初等数学研究 代数部分 第二章 多项式的 因式分解

f (x1, x2 , , xi , , x j , , xn ) f (x1, x2, , x j , , xi , , xn ) ，
则称这个多项式是交代式．
比如 x y ， x2 y2 ， x3 y3 ，都是交代式．
交代式一定含有因式
(xi xj ) ．
1i jn
例 5 分解因式 x4 ( y z) y4 (z x) z4 (x y) ． 解 这是一个三元五次齐次交代式，则必有因式(x y)( y z)(z 3B) 0 ， f (1,1,1) 3A B 4 ．
解得 A 1， B 1，
∴ f (a,b, c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) ．
特别地，若 a b c 0 ，则 a3 b3 c3 3abc ．
例 3 分解因式 x4 y4 (x y)4 ．
补充：多项式的结构 拉格朗日插值公式 设 f (x) 为次数不超过n 的多项式， xi 互不相同，
i 1, 2, , n 1 ，且 f (xi ) yi ，则
f
(x)
y1
(x x2 )(x x3) (x1 x2 )(x1 x3 )
(x xn1) (x1 xn1)
y2
(x x1)(x x3 ) (x2 x1)(x2 x3 )
2[(x y)2 xy]2
2 (x2 xy y2 )2 ．
例4
已知 x1 x2
x3
0 ，求证
x15
x25 5
x35
x13
x23 3
x33
x12
x22 2
x32
分析 由 x1 x2 x3 0 ，得 x13 x23 x33 3x1x2 x3 以及
x12 x22 x32 (x1 x2 x3 )2 2x1x2 2x2 x3 2x3x1 2(x1x2 x2 x3 x3x1)
注 将 x3 6x2 11x 6 写成(x 1) 的方幂的形式，
1 6 11 6 1
1 5 6
156 0
常数项
1 4
14 2
一次项系数
1
13
二次项系数
1
原式 (x 1)3 3(x 1)2 2(x 1) ；
又如将 x3 6x2 11x 6 写成(x 1) 的次幂形式，
1 6 11 6 1 1 7 18
则称这个多项式为轮换式． 注 对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称
式．如 (x2 y y2z z2x) 是轮换式，但不是对称式；
(a b)(b c)(c a) 既是对称式又是轮换式．
轮
对称式
换
式
例 7 因式分解 ( y z)3 (z x)3 (x y)3
解 这是一个轮换式．
∴ (x13 x23 x33 )(x12 x22 x32 ) x15 x25 x35 x12 x22 (x1 x2 ) x22 x32 (x2 x3 ) x32 x12 (x3 x1) x15 x25 x35 x1x2 x3 (x1x2 x2 x3 x3x1)
xn1xn ，
n x1x2 xn ，
1 ， 2 ，…， n 为基本对称多项式．
例 1 分解因式 (x y)5 x5 y5 ．
解 这是一个五次齐次对称式．
令 x 0， f (x, y) 0 ，有因式 x ，由对称性知，有因式 y ． 令 x y ， f (x, y) 0 ，有因式 x y ．
又如 x2 3x 2 与 x2 1均找不到那样的 p ．
关于后一个问题，结果： ⑴ 在C 中，无通用方法； ⑵ 在Q 中，有通用方法（克劳内格方法）．
二、对称式、轮换式、交代式因式分解
1. 对称式
定义 1 对于n 元多项式 f (x1, x2 , , xn ) 在任意交换两个变数 xi 与 x j 后，如果恒有
(x xn1) (x2 xn1)
yn1
(x x1)(x x2 ) (xn1 x1)(xn1 x2
)
(x xn ) . (xn1 xn )
一、分解因式的理论问题 1. 如何判断一个多项式可约？ 2. 如果多项式可约，应如何分解？ 关于前一个问题，结果：
⑴ 在复数域 C中，只有一次式是不可约的，例如 x7 1 (x 1)(x 1)(x 2 ) (x 5 )(x 6 ) ．
⑷ 原式 (a 1)2 x4 2(a 1)x2 y2 y4 4x2 y2 [(a 1)x2 y2 ]2 (2xy)2 [(a 1)x2 y2 2xy][(a 1)x2 y2 2xy] ．
⑸ 原式 (a2 ab b2 )2 4ab(a2 2ab b2 ) (a2 ab b2 )2 4ab(a2 ab b2 ) 4a2b2 (a2 3ab b2 )2 ．
⑵ 在实数域 R中，只有一次式和某些二项式 ax2 bx c 0
( b2 4ac 0) 是不可约的，例如 x2 2 (x 2)(x 2) ，
x3 1 (x 1)(x2 x 1) .
(3)在有理数域 Q中，有任意次不可约多项式高代里有艾森斯坦
（Eisenstein）判别法（充分而不必要条件）
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
是一个整系数多项式，若能找到一个素数 p ，使
① p an ， ② p | an1 ， p | an2 ，…， p | a0 ， ③ p2 a0 ，
则 f (x) 在有理数域Q 上不可约．
如 x3 4x2 2x 2 不可约（∵ 2 1 ，2 | 4 ， 2 | 2 ， 2 | 2 ，22 | 2 ），
例 8 因式分解
⑴ x2 (x 1)2 (x2 x)2 ； ⑵ a8 a4b4 b8 ； ⑶ x4 (x 1)2 4x3 y2 4 y4 ； ⑷ (a 1)2 x4 2(a 1)x2 y2 y4 ； ⑸ (a2 ab b2 )2 4ab(a b)2 ； ⑹ x5 x 1； ⑺ x3 6x2 11x 6 ．
解 这是一个三元齐次对称式．
令 a (b c) ，有
f (a,b, c) (b c)3 b3 c3 3(b c)bc 0 ，
∴ f (a,b, c) 含有因式 (a b c) ． 令 f (a,b, c) (a b c)[ A(a2 b2 c2 ) B(ab bc ca)]，由
⑹ 原式 x5 x2 x2 x 1
x2 (x3 1) x2 x 1
x2 (x 1)(x2 x 1) (x2 x 1)
(x3 x2 1)(x2 x 1) ．
⑺ 原式 (x 1)(x2 5x 6) (x 1)(x 2)(x 3)
1 6 11 6 1 1 5 6
1560
∴ (x y)5 x5 y5 xy(x y)[ A(x2 y2 ) Bxy] ， f (1,1) 30 ， f (2, 1) 30 ， 解得 A B 5．
∴ (x y)5 x5 y5 5xy(x y)(x2 xy y2 ) ．
例 2 分解因式 a3 b3 c3 3abc ．
f (x1, x2 , , xi , , x j , xn ) f (x1, x2, , x j , , xi , xn )
则称这个多项式是对称式． 如 a2 b2 c2 3abc 是对称式．
1 x1 x2 xn ，
2 x1x2 x1x3
……
x1xn x2 x3
x2 xn
1 7 18 24 18
1 8 26 1
19 1 原式 (x 1)3 9(x 1)2 26(x 1) 24 ．
以 x3 6x2 11x 6 =0的根减去1的差为根构造一个三次方程为
x3 9x2 26x 24 0
x15
x25
x35
x13
x23 3
x33
x12
x22 2
x32
令 x13 x23 3
x33
x12
x22 2
x32
A ，则6A
x15
x25
x35
A，
∴ A x15 x25 x35 ．所以得证． 5
2. 交代式
定义 2 设 f (x1, x2 , , xn ) 是 n 元多项式，如果对于任意的i, j ，1 i j n ，都有
解 ⑴ 原式 x2 x2 2x 1 (x2 x)2 (x2 x)2 2(x2 x) 1 (x2 x 1)2 ．
⑵ 原式 (a4 b4 )2 a4b4 (a4 b4 a2b2 )(a4 b4 a2b2 ) ．
⑶ 原式 x4 (x 1)2 4x2 (x 1) y2 4 y4 4x2 y2 [x2 (x 1) 2 y2 ]2 (2xy)2 [x2 (x 1) 2 y2 2xy][x2 (x 1) 2 y2 2xy] ．
解 这是一个二元齐次对称式．
∵ x4 y4 (x y)4 4x3 y 6x2 y2 4xy3
(x y)4 4xy(x2 2xy y2 ) 2x2 y2 (x y)4 4xy(x y)2 2x2 y2 ，
∴ 原式 2[(x y)4 2xy(x y)2 x2 y2]
令 f (x, y, z) (x y)( y z)(z x)[A(x2 y2 z2 ) B(xy yz zx)] ，
比较 x4 y 的系数，得 A 1；比较 x3 y2 的系数，得 A B 0 ，从而 B 1．
∴ f (x, y, z) (x y)( y z)(z x)(x2 y2 z2 xy yz zx) ．
的系数，得 E 0 ；比较 x3 y 的系数，得 F 1；比较 x2 y 的系数，得 G 0 ． ∴ f (x, y, z) (x y)(y z)(z x)(xyz x y z) ．
3. 轮换式
定义 3 如果在 f (x1, x2 , , xn ) 中将变数字母进行轮换，有
f (x1, x2 , , xn ) f (x2, x3, xn , x1)
当 x y 时，原式 0 ，说明 f (x, y, z) 有因式(x y) ． 又其为轮换式，故 f (x, y, z) 有因式(x y)( y z)(z x) ． 设 f (x, y, z) A(x y)( y z)(z x) ，比较系数，得 A 3 ， ∴ f (x, y, z) 3(x y)(y z)(z x) ．