高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解

高中数学坐标系与参数方程习题及详解

一、选择题

1．(2010·湖南文，4)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－1－t

y ＝2＋t

(t 为参数)所表示的图形分别是( )

A ．直线、直线

B ．直线、圆

C ．圆、圆

D ．圆、直线 [答案] D

[解析] 由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2－x ＝0.此方程所表示的图形是圆．

消去方程⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－1－t

y ＝2＋t 中的参数t 可得，x ＋y －1＝0，此方程所表示的图形是直线．

2．(2010·北京市延庆县模考)下列参数方程(t 为参数)中，与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t y ＝t 2

B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝tan 2t y ＝tan t

C.⎩⎨⎧ x ＝t

y ＝|t |

D.⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝tan t y ＝tan 2t [答案] B

[解析] 将t ＝x 代入y ＝t 2得，y ＝x 2，故A 错，将tan t ＝y 代入x ＝tan 2t 中得，x ＝y 2，∵tan t ∈R ，故B 正确，C 、D 容易判断都是错的．

[点评] 注意C 中⎩⎨⎧

x ＝t

y ＝|t |

，消去t 得y ＝|x |，平方得y 2＝|x |，∵y 2≥0限定了x 的取值必须非负，∴y 2＝x ，

但由于y ＝|x |，故它必须满足y ≥0，而y 2＝x 中的y ∈R .

3．将曲线y ＝1

2sin3x 变为y ＝sin x 的伸缩变换是( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x ′y ＝12y ′

B.⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x ′y ＝2y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝3x

y ′＝2y [答案] D

5．(2010·安徽合肥六中)已知圆C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－1＋cos α

y ＝1＋sin α

(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( ) A.13 B.15 C ．－13 D ．－1

5 [答案] D

[解析] ⊙O 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C (－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－15

.

6．(2010·重庆一中)曲线

x 2＋y 2＝4

与曲线⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－2＋2cos θ

y ＝2＋2sin θ(θ∈[0,2π))关于直线l 对称，则l 的方程为( )

A ．y ＝x －2

B ．y ＝x

C ．y ＝－x ＋2

D ．y ＝x ＋2

[答案] D

[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心C (0,0)，

圆⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－2＋2cos θy ＝2＋2sin θ

，θ∈[0,2π)的圆心O (－2,2)， ∵⊙O 与⊙C 关于直线l 对称，∴l 为线段OC 的中垂线， ∵k OC ＝－1，∴k l ＝1，

∴l 方程为：y －1＝x －(－1)，即y ＝x ＋2. 二、填空题

7．(2010·广东罗湖区调研、中山市、惠州一中模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．

[答案] ρcos θ＝3

[解析] 解法一：圆ρ＝6cos θ的圆心极坐标(3,0)，

∴直线l 方程为ρcos θ＝3.

解法二：由ρ2＝6ρcos θ得x 2＋y 2＝6x ，圆心C (3,0)，

∴过圆心垂直于极轴(即x 轴)的直线方程为x ＝3，其极坐标方程为ρcos θ＝3.

[点评] 1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形式是基本方法，故应熟记互化公式．

2．掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要．

8．(2010·广东佛山顺德区质检)若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋2t y ＝－1－t (t 为参数)被曲线⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋3cos θ

y ＝1＋3sin θ(θ为参数)所截，则截得的弦的长度是________．

[答案]

65

5

[解析] 直线⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－1＋2t

y ＝－1－t 化为x ＋2y ＋3＝0；

圆⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋3cos θ

y ＝1＋3sin θ化为(x －1)2＋(y －1)2＝9， 圆心C (1,1)到直线x ＋2y ＋3＝0距离d ＝655，半径r ＝3，

∴弦长为2r 2－d 2＝65

5

.

9．以椭圆x 225＋y 2

16＝1的焦点为焦点，以直线⎩⎨⎧

x ＝2t y ＝4t 为渐近线的双曲线的参数方程为________________．

[答案] ⎩⎨⎧

x ＝sec θy ＝22tan θ

(θ≠k π＋π

2)

[解析] ∵椭圆的焦点(±3,0)，∴双曲线中c ＝3，

又直线⎩

⎨⎧

x ＝2t

y ＝4t 化为y ＝22x ，它是双曲线的渐近线，

∴b

a

＝22，∴a 2＝1，b 2＝8，∴a ＝1，b ＝22， ∴双曲线的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝sec θy ＝22tan θ

(θ≠k π＋π

2)．

10．(2010·惠州质检)直线⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3＋t cos230°

y ＝－1＋t sin230°(t 为参数)的倾斜角是________．

[答案] 50°

[解析] 解法一：当x ≠3时，⎩

⎪⎨⎪⎧

x －3＝t cos230°y ＋1＝t sin230°⇒y ＋1

x －3＝tan230°＝tan(180°＋50°)＝tan50°，

∴直线倾斜角是50°.

解法二：方程化为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3－t cos50°

y ＝－1－t sin50°，

∴倾斜角为50°.

11．(2010·江门市质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＝cos θy ＝sin θ＋m (m 是常数，θ∈(－

π，π]是参数)，若曲线C 与x 轴相切，则m ＝________.

[答案] ±1

12．(2010·广东玉湖中学)椭圆⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3cos θ

y ＝4sin θ的离心率是________．

[答案]

7

4

14．(2010·惠州质检)在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π

4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为______． [答案] ρcos θ＝2 三、解答题

15．(2010·江苏盐城调研)以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(两种坐标系中取相同的单位长度)，已知点A 的直角坐标为(－2，6)，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π

2，直线l 过点A 且倾斜角为π

，圆C 以点B 为圆心，4为半径，试求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程．