指数函数的概念及图像和性质

§3.指数函数的概念和图像

一. 教材分析：

有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图像以及研究指数函数的性质.

本节安排的内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如推广的思想、类比的思想、逼近的思想、数行结合的思想等.同时,体现数学的应用价值.

根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.

二. 学习分析：

刚从初中升入高一的学生,仍保留着初中生许多学习特点,能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段,但更注重形象思维.由于函数概念十分抽象,又以指数运算为基础,同时,初中函数教学要求降低,初中生运算能力有所下降,这双重问题增加了指数函数教学的难度.教师必须认识到这一点,教学中要控制要求的拔高,关注学习过程.

三. 教学目标：

1、知识与技能

(1).了解指数函数的概念和意义；

(2).会画2x

y=与

1

()

2

x

y=的图象；

(3).理解和掌握指数函数的图象；

(4).理解底数a对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小。

2、过程和方法：体会具体到一般的数学讨论方式及数形结合的思想；

3、情感、态度、价值观

(1).让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.

(2).培养学生观察问题，分析问题的能力.

四. 重点：

（1）指数函数底数a对图象的单调性影响；

（2）利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小

五．难点：

利用函数单调性比较指数幂的大小.

六. 教法与教具：

①学法：观察法、讲授法及讨论法.

②教具：多媒体.

七. 教学过程

讲授新课

（一）、问题引入：

（阅读材料）问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……依此类推，写出1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数解析式？

问题2： 公元前300年左右，中国有位杰出的学者庄子，在他的文章《庄子·天下篇》 中写道：一尺之棰，日取其半，万世不竭。意思是，一尺长的木棍，每天截掉一半，千年万载也截不完！设第 x 天截得的木棍长度为y 尺。根据这句话，试求x 与y 之间的函数关系。

解答：问题1、函数解析式为________ 问题2、函数解析式为_______ （思考探究） 思考：（1）当x 扩充到R 时，称作什么函数？

（2）这类函数与我们学过的函数 一样吗？有什么区别？

（二）、指数函数的概念

1.指数函数的定义：一般地，函数 （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中

x 是自变量，函数的定义域为R ．

(合作探究)注意：①x 是自变量且R ∈x ②规定底数a ＞０且a ≠１

③x

a 的系数是1 ④定义形式

例1.判断下列函数是不是指数函数，为什么？

2.为什么规定底数a ＞０且a ≠１呢？

（小组讨论）根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

①00

0,0x

x a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x

当时,等于若当时,无意义

②若a ＜0，如1(2),,8

x

y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存

在.

③若a =1, 11,x

y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足 的形式才能称为指数函数， 不符合

（思考交流）：确定一个指数函数需要几个条件？

（黑板演示）例2、指数函数f(x)的图像经过点（2，9），求解析式及f(1) , f(-2)

12y ,,x y x y x -===x

5

,,3,31x x x a y x y y +===+1x x

为常数,像y=2-3,y=2,(4)(5)2(6)2x

x

x

y x y y -===-(0,1)

x

y a a a =>≠且21(1)(2)2(3)x x

y x y y π+===

（三）、指数函数的图像：

我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图像，即用数形结合的方法来研究.

1、在同一直角坐标系中，先来研究a ＞1的情况，绘出y=2x 的图像；

再研究，0＜a ＜1的情况，绘出函数1

()2

x y =的图像。

从图中我们看出1

2()2

x x y y ==与的图像有什么关系?

2、在同一直角坐标系中画出1

3,()3

x x y y ==的函数图像.

3、（小组讨论）问题1：从画出的图像中，你能发现函数

的图像之间有什么关系？

（思考交流）问题2：从图上看x y a =（a ＞1）与x y a =（0＜a ＜1）两个函

数图像的单调性？

（小组成果展示）问题3：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图像间有什么样的关系？

（四）、指数函数的拓展应用

1、比较大小：

例3：比较下列两个数的大小

2.530.1

0.2(1)1.7 1.7(2)0.80.8--

1y

(0a 1)y ((0a 1)x x

a a a a =>≠=>≠且与且