微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题详解

第三章

习题3-1

1． 设s =

12gt ２，求2

d d t s t

=．

解：

2

222

1

214

()(2)2lim lim 22

t t t g g ds

s t s dt t t t →→=-⨯-==-- 2

1

lim

(2)22

t g t g →=+= 2． 设f (x )=

1

x

，求f '(x 0) (x 0≠0)． 解：1

211()()()f x x x x

--'''===

0020

1

()(0)f x x x '=-

≠ 3．（1）求曲线2

y x =上点（2，4）处的切线方程和法线方程； （2）求过点（3，8）且与曲线2

y x =相切的直线方程； （3）求x

y e =上点（2，2

e ）处的切线方程和法线方程； （4）求过点（2，0）且与x

y e =相切的直线方程。

解：略。

4． 下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：

(1) 0

lim

x ∆→00()()

f x x f x x

-∆-∆=A ;

(2) f (x 0)=0, 0

lim

x x →0()

f x x x

-＝A ； (3) 0lim

h →00()()

f x h f x h h

+--=A ．

解：(1)0000000()()[()]()

lim

lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x

→-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=- (2)

00000

()()()

lim

lim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---

0()A f x '∴=-

(3)

000()()

lim

h f x h f x h h

→+--

00000[()()][()()]

lim h f x h f x f x h f x h

→+----=

000000()()[()]()

lim lim

h h f x h f x f x h f x h h

→-→+-+--=+- 000()()2()f x f x f x '''=+= 02()A f x '∴=

5． 求下列函数的导数：

(1) y ；(2) y

；(3) y 3

2

2

5

x x

．

解：(1)

1

2

y x x ==

112

21()

2y x x -''∴=== (2)

2

3

y x

-

=

225

13

33

22()33y x x x ----''∴==-=-=

(3)

2

152

3

6

2

y x x x

x -==

156

6

1()6y x x -''∴===

6． 讨论函数y x =0点处的连续性和可导性． 解：

30

lim 0(0)x x f →==

000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→--===∞-

∴函数y =

0x =点处连续但不可导。

7． 试由倒数定义，证明：若f (x )为可导的奇（偶）函数，则f ′(x)是偶（奇）函数。 证：

()f x 为偶函数

()()f x f x ∴-=

00()(0)()(0)

(0)lim lim

00

x x f x f f x f f x x →→---'∴==-- 0()(0)

lim (0)0

x f x f f x →--'=-=---，即2(0)0f '=

故(0)0f '=

8． 求下列函数在x 0处的左、右导数，从而证明函数在x 0处不可导：

(1) y ＝03

sin ,0,0,0,x x x x x ≥⎧=⎨

<⎩； (2) y =021,

1,1,

x x x x ≥=<⎪⎩． 解：(1)

3

2

000()(0)0(0)lim lim lim 00x x x f x f x f x x x

---

-→→→--'====- 0

0()(0)sin 0

(0)lim lim 10x x f x f x f x x

+

++→→--'===- (0)(0)f f -+''∴≠ ∴函数在0x =处不可导。 (2)

2

111()(1)1

(1)lim lim lim(1)211

x x x f x f x f x x x ---

-→→→--'===+=--

1

11()(1)11

(1)lim lim lim 112x x x f x f f x x +

+++→→→-'====

-- (1)(1)f f -+''∴≠

∴函数在1x =处不可导。

9． 设函数

f (x )= 2,1,, 1.

x x ax b x ⎧≤⎨+>⎩

为了使函数f (x )在x =1点处连续且可导，a ，b 应取什么值?

解：为使()f x 在1x =处连续，必须(10)(10)(1)f f f -=+=， 1

1

(10)lim ()lim()x x f f x ax b a b ++

→→+==+=+ 2

1

1

(10)lim ()lim 1x x f f x x --

→→-===，(1)1f = 11a b b a ∴+=∴=- (1) 为了使()f x 在1x =处可导，必须(1)(1)f f +-''= 1

11()(1)1(1)lim lim lim 11

1x x x f x f ax b ax a

f a x x x +

+++→→→-+--'====---