第五章抽样分布
曾五一《统计学导论》(第2版)配套题库【课后习题】第五章 抽样分布与参数估计 【圣才出品】
A．是不可避免要产生的 B．是可以通过改进调查方法消除的
C．是可以事先计算的
D．只有调查结束之后才能计算
【答案】AC
【解析】抽样误差是由于抽样的随机性引起的样本结果与总体之间的误差。抽样误差是
一种随机性误差，只存在概率抽样中，在概率抽样中，抽样误差是不可避免的。但是，用大
数定律的数学公式，是可以事先计算的。
构造的统计量
X S
服从 t n
1
，则置信区间为：
X
t /2
n
1
S n
n
样本均值
X
=12.09，样本标准差
S2 n 1
S
2 15
=0.005，
S15
=0.0707
SX =
S =0.0707/ n
16 =0.0177， t0.025
15
2.131
△= t /2 n 1
S n
=0.0177 2.131=0.038
5．某微波炉生产厂家想要了解微波炉进入居民家庭生活的深度。他们从某地区已购买 了微波炉的 2200 个居民户中用简单随机不还原抽样方法以户为单位抽取了 30 户，询问每 户一个月中使用微波炉的时间。调查结果依次为（单位：分钟）
【答案】A
【解析】 E z 2
，根据公式可知，如果极限误差缩小为原来的二分之一，则在其
n
他条件不变的情况下，样本容量扩大为原来的 4 倍。
4．当样本单位数充分大时，样本估计量充分地靠近总体指标的可能性趋于 1，称为抽 样估计的（ ）。
A．无偏性 B．一致性 C．有效性 D．充分性 【答案】B 【解析】一致性是指随着样本容量不断增大，样本统计量接近总体参数的可能性就越来 越大，或者，对于任意给定的偏差控制水平，两者间偏差高于此控制水平的可能性越来越小， 接近于 0。用公式表示就是
第5章--抽样分布与参数估计教案资料
(5)
(5.5)
(6)
(6.5)
(7)
(7.5)
(8)
(8.5)
(9)
9
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
9,10
(5)
(5.5)
(6)
(6.5)
(7)
(7.5)
(8)
(8.5)
(9)
(9.5)
10
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
10,10
数是 ，标准差是 ，从这个总体中抽出一 个容量是 n 的样本，则样本平均数 X 也服从 正态分布，其平均数 E( X ) 仍为 ，其标准
差为 。 X 5-19
从正态分布的再生定理可以看出，只要总体 变量服从正态分布，则从中抽取的样本，不管n 是多少，样本平均数都服从正态分布。但是在 客观实际中，总体并非都是正态分布。对于从 非正态分布的总体中抽取的样本平均数的分布 问题，需要由中心极限定理来解决。
第5章--抽样分布与参数估计
第一节 抽样的基本概念与数学原理
一、有关抽样的基本概念 二、大数定理与中心极限定理
5-2
一、有关抽样的基本概念
（一）样本容量与样本个数 1.样本容量。样本是从总体中抽出的部分
单位的集合，这个集合的大小称为样本容量， 一般用n表示，它表明一个样本中所包含的单 位数。
lim
n
1 n
p
n
i 1
X
i
1
(5.5)
5-17
大数定理表明：尽管个别现象受偶然因 素影响，有各自不同的表现。但是，对总体 的大量观察后进行平均，就能使偶然因素的 影响相互抵消，消除由个别偶然因素引起的 极端性影响，从而使总体平均数稳定下来， 反映出事物变化的一般规律。
曾五一《统计学导论》配套题库【章节题库】第五章 抽样分布与参数估计 【圣才出品】
12．样本均值的抽样标准差 x ，（ ）．
A．随着样本量的增大而变小 B．随着样本量的增大而变大
5 / 30
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
C．与样本量的大小无关
D．大于总体标准差
【答案】A
【解析】根据样本均值的抽样分布可知，样本均值抽样分布的标准差 x
D．服从 2 分布
【答案】B
【解析】当 n 比较大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。题中 n 36 30 为
大样本，因此样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
5．估计量的含义是指（ ）。 A．用来估计总体参数的统计量的名称
2 / 30
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第五章 抽样分布与参数估计
一、单项选择题 1．抽样分布是指（ ）。 A．一个样本各观测值的分布 B．总体中各观测值的分布 C．样本统计量的分布 D．样本数量的分布 【答案】C 【解析】统计量是样本的函数，它是一个随机变量。样本统计量的分布称为抽样分布。
2．根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布， 其分布的均值为（ ）。
A．
B． X C． 2
2 D．
n 【答案】A
【解析】根据中心极限定理，设从均值为 ，方差为 2 的任意一个总体中抽取样本量 为 n 的样本，当 n 充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为 ，方差为 2 n 的正
n
，样本
量越大，样本均值的抽样标准差就越小。
13．在用正态分布进行置信区间估计时，临界值 1.645 所对应的置信水平是（ ）。 A．85％ B．90％ C．95％ D．99％ 【答案】B 【解析】置信水平是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在
5.1 样本均数的抽样分布与抽样误差
第五章 参数估计基础一、样本均数的抽样分布与抽样误差内 容1. 抽样误差和抽样分布2. 样本均数抽样分布和抽样误差1. 抽样误差和抽样分布n误差泛指实测值和真实值之差。
按其产生原因与性质分两 大类：系统误差和随机误差。
抽样误差是一种随机误差。
n抽样误差由于生物固有的个体变异，从某一总体中随机抽取一个样 本，所得样本统计量与相应总体参数往往是有差异的，这种 差异称为抽样误差(sampling error)。
n误差产生的原因n系统误差：由受试对象、研究者、仪器设备、研究方法等确定性 原因造成，有倾向性，可避免。
n随机误差：由多种无法控制的偶然因素引起的，无倾向性，不可 避免。
n抽样误差：产生的根本原因是个体变异、产生的直接原因是抽样。
n抽样分布n由于抽样误差存在，从同一总体中随机抽取若干份样本， 所得样本统计量是不一致的，差异无法避免但其存在一定的分布规律。
n 正态分布总体样本均数抽样分布的电脑试验n假定某年某地所有13岁女生的身高服从总体均数为155.4 cm ，总 体标准差为5.3cm 的正态分布 。
用计算机从该总体中 随机抽样，每次抽取30例组成一份样本，重复抽样100次，计算 每份样本的平均身高。
() 2 155.4,5.3 N 2. 样本均数抽样分布和抽样误差n电脑试验表明，正态分布总体样本均数抽样分布具有以 下特点：n样本均数恰好等于总体均数极其罕见；n样本均数之间存在差异；n样本均数围绕总体均数，中间多、两边少，左右基本对称，呈 近似正态分布；n样本均数间的变异小于原始变量值间的变异。
PERCENT30x MIDPOINT0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 2 . 0 2 . 1 2 . 2 2 . 3 2 . 4 2 . 5 2 . 6 2 . 7 2 . 8 2 . 9 3 . 0 3 . 1 3 . 2 3 . 3 3 . 4 3 . 5 3 . 6 3 . 7 3 . 8 3 . 9 4 . 0 4 . 1 4 . 2 4 . 3 4 . 4 4 . 5 4 . 6 4 . 7 4 . 8 4 . 9 5 . 0n 非正态分布总体样本均数抽样分布的电脑实验n图 (a ) 是正偏峰分布原始数据对应的直方图，用计算机随机抽取 样本量分别为5, 10, 30和50的样本各1000份，计算样本均数并绘 制4个直方图。
抽样与抽样分布(试题及答案)
第五章抽样与抽样分布一、单项选择题(以下每小题各有四项备选答案，其中只有一项是正确的。
)1．抽样推断的主要目的是( )。
A．用统计量来推算总体参数B．对调查单位作深入研究C．计算和控制抽样误差D．广泛运用数学方法[答案] A[解析] 抽样调查是指从总体中按随机原则抽取部分单位作为样本，进行观察研究，并根据这部分单位的调查结果来推断总体，以达到认识总体的一种统计调查方法，因此，抽样推断的主要目的是用已知的统计量来推算未知的总体参数。
2．抽样调查中，无法消除的误差是( )。
A．抽样误差B．责任心误差C．登记误差D．系统性误差[答案] A[解析] 抽样误差是指在遵循了随机原则的条件下，不包括登记误差和系统性误差在内的，用样本指标代表总体指标而产生的不可避免的误差。
3．在其他条件相同的情况下，重复抽样的抽样平均误差和不重复抽样相比，( )。
A．前者一定小于后者B．前者一定大于后者C．两者相等D．前者可能大于，也可能小于后者[答案] B[解析] 以抽样平均数的抽样平均误差为例进行说明：在重复抽样条件下，抽样平均数的平均误差的计算公式：；在不重复抽样条件下，抽样平均数的平均误差的计算公式：。
因为，故。
4．拟分别对甲、乙两个地区大学毕业生在试用期的工薪收入进行抽样调查。
据估计甲地区大学毕业生试用期月工薪的方差要比乙区高出一倍。
在样本量和抽样方法相同的情况下，甲区的抽样误差要比乙区高( )。
A．41.4% B．42.4% C．46.8% D．48.8%[答案] A[解析] 假设乙地区的大学毕业生试用期月工薪的方差为σ2，甲地区的大学毕业生试用期月工薪的方差为2σ2，则：，那么，在样本量和抽样方法相同的，情况下，甲区的抽样误差要比乙区高=41.4%。
5．对某天生产的2000件电子元件的耐用时间进行全面检测，又抽取5%进行抽样复测，资料如表5-1所示。
表5-1耐用时间(小时) 全面检测(支) 抽样复测(支)3000以下3000～4000 4000～5000 50600990230505000以上总计36020018100规定耐用时间在3000小时以下为不合格品，则该电子元件合格率的抽样平均误差为( )。
概率论与数理统计 第5章
n
n
性质2.（分布可加性）:若X～2(n1)，Y～2(n2)，X与 Y独立，则
X + Y～2(n1+n2 )
3、2分布表及有关计算
(1)构成 P{2(n)>λ}=α，已知n, α可查表求得λ; (2)有关计算P 2 (n) 2 (n) 称为上侧α分位数
例5.1 设 X ~ N ( , 2 ) (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，
求(X1,X2,…,Xn)的密度。 解 (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，故
X i ~ N ( , 2 )
n
i 1,2,, n
f ( x1 , x2 ,, xn ) f ( xi )
16 2
解
i 1,2,,16
2 1 16 2 2 P ( X i ) P 8 2 (16) 16 2 16 i 1
2—分布的密度函数f(y)曲线
n/2 1 f ( y) 2 ( n / 2) y 0,
n y 1 2 2
e , y0 y0
2 例5.4 X ~ N ( , ) (X1,X2,X3)为X的一个样本
X 1 X 2 X 3 的分布。 求
(n)为整体记号
2
2 (n) 2 2 查表得 0 ( 25 ) 34 . 382 10) 18.307 .1 0.05 (
1 当n充分大时，近似有 (n ) (u 2n - 1) 2 2
2
练习1. P(2(n)<s)=1-p ∵P(2(n) < s)=1- P(2(n) s )=1-p ∴ P(2(n) s )=p 2 s p (n) 练习2. P(2(11)>s)=0.05,求s
第五章 抽样法
抽样的作用
抽样调查能够解决全面调查无法或难以解决的问
题。
抽样调查可以补充和订正全面调查的结果。
抽样调查方法可以用于生产过程中产品质量的检
查和控制。 抽样调查方法可以用于对总体的某种假设进行检 验，以判断这种假设的真伪，决定行动的取舍。
抽样中的几个基本术语
总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体 个体(Item unit)：组成总体的每个元素
一、抽样的概念、特点、作用 二、抽样中的基本术语 （一）总体和样本 （二）参数和统计量 （三）样本容量和样本个数 （四）重复抽样和不重复抽样 （五）概率抽样与非概率抽样 （六）抽样框 三、抽样误差
抽样的概念 特点
（一）概念 抽样调查是按照随机原则从全部研究对象中抽取 一部分单位进行观察，并依据获得的数据对全部研 究对象的数量特征做出具有一定可靠性的估计和判 断.达到对现象总体认识的一种方法. （二）特点 它是按照随机原则从总体中抽取样本。 它是由部分推算整体的一种方法。 它是运用概率估计的方法。 抽样误差可事先计算并加以控制。
抽样中的几个基本术语
X
i 1 N
总体均值
X
i
N
或
X F
i 1 K i
K
i
F
i 1
i
标准差
X
N i 1
i
X
2
N
或
X
K i 1
i K
X Fi
i
2
F
i 1
抽样中的几个基本术语
总体方差
2
( X i X )2
i 1
N
N
或
( X i X ) 2 Fi
统计学(李荣平)2014-5
P{t>tα(n)}= h(t;n)dt
t (n)
的数tα(n)为t(n)分布的上α分为点。 例：查表求：t0.05（8）， t0.95（8）
o
t (n)
第一节 抽样分布
（三）F 分布
设 U ~ 2(n1 ),V ~ 2(n2 ), 且设 U,V 独立，则称随机变量
F U / n1 V / n2
保证质量，规定σ≤0.6mm时，认为生产过程处于良好控制
状态。为此，每隔一定时间抽取20个零件作为一个样本，并
计算样本方差S2。若P{S2≥c } ≤0.01（此时σ=0.6mm），
则认为生产过程失去控制，必须停产检查，问：
（1）C为何值时，S2≥c的概率才小于或等于0.01？ （2）若取得的一个样本的标准差S=0.84，生产过程是
第五章 抽样分布与参数估计
主
第一节 抽样分布
要 内
第二节 参数点估计
容
第三节 区间估计
第一节 抽样分布
一、随机样本
总体与个体：试验全部可能的观测值叫总体；试验的 每一个观测值叫个体。
样本容量与样本个数：样本中包含的单位数叫样本容 量；从一个总体中可能抽取多少个样本叫样本个数。
总体容量：总体中所包含的个体数。 有限总体和无限总体：总体容量可数的称有限总体， 不可数的称无限总体。 重置抽样（重复抽样）和无重置抽样（不重复抽样）
X
1 n
n i 1
Xi
为样本均值；称统计量
S 2
1 n1
n i1
(Xi
X )2
为 样本方差 ，称统计量 S
S2
1n
( X X ) 2 为样本标准差 ；统计量
n 1 i1 i
概率论与数理统计第五章2
分布的上 分位数或上侧临界值， 的数tα(n)为t分布的上α分位数或上侧临界值， 其几何意义见图5-7. 其几何意义见图
标准正态分布的分位数
在实际问题中， 在实际问题中， α常取0.1、0.05、0.01. 常用到下面几个临界值： 常用到下面几个临界值：
u0.05 =1.645， ， u0.05/2=1.96， ，
u0.01 =2.326 u0.01/2=2.575
数理统计中常用的分布除正态分布外， 数理统计中常用的分布除正态分布外，还有 三个非常有用的连续型分布， 三个非常有用的连续型分布，即
定理5.1 定理5.1
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N( ，σ 2)的样本，则 的样本， ～ (1) 样本均值 X与样本方差S 2相互独立； 相互独立； n (2)
(n 1)S
2
σ
2
=
∑(X X)
i =1 i
2
σ
2
~ χ (n 1)
2
(5.8)
与以下补充性质的结论比较： 与以下补充性质的结论比较： 性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体
上侧临界值. 如图. 上侧临界值 如图
概率分布的分位数(分位点) 概率分布的分位数(分位点) 定义 对总体X和给定的α (0<α<1)，若存在xα， α 分布的上侧 分位数或 上侧α 使P{X≥xα} =α， 则称xα为X分布的上侧α分位数或 α y α o xα x
P{X≥xα} =α α
∫ xα
其中Sn
(5.10)
=
2 (n1 1)S1
2 2 S1、S2 分别为两总体的样本方差 分别为两总体的样本方差.
n1 + n2 2
2021统计学原理-《统计学》第五章统计量及其抽样分布试题(精选试题)
统计学原理-《统计学》第五章统计量及其抽样分布试题1、智商的得分服从均值为100，标准差为16的正态分布。
从总体中抽取一个容量为n的样本，样本均值的标准差为2，样本容量为____________。
2、样本均值与总体均值之间的差被称作____________。
3、从均值为50，标准差为5的无限总体中抽取容量为30的样本，则抽样分布的超过51的概率为____________。
4、某校大学生中，外国留学生占10%。
随机从该校学生中抽取100名学生，则样本中外国留学生比例的标准差为____________。
5、假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布( )。
A.服从非正态分布B.近似正态分布C.服从均匀分布D.服从x²分布6、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差( )。
A.保持不变B.增加C.减小D.无法确定7、总体均值为50，标准差为8，从此总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的抽样分布的均值和标准误差分别为( )。
A.50，8B.50，1C.50，4D.8，88、某厂家生产的灯泡寿命的均值为60小时，标准差为4小时。
如果从中随机抽取30只灯泡进行检测，则样本均值( )。
A.抽样分布的标准差为4小时B.抽样分布近似等同于总体分布C.抽样分布的中位数为60小时D.抽样分布近似等同于正态分布，均值为60小时9、假设某学校学生的年龄分布是右偏的，均值为23岁，标准差为3岁。
如果随机抽取100名学生，下列关于样本均值抽样分布描述不正确的是( )。
A.抽样分布的标准差等于3B.抽样分布近似服从正态分布C.抽样分布的均值近似为23D.抽样分布为非正态分布10、从均值为200，标准差为50的总体中抽取容量为100的简单随机样本，样本均值的数学期望是( )。
A.150B.200C.100D.25011、从均值为200，标准差为50的总体中抽取容量为100的简单随机样本，样本均值的标准差是( )。
第5章抽样调查及参数估计(练习题)
第五章抽样调查及参数估计5.1 抽样与抽样分布5.2 参数估计的基本方法5.3 总体均值的区间估计5.4 总体比例的区间估计5.5 样本容量的确定一、简答题1.什么是抽样推断？用样本指标估计总体指标应该满足哪三个标准才能被认为是优良的估计？2.什么是抽样误差，影响抽样误差的主要因素有哪些？3.简述概率抽样的五种方式二、填空题1.抽样推断是在随机抽样的基础上，利用样本资料计算样本指标，并据以推算总体数量特征的一种统计分析方法。
2.从全部总体单位中随机抽选样本单位的方法有两种，即重复抽样和不重复抽样。
3.常用的抽样组织形式有简单随机抽样、类型抽样、等距抽样、整群抽样等四种。
4.影响抽样误差大小的因素有总体各单位标志值的差异程度、抽样单位数的多少、抽样方法和抽样调查的组织形式。
5.总体参数区间估计必须具备估计值、概率保证程度或概率度、抽样极限误差等三个要素。
6.从总体单位数为N的总体中抽取容量为n的样本，在重复抽样和不重复抽样条件下，可能的样本个数分别是______________和_____________。
7.简单随机_抽样是最基本的抽样组织方式，也是其他复杂抽样设计的基础。
8.影响样本容量的主要因素包括总体各单位标志变异程度_、__允许的极限误差Δ的大小、_抽样方法_、抽样方式、抽样推断的可靠程度F(t)的大小等。
三、选择题1.抽样调查需要遵守的基本原则是（ B ）。
A．准确性原则 B．随机性原则 C．代表性原则 D．可靠性原则2.抽样调查的主要目的是（ A ）。
A．用样本指标推断总体指标 B．用总体指标推断样本指标C．弥补普查资料的不足 D．节约经费开支3.抽样平均误差反映了样本指标与总体指标之间的（ B ）。
A．实际误差 B．实际误差的平均数C．可能的误差范围 D．实际的误差范围4.对某种连续生产的产品进行质量检验，要求每隔一小时抽出10分钟的产品进行检验，这种抽查方式是（ D ）。
A．简单随机抽样 B．类型抽样 C．等距抽样 D．整群抽样5.在其他情况一定的情况下，样本单位数与抽样误差之间的关系是（ B ）。
医药统计学 第五章 抽样分布
3、总体参数（parameter）: 总体X 的数字特征即总体的特征 指标。
eg： 、 。
（三）样本（sample）：数理统计方法实质上是由局部来推 断整体，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。 eg：观察某显像管厂所有显像管的平均寿命。
1、抽样研究（sampling）：在实际工作中，所要研究的总 体无论是有限的还是无限的，通常都是采用抽样研究。
抽样：依照一定的规则从总体X 中抽取n个个体，然后对这
些个体进行测试或观察得到一组数据
。
目的：抽样研究的目的是用样本信息推断总体特征。
eg：
从上例的有限总体（浙江省2006年7岁健康男孩）中，按照随机化
原则抽取100名7岁健康男孩，他们的身高值
即为样本。因
此，从总体中抽取样本的过程为抽样，抽样方法有多种。
第四章 抽样分布
数理统计基本概念 抽样分布
学习目的和要求
掌握总体、样本、统计量、标准误等数理统计的基本概
念；查表求 2 分布、t 分布、Ｆ分布的临界值及其定理；
熟悉 X 的分布、 2分布、t 分布、Ｆ分布定义、性质和应
用。
数理统计的基本任务：
实验或 调查
以概率论为理论基础，通过样本提供的信息，对总 体的统计规律和特征进行估计与推断，其实用性较强。
1、 2分布（chi-square distribution）：是指数分布的改进，
尤其当n较大时， 2分布可全面反映随机变量的分布。
eg: 寿命、保险等资料。
定义：设随机变量
为相互独立且服从标准
正态分布N（0，1），则称随机变量
2= X12 + X22 +X32 + … + … +Xn2
第五章抽样样本容量的确定(市场调研-北京大学,胡健颖)
减少拒绝
减少不在家
事先 通知
激励 调查 对象
2021/7/25
物质 刺激
追踪
问卷 设计 和执 行
其他
回访
图 5-3 提高回答率的方法
北京大学光华管理学院 胡健颖
第五章 抽样：样本容量确实定
修正无回答误差可用的策略有哪些？ 1) 抽查 2) 替代 3) 置换 4) 主观估计 5) 趋势分析 6) 加权 7) 推算
4(1.39)2 0.01
7.72 0.01
772
2021/7/25
北京大学光华管理学院 胡健颖
第五章 抽样：样本容量确实定
2) 对估计比例所需的样本容量 案例：估计最近 90 天内曾在网上购物的所有成年人的
比例。其目标是从成年人总体中抽取一个随机样 本，估计其比例是多少。 步骤：第一步，确定 E 的值。例如，假设可接受的误差
2021/7/25
北京大学光华管理学院 胡健颖
第五章 抽样：样本容量确实定
表 5-1 1000 个样本平均数的概率分析：最近 30 天内吃快餐的平均次数
次数分组 发生频数 次数分组 发生频数
2.6-3.5
8
11.6-12.5
110
3.6-4.5
15
12.6-13.5
90
4.6-5.5
29
13.6-14.5
n
2) 样本的均值 x = ( xi ) /n 或比例 p 的正态分布的均值分别等 i 1
于相应的总体参数μ或Ρ0 ，如下式：
2021/7/25
北京大学光华管理学院 胡健颖
第五章 抽样：样本容量确实定
x
1 n
n i 1
xi
样本中购买爱普生的人数
第5章抽样分布与参数估计
第5章抽样分布与参数估计在统计学中，抽样分布与参数估计是重要的概念。
抽样分布是指从总体中随机抽取样本，计算样本统计量，然后将这些统计量进行分布的过程。
参数估计是通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
首先，我们来了解抽样分布。
在统计学中，我们通常很难直接获得总体数据，因为总体数据往往很大，难以收集。
因此，我们采用抽样的方式来获取样本数据，并通过样本数据来推断总体特征。
抽样分布是指在重复抽取样本的过程中得到的统计量的分布。
抽样分布的中心趋于总体参数，而抽样分布的形状可以通过中心极限定理进行描述。
中心极限定理认为，当样本数量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，且均值等于总体均值。
这对于统计推断和参数估计具有重要意义。
其次，我们来了解参数估计的概念及其方法。
参数估计是指根据样本数据对总体参数进行估计的统计方法。
常见的参数包括总体均值、总体方差等。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是指通过样本数据计算得到的单个数值来估计总体参数。
常用的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是基于样本的观测值选择使得观测值出现的概率最大的参数值作为估计值的方法。
矩估计是通过样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数的方法。
区间估计是指对总体参数给出一个区间估计值，该区间包含了真实参数值的概率。
常用的区间估计方法包括置信区间估计和预测区间估计。
置信区间估计是通过样本数据计算得到的一个区间，可以包含真实参数值的概率。
置信区间的置信水平是指在多次重复抽样中，这个区间包含了真实参数值的概率。
预测区间估计是在给定自变量取值的情况下，通过样本数据对应的因变量的取值的一个区间估计。
总之，抽样分布与参数估计是统计学中重要的概念和方法。
通过抽样分布可以了解样本统计量的分布情况，而参数估计可以通过样本数据对总体参数进行估计。
这些概念和方法对于数据分析和决策具有重要的实际应用价值。
数理统计基本概
第五章 样本及抽样分布从本章开始, 我们将讲述数理统计的基本内容. 数理统计作为一门学科诞生于19世纪末20世纪初, 是具有广泛应用的一个数学分支, 它以概率论为基础, 根据试验或观察得到的数据, 来研究随机现象, 以便对研究对象的客观规律性作出合理的估计和判断.由于大量随机现象必然呈现出它的规律性, 故理论上只要对随机现象进行足够多次观察, 则研究对象的规律性就一定能清楚地呈现出来, 但实际上人们常常无法对所研究的对象的全体(或总体) 进行观察, 而只能抽取其中的部分(或样本) 进行观察或试验以获得有限的数据.数理统计的任务包括: 怎样有效地收集、整理有限的数据资料; 怎样对所得的数据资料进行分析、研究, 从而对研究对象的性质、特点, 作出合理的推断, 此即所谓的统计推断问题, 本课程主要讲述统计推断的基本内容.第一节 数理统计的基本概念内容分布图示★ 引言 ★ 总体与总体分布 ★ 样本与样本分布 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 统计推断问题简述★ 分组数据统计表和频率直方图 ★ 例5 ★ 经验分布函数 ★ 例6★ 统计量 ★ 样本的数字特征★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-1 ★ 返回内容要点：一、总体与总体分布总体是具有一定共性的研究对象的全体, 其大小与范围随具体研究与考察的目的而确定. 例如, 考察某大学一年级新生的体重情况, 则该校一年级全体新生就构成了待研究的总体. 总体确定后, 我们称总体的每一个可观察值为个体. 如前述总体(一年级新生) 中的每一个个体即为每个新生的体重. 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量. 容量为有限的称为有限总体, 容量为无限的称为无限总体.数理统计中所关心的并非每个个体的所有性质, 而仅仅是它的某一项或某几项数量指标. 如前述总体(一年级新生)中, 我们关心的是个体的体重, 进而也可考察该总体中每个个体的身高和数学高考成绩等数量指标.总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值, 故它是某一随机变量X 的值,于是, 一个总体对应于一个随机变量X , 对总体的研究就相当于对一个随机变量X 的研究, X 的分布就称为总体的分布函数, 今后将不区分总体与相应的随机变量, 并引入如下定义:定义 统计学中称随机变量(或向量)X 为总体, 并把随机变量(或向量)的分布称为总体分布.注(i) 有时个体的特性很难用数量指标直接描述, 但总可以将其数量化,如检验某学校全体学生的血型, 试验的结果有O 型、A 型、B 型、AB 型4种, 若分别以1,2,3,4依次记这4种血型,则试验的结果就可以用数量来表示了;(ii) 总体的分布一般来说是未知的, 有时即使知道其分布的类型(如正态分布、二项分布等),但不知这些分布中所含的参数等(如p ,,2σμ等).数理统计的任务就是根据总体中部分个体的数据资料对总体的未知分布进行统计推断.二、样本与样本分布由于作为统计研究对象的总体分布一般来说是未知的,为推断总体分布及其各种特征,一般方法是按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察,通过观察可得到关于总体X 的一组数值),,,(21n x x x Λ,其中每一i x 是从总体中抽取的某一个体的数量指标i X 的观察值.上述抽取过程为抽样,所抽取的部分个体称为样本.样本中所含个体数目称为样本的容量.为对总体进行合理的统计推断,我们还需在相同的条件下进行多次重复的、独立的抽样观察,故样本是一个随机变量(或向量).容量为n 的样本可视为n 维随机向量),,,(21n X X X Λ,一旦具体取定一组样本,便得到样本的一次具体的观察值),,,(21n x x x Λ,称其为样本值.全体样本值组成的集合称为样本空间.为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息, 必须考虑抽样方法,最常用的一种抽样方法称为简单随机抽样, 它要求抽取的样本满足下面两个条件:1. 代表性: n X X X ,,,21Λ与所考察的总体具有相同的分布;2. 独立性: n X X X ,,,21Λ是相互独立的随机变量.由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本, 它可用与总体独立同分布的n 个相互独立的随机变量n X X X ,,,21Λ表示. 显然, 简单随机样本是一种非常理想化的样本, 在实际应用中要获得严格意义下的简单随机样本并不容易.对有限总体, 若采用有放回抽样就能得到简单随机样本,但有放回抽样使用起来不方便, 故实际操作中通常采用的是无放回抽样, 当所考察的总体很大时, 无放回抽样与有放回抽样的区别很小, 此时可近似把无放回抽所得到的样本看成是一个简单随机样本. 对无限总体, 因抽取一个个体不影响它的分布, 故采用无放回抽样即可得到的一个简单随机样本.注: 今后假定所考虑的样本均为简单随机样本, 简称为样本.设总体X 的分布函数为)(x F ,则简单随机样本),,,(21n X X X Λ的联合分布函数为∏==ni i n x F x x x F 121)(),,,(Λ并称其为样本分布.特别地, 若总体X 为连续型随机变量,其概率密度为)(x f ,则样本的概率密度为∏==ni i n x f x x x f 121)(),,,(Λ分别称)(x f 与),,,(21n x x x f Λ为总体密度与样本密度.若总体X 为离散型随机变量,其概率分布为}{)(i i x X P x p ==, x 取遍X 所有可能取值, 则样本的概率分布为,)(},,,{),,,(12121∏======ni i n n x p x X x X x X p x x x p ΛΛ分别称)(i x p 与),,,(21n x x x p Λ为离散总体密度与离散样本密度.三、统计推断问题简述总体和样本是数理统计中的两个基本概念. 样本来自总体，自然带有总体的信息，从而可以从这些信息出发去研究总体的某些特征（分布或分布中的参数）. 另一方面，由样本研究总体可以省时省力（特别是针对破坏性的抽样试验而言）. 我们称通过总体X 的一个样本n X X X ,,,21Λ对总体X 的分布进行推断的问题为统计推断问题.总体、样本、样本值的关系:总体↙ ↖推断（个体）样本 → 样本值抽样在实际应用中, 总体的分布一般是未知的, 或虽然知道总体分布所属的类型, 但其中包含着未知参数. 统计推断就是利用样本值对总体的分布类型、未知参数进行估计和推断.为对总体进行统计推断, 还需借助样本构造一些合适的统计量, 即样本的函数, 下面将对相关统计量进行深入的讨论.四、分组数据统计表和频数直方图 通过观察或试验得到的样本值，一般是杂乱无章的，需要进行整理才能从总体上呈现其统计规律性. 分组数据统计表或频率直方图是两种常用整理方法. 1. 分组数据表：若样本值较多时，可将其分成若干组，分组的区间长度一般取成相等, 称区间的长度为组距. 分组的组数应与样本容量相适应. 分组太少，则难以反映出分布的特征，若分组太多，则由于样本取值的随机性而使分布显得杂乱. 因此，分组时，确定分组数（或组距）应以突出分布的特征并冲淡样本的随机波动性为原则. 区间所含的样本值个数陈为该区间的组频数. 组频数与总的样本容量之比称为组频率.2. 频数直方图：频率直方图能直观地表示出频数的分布，其步骤如下： 设n x x x ,,,21Λ是样本的n 个观察值.(i) 求出n x x x ,,,21Λ中的最小者)1(x 和最大者)(n x ；(ii) 选取常数a （略小于)1(x ）和b （略大于)(n x ），并将区间],[b a 等分成m 个小区间（一般取m 使nm 在101左右）： mab t m i t t t i i -=∆=∆+,,,2,1),,[Λ, 一般情况下，小区间不包括右端点.(iii) 求出组频数i n ，组频率i i f nn ∆=，以及),,2,1(,n i tfh i i Λ=∆=(iv) 在),[t t t i i ∆+上以i h 为高，t ∆为宽作小矩形，其面积恰为i f ，所有小矩形合在一起就构成了频率直方图五、经验分布函数样本的直方图可以形象地描述总体的概率分布的大致形态，而经验分布函数则可以用来描述总体分布函数的大致形状。
《统计学原理》第5章：抽样推断
n
抽样推断的基本原理
统计推断的理论基础—样本的概率分布
按一定方法随机抽取样本时，所有可能样本的 特征值及其所对应的概率分布情况
学生 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ 成绩 30 40 50 60 70 80 90
按随机原则考虑顺序重复抽样抽选出４名学生。
抽样推断的一般问题
样本可能数目
按照一定的抽样方法和组织方式,从总体N中抽取n个 单位构成样本,一共可以抽出的不同样本的数量,一般 用M表示.
考虑顺序的不重复抽样 考虑顺序的重复抽样
M N! (N n)!
M Nn
不考虑顺序的不重复抽样 不考虑顺序的重复抽样
M N! n!(N n)!
全及指标与样本指标
•根据全及总体中各单位的标志值或标志属性计算得 来，反映总体某种特征的指标 •根据样本总体中各单位的标志值或标志属性计算得 来的综合指标.
抽样推断的一般问题
抽样方法
•重复抽样和不重复抽样
•考虑顺序的抽样和不考虑顺序的抽样
抽样推断的一般问题
抽样方法—重复抽样
从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本,每 次抽取一个单位,把结果登记后再放回到总体中,重新 参加下一次的抽取.
抽出个体
登记特征
放回总体
继续抽取
抽样推断的一般问题
抽样方法—不重复抽样
从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本, 每次抽取一个单位,把结果登记后不再放回到 总体参加下一次的抽取.
抽出 个体
登记 特征
继续 抽取
抽样推断的一般问题
抽样方法—考虑顺序的抽样
从总体N个单位中抽取n个单位构成样本,不但考虑样本 各单位成分的不同,而且还要考虑样本各单位的中选顺 序.
第5章正态分布
32
常用的标准值
Z ≥1.65,概率P为0.05;
Z ≥1.96,概率P为0.025; Z ≥2.58,概率P为0.005;
33
4. 二项分布的正态近似法
通过前面的讨论，我们已经知道二项分布受成功事件概率 p和重复次数n两个参数的影响，只要确定了p和n，二项 分布也随之确定了。 但是，二项分布的应用价值实际上 受到了n的很大限制。也就是说，只有当n较小时，我们 才能比较方便地计算二项分布。所幸的是，二项分布是以 正态分布为极限的。所以当n很大时，只要p或q不近于零， 我们就可以用正态近似来解决二项分布的计算问题。即以 n p＝μ、n p q＝σ2，将B(x；n，p)视为N(n p，n p q)进行 计算。在社会统计 中，当n ≥30，n p、n q均不小于5时，对二项分布作正态
42
F 分布
F 分布是连续性随机变量的另一种重要的小样本分布， 可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是 否相等。还是方差分析和正交设计的理论基础。 1.数学形式 设 和 相互独立，那么随机变量
服从自由度为(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由 度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。
24
四、标准正态分布表的使用
4.1 标准正态分布表的介绍
25
Xi:大写Ξ， 小写ξ 4.2标准正态分布的计算 读作：克西
【例5】已知ξ服从标准正态分布N（0，1）， 求P（ ξ ≤1.3)=? 解：因为ξ 服从标准正态分布N（0，1）， 可直接查附表4，根据z=1.3，有 P（ ξ ≤1.3)= 1.3=0.9032
20
3.3 标准分（Standard scores)
公式:
Z
X
黄良文《统计学》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解 第5章 抽样分布与抽样方法 【圣才出品
②性质
(s 1) s (s)
(n 1) n!
（2） 2 (n) 分布的密度函数和主要性质
① 2 (n) 分布的密度函数
f
(x)
2n/2
1 (n
/
2)
x
n 2
1e
x
2，x
0
0，
x 0
②主要性质
a．如果 X~ 2 (n) ，则 E（X）=n，Var （X）=2n； b．如果 X1~ 2 (n) ，X2~ 2 (n) 且相互独立，则 X1+X2~ 2 (n1 n2 ) 。
其特点是：①n 个单位的样本由 n 次抽取的结果构成；②每次抽取的结果不是独立的。 ③虽然在同次试验中每个单位被抽取到的概率相同，但在不同次的试验中被抽取到的概率是 不相等的。
如果考虑顺序，其总样本个数为 PNn N ! (N n)!。如果不考虑顺序，总样本个数为 CNn N !/[（N n）!n!] ，每个样本被抽取到的概率都为1/ CNn 1 (N n)!n / N ! 。
i
类子总体的均值和方差分别为
i
，
2 i
。那么，样本均值
样本均值的数学期望
E(
X
)
。样本均值的方差（抽样标准误差）
2 X
k i 1
(
ni n
)2
2 Xi
①重置抽样
②不重置抽样
或
（2）整群抽样 整群抽样就是将总体的所有单位分成若干群，然后从其中随机抽取部分群，接着对中选 的群进行全面调查的抽样方式。 设总体的全部 N 个单位被划分为 R 群，每群都含有 M 个单位。现在从总体的所有 R
Dn
max
1k n
Xk
min 1k n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
以下将以样本均值为例说明统计量的 抽样分布。
第一节 抽样分布基本概念
【例5-1】设有一个总体，含有5个个 体：10、20、30、40、50，即 N 5。采 取重复抽样的方式从中抽取样本容量为2
的样本，即 n 2 。
2 10,20 15 2∕25
3 10,30 20 3∕25
4 10,40 25 4∕25
5 10,50 30 5∕25
6 20,10 15
7 20,20 20
8 20,30 25
9 20,40 30
10 20,50 35 4∕25
11 30,10 20
12 30,20 25
样本 序号
样本 个体
样本 均值
5
样本均值的方差
2 X
E( X 2 ) [E( X )]2
1000 900
100
总体方差
2 E( X 2) [E( X )]2 1100 900 200
由于n =2，从而验证了（5.1）的正确性。
第一节 抽样分布基本概念
由式（5.1）可知： 的平均数为 ， 方差为 。随着 的增大，其方差越来越 小，从而 的取值越来越向着 靠拢，故用
第一节 抽样分布基本概念
抽样分布理论在推断统计中具有重要 的作用，它是后续参数估计和假设检验的 理论依据和基础。
第一节 抽样分布基本概念
在例5-1中，样本均值的平均数
X
10
1 15 2
25
25
50 1 750 30 25 25
总体均值
1 (10 20 30 40 50) 30
经济管理类“十三五”规划教材
统计学
-从典型案例到问题和思想
主讲人：朱芳芳
第五章 抽样分布
典型案例【6】 第一节 抽样分布基本概念 第二节 几个常见的抽样分布
【典型案例6】如何决定是否购买一批苹 果？
俗话说“一日一苹果，医生远离我。” 假如现在面对一批苹果，人们如何了解它 们口感的均值和差异值，以便作出是否购 买这批苹果的更好决策呢？
第一节 抽样分布基本概念
总体是研究的所有个体构成的集合， 其中的个体的数目常用 N表示。
从中随机抽取部分个体构成一个样本，
构成样本的个体的数目，常用 n 表示，称
为样本容量，也称样本量。 例如，典型案例6中，一批苹果有400
个，从中抽取8个进行品尝，那么N 400 ，
而n 8。显然，从中可以得到很多个样本。
去估计 理论依据成立。
由此可见，典型案例6中，人们用挑选 出的几个苹果口感的均值去估计这批苹果 口感的均值的做法是站得住脚的。
试写出样本均值 X 的抽样分布。
解：由于 N =5，n =2，从总体中采取重
复抽样的方式抽取样本，则样本共有N n =52 =25个。计算出这25个样本的均值 X ，其结 果如表5-1所示。
表5-1 n=2时样本均值的抽样及其取值情况
样本 序号
样本 个体
样本 样本均值 均值 的概率
1 10,10 10 1∕25
众所周之，不可能通过将所有的苹果都 咬一口品尝来解决这个问题，因为这样做 苹果就全部报废了，对买卖双方都毫无益 处！人们常用作法：从这批苹果中随机挑 出几个品尝后，得出这几个苹果口感的均
【典型案例6】如何决定是否购买一批苹 果？
值和差异值，以此作为这批苹果口感的均 值和差异值，从而作出是否购买这批苹果 的更好决策。从统计学角度来讲，挑出的 这几个苹果口感的均值和差异值就是样本 平均数 和样本方差 ，这批苹果口感的 均值和差异值是总体平均数 和总体方差
3∕25
2∕25
1∕25
第一节 抽样分布基本概念
从而，样本均值 的概率分布如表5-2所示。
表5-2 =2时样本均值 的抽样分布
X 10 15 20 25 30 35 40 45 50 P1 2 3 4 5 4 3 2 1
25 25 25 25 25 25 25 25 25
第一节 抽样分布基本概念
在例5-1中，若样本容量n=4，则样本 共有 =54=625个,并且例5-1中的总体 是一个非常小的总体，现实世界中，我们 面对的总体往往很大，进而样本数目将很 可观，不可能将所有的样本都抽取出来。
因此抽样分布实质上是一种理论分布。 它可能是精确的某已知分布，也可能是以 某已知分布为极限的极限分布。
。
这种用商品质量数据的样本平均数 、 样本方差 作为总体平均数 、总体方差
【典型案例6】如何决定是否购买一批苹 果？
的作法，是人们购买商品时常用的有效 估计方法，其理论依据是本章将要学习的 内容。
第一节 抽样分布基本概念
一、样本容量和样本个数 二、参数和统计量 三、抽样分布 四、抽样分布的数字特征
从一个含有N个个体的总体中，随机
第一节 抽样分布基本概念
抽取样本容量为n的样本，可得到很多个 样本，此即样本的个数。例如，从一个含 有5个个体的总体中，随机抽取样本容量 为2的样本（假设采取重复抽样方式）， 则可以得到52=25个样本。
典型案例6中，将400个苹果编号，则 随机抽取的样本可能是由编号为1—8的这 8个苹果构成，也可能是由编号为101— 108的8个苹果构成等等。
13 30,30 30
14 30,40 35
15 30,50 40
16 40,10 25
17 40,20 30
18 40,30 35
19 40,40 40
20 40,50 45
21 50,10 30
22 50,20 35
23 50,30 40
24 50,40 45
25 50,50 50
样本均值 的概率
第一节 抽样分布基本概念
参数是用来描述总体数量特征的，如
总体均值 、总体比例 、总体方差 2 等；
统计量是用来描述样本数量特征的， 是由样本构造的函数，如样本均值 X 、样
本比例 p 、样本方差S 2等。
由于总体是唯一的、固定不变的，故 参数往往是一个未知的常数；而样本不唯 一，且一旦抽取出来，就成为已知，故统 计量是随机变量，其取值随着样本的变化
第一节 抽样分布基本概念
而改变。 抽样的目的就是要根据样本统计量去
估计或推断总体参数。
比如，常用样本均值 x 去推断总体均
值 、用样本比例 p 去推断总体比例 、
用样本方差 s2去推断总体方差 2。
以上做法的理论依据就是——样本统 计量的抽样分布。
第一节 抽样分布基本概念
统计量是随机变量。抽样分布