材料力学第十二章-求变形的能量法

§12–1 杆件变形位能的计算 Calculating Potential Energy of Component Deformation
一、条件 大前提：1、小变形； 2、服从郑玄—胡克定律 线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线
性函数
小前提：缓慢加载 变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能）
2、积分求变形位能 U 3、W = U，求出位移
例12.2 同上三个要点
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六、引向卡氏定理 例12.1 例12.1
后面的偏微分关系是巧合，还是必然？ 实际是卡氏定理
说明要善于发掘更本质的东西
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例 半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅
垂力P的作用，求A点的垂直位移（备用题）
解：用能量法（外力功等于应变能）
我得到另一结论，因 所以
当
二、使用卡氏定理的注意事项
① U —— 整体结构在外载作用下 的线弹性变形能
② Pi 视为变量，结构反力和变形 能等都必须表示为Pi 的函数
③ i 为 Pi 作用点沿 Pi 方向的变形
例 求等截面直梁C点的挠度
A a
P C
a
解：
B
f
应用对称性得
思考：分布荷载时求 C 点位移？ q
功能原理 卡氏定理
单个集中载荷 无法补救 1.积分求变形能
方向的位移
2.求外力功
多种载荷中, 任 任意位移
一集中载荷方向
( 给出虚载 荷P，最后
ຫໍສະໝຸດ Baidu的位移
令P= 0 )
1.积分求变形能 2.求偏导数
莫尔定理
任意位移
积分求交互能量
注：卡氏定理求含参数积分，再求导；
莫尔定理是纯数值积分；
所以莫尔定理计算量小
3 虚功的计算 外力：P1, P2,……,
虚位移：a1, a2,……., 外力虚功：
We=P1a1+P2a2+…….. 内力虚功：
内力：N, M,… 虚变形：
由 We=Wi
虚功原理是最一般的功能原理 对于梁，施加单位力P=1, 力P产生的内力
则有：
莫尔定理
小结： 1 变形位能的概念 2 卡氏定理 3 莫尔定理 4 互等定理 5 虚功原理
2
③变形
A x a
q
C a
BA
P0 =1
B
C
a
a
对称性
④求转角，重建坐标系（如图）
q
A
B
C
a
a
x1 A
a
x2
MC0=1 B C
a
a M ( x)M0 ( x) dx
0( AB)
EI
a M ( x)M0 ( x) dx
0( BC)
EI
各种方法比较
方 法 应 用 范 围 补救范围 计 算 量
坐标原点取直线与 轴的交点
对原点的形心坐标 对应弯矩 的值
的面积
§12–5 互等定理 Reciprocal Theory
1、 功的互等定理（ Reciprocal Theory of Work）
P1
P2
1
2
1
2
f11
f21
f12
f22
功的互等定理
2、 位移互等定理（ Reciprocal Theory of Displacement）
微元 dx 上扭矩T(x)做功
3.弯曲杆的变形能计算
微元 dx 上弯矩M(x)做功
四、变形能的普遍表达式 1、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直,相互不做功 2、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力
的影响）
U
N 2(x)dx
T 2(x)dx
M 2(x) dx
L 2EA
35
例 12.4 [P357] 梁、刚架
例 12.5 [P359] 杆、桁架
例 12.6 [P360] 实质是刚架
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§12–4 计算莫尔积分的图乘法 Multiplicative Graph Method for Calculating Mohr Integration
为了简化Mohr积分计算 在单位力作用下， 是一条直线
作业：12.19, 12.20
L 2GIP
L 2EI


2 n
(
x)dv

2(x)dv

2 w
(
x)dv
L 2E
L 2G
L 2E
内力表达的变形位能 应力表达的变形位能
结论
1. 变形位能是状态函数
（同最终的力和变形有关）
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2. 变形位能的计算不能用叠加原理
如何解释交叉项？ 单独作用时 则
交叉项是两个载荷相互作用的外力功 〈解释1〉
③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功 的量纲
④ M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标 系可自由建立
⑤ 莫尔积分必须遍及整个结构
例 求等截面直梁C点的挠度和转角（例 12.3 [P356]）
q
A
BA
P0 =1
B
xC
a
a
C
a
a
解：①画单位载荷图 ②求内力 M ( x) aqx qx2
用揭示本质法寻根 —— 能量法
质 点 力 学
挠
曲
能量方法？
线
本章就寻找能量方法，用于求位移
优点：
1. 不管中间过程，只算最终状态
2. 能量是标量，容易计算
3
内容
§12–1 杆件变形位能的计算 §12–2 卡氏定理 §12–3 莫尔定理 §12–4 计算莫尔积分的图乘法 §12–5 互等定理 §12–6 虚功原理
功的互等定理中 f12
不位是移，P或1 发叫生虚的位位移移，只是位置1处的一种可能
对于刚体：约束条件许可的无限小位移
对于变形体：约束条件和变形协调条件许可的 无限小位移
2、 虚功原理
对于刚体： 平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚 功之和为零
对于变形体： 平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚 功恒等于内力在虚变形上的虚功（虚变形位能）
普遍形式的莫尔定理
A
N (x)N0(x)dx L EA
T (x)T0(x)dx L GIP
M (x)M0(x)dx L EI
三、使用莫尔定理注意事项
① M(x) —— 结构在原载荷（实载荷）下的内力
② M0 —— 沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 （虚载荷）时结构产生的内力
§12–3 莫尔定理 Mohr Theory
q(x)
A
在实载荷下得到
相应内力如弯矩为M(x)
如何计算任一点A的位移？ 1、 在A点加虚单位力
2 、计算 实、虚载荷交互的变形能
求任意点A的位移 f A
q(x) A
fA
弯矩 M ( x )
弯矩
前面讲变形能不能迭加的交互项
P0=1 A
因P0 = 1
莫尔定理(单位力法)
载荷
在载荷
引起的位移上做的功
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〈解释2〉
载荷 在载荷 移上做的功
引起的位
注意：1.载荷交互作用作功，不同于自力做功是 变载由零一点一点增大，而是常力做功
2.实质是虚功原理
3.因
，也包含互等定理
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五 利用功能原理求位移
根据外力功 W 全部转成变形位能 U W=U
可以求出一个集中力下的位移
例12.1 [P352] 要点： 1、求出截面内力函数（弯矩、扭矩等）
例 求A 点的挠度
P EI
A LxO
解： ①求弯矩 ②求变形能
③变形
思考：如何求 A 点转角
a A
P 例 用卡氏定理求B点的挠度
BC
解：B点加一个力Q 最后令Q = 0
L x1
①求弯矩
O
x
f
②求变形能
③变形
实际引向了Mohr定理
原载荷和虚载荷各自对应的变形能不必计算 只需计算二者交互的变形能
前面的两个思考题也可以这样解
①求内力
MN
P
A
j
N
P R
A
B
T
MT
Q
A
②变形能 ③外力功等于应变能
§12–2 卡氏定理 Castigliano Theory
设法推导出（不是简单的证明）
推导的出发点
只有第 i 号外力有增量
当 即卡氏定理
意大利工程师 — 阿尔伯托·卡斯提格里安诺 (Alberto Castigliano， 1847～1884)
子曰： 好学近乎知， 力行近乎仁， 知耻近乎勇。
知斯三者，则知所以修身。 知所以修身，则知所以治人。 知所以治人，则知所以治天下国家矣。
《中庸》
第十二章 求变形的能量方法
Energy Method for Calculating Deformation
前面解决了强度问题（简单变形——组合变形） 刚度问题怎么办？ 1、能否避免组合变形的微分方程？ 2、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线
二、变力做功—贮能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为变形位能U，
贮存于弹性体内部： U = W
P 广义力（力，力偶）
广义位移（线，角位移
P
）


d 进而计算可变形固体的位移、变形和内力，称
为能量方法
三、杆件变形能的计算 1.轴向拉压杆的变形能计算
微元 dx 上轴力N(x)做功
2.扭转杆的变形能计算
对于 P1 f12 P2 f21
如果
则有
位移互等定理，又叫Maxwell位移互等定理
书上讲法的缺点； 功的互等定理 —— 神秘色彩 位移互等定理 —— 先验论
例题12.15，P377
§12–6 虚功原理 Principle of Virtual Work
1 虚位移
P1 f12 P2 f21