第二章系统的数学模型
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第2章 自动控制系统的数学模型
二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
机械工程控制基础--第二章
,
Cm
Tm J
得
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmML 设平衡点 (ua0,ML0, )
L
R
即有 Cdua0 CmML0 ua
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机 1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
x(n) o
(t
)
a x(n1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
bm1xi(
...
a1 s
a0
(n m) 传递函数
传递函数定义：
零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉
氏变换之比。
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
机械工程控制基础课件 第2章： 系统的数学模型
统，而闭环控制系统则是指系统中存在反馈环节的控制系统。
控制系统的状态空间模型
要点一
总结词
控制系统的状态空间模型
要点二
详细描述
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的数学模型， 它通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态 特性。在状态空间模型中，系统的状态变量、输入变量和 输出变量都被表示为矩阵和向量的形式，从而能够方便地 描述系统的动态行为。状态空间模型具有直观、易于分析 和设计等优点，因此在控制工程中得到了广泛应用。
传递函数模型的求解
通过求解传递函数模型中的代数方程或超 越方程，得到系统在给定输入下的输出响 应。
04
控制系统的数学模型
控制系统的定义与分类
总结词
控制系统的定义与分类
详细描述
控制系统的定义是：控制系统是一种能够实现自动控制和调节的装置或系统，它能够根 据输入信号的变化，自动调节输出信号，以实现某种特定的控制目标。控制系统可以分 为开环控制系统和闭环控制系统两类。开环控制系统是指系统中没有反馈环节的控制系
状态空间模型的求解
通过数值计算方法求解状态空间模型中的微分方程或差分方程，得到 系统状态变量的时间响应。
非线性系统的传递函数模型
总结词
传递函数模型的建立、性质和求解
传递函数模型的性质
传递函数模型是非线性的，具有频率响应 特性，可以描述系统在不同频率下的行为
特性。
传递函数模型的建立
通过拉普拉斯变换将非线性系统的微分方 程或差分方程转换为传递函数的形式，从 而建立非线性系统的传递函数模型。
03
非线性系统的数学模型
非线性系统的定义与性质
总结词
非线性系统的定义、性质和特点
非线性系统的定义
控制系统的状态空间模型
要点一
总结词
控制系统的状态空间模型
要点二
详细描述
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的数学模型， 它通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态 特性。在状态空间模型中，系统的状态变量、输入变量和 输出变量都被表示为矩阵和向量的形式，从而能够方便地 描述系统的动态行为。状态空间模型具有直观、易于分析 和设计等优点，因此在控制工程中得到了广泛应用。
传递函数模型的求解
通过求解传递函数模型中的代数方程或超 越方程，得到系统在给定输入下的输出响 应。
04
控制系统的数学模型
控制系统的定义与分类
总结词
控制系统的定义与分类
详细描述
控制系统的定义是：控制系统是一种能够实现自动控制和调节的装置或系统，它能够根 据输入信号的变化，自动调节输出信号，以实现某种特定的控制目标。控制系统可以分 为开环控制系统和闭环控制系统两类。开环控制系统是指系统中没有反馈环节的控制系
状态空间模型的求解
通过数值计算方法求解状态空间模型中的微分方程或差分方程，得到 系统状态变量的时间响应。
非线性系统的传递函数模型
总结词
传递函数模型的建立、性质和求解
传递函数模型的性质
传递函数模型是非线性的，具有频率响应 特性，可以描述系统在不同频率下的行为
特性。
传递函数模型的建立
通过拉普拉斯变换将非线性系统的微分方 程或差分方程转换为传递函数的形式，从 而建立非线性系统的传递函数模型。
03
非线性系统的数学模型
非线性系统的定义与性质
总结词
非线性系统的定义、性质和特点
非线性系统的定义
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第2章 控制系统数学模型的建立
di
Ri dt
的增量方程式：Dur
dD(i) dDi
K1 dDi
RDi dt
整理得：
Dur
K1K
dDi dt
RDi
省略偏量符号Δ得：
ur
L
di dt
Ri
13
2.3 传递函数
2.3.1 传递函数的概念
RC电路如下：根据克希霍夫定律， 可列写微分方程
Ri(t) uc (t) ur (t)
消去中间变量i(t)，得 对上式进行拉氏变换
K
（线性定常二阶微分方程式）
5
举例3 电枢控制的直流电动机
电枢电压控制的直流电动机线路原理图和结构图
输入—电枢电压ua
输出—轴角位移q 或角速度w
扰动—负载转矩ML
（1）列写原始方程式。电枢回路方程式：La
dia dt
Rai
Kew
ua
根据刚体旋转定律，写出运动方程式：
J
dw
dt
ML
Md
（2）Md和ia是中间变量。由于电动机转矩与电枢电流和气 隙磁通的乘积成正比，又因磁通恒定，有M d Kmia ， 联立求解，整理后得
15
2.3.1 传递函数的性质
(1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m一 般低于或等于分母的阶数n， 即m≤n ，且所有系数均为 实数。
(2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用
及初始条件无关。
(3)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因
此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。
令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，进行拉氏变换， 可得到s的代数方程
机电机械工程控制基础系统数学模型2名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
0 Cd ua0 CmM L0
若某一时刻，输入量发生变化，其变化值为：ua ; M，电L 机旳平衡状态
被破坏，输出亦发生变化，其变化量为：，这时，输入量和输出量可表
示为增量形式：
ua ua0 ua , M L M L0 M L , 0
第二章 系统数学模型
TaTm
d 2 (0
dt 2
4、变换成原则形式。将与输入有关旳项写在微分方程旳右边， 与输出有关旳项写在微分方程旳左边，而且各阶导数项按降幂 排列。
第一节 系统微分方程 经典元件所遵照旳物理定律 机械系统：
质量元件：
第二章 系统数学模型
弹性元件：
阻尼元件：
第一节 系统微分方程
经典元件所遵照旳物理定律 电网络：
容性元件：u(t
)
Tm
d (0
dt
)
(0
)
Cd
(ua0
ua0 ) CmTa
d (M L0 M L ) dt
Cm (M L0
M L )
化简并整顿得：
TaTm
d
2 ()
dt 2
Tm
d ()
dt
(0
)
Cd
(ua0
ua0 )
CmTa
d (M L ) dt
Cm (M L0
M L )
考虑到 0 Cd ua0 CmM L0 于是有：
RC
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
第一节 系统微分方程
第二章 系统数学模型
微分方程举例：
例2-4：试列出如图所示电气系统旳微分方程。
1、明确系统旳输入和输出 输入为ui，输出为uo。
R1
第二章线性系统的数学模型ppt课件
传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入函 数的拉氏变换之比为系统的传递函数。
传递函数有如下性质： (1) Xo(S)= G(S)Xi(S)，信号传递的性质。
用方框图表示：
Xi(S)
G(S)
Xo(S)
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
ia(t)CJm ddn(tt)iL(t)
（2-3）
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
ua(t)R aia(t)Ladd a(it)tea(t)
ea(t)Cen(t)
（2-1） （2-2）
J dn(t) ia(t)Cm dt iL(t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
Ti (t)
La Ra
（电磁时间常数）
T m T id d 2 n ( 2 t)t T m d d ( t)n tn ( t) C 1 eu a ( t) T m J C m iL ( t) d d L ( t) i t
输出 输入
负载扰动
（2-3）
将式(2-2)、 (2-3)一起代入式(2-1)中，消去中间
变量得：
L C a m Jd d 2 n 2 ( t)t R C a m Jd d ( t)n tC e n ( t) u a ( t) L ad d L ( t) i tR a iL ( t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
整理得：
机械工程控制基础-系统数学模型
由于：
d 1 A ( H 0 H ) H0 H qi 0 qi dt 2 H0
阻尼
v1 ( t ) x1(t) fC (t)
C
v2 ( t ) x2(t) fC(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv (t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C 6 dt
机械平移系统
E Ri
12
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
电阻 i( t)
R
u ( t) 电容 i( t)
C u ( t)
u(t ) Ri(t )
1 u (t ) i (t )dt C du (t ) i (t ) C Cu dt
13
电感 i( t) L u ( t) R-L-C无源电路网络
消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
3、 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
4
质量
fm(t)
m
x (t) v (t) 参考点
2
d d f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) mx dt dt
21
液位系统
A：箱体截面积；
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
d A H (t ) H (t ) qi (t ) dt
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
线性系统微分方程的一般形式
机械控制工程(董玉红 第二版)—第二章 系统的数学模型
uo (t )为输出电压，列写其关于输入输出微分方程模型。
解：设电路中电流为 i(t)
d Ri (t ) L i (t ) U o(t ) U i (t ) 0 dt
Ui(t)
R
L C 图2-3 uo(t)
电容两端电压为：
1 U o (t ) C
t
0
i (t ) dt
d2 d 整理得: LC 2 uo (t ) RC uo (t ) uo (t ) ui (t ) dt dt
df ( x) y f ( x0 ) ( x x0 ) dx x0
※
y y0 y k x
机械控制工程基础
第二章 系统的数学模型
2 ）具有两个自变量的非线性函数，设输入量为 x1(t) 和 x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作点为y0＝ f(x10, x20) 。
出响应，通过比较输入和输出信号获得系统的数
学模型。
9
对系统数学模型的基本要求
• 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确 ）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都 是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因 素，系统越复杂，情况也越复杂。 • 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统 运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行 建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模 型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑 。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：
得：y y 0 f ' x0 x x0 。取增量为变量，得到 线性 化方程：
y y0 y k x
对于多元函数，如y=f(x1,x2)，平衡点为(y0,x10,x20) 在平衡点邻域内进行小偏差线性化：
解：设电路中电流为 i(t)
d Ri (t ) L i (t ) U o(t ) U i (t ) 0 dt
Ui(t)
R
L C 图2-3 uo(t)
电容两端电压为：
1 U o (t ) C
t
0
i (t ) dt
d2 d 整理得: LC 2 uo (t ) RC uo (t ) uo (t ) ui (t ) dt dt
df ( x) y f ( x0 ) ( x x0 ) dx x0
※
y y0 y k x
机械控制工程基础
第二章 系统的数学模型
2 ）具有两个自变量的非线性函数，设输入量为 x1(t) 和 x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作点为y0＝ f(x10, x20) 。
出响应，通过比较输入和输出信号获得系统的数
学模型。
9
对系统数学模型的基本要求
• 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确 ）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都 是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因 素，系统越复杂，情况也越复杂。 • 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统 运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行 建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模 型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑 。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：
得：y y 0 f ' x0 x x0 。取增量为变量，得到 线性 化方程：
y y0 y k x
对于多元函数，如y=f(x1,x2)，平衡点为(y0,x10,x20) 在平衡点邻域内进行小偏差线性化：
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
23
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
第2章 系统的数学模型(拉普拉斯变换)
t
lim f t 的值
1 lim f t lim sF s lim s 0 t 0 s s s s 1
1 lim f t lim sF s lim s 1 t s 0 s 0 s s 1
3 拉普拉斯反变换 对于任何时间连续的时间函数来 说，它与拉普拉斯变换之间保持唯 一的对应关系。 一一对应
1 定义与基本变换
例5 脉冲函数 0, t ,
t 0 t 0
0
dt 1
单位脉冲函数的拉氏变换为 1
L t 1
2 拉普拉斯变换性质
1.线性定理：
Lk1 f1 t k 2 f 2 t k1 L f1 t k 2 L f 2 t
k13
2
s s1 l 1
k1l
kn k2 s s1 s s 2 s sn
k1
1 d l 1 k1l l 1 F s s s1 s s1 l 1! ds
k11 F s s s1 | s s1
4 求解线性微分方程
解：1、对微分方程进行拉氏变换 利用微分定理： 2 ( s 5s 6)Y ( s) s 7 s
2
4、查表求各分式的拉氏反变换 1 1 L 1(t ) 3s 3 1 4 2 t L 4 e s 2
1
2、求系统输出变量表达式 s 7s 2 Y ( s) s( s 2)( s 3)
1 定义与基本变换
例3 斜坡函数
f(t) A t 0 1
At (t 0) f t 0(t 0)
A L f t s2
lim f t 的值
1 lim f t lim sF s lim s 0 t 0 s s s s 1
1 lim f t lim sF s lim s 1 t s 0 s 0 s s 1
3 拉普拉斯反变换 对于任何时间连续的时间函数来 说，它与拉普拉斯变换之间保持唯 一的对应关系。 一一对应
1 定义与基本变换
例5 脉冲函数 0, t ,
t 0 t 0
0
dt 1
单位脉冲函数的拉氏变换为 1
L t 1
2 拉普拉斯变换性质
1.线性定理：
Lk1 f1 t k 2 f 2 t k1 L f1 t k 2 L f 2 t
k13
2
s s1 l 1
k1l
kn k2 s s1 s s 2 s sn
k1
1 d l 1 k1l l 1 F s s s1 s s1 l 1! ds
k11 F s s s1 | s s1
4 求解线性微分方程
解：1、对微分方程进行拉氏变换 利用微分定理： 2 ( s 5s 6)Y ( s) s 7 s
2
4、查表求各分式的拉氏反变换 1 1 L 1(t ) 3s 3 1 4 2 t L 4 e s 2
1
2、求系统输出变量表达式 s 7s 2 Y ( s) s( s 2)( s 3)
1 定义与基本变换
例3 斜坡函数
f(t) A t 0 1
At (t 0) f t 0(t 0)
A L f t s2
自动控制理论第二章--线性系统的数学模型全
理
论 一.物理模型 、数学模型及数学建模
物理模型 ：
任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对
它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。
简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。
简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确
要求来确定出合理的物理模型。
2
第二章 线性系统的数学模型
自
动
控
制 理
物理模型的数学描述。是指描述系统
零初使条件是指当t≤0时,系统r(t)、c(t)以及它们的各阶
导数均为零。
传递函数
输出信号的拉氏变换 输入信号的拉氏变换
零初始条件
C(s) R(s)
26
第二章 线性系统的数学模型
自
动
控 线性系统微分方程的一般形式为:
制
理 论
制 理 论
F(s)
br (s p1)r
br 1 (s p1)r1
b1 (s p1)
ar 1 s pr1
an s pn
br
B(s)
A(s)
(s
p1
)r
s p1
br 1
d
ds
B(s) A(s)
(s
p1 ) r
s p1
br j
1 dj
j!
ds
j
B(s) A(s)
(s
p1
La
dia (t ) dt
Raia (t )
Ea
+
(1) -
La
if Ra
m
+ ia
Ea ——电枢反电势，其表达式为 Ua
Ea S M
负 载
jmfm
Ea Cem(t) (2) --
第二章物理系统的数学模型及传递函数
要 消去它们, 就要找出中间变量与其它因素间的关系. 感应 电势 E ( t ) 正比于转速 m ( t ) 和激磁电流 I f 产生的磁通量 由于激磁电流是恒定的, 所以磁通量也恒定, 感应电势仅取 决于转速, 并可表示为:
a
(3) 消去中间变量 从式(1)和式(2)中可见,
i a ( t ), E a ( t ), M m ( t ) 是中间变量,
uC (t ) u (t )
m
d x(t ) dt
2
2
f
dx(t ) dt
Kx(t ) F (t )
相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系
三、非线性系统的线性化
1）线性系统 线性系统是由线性元件组成的系统，线性微分
方程用来描述线性系统。 若微分方程的系数是常数称线性定常系统，或 线性时不变系统。 这是经典控制论主要研究的对象，因为它可以 方便地进行拉氏变换，并求得传递函数。
4.用解析法建立运动方程的步骤
1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确 定出待研究元件或系统的输入量和输出量； 2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手）， 依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写 各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就 是考虑后一级对前一级的影响。 3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输 出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容：① 将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有 关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列； ③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定 物理意义的系数。
§2-1 系统的数学模型
线性系统微分方程的建立
步骤：1.分析系统和元件的工作原理，找出 各物理量之间的关系，确定输出量及输入 量。 2.设中间变量，依据物理、化学等定律忽 略次要因素列写微分方程式。 3. 将所有方程联解，消去中间变量，得出系统
机械工程控制基础(2)
2.2 系统的传递函数
(4)传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量 纲与输入的量纲。 (5)不同用途、不同物理组成的不同类型系统、环节或元件， 可以具有相同形式的传递函数。 (6)传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的 动态特性进行描述。但对于多输入、多输出系统，需要对 不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递 函数只表示系统输入量和输出量的数学关系（描述系统的 外部特性），而未表示系统中间变量之间的关系（描述系 统的内部特性）。针对这个局限性，在现代控制理论中， 往往采用状态空间描述法对系统的动态特性进行描述。
量的方程式； (4).将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微
分方程的左边，并且各阶导数项按降幂排列。 在列写微分方程的各步中，关键在于掌握组成系统的各个元件
或环节所遵循的有关定律。对于机械类的学生，往往需要列写机 械系统和电网络系统的微分方程，因此，有必要掌握常见元件的 物理定律。
系统的零初始条件有两方面的含义，一是指在t=0-时输入Xi(t) 才开始作用于系统，因此， t=0-时， Xi(t)及其各阶导数均为零； 二是指在t=0-时系统处于相对静止的状态，即系统在工作点上运 行，因此t=0-时，输出X0(t)及其各阶导数也均为零。现实的工程 控制系统多属此类情况。
2.2 系统的传递函数
2.2 系统的传递函数
二、传递函数的零点、极点和放大系数 传递函数是一个复变函数，一般具有零点、极点。根据复变函数知
识，凡能使复变函数为0的点均称为零点；凡能使复变函数为趋于∞的 点均称为极点。
若将传递函数写成如下的形式：
则，s=zj (j=1,2,…,m)为传递函数的零点，s=pj (j=1,2,…,n)为传递函 数的极点，而将K称为系统的放大系数。传递函数的零点和极点的分布 影响系统的动态性能。一般极点影响系统的稳定性，零点影响系统的瞬 态响应曲线的形状。系统的放大系数决定了系统的稳态输出值。因此， 对系统的研究可变成对系统传递函数的零点、极点和放大系数的研究。
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3) 数学模型的建立方法
建立系统数学模型有两种方法：分析法和实验法,本章仅 就分析法进行讨论。
(1)分析法:根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数 学表达式，从而建立数学模型。
(2)实验法:对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数 据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。
4)线性系统与非线性系统
本例如果不考虑负载效应时，有： 第一级： 第二级： 消去中间变量得到： 显然与前面得到的结果不同。
例控2制图电示压为，电为枢电控机制旋式转直角流速电度机，原M理L 为图折，合设到u 电a 为机电轴枢上两的端总的
的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下，u a 为给
定输入，M L 为干扰输入， 为输出。系统中为 电动机旋转
例2.1 图示为RC电路串联滤波网 络，试写出以输出电压和输 入电压为变量的滤波网络的 微分方程。
解：列写系统微分方程
① 输入:电压 u 1 输出:电压 u 2 中间变量 i 1 , i 2
② 简化
③ 根据基尔霍夫定律，可写出 下列原始方程式：
i1R 1C 11 (i1i2)dtu1
i2R2C 12 i2dtC 11 (i1i2)dt
值均为零
（2）如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化 方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必 有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的， 即变量偏离预定工作点很小。
（3）如果非线性函数是不连续的（即非线性特性是 不连续的），则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒 级数，这时就不能线性化这类非线性称为本质非线性。
即
ed kd
式中，k d 为反电势常数。这样（2.1.5）式为
Ldia dt
iaRkdua
(2.1.6)
根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为
J
d
dt
MML
(2.1.7)
式中，J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固定不 变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即
M kmia
若 a i , b j 中有系数依赖于 xi (t), x(t) 或它们的导函数， 则该方程就是非线性的，相应的系统也称为非线 性系统，下面模型 & x & o ( t ) x o ( t ) • x & o ( t ) x o 2 ( t ) x i( t )
是非线性的。
线性及非线性是系统本 身的固有特性。
2s2 12s 6 1 5
qKqxKcp
(2.1.20)
（4）消除中间变量
由(2.20)可得
1 p Kc (Kqx q)
(2.1.21)
整理后可得线性化后的动力学方程为：
m& y&(cA2)y&AKq x
Kc
Kc
(2.1.22)
图2.1.4 q,p,x三者线性关系
小偏差线性化时要注意以下几点：
（1）必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得 线性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的
L [d2f(t)]s2F(s)s(f0)f'(0) d2t
L[ f(t)d]tF(s)f1(0)
ss
L [ f(t)d] tF (s)f 1(0)f 2(0)
s2
s2
s
常用拉普拉斯变换
⑶ 拉氏反变换
定义：
求法：
L1[F(s)]f(t)1 jF(s)estds
2j j
F(s)化成下列因式分解形式：
ua控制，又受ML影响。
二．微分方程的增量化表示
前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。 (1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程：
此时，对应输入输出量可表示为：
CduaCmML
则有
ua ua0 ML ML0 0
（2.1.12）
这就是系统的稳态。
式中 xxx0 ppp0
则(2.18)可以写成
qKqxKcp
(2.1.19)
其 中 K q( q x)x p x p 0 0;
q K c (p)x p x p 0 0
当系统在预定工作条件 q(x0, p0)0， x 0 0 ，p 0 0
下工作 q,x,p 即分别为q,x,p,故（2.1.19）可以写为
式中，km为电动机电磁力矩常数
(2.1.8)
（3）消除中间变量
将（2.1.8）式代入（2.1.7）式得
J ddt kmia ML
上式略去了与转速成正比的阻尼力矩。
(2.1.9)
应用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中间变量ia，可得
k L d k J m d d 2 t2 k R d k J m d d t k 1 du a k d L k m d M d tL k d R k m M L (2.1.10)
令 L R T a ,R J ( k d k m ) T m , 1 k d C d , T m J C ，m 则上式为
T a T m d d 2 t2 T m d d t C d u a C m T ad M d tL C m M L
(2.1.11)
式（2.1.11）即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速ω既由
F (s)B (s)k(sz1)s(z2)(szm ) A (s) (sp 1)s(p 2)(sp n)
F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F(s) a1 a2 an
sp1 sp2
spn
原函数为：
n
f (t) kiesit i1
B(s) ak [A(s)(spk)]spk
用拉氏变换解线性常微分方程
定义：描述系统的输入和输出之间动态关系的微分方程
a n x o ( n ) ( t ) L a 1 x & o ( t ) a 0 x o ( t ) b m x i ( m ) ( t ) . . . b 1 x & i ( t ) b 0 x i ( t )2 . 0 . 1
如果系数 a i( i 0 ,1 ,2 ,L ,n ) ,b j(j 0 ,1 ,2 ,L ,m )均为常数， 则式(2-1)为线性定常微分方程，简称常微分方程。相应 的动态系统称为线性定常系统。大多数物理系统均属于 这一类，这是我们研究的重点。 若 a i , b j 是时间t的函数，则该方程为线性时变的，相应 的系统也称为线性时变系统；例如，宇宙飞船控制系统 便是一个时变系统，因为随着宇宙飞船上燃料的消耗， 飞船质量发生变化，而且当飞船远离地球后，重力也在 发生变化。
3. 将 输 出 变 量 的 象 函 数 表达式展开成部分分 式；
4. 对 部 分 分 式 进 行 拉 氏
解 对微分方程进行拉氏变换得
s 2 X (s) sx(0) x '(0) 5[sX (s) x(0)] 6 X (s) 6 s 将 x'(0) 2, x(0) 2代 入 上 式 ， 并 整 理 得
（4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。
2.2 拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义
设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0
② t>0时，f(t)分段连续
f(t)estdt 0
则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
F(s)L[f(t) ] f(t)esd t t
时域 f(t) 称为原函数0，复频域 F(s) 称为象函数
三．非线性微分方程的线性化
某些非线性系统，可以在一定条件下，进行线性化。下 图是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题。
(1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间
变量 p、 q
(2)按照液压原理建立动力学方程
负载动力学方程为 m& y&cy&Ap (2.1.15)
流量连续性方程为
时电枢两端的反电势；i a 为电动机的电枢电流；M 为电动机的 电磁力矩。
(1) 输入变量为电压 ua、M L ；输出变量为电机旋转角速度 ;中间变
量ia、 e d ;
(2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为
Ldia dt
iaRed
ua
(2.1.5)
式中，L，R分别为电感与电阻。当磁通固定不变时，e d 与转速 成正比，
⑵拉氏变换基本定理
线性定理 L [ a 1 f 1 ( t ) a 2 f 2 ( t ) a ] 1 F 1 ( s ) a 2 F 2 ( s )
终值定理 初值定理
limf(t) limsF(s)
t
s 0
limf(t) limsF(s)
t 0
s
微分定理 积分定理
L[d(ft)]sF(s)f(0) dt
第二章 系统的数学模型
本章内容提纲
2.0 基本概念 2.1 系统的微分方程 2.2 Laplace 变换与反变换 2.3 系统的传递函数 2.4 系统的传递函数方框图及其简化 2.5 反馈控制系统的传递函数 2.6 相似原理 2.7 系统的状态空间模型 2.8 数学模型的Matlab描述
2.0 基本概念
步骤：
例：已知系统的微分方程
1. 将 系 统 的 微 分 方 程 进
行拉氏变换，得到以 s为变量的代数方程，
d
2 x (t ) dt2
5
dx dt
6 x(t)
6
又称变换方程；
并 设 x'(0) 2, x(0) 2, 求 系 统 的 输 出 x(t).
2. 解 变 换 方 程 ， 求 出 系 统输出变量的象函数 的表达式；
考虑到 0C dua0C m M L0，上式可变为
T a T m d d 2 t2 T m d d t C d u a C m T a d d M tL C m M L (2.1.14)