案】：
7 30 43 7 7 7 ， 1× 。 3 3 12 12 30 30 30
【解析】 ：连接 BF，设△BFD=3,则△AFD=3，则△AFB=6。因为 CE=2BE，则△ACF=6×2=12.又因为 AD=BD， 则△BCF=12，则△BEF=12÷（2+1）×1=4. 则四边形 DBa 31b 能被 33 整除。那么， a b 的最大值是_____。 【答案】14 4.小华每月的 1 号将 2000 元存入银行， 月利率为 0.5%， 如果不计复利 （利息不再产生利息） ， 存足一年时， 小华的本息和为_____元。 【答案】24780
2017年全国高中数学联赛二试试题及答案解析.pdf
2010年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO rKOr =−+−，同理 ()()22222QK QO rKOr =−+−，所以 2222PO PK QO QK −=−，故 OK ⊥PQ ． （10分）由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MCBD CD=， （30分） 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅−⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r = (1)(()),2l f f r l −≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．证明：记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠为整数． （10分)假设命题对1(1)v v −≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+"，FE Q PO NM KDC B A这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++"． （20分)于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα−++++=+++⋅++⋅+++""12k ′=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα−++++′=++⋅++⋅+++""．显然k ′中所含的2的幂次为1v −．故由归纳假设知，12r k ′′=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． （40分） 三、（本题满分50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a "满足1,1,2,,k a k n ≤="，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==""．求证：1112nnk k k k n a A ==−−<∑∑． 证明：由01k a <≤知，对11k n ≤≤−，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤−∑∑． （10分）注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y −<，于是对11k n ≤≤−，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎞−=−+⎜⎟⎝⎠∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∑∑ 11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎞<−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭∑∑111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎞≤−−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭1k n=−， （30分） 故111nnnk kn k k k k a AnA A ===−=−∑∑∑()1111n n nk n k k k AA A A −−===−≤−∑∑111n k k n −=⎛⎞<−⎜⎟⎝⎠∑12n −=． （50分） 四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A "的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解：对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A "上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍． （20分）设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j −⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2in C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22jn i C −种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2in C 22jn i C −种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑． ①这里我们约定001C =． （30分）当n 为奇数时，20n i −>，此时22221202n i j n i n i j C −⎡⎤⎢⎥⎣⎦−−−==∑． ② 代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C −⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦−−−−====⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)nnkn kk n kk n n nn k k C C −−===+−=++−∑∑ 31n =+． （40分）当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2ni =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤−⎢⎣⎦−−=⎛⎞⎜⎟×+⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑ ()222124233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎣⎦−−==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n+种． （50分）。
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2017中国西部数学邀请赛1.设素数p 、正整数n 满足()2211nk p k=+∏.证明：2p n <.1.按照()211nk k=+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论.（1）若存在()1k k n ≤≤，使得()221p k +，则221p n ≤+.于是，2p n ≤<.（2）若对任意的()1k k n ≤≤，()221p k +Œ，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且()21p k +.则()22p k j -. 于是，|()()p k j k j -+.当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <.2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()1212100n n x x x x x x n +++=，求n 的最大可能值.2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得1nii xn =≥∑，所以：1100ni i x =≤∏又等号无法成立，则199nii x=≤∏而()()()111111111n nnniiiii i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏则11198nniii i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ⇒+⇒≤⨯=…取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立3.如图1，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，设ABD ACD ∆∆、的内心分别为12,I I ，12,AI D AI D ∆∆的外心分别为12O O 、，直线12I O 与21I O 交于点P .证明：PD BC ⊥.3.由1111O A O I O D ==及内心的性质，知1O 为ABD ∆外接圆弧AD 的中点.如图2，延长12,BI DI 交于点1J ，则1J 为ABD ∆中B ∠内的旁心，且1O 为11I J 的中点 类似地，延长12,DI CI 交于点2J ，则2J 为ACD ∆ 中C ∠内的旁心，且2O 为22I J 的中点过点D 作DP BC '⊥.只需证明12I O 、21I O 、DP '三线共点 对12DI I ∆用角元塞瓦定理，只需证明：212121121221sin sin sin 1sin sin sin P DI DI O O I I P DI O I I DI O '∠∠∠⋅⋅='∠∠∠ 事实上，由2222O J O I =，知212212O I J O I I S S ∆∆=，则212212122121212122122121212122sin sin 2sin sin O I J o I I S DI O O I J I J I O I I S O I I O I I I J I I I O ∆∆∠∠===∠∠⋅⋅同理：121212112sin sin O I I I J DI O I I ∠=∠，又2211sin cos sin cos P DI CDI P DI BDI '∠∠='∠∠所以只需证明：212121cos 1cos I J CDI I J BDI ∠=∠即2112I J I J 、在边BC 上的投影长度相同.如图3，设1212,,I I J J ，在边BC 上的投影分别为1212,,,H H K K则2112H K DK DH =-11()()221()2AB AD BD AD CD AC AB AC BC =+--+-=+-同理：121()2H K AB AC BC =+- 所以：2112H K H K =，命题得证4、给定整数(),2n k n k ≥≥，甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的n n ⨯的方格纸上玩游戏：两人轮流选择一个白色小方格将其染为黑色，甲先进行.如果某个人染色后，每个k k ⨯的正方形中都至少有一个黑色小方格，则游戏结束,此人获胜.问谁有必胜策略?4、解将方格纸按从上到下标记行，从左到右标记列.若21n k ≤-，则甲将第k 行第k 列的小方格染为黑色后，每个k k ⨯正方形中至少有一个黑格，因此甲获胜.下面假设2n k ≥，我们证明当n 为奇数时，甲存获胜策略；当n 是偶数时，乙有获胜策略.对于一个已经有若干个方格染为黑色的局面：如果有两个不相交的k k ⨯正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为奇数，我们称其为“好局面”；如果有两个不相交的k k ⨯正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为偶数，称其为“坏局面”.我们证明当某人面对好局面时，他有获胜策略^假设甲面对好局面，他先取定两个不相交的k k ⨯正方形A 和B ，其中都是白格，由于白格总数为奇数，可选取不在,A B 中的另一个白格，将它染为黑色，此时白格总数为偶数，且,A B 中仍然都是白格，因此变为一个坏局面轮到乙面对坏局面，如果他染色后.仍有两个不相交的k k ⨯正方形中都 是白格，此时白格总数是奇数，又回到好局面；如果他染色后，不存在两个不相交的k k ⨯正方形，注意到此时至少有一个全白格的k k ⨯正方形，设1,,m A A 是所有全白格k k ⨯正方形，则它们两两相交，故必包含于某个()()2121k k -⨯-的正方形S ，因此S 的中心方格P 是1,,m A A 的公共格，这样甲将P 染为黑色后，所有k k ⨯正方形中都含有黑格，于是甲获胜.总之，当某人面对好局面时，他可以在自己的下一回合获胜或是仍面对好局面，而游戏必在有限步内结束，因此他有获胜策略.由上述论证亦可知.当某人面对坏局面时，他要么让对方下一回合即可获胜，要么留给对方好局面，因此对方有获胜策略；在2n k ≥时.由于四个角上的k k ⨯正方形互不相交，且一开始都是白格.因此当n 是奇数时，一幵始是好局面，甲有获胜策略； 当n 是偶数时.一开始是坏局面，乙有获胜策略.5.已知九个正整数129,,,a a a （允许相同）满足：对任意的19i j k ≤<<≤，均存在与i j k 、、不同的()19l l ≤≤，使得100i j k l a a a a +++=；求满足上述要求的有序九元数组()129,,,a a a 的个数.5.对满足条件的正整数组()129,,,a a a ，将129,,,a a a 从小到大排列为129b b b ≤≤≤.由条件，知分别存在{4,5,,9}l ∈及{1,2,,6}l '∈，使得123789100l l b b b b b b b b '+++=+++=.①注意到，172839,,,l l b b b b b b b b '≥≥≥≥.② 结合式①，知结论②中的不等号均为等号 于是，238b b b ===.因此，设()1289,,,,(,,,,)b b b b x y y z =，其中，x y z ≤≤.由条件，知使100l x y z b +++=的l b 的值只能为y ，即2100x y z ++=.③ （1）当25x y z ===时，有()129,,,(25,25,,25)b b b =，此时，得到一组()129,,,a a a .（2）当,x z 中恰有一个为y 时，记另一个为w ，由式③知3100w y +=.该条件也是充分的.此时，y 可以取1,2,,24,26,27,,33这32种不同值，且每个y 值对应一组()129,,,b b b ，进而，对应九组不同的()129,,,a a a ，共有329288⨯=个数组()129,,,a a a .（3）当x y z <<时，由条件，知存在某个{,,}l b x y z ∈，使得3100l y b +=， 与式③比较得l y b x z +=+，则必有l b y =.故5025,x y z +==.该条件也是充分的.此时，对1224x =，，，，每个x 值对应一组()129,,,b b b ，进而，对应9872⨯=组不同的()129,,,a a a ，共有24721728⨯=个数组()129,,,a a a .综上，知符合条件的数组个数为128817282017++=.6.如图，在锐角ABC ∆中，点D E 、分别在边AB AC 、上，线段BE 与DC 交于点H M N ，、分别为线段BD CE 、的中点。
证明：H 为AMN ∆的垂心的充分必要条件是B C E D 、、、四点共圆且BE CD ⊥.6.如图4，延长MH ，与AC 交于点P ，延长NH ，与AB 交于点Q . 充分性。
由B C E D 、、、四点共圆知BDH CEH ∠=∠.又BE CD ⊥，从而，DHB EHC ∆∆、均为直角三角形. 注意到，M N 、分别为斜边BD CE 、的中点. 则.MDH MHD MHB MBH ∠=∠∠=∠，故90EHP HEC MHB HDB MBH HDB ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒ 所以：MH AC ⊥. 类似地，NH AB ⊥.因此，H 为AMN ∆的垂心. 必要性.若H 为AMN ∆的垂心，则MP AN NQ AM ⊥⊥，.故sin sin sin sin DQ DH DHQ DH CHN DH EHQB BH BHQ BH EHN BH CH∠∠⋅===∠∠⋅ 类似地，EP DH EHPC BH CH⋅=⋅，于是EP DQ PC QB = 利用比例性质及,DM MB EN NC ==，知EC DB NC MB NC MB EN DMPC QB PC QB PN QM PN QM=⇒=⇒=⇒= 又因为H 为AMN ∆的垂心，所以，DMH ENH ∠=∠ 则QM PN DM ENMH NH MH NH=⇒= DMH ENH MDH NEH ⇒∆∆⇒∠=∠∽ 所以：B C E D 、、、四点共圆。
设四边形BCED 的外心为O易知，OM AB ⊥.从而，//OM NH . 类似地，//ON MH .于是，四边形MHNO 为平行四边形，即MH ON =.过点B 作MH 的平行线，与DC 交于点X 注意到，M 为边BD 的中点. 则22BX MH ON ==.由熟知的外心性质，知X 为BCE ∆的垂心. 因此，CX BE ⊥，即CD BE ⊥.7.设正整数2n q α=，其中，α为非负整数，q 为奇数.证明：对任意正整数m ，方程22212n x x x m+++=①的整数解()12,,,n x x x 的个数能被12α+整除.7.设方程①的解的个数为()()12n N m x x x ，，,,为方程①的一个非负整数解，不妨设其中有k 个非零项 注意到，()12n x x x ，,,的每个分量有正负两种情形，恰对应原方程的2k 个整数解.设k S 为该方程恰有()12,k k n =，，个非零项的非负整数解的个数，则1()2nk kk N m S==∑.因为k 个非零项的非负整数解有k n C 种位置可选，所以，|kn k C S .于是，要证明()12|N m α+，只需证明：12k k n C α-+注意到，(1)(1)!kn n n n k C k --+=.则分子中2的因子个数至少为α，而分母中2的因子个数为[]2log 1122k i i i i k kk +∞==⎡⎤<=⎢⎥⎣⎦∑∑ 其中，[]x 表示不超过实数x 的最大整数。