《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题解答

《误差理论与数据处理》(第七版)
习题及参考答案
第一章绪论
1－5测得某三角块的三个角度之和为180
o
00’02”,试求测量的绝对误差
和相对误差
解：
绝对误差等于： 180 o 00 02
o 180
2 相对误差等于： 2 o
180
180 2 60 60 ＝
2
648000
0.000003086410.000031%
1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m ，试求 其最大相对误差。

相对误差
max
绝对误差 测得值 max 100%
-6 20 10
2.31
100%
8.66 -4 10%
1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ 最大引用误差
某量程最大示值误差 测量范围上限
100%
2 100
100%2%2.5%
该电压表合格
1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。

测得值各为50.004mm ，
80.6mm 。

试评定两种方法测量精度的高低。

相对误差
50.450
L 1:50mmI100%0.008%
1
50
80.680
L2:80mmI100%0.0075%
2
80
I 1I 所以L 2=80mm 方法测量精度高。

2
1－13多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射
击精度高?
解：
多级火箭的相对误差为：
0.1
2.320.001%10000
射手的相对误差为：
1cm0.01m
8.6700020.002%50m50m
多级火箭的射击精度高。

1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为
11和9m；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。

m
其测量误差为12m，试比较三种测量方法精度的高低。

相对误差
I 11m
1mm
110
80.7%
I 9m
2mm
110
50.50082%
I 12m
3mm
150
80.708%
I3II第三种方法的测量精度最高
21
第二章误差的基本性质与处理
2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，1.，168.40，168.50。

试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

x 2.33168.54168.59168.40168.50
5
8.68(mA)
5
2
v
i
i
1
5
1
80.8()
mA
50.6
x0.037(mA)
n5
或然误差：0.67450.67450.0370.025()
RmA
x
平均误差：0.79790.79790.0370.030()
TmA
x
2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。

若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

x 80.820.001620.001820.001520.0011
5
20.15(mm)
5
2
v
i
i10.00025
51
正态分布p=99%时，t2.58
limxtx
2.2.34
5
8.69(mm)
测量结果：X xlim(20.00150.0003)mm
x
2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差
8.70mm，若要求测量结果的置信限为0.005mm，当置信概率为
99%时，试求必要的测量次数。

正态分布p=99%时，t2.58
limxt
n
n 80.90.004
8.71
n4.26
50.7
取
n5
2－9用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有
txt0.0015
n
根据题目给定得已知条件，有
t n 80.9
20.1600
1
1.5
查教材附录表3有
若n＝5，v＝4，α＝0.05，有t＝2.78，
t n 2.78
5
2.78
2.236
1.24
若n＝4，v＝3，α＝0.05，有t＝3.18，
t n
3.18 4
2.35 2
1.59 即要达题意要求，必须至少测量5次。

2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为102523.85，102391.30，
8.72，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，
其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。

8
p i x i
x
i 1Pa 102028.34(
8 p
i )
i1
8 p i v x i
2 i1
80.10(Pa)x
8
(81)
p i i1
2-13测量某角度共两次，测得值为1241336，2413'24''
2，其
标准差分别为3.1,13.8
1，试求加权算术平均值及其标准差。

2
p 1:p
2
1 2 : 1 2 19044: 961 12
x2413'20''
19044 16' 19044 ' 961 961
4'' 24 13'35'
'
x
x i
2 p i p i 50.8''
19044 19044961
80.10'
'
i1
2-14甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各重复测量5次，测得值如下：
:7220,730,7235,7220,7215;甲
:7225,7225,7220,7250,7245;乙试求其测量结果。

甲：x
甲
20"60"35"20"15"
72'72'30"
5
5 2
v
i
（-10"）2（30"）25"2（-10"）2（-15"）2i1
甲
451
18.4"
x 甲
2.3
甲
55
8.73"
乙：x
乙
25"25"20"50"45"
72'72'33"
5
5
2
v22222
i
（-8"）（-8"）（"）（17"）（12"）i
113乙
451
80.11" x乙
50
乙
55
80.11"
1111
p:p::3648:6773
甲乙
2222
20.176.04x甲x
乙
x p xpx
甲乙乙
甲
pp
甲乙
364830"677333"
36486773
72' 72'32"
x
p
甲
x
甲pp
甲乙
1.6
3648
36486773
2.79
Xx372'32''15''
x
2-16重力加速度的20次测量具有平均值为
2
3.m/s、标准差为811
2
0ms。

另外30次测量具有平均值为.014/
2
2.237m/s，标准差为
2
4.ms 。

假设这两组测量属于同一正态总体。

试求此50次测量的平均
/ 值和标准差。

p 1 : p 2
1 1
2 :
2 22 x 1x 2
1
2.37014
2 : 1 8.74 2 242:
147
2030
x 2429.8111479.8022 9.808(m/s
242147 )
x
80.12 20
242 242147
2 50.10（5
m/s
）
2-19对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，
80.12，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。

x14.96
按贝塞尔公式10.2633
10
v i
按别捷尔斯法0.2642
i1 20.182
10(101)
2 由1u
2 得u10.0034
11
2
u0.67所以测量列中无系差存在。

n1
2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6 次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）：
1.7，50.83，50.87，50.89；
2.80，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。

试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。

使用秩和检验法：
排序：
序号12345
第一组
第二组50.7550.7850.7850.8150.82
序号678910
第一组50.8250.8350.8750.89
第二组50.85
T=5.5+7+9+10=31.5查表T14T30
TT所以两组间存在系差
2－21对某量进行两组测量，测得数据如下：
xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.301.341.391.411.57
yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.591.601.601.841.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。

解：
按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表：
T12345678910
xi0.620.861.131.131.161.181.20
yi0.991.121.21
T11121314151617181920
xi1.211.221.301.341.391.41
y i1.251.311.311.38
T2122232425262728
x i1.57
y i1.411.481.591.601.601.841.95
现nx＝14，ny＝14，取xi的数据计算T，得T＝154。

由
求出：n1(nn1)n1n(nn1)
12212
a()203()474
212
Ta
t0.1
现取概率2(t)0.95，即(t)0.475，查教材附表1有t1.96。

由于tt，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。

第三章误差的合成与分配
3-1相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合
而成，它们的基本尺寸为l140mm，l212mm，l1.25mm
3，
l41.005。

经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为mm
l10.7m,l20.5m,l0.3m
3,
l 40.1m,lim l10.35m,lim l20.25m,lim l30.20m,
l40.20m
lim。

试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量
带来的测量误差。

修正值=()
l1lll
234
=(0.70.50.30.1)
=0.4(m)
测量误差:
l= 2
li
m
222
l1limllimllim
23
l
4
= (0.35) 2(0.25)(0.20)(0.20)
222
=0.51(m)
3-2为求长方体体积V，直接测量其各边长为a161.6mm，
b,c11.2mm,已知测量的系统误差为a1.2mm，
44.5mm
b0.8，c0.5mm，测量的极限误差为mm
mm
a0.8
，
b0.5mm，c0.5mm
，试求立方体的体积及其体积的极限误差。

VabcVf(a,b,c) V 0abc161.644.511.2
5.(
3 mm)
体积V 系统误差V 为： Vbcaacbabc
3mm
3
2.38(mm)2745.74(
) 立方体体积实际大小为：77795.70(3
)
VV 0Vmm
fff
22
222
limV()a()b()c abc
2 22 2()2()2
(bc)aacbabc
2
8.75( 3 mm)
测量体积最后结果表示为:
VV 0Vlim
V 3
(77795.703729.11)mm
3-4测量某电路的电流I22.5mA ，电压U12.6V ，测量的标准差分 别为I0.5mA ，V
U0.1
，求所耗功率PUI 及其标准差P。

P12.622.5283.5(mw)
UI
Pf(U,I)U 、I 成线性关系1
UI
ffff 22
22
()()2()(
) u I
PI
UI
UIU
f U
f
UIU
IU
I
I 80.130.112.60.5
6.(mw)
3—12按公式V=πr2h求圆柱体体积，若已知r约为2cm，h约为20cm，要使体积的相对误差等于1％，试问r和h测量时误差应为多少?
解：
若不考虑测量误差，圆柱体积为
Vr 2h3.14220251.2cm
23
根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：
1%
V
即V1%251.21%2.51
现按等作用原则分配误差，可以求出
测定r的误差应为：
12.511
r0.007cm
V/r1.412hr
2
测定h的误差应为：
12.511
h0.142cm
2
V/h1.41r
2
3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g)为428.6，429.2，2.39，430.8。

已知测量的已定系统误差2.6g,测量的各极限误差分
量及其相应的传递系数如下表所示。

若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。

极限误差／g
序号误差传递系数
随机误差未定系统误差
12.11
－
21.51
－
31.01
－
40.51
－
54.51
－
62.21.4
－
71.02.2
－
81.81
－
7.6429.2426.5430.8
x
4
2.40(g)428.8(g)
最可信赖值xx428.82.6431.4(g)
2
53
f1f
2
()e(
xx
i
x4
i1ii1i )
2
i
2
8.76(g)
测量结果表示为:xxx(431.44.9)g
第四章测量不确定度
4—1某圆球的半径为r，若重复10次测量得r±σr=(3.132±0.005)cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99％。

解：①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度
已知圆球的最大截面的圆周为：D2r
其标准不确定度应为：
u
2
D
r
2
r
22
2r 4 8.
2 2
2.4100
5
＝0.0314cm
确定包含因子。

查t分布表t0.01（9）＝3.25，及K＝3.25
故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：
U＝Ku＝3.25×0.0314＝0.102
②求圆球的体积的测量不确定度
圆球体积为：V
4
3
r
3
其标准不确定度应为：
u
V
r
2
2
r4r
2 2 2
r 16 8.771415
9
242
80.141320.005
50.11
确定包含因子。

查t分布表t0.01（9）＝3.25，及K＝3.25
最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U＝Ku＝3.25×0.616＝2.002
4-4某校准证书说明，标称值10的标准电阻器的电阻R在20C时为80.13129（P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属
于哪一类评定的不确定度。

由校准证书说明给定
属于B类评定的不确定度
R在[10.000742-129，10.000742+129]范围内概率为
99%，不为100%
不属于均匀分布，属于正态分布
a129当p=99%时，2.58
K
p
U R
a
K
p 129
9.
50()
4-5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由
三块量块研合而成，其尺寸分别是：l140mm，
l210mm
，
lmm，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过
32.5
2.42m 、0.30m、0.25m（取置信概率P=99.73%的正态分布），
求该量块组引起的测量不确定度。

L52.5mm l mm
140
l210mml32.5mm
Llllp99.73%K3
123p
a0.45 U0.15(m)
l
k3
1
p
a0.30 U0.10(m)
l
k3
2
p
a0.25 U0.08(m)
l
3
k3
p
U L UUU
l1ll
23
222
8.780.100.08
80.15(m)
第五章线性参数的最小二乘法处理 3xy2.9
x2y0.9
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

5-1测量方程为
2x 3y 1.9 v2.9(3xy) 1
误差方程为 v 0.9(x 2y)
2
v1.9(2x3y) 3
nnn
aaxaayal
i1i1i1i2i1i
列正规方程
i1i1i1 nnn
代入数据
得
aaxaayal
i2i1i2i2i2ii1i1i1
14x5y 13.4 5x14y4.6
解得
x y 10. 2.43
v 1
8.79(30.9620.015)0.001 将x 、y 代入误差方程式 v
2
80.16(0.96220.015)0.032 v 3
50.12(20.96230.015)0.021
测量数据的标准差为 n3 22 vv ii i1i10.038 nt32 14d5d1
1112
求解不定乘数
d d 1112 dd 2122
5d14d0
1112 14d5d0
2122 5d14d1 2122
解得d 11d0.082
22
x 、y 的精度分别为xd 110.01yd 220.01
x3y5.6,p1
1 5-7不等精度测量的方程组如下： 4x y8.1,p2
2 2x y0.5,p3
3
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

v5.6(x3y),p1
11
列误差方程 v 8.1(4xy),p2
22
v0.5(2xy),p3 33
333
paaxpaaypal
ii1i1ii1i2ii1i
正规方程为
i1i1i1
333
paaxpaaypal
ii2i1ii2i2ii2ii1i1i1 代入数据得
45xy62.2 x14y31.5
解得
x y 11. 2.44
v 1
8.80 将x 、y 代入误差方程可得 v 2 80.17
v 3 50.13016
3 p i v i
2 i1
则测量数据单位权标准差为0.039
32
45dd1
1112
求解不定乘数
d d 1112 dd 2122
d14d0 1112 45dd0
2122 d14d1 2122
解得
d 11
d 22
80.14 20.19
x、y的精度分别为0.006
xdyd220.010
11
第六章回归分析
6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。

对某种材料试验的数据如下：正应力x/Pa26.825.428.923.627.723.9
抗剪强度y/Pa26.527.324.227.123.625.9
正应力x/Pa24.728.126.927.422.625.6
抗剪强度y/Pa26.322.521.721.425.824.9
假设正应力的数值是正确的，求
（1）抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。

（2）当正应力为24.5Pa时，抗剪强度的估计值是多少？
（1）设一元线形回归方程
yb0bxN12
b l
l
x
y
x
x
l43.047l xy29.533
xx
b
y b x
x
1
12
12. 2.45
b l
xy
l
xx
8.81
80.18
50.14y
1
12
80.1520.207
7
b
1.80.6925.974
2.69
y?42.690.69x
（2）当X=24.5Pa
y?42.690.6924.525.79(Pa)
6-10用直线检验法验证下列数据可以用曲线
x yab表示。

x30354045505560
y-0.4786-2.188-11.22-45.71-208.9-870.9-3802 y xlog()log()log
abya
b x
Z1log(y)Z2x
取点做下表
Z230405060
Z1-0.321.052.323.58
以Z1与Z2画图
所得到图形为一条直线，故选用函数类型
x yab合适。