第二章系统的数学模型

令 L R T a ,R J ( k d k m ) T m , 1 k d C d , T m J C ，m 则上式为
T a T m d d 2 t2 T m d d t C d u a C m T ad M d tL C m M L
(2.1.11)
式（2.1.11）即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速ω既由
若 a i , b j 中有系数依赖于 xi (t), x(t) 或它们的导函数， 则该方程就是非线性的，相应的系统也称为非线 性系统，下面模型 & x & o ( t ) x o ( t ) • x & o ( t ) x o 2 ( t ) x i( t )
是非线性的。
线性及非线性是系统本 身的固有特性。
考虑到 0C dua0C m M L0，上式可变为
T a T m d d 2 t2 T m d d t C d u a C m T a d d M tL C m M L (2.1.14)
2.14 为在某一平衡状态附近的增量化表示。与式2.11不同的是将变量 的原点设在平衡点上，把初始条件变为零，求解及分析时方便了许多。
3. 将 输 出 变 量 的 象 函 数 表达式展开成部分分 式；
4. 对 部 分 分 式 进 行 拉 氏
解 对微分方程进行拉氏变换得
s 2 X (s) sx(0) x '(0) 5[sX (s) x(0)] 6 X (s) 6 s 将 x'(0) 2, x(0) 2代 入 上 式 ， 并 整 理 得
F (s)B (s)k(sz1)s(z2)(szm ) A (s) (sp 1)s(p 2)(sp n)
F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F(s) a1 a2 an
sp1 sp2
spn
原函数为：
n
f (t) kiesit i1
B(s) ak [A(s)(spk)]spk
用拉氏变换解线性常微分方程
第二章 系统的数学模型
本章内容提纲
2.0 基本概念 2.1 系统的微分方程 2.2 Laplace 变换与反变换 2.3 系统的传递函数 2.4 系统的传递函数方框图及其简化 2.5 反馈控制系统的传递函数 2.6 相似原理 2.7 系统的状态空间模型 2.8 数学模型的Matlab描述
2.0 基本概念
三．非线性微分方程的线性化
某些非线性系统，可以在一定条件下，进行线性化。下 图是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题。
(1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间
变量 p、 q
(2)按照液压原理建立动力学方程
负载动力学方程为 m& y&cy&Ap (2.1.15)
流量连续性方程为
即
ed kd
式中，k d 为反电势常数。这样（2.1.5）式为
Ldia dt
iaRkdua
(2.1.6)
根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为
J
d
dt
MML
(2.1.7)
式中，J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固定不 变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即
M kmia
1)建立数学模型的意义 (1)可定性地了解系统的工作原理及其特性; (2)更能定量地描述系统的动态性能; (3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。
2)系统数学模型的形式 （1）最基本形式是微分方程,它在时域中描述系
统(或元件)动态特性； （2）传递函数形式，它极有利于对系统在复数
域及频域进行深入的研究、分析与综合 。
⑵拉氏变换基本定理
线性定理 L [ a 1 f 1 ( t ) a 2 f 2 ( t ) a ] 1 F 1 ( s ) a 2 F 2 ( s )
终值定理 初值定理
limf(t) limsF(s)
t
s 0
limf(t) limsF(s)
t 0
s
微分定理 积分定理
L[d(ft)]sF(s)f(0) dt
（4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。
2.2 拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义
设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0
② t>0时，f(t)分段连续
f(t)estdt 0
则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
F(s)L[f(t) ] f(t)esd t t
时域 f(t) 称为原函数0，复频域 F(s) 称为象函数
步骤：
例：已知系统的微分方程
1. 将 系 统 的 微 分 方 程 进
行拉氏变换，得到以 s为变量的代数方程，
d
2 x (t ) dt2
5
dx dt
6 x(t)
6
又称变换方程；
并 设 x'(0) 2, x(0) 2, 求 系 统 的 输 出 x(t).
2. 解 变 换 方 程 ， 求 出 系 统输出变量的象函数 的表达式；
1
C2
i2dt u2
(4)消去中间变量
R 1 C 1 R 2 C 2 d d 2 t u 2 2 ( R 1 C 1 R 2 C 2 R 1 C 2 )d d u t2 u 2 u 1 ( 2 .1 .1 )
式（2.1.1）就是系统的微分方程。
注意
虽然电路又两个RC电路所组成，但不能把它看作两个 独立的RC电路的连接。因为第二级电路的i2 要影响第 一级电路的u1，列写方程式应考虑这个影响。这种后一 级对前一级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必 须把全部元件作为整体加以考虑。
例2.1 图示为RC电路串联滤波网 络，试写出以输出电压和输 入电压为变量的滤波网络的 微分方程。
解：列写系统微分方程
① 输入:电压 u 1 输出:电压 u 2 中间变量 i 1 , i 2
② 简化
③ 根据基尔霍夫定律，可写出 下列原始方程式：
i1R 1C 11 (i1i2)dtu1
i2R2C 12 i2dtC 11 (i1i2)dt
2s2 12s 6 1 5
q Ay&
(2.1.16)
q与p一般为非线性关系 qq(x, p)
(2.1.17)
（3）线性化处理
将(2.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高 阶项，保留一次项，并取增量关系，有：
q q (x ,p ) q (x 0 ,p 0 ) ( q x )x p x p 0 o x ( p q )x p x p 0 o p(2.1.18)
的物理定理，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程； 注意：负载效应，非线性项的线性化。 (4)消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程； (5)标准化。整理所得微分方程， 输出量降幂排列＝输入量降幂排列 一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项 放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。
L [d2f(t)]s2F(s)s(f0)f'(0) d2t
L[ f(t)d]tF(s)f1(0)
ss
L [ f(t)d] tF (s)f 1(0)f 2(0)
s2
s2
s
常用拉普拉斯变换
⑶ 拉氏反变换
定义：
求法：
L1[F(s)]f(t)1 jF(s)estds
2j j
F(s)化成下列因式分解形式：
时电枢两端的反电势；i a 为电动机的电枢电流；M 为电动机的 电磁力矩。
(1) 输入变量为电压 ua、M L ；输出变量为电机旋转角速度 ;中间变
量ia、 e d ;
(2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为
Ldia dt
iaRed
ua
(2.1.5)
式中，L，R分别为电感与电阻。当磁通固定不变时，e d 与转速 成正比，
本例如果不考虑负载效应时，有： 第一级： 第二级： 消去中间变量得到： 显然与前面得到的结果不同。
Baidu Nhomakorabea
例控2制图电示压为，电为枢电控机制旋式转直角流速电度机，原M理L 为图折，合设到u 电a 为机电轴枢上两的端总的
的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下，u a 为给
定输入，M L 为干扰输入， 为输出。系统中为 电动机旋转
qKqxKcp
(2.1.20)
（4）消除中间变量
由(2.20)可得
1 p Kc (Kqx q)
(2.1.21)
整理后可得线性化后的动力学方程为：
m& y&(cA2)y&AKq x
Kc
Kc
(2.1.22)
图2.1.4 q,p,x三者线性关系
小偏差线性化时要注意以下几点：
（1）必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得 线性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的
定义：描述系统的输入和输出之间动态关系的微分方程
a n x o ( n ) ( t ) L a 1 x & o ( t ) a 0 x o ( t ) b m x i ( m ) ( t ) . . . b 1 x & i ( t ) b 0 x i ( t )2 . 0 . 1
如果系数 a i( i 0 ,1 ,2 ,L ,n ) ,b j(j 0 ,1 ,2 ,L ,m )均为常数， 则式(2-1)为线性定常微分方程，简称常微分方程。相应 的动态系统称为线性定常系统。大多数物理系统均属于 这一类，这是我们研究的重点。 若 a i , b j 是时间t的函数，则该方程为线性时变的，相应 的系统也称为线性时变系统；例如，宇宙飞船控制系统 便是一个时变系统，因为随着宇宙飞船上燃料的消耗， 飞船质量发生变化，而且当飞船远离地球后，重力也在 发生变化。
式中，km为电动机电磁力矩常数
(2.1.8)
（3）消除中间变量
将（2.1.8）式代入（2.1.7）式得
J ddt kmia ML
上式略去了与转速成正比的阻尼力矩。
(2.1.9)
应用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中间变量ia，可得
k L d k J m d d 2 t2 k R d k J m d d t k 1 du a k d L k m d M d tL k d R k m M L (2.1.10)
值均为零
（2）如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化 方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必 有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的， 即变量偏离预定工作点很小。
（3）如果非线性函数是不连续的（即非线性特性是 不连续的），则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒 级数，这时就不能线性化这类非线性称为本质非线性。
式中 xxx0 ppp0
则(2.18)可以写成
qKqxKcp
(2.1.19)
其 中 K q( q x)x p x p 0 0;
q K c (p)x p x p 0 0
当系统在预定工作条件 q(x0, p0)0， x 0 0 ，p 0 0
下工作 q,x,p 即分别为q,x,p,故（2.1.19）可以写为
0C dua0C m M L0
（2.1.13）
（2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工 作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以 记为：
ua ua0ua MLML0ML 0
则式（2.1.11）可记为：
T a T m d 2 ( d 0 t 2 ) T m d ( 0 d t ) ( 0 ) C d ( u a 0 u a ) C m T a d ( M L 0 d t M L ) C m ( M L 0 M L )
ua控制，又受ML影响。
二．微分方程的增量化表示
前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。 (1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程：
此时，对应输入输出量可表示为：
CduaCmML
则有
ua ua0 ML ML0 0
（2.1.12）
这就是系统的稳态。
线性系统最重要的特性 是满足叠加原理。
2.1 系统的微分方程
一．用分析法（解析法）列写微分方程的一般方法
(1)确定系统或各元件的输入、输出变量。系统的给定输入量或扰动输 入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量；
(2)进行适当的简化，忽略次要因素； (3) 从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循
3) 数学模型的建立方法
建立系统数学模型有两种方法：分析法和实验法,本章仅 就分析法进行讨论。
(1)分析法:根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数 学表达式，从而建立数学模型。
(2)实验法:对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数 据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。
4)线性系统与非线性系统