影子价格及其在资源配置中的应用研究

1
线性规划问题与影子价格
A2 ， …， A m 生产 n 种产品 B1 B2 ， …， Bn ， 经济管理中提出问题： 某企业用 m 种资源 A1 ， 资源的投入限量
b2 ， …， bm ， c2 ， …， cn ， 分别为 b1 ， 产品的单位价格分别为 c1 ， 每单位产品 B j 对资源 A i 的直接消耗系数为 a ij （ i， = 1， 2， …， m； j = 1 ， 2， …， n） 。 如果产品生产出来就可销售出去， 则应如何安排生产可使总收益最大？ 根据提出的问题， 可以建立线性规划数学模型
第 19 卷 第 5 期 2010 年 10 月
运
筹
与
管
理
OPERATIONS RESEARCH A19 ， No． 5 Oct． 2010
影子价格及其在资源配置中的应用研究
杨桂元， 宋马林
（ 安徽财经大学 数量经济研究所， 安徽 蚌埠 233030 ）
* * max Z = F （ b1 ， b2 ， …， b m ） = b1 y1 + b2 y2 + … + bm y* m
Z * = y* 2， …， m） ， 可知 y i 表示第 i 种资源在最优生产方案下的边际效益， 反映第 i 种资源变 i （ i = 1， b i 化对总目标函数值的影响程度。 根据 y* 2， …， m） 是线性规划问题（ DLP ） 的最优解， 若 B 是线性规划问题（ LP ） 的最优基， 则 i （ i = 1， Z W * * = = C B B － 1 = （ y1 ， y2 ， …， y* m ） b b * * y2 ， …， y* 所以变量 y1 ， 单位第 i 种资源变 m 的经济意义是 ： 在其他条件不变 （ 最优基 B 也不变 ） 的情况下 ， 化所引起的目标函数最优值的改变 。或由 Z = y* 2， …， m） ， y* 单 i （ i = 1， i 表示在其他条件不变的情况下 ， b i
0
引言
经济学产生于客观存在的资源的稀缺性 ， 它要解决任何一个社会和个人都面临的选择或资源配置问
题， 稀缺性决定了每一个社会和个人必须做出选择 。选择就是用有限的资源去满足最大欲望的决策 ， 选择 就是要决定用既定的资源生产什么 、 如何生产和为谁生产这三个基本问题 ， 这三个问题就是经济学中所称 的资源配置问题。经济学研究选择问题或资源配置并不是直接告诉人们如何去做 ， 而是为人们提供一套 解决这个问题的工具和方法。数学规划及对偶理论的产生为求解此问题提供了一个行之有效的数量分析 因而成为人们进行经济分析的强有力的工具 。 方法，
* * max Z = CX * = min W = Y * b = C B B － 1 b = b1 y1 + b2 y2 + … + bm y* m n
在线性规划问题（ LP ） 中， 显性地表示 Z =
n
cj x j ， maxZ 是决策变量 x j （ j = 1 ， 2， …， n） 的线性函数， 由于问 ∑ j =1
的充分必要条件是 （ DLP ）
cj x * ∑ i j =1
= minW =
y* ∑ i bi 。 i =1
（ LP ） 问题追求目标函数（ 总效益） 的最大化， Y = （ y1 ， y2 ， …， y m ） 是对 在对偶线性规划问题 （ DLP ） 中， 每一种资源合理估价， 以便得到与最优生产方案相一致的最低总价值 。可理解为资源转让时， 转让方在不 使接收方所能接受的最低代价的价格 ， 称为影子价格 （ Shadow 低于利用资源进行生产所得效益的情况下 ， Price） 。如果 B 是（ LP ） 的最优基， 由于
19 收稿日期： 2009-06基金项目： 安徽省教育厅自然科学研究项目（ kj2007b084 ） ）， 作者简介： 杨桂元（ 1957男， 教授， 硕士生导师， 中国数量经济学会理事。
40
运
筹
与
管
理
2010 年第 19 卷
一切生产过程总是在资源一定的条件下追求利润最大或是在达到既定目的的条件下追求成本最小。 然而在最优生产计划的条件下， 增加资源的供应量扩大生产规模， 这时应该分析每种资源对总目标 （ 总收 益或总利润） 的边际贡献， 这就是资源影子价格； 或者产品指标对成本的影响， 这就是边际成本又称影子 ［1 ］ 成本 。资源就是对产出具有决定意义而投资主体可以通过一定方式加以选择的各种投入要素的集合 ， 它包含了有形资源和无形资源； 资源配置是指经济系统中的各种资源 （ 包括人力、 物力、 财力等 ） 在各种不 同的使用用途之间的分配， 以实现其效用最大化。 数学规划所处理的问题是以最佳的方式在各项经济活动中分配有限的资源 ， 以便充分发挥资源的效 就是在所有可行的备选方案中如何选取最佳方案以达到既定目标 。 数学规划理 能去获取最佳经济效益， 论中资源的影子价格是以资源的稀缺性为价值依据 ， 以资源的边际效益为价值尺度， 反映了资源对目标值 的边际贡献。本文以资源配置的数学规划问题的理论基础研究影子价格及其在资源配置中的应用 。
n
2， …， m ） 之下 Z = 题（ LP ） 是求在满足约束条件 ∑ a ij x j ≤b i （ i = 1 ，
j =1
c j x j 的最大值， 所以 max Z 受资源 ∑ j =1
第5 期
杨桂元， 等： 影子价格及其在资源配置中的应用研究
41
2， …， m） 的制约， 限量 b i （ i = 1 ， 可以表示为
Y≥0 或者（ DLP ） min W = Yb s． t． YA≥C ， y2 ， …， ym ） 。 其中： Y = （ y1 ，
* * （ LP ） 存在最优解 X * = （ x1 ， x2 ， …， x* 根据线性规划问题的对偶理论， n ） n * * * T y2 ， …， y* 也有最优解 Y = （ y1 ， 并且 max Z = m ） ， m T
n
（ LP ）
max Z =
cj x j ∑ j =1 （ i = 1， 2， …， m）
s． t．
{
n
a ij x j ≤b i ∑ j =1 x j ≥0
（ j = 1， 2， …， n）
x j 为生产产品 B j （ j = 1 ， 2， n） 的数量。 其中， X ≥0 或者（ LP ） max Z = CX s． t． AX ≤b， 其中 A = （ a ij ）
*
位第 i 种资源的变化所引起总收益的改变 ， 这说明 y i 代表第 i 种资源在最优决策下的边际价值 。 由于影子价格是资源在最优决策下边际价值的反映 ， 所以没有最优决策就没有影子价格。 同一资源 在不同的经济结构和不同的最优决策 （ 对应的线性规划问题可能有不止一个最优解 ） 之下影子价格可能 不同， 因此影子价格是受经济结构本身客观条件制约的 。由线性规划问题（ LP ） 与其对偶问题 （ DLP ） 的最 －1 * 优解之间的关系 minW = maxZ = C B B b = Y b， 这说明资源的影子价格定量地反映了资源在最优决策之 y* 2， …， m） 作为第 i 种资源的影子价格不同于市场价格， 下应为总收益提供的价值， 它代表在资源 i （ i = 1， 合理配置的条件下， 对第 i 种资源的合理估价， 这种估价是针对具体的经济系统和最优决策而言的， 因此 又称为最优计划价格。影子价格随着经济系统及最优决策的不同而改变 ， 所以没有最优决策就没有影子 。 ， ， 价格 在市场经济条件下 当某种资源的市场价格低于影子价格时 企业应当增加这种资源的投入用于扩 企业决策者应该把这种资源转让出去一部 大生产而增加利润； 当某种资源的市场价格高于其影子价格时 ， ［2 ］ 实现资源在全社会的合理配置 。 分， 资源的影子价格是对资源进行合理配置的重要依据 。根据线性规划的对偶原理， 影子价格的确定与 最优基 B 密切相关， 线性规划的灵敏度分析和对偶理论是确定最优决策和资源影子价格的有效方法 。 如 * －1 果 B 是（ LP ） 的最优基， 则资源的影子价格就是对偶问题 （ DLP ） 的最优解 Y = C B B 。 因此， 我们可以利
摘
要： 为了应用影子价格实现资源在全社会的最优配置， 本文通过线性规划的对偶理论和非线性优化问题的
KuhnTucker 条件揭示了影子价格的本质， 在资源配置优化问题中线性规划模型中的影子价格就是其对偶问题 的最优解， 非线性规划模型中的影子价格就是与最优解相对应的拉格朗日乘数 。根据松紧定理解释了资源影子 还对线性规划模型与非线性规划模型中影子价格的不同表现进行了分析 。 最后阐 价格与资源限量之间的关系， 明了影子价格在资源配置中的应用 。 Tucker 条件； 拉格朗日乘数 关键词： 数量经济学； 运筹学； 影子价格； 资源配置； 线性规划； 对偶问题； Kuhn中图分类号： F224． 0 ； F224． 3 文章标识码： A 3221 （ 2010 ） 05-0039-06 文章编号： 1007-
m×n
， C = （ c1 ， c2 ， …， c n ） ， X = （ x1 ， x2 ， …， x n ） T ， b = （ b1 ， b2 ， …， bm ）
m
T
线性规划问题（ LP ） 的对偶线性规划问题为 （ DLP ） min W = bi yi ∑ i =1
s． t．
{
m
a ij y i ≥c j （ j = 1 ， 2， …， n） ∑ i =1 y i ≥0 （ i = 1 ， 2， …， m）
Shadow Price and Its Applied Research in the Allocation of Resources
YANG Guiyuan，SONG Malin （ Institute of Quantitative Economics，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu 233030 ，China） Abstract： In order to apply shadow price to the optimal allocation of resources in the society，in the paper，the essence of shadow price has been obtained through the dual theory of linear programming and KuhnTucker condition of nonlinear optimization problem． The shadow price of linear programming model is the optimal solution of dual problem in the allocation of resources，and the shadow price of nonlinear programming model is the Lagrange Multiplier which corresponds with the optimal solution． According to elastic theorem，we explain the relation between the shadow price of resources and limited resources，and make analysis of different representation for the shadow price in the linear programming model and nonlinear programming model． At last，we clarify the application of shadow price in the allocation of resources． Key words： quantitative economics； operations research； shadow price； allocation of resources； linear programming； dual problem； KuhnTucker condition； Lagrange multiplier