第一章 质点运动学 问题与习题解答

第一章 质点运动学 问题与习题解答1-3 已知质点的运动方程为()()()r t x t i y t j =+，有人说其速度和加速度分别为drv dt=，22d r a dt =其中r =答：错。

因为2||||||()dr dx dy dx v v i j dt dt dt ===+=2||d x dr d r dt dt ==所以，drv dt≠同理，222222||||||()dv d x d y d x a a i j dt dt dt ===+=2222||d r d r dt dt ==故，22d ra dt≠。

1-6 一人站在地面上用枪瞄准悬挂在树上的木偶。

当击发枪机，子弹从枪口射出时，木偶正好由静止自由下落。

试说明为什么子弹总可以射中木偶？证明：选地面为参考系，以枪口处为坐标原点，如右图所示。

假设无重力加速度作用时，子弹直线飞行0t 时间后打中木偶A ，则其飞行时间为 00cos St v θ=，因g 的作用，0t 时刻子弹的位置矢量为 200012r v t gt =+， 又从图中可知，落地前木偶垂直下落的距离为 212l gt =，而其落到地面所需时间为1t =故只要01t t <，则在0t 时木偶距原来位置A 的位移为 2001()2l t gt = 正好处于与子弹相遇的位置（如图所示）。

【条件01t t <即0cos S v θ<0cos S v θ>， 所以，只要子弹在木偶落地前到达木偶原位置A 的正下方，子弹总能打到木偶。

】 1-9 下列说法是否正确：（1）质点做圆周运动时的加速度指向圆心； （2）匀速圆周运动的加速度为常量；（3）只有法向加速度的运动一定是圆周运动；x yv 0t 0gt 02/2Sr θPA（4）只有切向加速度的运动一定是直线运动。

答：质点做圆周运动时的加速度为 2t n dv v a e e dt R=+ 。

（1）错。

因为如果不是匀速率，即0dvdt≠，则加速度有切向分量，故加速度不指向圆心； （2）错。

匀速圆周运动时，2n v a e R=，因为n e 为动矢量，故加速度不是常矢量； （3）错。

质点只有法向加速度时，20,dv v a dt R==，其半径R 与a 的大小有关，如a 的大小不变则运动一定是圆周运动，否则就不是圆周运动；（4）对。

质点只有切向加速度时，20n n v a e R==，如0v ≠则要求R →∞，所以其运动一定是直线运动。

1-13 如果有两个质点分别以初速10v 和20v 抛出，10v 和20v 在同一平面内且与水平面的夹角分别为1θ和2θ。

有人说，在任意时刻，两质点的相对速度是一常量。

你说对吗？答：对。

若任意时刻t 两质点的速度分别为1v 和2v ，则有110220 = ,=v v gt v v gt ++，所以在t 时刻，两质点的相对速度为212010 =v v v v --，是一常量。

（选择题）1-7一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图1-2所示。

设t=0时，x=0。

试根据已知的v-t 图，画出a-t 图以及x-t 图。

解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，其相应的加速度和位置分别为： AB段，匀加速直线运动 20,20,0A A t v m s x -==-⋅=；21()()20B A B A a v v t t m s -=--=⋅，2211120102A A x x v t a t t t =++=-+； （110Av tv dv a dt =⎰⎰110()x tA dx v a t dt =+⎰⎰）BC段，匀速直线运动 22,0,20B B t s x v m s -===⋅；2())0C B C B a v v t t =--=，2()20(2)B B B x x v t t t =+-=-； （2BBx tB x t dx v dt =⎰⎰）CD 段，匀减速直线运动 24,20,40C C t s v m s x m -==⋅=；23()()10D C D C a v v t t m s -=--=-⋅2331()()2C C C C x x v t t a t t =+-+- 即：23560120x t t =-+-；【33CCv tv t dv a dt =⎰⎰，33()6010C C v v a t t t =+-=-，33[()]CCx tC C x t dx v a t t dt =+-⎰⎰ 】描点作图如上图所示。

1-9 质点的运动方程为 21030x t t =-+ 21520y t t =- 式中x,y 的单位为m ，t 的单位为s 。

试求：（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方向。

解：质点在Oxy 平面内的运动方程：21030x t t =-+ 21520y t t =-（1）、在t 时刻质点的速度分量分别为：1060x dxv t dt==-+ 1540y v t =- 在最初时刻t=0，所以1010(.)x v m s -=-，1015(.)y v m s -=故初速度的大小为：1018.0(.)v m s -==，其与x 轴的夹角为：03arc arc ()123412y xo v tgtg v α'==-=； （2）、在t 时刻质点的加速度分量分别为：V/(m.s -1)t/s246020-20a/(m.s -2)t/s24620-10x/mt/s 64260-10A BCD260(.)x x dv a m s dt-== 240(.)y y dv a m s dt -==- a 为恒矢量，其大小为：272.1()a m s -==⋅a 与x 轴的夹角为：2arc arc ()3341[32619]3yx a tgtg a β''==-=-1-12 地面上垂直竖立一高20.0m 的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方，求在下午2.00时，杆顶在地面上影子速度的大小。

在何时刻杆影将伸展至20.0m ？ 解：（太阳光线对地的转动角速度等于地球自转的角速度）设太阳光线对地转动的角速度为ω，选正午时分0t =，t 时刻时杆的影子长为：l h tg t ω=⋅（式中h 为杆的高度），杆顶在地面上的影子的速度大小为： 2v dl dt h t ωω==x（1）、下午2时正，7200t s =，代入上式，得此时影子的速度为：312 1.9410v m s --=⨯⋅（2）、当l h =时， 11246060arc 36060424l t tgs h ππωωπ⨯⨯==⋅=⋅=⨯⨯，（下午3时正） 1-16 一质点在半径为R 的圆周上以恒定的速率运动，质点由位置A 运动到位置B ，OA 和OB 所对的圆心角为θ∆。

（1）试证A 和B位置之间平均加速度为2/()a R θ=∆；（2）当θ∆分别等于090,30,10和01时，平均加速度各是多少？并对结果加以讨论。

解：（1）由平均加速度的定义 va t∆=∆ 得A 和B 位置之间平均加速度为 21v v v a t t-∆==∆∆ 其大小为 21v v v a t t∆-==∆∆由右图可知：2211v v v v ∆=-=+=s R st v v∆∆∆== 所以A 和B 位置之间平均加速度的大小为：A B OV 2V 1∆θ0212/()v v a R tθ-==∆∆ （2）将θ∆的数值代入上式，得不同角度时的平均加速度大小分别为2290/()0.900312v a R R π== 2230)/()0.988606v a R R π== 2210/()0.9986618v a R R π== 221)/()0.99899180v a R Rπ== 表明当0θ∆→时，匀速率圆周运动的平均加速度趋向于一极限值，即匀速率圆周运动的法向加速度2n a v R =。

1-25 一无风的下雨天，一列火车以1120.0v m s -=⋅的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂直线成075角下降。

求雨滴下落的速度2v 。

（设下降的雨滴作匀速运动） 解：选地面为静止参考系，火车为动参考系，则雨滴的速度为： v v u '=+ （如右图所示）1120.0()u v m s i -==⋅ x y v v i v j '=+10x x v v v '=+=（无风，雨滴竖直下落） 1y y v v '= 16575yxv tg ctg v '==-' 故解得：11755.36()xyyv v i v j v jv c t g j m s j-=+===⋅ 1-26 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为1v ，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ角，速率为2v 。

若车后有一长方形物体，问车速1v 为多大时，此物体正好不会被雨水淋湿？ 解：如图所示,选雨点为研究对象,地面为S 系,汽车为S '系,设雨点在S '系中的速度为2V ',ϕθv 2v 2v xy o则有：221V V V '=+，写成,x y 轴分量的形式：122sin sin V V V θϕ'=⋅+⋅，22cos cos V V θϕ'⋅=⋅，V 1(u)V V 'oxy750解出：122sin arc cos V V tgV θϕθ-⋅=⋅；又因 arc ltg h ϕ≥，所以有：122sin cos V V l V h θθ-⋅≥⋅， 即 212cos sin lV V V hθθ⋅≥⋅+。