小学奥数教程之-分解质因数 (79)(含答案)

y
都要大于 1001，要保证 a、b 都是四位数，所以 a、b 的比值都要小于 10，即 x、y 的比值小于 10．而
1001 的两个互质且比值小于 10 的约数有以下几组：（1,7）、（7,11）、（7,13）、（11,13）、（11,91）、
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例如： 30 = 2 × 3× 5 .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 ，2、3 都叫做 12 的质因数，
其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分 解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法
) )
= ( )1(
) 的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并
且要求所填每一个括号内数字均为质数? 【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是 2，3，5，7.将原始代入字母分析有
b = − d cb −= ad 1 ，即有 cb − ad = 1 ，那么很容易发现只有 3×5-2×7=1。符合原式的填法为 a c a×c a×c
5-3-4.分解质因数
教学目标
1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟wk.baidu.com任何一个数字都可以表示为 △☆ × △☆ × ...× △☆ 的结构，而且
表达形式唯一”
知识点拨
一、质因数与分解质因数
（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
=
x+ 1001(x
y +
y)
=
x 1001(x
+
y)
+
y 1001(x
+
y)
=
1 1001 (x
+
y)
+
1 1001 (x
+
y)
，因为
x、y
都是
1001
的约
x
y
数，所以 1001 、 1001 都是整数．所以只需令 a = 1001（x+y）， b = 1001（x+y）就可以了．而 a、b
x
y
x
abc 分后的分母为 a × b × c ，求和得到的分数为 F ,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为 a 、
abc b 、 c 或它们之间的积.现在和为 1661 ，分母1986 = 2 × 3× 331，所以一定是 a = 2 ， b = 3 ， c = 331 ，
1986 检验满足.所以这 3 个质数的和为 2 + 3 + 331 =336 ． 【答案】 2 + 3 + 331 =336
3 − 2 =1 。 7 5 35
【答案】 3 − 2 =1 7 5 35
【例 5】 求满足条件 1 + 1 =1 的 a、b 的值(a、b 都是四位数)． a b 1001
【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】取 1001 的两个不同约数 x、 y(x < y) ，得到：
1 1001
【例 3】 一个分数，分母是 901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的 一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后 是 7 ．那么原来分数的分子是多少． 13
【考点】分数的拆分 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】因为新分数约分后分母是13 ，而原分母为 901，由于 901 ÷13 = 694 ，所以分母是加上 9 或者减
去 4 ．若是前者则原来分数分子为 7 × 70 − 9 =481 ，但 48=1 13× 37 ，不是质数；若是后者则原来分 数分子是 69 × 7 + 4 =487 ，而 487 是质数．所以原来分数分子为 487 ． 【答案】 487
【例 4】
() ( 将 1 到 9 这 9 个数字在算式 ( ) − (
2 12 例如： 2 6 ，（┖是短除法的符号） 所以12 = 2 × 2 × 3 ；
3
二、唯一分解定理
任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即： n = p1a1 × p2a2 × p3a3 ×× pkak 其中为质数， a1 < a2 < < ak 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式.
（13,77）．所以我们依次取 x、y 为上面所列的数对中的数，代入 a、b 的表达式，得到本题的答案： a = 8008,2574,2860,2184,9282,6930 b = 1144,1638,1540,1848,1122,1170
例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是 5、6 和 7.
三、部分特殊数的分解
111= 3× 37 ；1001 =7 ×11×13 ；1111=1 41× 271；1000=1 73×137 ；1995 = 3× 5 × 7 ×19 ；1998 = 2 × 3× 3× 3× 37 ； 2007 = 3× 3× 223 ； 2008 = 2 × 2 × 2 × 251；10101 = 3× 7 ×13× 37 .
例题精讲
模块一、分数的拆分
【例 1】 算式“ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝
。
希望杯
【考点】分数的拆分 【难度】1 星 【题型】填空
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【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 19 题，6 分 【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即
是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11 【答案】11
【例 2】 3 个质数的倒数之和是 1661 ，则这 3 个质数之和为多少． 1986
【考点】分数的拆分 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设这 3 个质数从小到大为 a 、 b 、 c ，它们的倒数分别为 1 、 1 、 1 ，计算它们的和时需通分，且通