高考数学讲义随机变量及其分布列.知识框架

随机变量及其分布

要求层次重难点

取有限值的离散型

随机变量及其分布

列

C

⑴理解取有限个值的离散型随机变量及

其分布列的概念，了解分布列对于刻画

随机现象的重要性．

⑵理解超几何分布及其导出过程，并能

进行简单的应用．

超几何分布 A

二项分布及其应用

要求层次重难点

条件概率 A

了解条件概率和两个事件相互独立的概

念，理解n次独立重复试验的模型及二

项分布，并能解决一些简单的实际问题．事件的独立性 A

n次独立重复试验与

二项分布

B

离散型随机变量的

要求层次重难点

取有限值的离散型随 B 理解取有限个值的离散型随机变量均高考要求

模块框架

随机变量及其分布列

均值与方差

机变量的均值、方差

值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

正态分布

要求层次

重难点

正态分布

A

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

1． 离散型随机变量及其分布列

⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示．

如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =列表表示：

X 1x 2x … i x … n x P

1p

2p

…

i p

…

n p

X 的分布列．

2．几类典型的随机分布

⑴两点分布

如果随机变量X 的分布列为

X 1 0 P p q

其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布．

X 1

P 0.8 0.2

两点分布又称01-布又称为伯努利分布．

⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为

C C ()C m n m

M N M

n N

P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．

我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，

M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．

知识内容

⑶二项分布

1．独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为

()C (1)k k n k

n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布

若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复

试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k

n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于

是得到X 0

1

… k

… n

P

00C n

n p q

111

C n n p q

- … C k k n k

n p q

- 0

C n n n p q

由式

00111

()C C C C n n n k k n k

n n n n n n q p p q p q

p q

p q --+=++++

各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．

二项分布的均值与方差：

若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则

()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．

⑷正态分布

1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，

直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．

曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布

⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22

()2()2πx f x μσσ

--=

⋅，

x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．

式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望

为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．

⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：

①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．

②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原

x=μO

y x