高中数学必修4三角函数常考题型：弧度制

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高中数学第一章三角函数 1.1.2 弧度制课件新人教A

(2)用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
角度与弧度间的换算
360 = 2rad 180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
解：∵
67o30
弧度
0
64
3
2
2 3 5 346
பைடு நூலகம்
3 2
2
角度
0 -30o -45o -60o -90o-120-o135-o150-o180o-270o-360o
弧度
0
-
6
-
4
-
3
-
2
- 2
3
- 3
4
- 5
6
-
- 3
2
-2
终边相同的角的表示
（1）用角度表示与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z
=
135 2
o
∴ 67o30 = rad 135 = 3 rad
180 2 8
例2 把 4 rad化成度． 5
解： 4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数
角度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：

高中数学必修4(北师版)第一章1.3 弧度制(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

10 < r < 10．于是扇形的面积为 π+1 1 10 S = (20 − 2r)r = −(r − 5)2 + 25( < r < 10)．当 r = 5 时，l = 10 ，α = 2，S 取得 2 π+1 最大值，此时最大值为 25cm2 ．故当扇形的圆心角 α 等于 2 弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是 25cm2 ． 1 （2）设扇形的半径是 r ，弧长是 l ，扇形的周长为 y ，则 y = l + 2r．由题意得 lr = 25，则 2 50 50 ，所以 y = l= + 2r．利用函数单调性的定义可证明：当 0 < r ≤ 5 时，函数 r r 50 50 y= + 2r 是减函数；当 r > 5 时，函数 y = + 2r 是增函数．所以，当 r = 5 时，y r r l 取得最小值 20，此时 l = 10 ，α = = 2 ，即当扇形圆心角为 2 弧度时，扇形周长取最小值为 r 20． 0 < 20 − 2r < 2πr，所以
π rad 的角的正弦．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度 3 数是 0 ．如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧的长为 l ，那么角 α 的弧度数的绝对值是 l ．这里， α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定． |α| = r
角度与弧度的换算
π 表示 3
360 ∘ = 2πrad, 180 ∘ = πrad π rad ≈ 0.01745rad 1∘ = 180 180 ∘ 1rad = ( ) ≈ 57.30∘ = 57∘ 18 ′ π
解：15∘ = 15 × （1）一个扇形的周长为 20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形面积的最大值．（2）一个扇形的面积为 25cm 2 ，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的周长最小？并求出这个扇形周长的最小值．解：（1）设扇形的半径为 r ，则弧长为 l = (20 − 2r)．由 0 < l < 2πr ，得

高中必修四角和弧度制知识点+例题

任意角和弧度制及任意角的三角函数1、任意角（1）角概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角； ②按终边位置不同分为象限角和轴线角。

（2）终边相同的角终边与角α相同的角可写成α+k ·360o(k ∈Z)。

（3）象限角及其集合表示注：终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k π, k ∈Z };终边在y 轴上的角的集合为{α|α=k π+2π, k ∈Z };终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=2k π, k ∈Z } 2、弧度制（1）1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示。

（2）角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=l /r. （3）角度与弧度的换算①10=π/180rad;②1rad=（180/π）0. （4）弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r 。

又l =r α,则扇形的面积为S=12l r=12r 2α3、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαy/x叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ+ + + Ⅱ+ - - Ⅲ- - + Ⅳ- + - 口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦终边相同角三角函数值(k∈Z)（公式一）sin(α+k·2π)=sinαcos(α+k·2π)=cosαtan(α+k·2π)=tanα三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线注：根据三角函数的定义，y=sinx在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同；y=cosx在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同；y=tanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同。

4、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α=1;（2）商数关系：sintan cosααα=题型分析1、三角函数的定义※相关链接※（1）已知角α终边上上点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。

课件1：1.1.2 弧度制

把长度等于半周角的1/360叫做1
单位规径长的弧所对度的角。
定
的圆心角叫做1
弧度的角。
换算关
系
360 2rad
180 rad
基本关系
1

rad 0.01745rad
180
180
1rad
57.30 5718

导出关系
弧度制与角度制的互化技巧
=
180 8

.
把
8
5
化成度。
解：1rad=
180
(
)

8 8 180

(
)
5
5

288Βιβλιοθήκη 度与角度的互化过程中，要掌握其中的原理和方法，必要时可以借助一些特殊角
来判断，会转换到别的地方。
题型三
将3.14 rad 换算成角度(用度数表示，
精确到0.001).
解:∵1=(180/π)0
弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。这种
用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制。
要点阐释
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的
弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果
半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
典例剖析
题型一
1．下列说法中，错误的说法是 (
180π°进行转化．
题型二
（1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解：（1）112º30′=112.5º，

1
0.0175

高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总(教师版)

任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。

注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。

（0,45）（180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、30︒ ；390︒ ；-330︒是第象限角 300︒ ； -60︒是第象限角585︒ ； 1180︒是第象限角 -2000︒是第象限角。

例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ），当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°；当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和。

三角函数题型总结

三角函数题型总结三角函数是学习数学中重要的一部分，也是高中数学中必修的内容，其中题型多样，考点较为难度。

一、角度制与弧度制1. 角度制与弧度制的互相转换。

角度制与弧度制的转换是最基本的内容之一，通常考查角度制转化为弧度制或弧度制转化为角度制。

其中，角度制的1圈等于360°，弧度制的1圈等于2π弧度。

角度制 $\to$ 弧度制：$rad= \dfrac{\pi}{180°}\times \theta$在解题时按照公示进行换算即可。

二、三角函数基本概念2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义及其图像；正弦函数、余弦函数和正切函数是三角函数中最基本、最重要的三个函数，需要了解它们的定义和图像。

正弦函数的定义：$y=\sin{\theta}$![image.png](attachment:image.png)3. 基本三角函数间的互相转换。

基本三角函数之间有着很多性质，掌握这些性质有助于解题。

例如，正切函数和余切函数的关系是互为倒数，正弦函数和余弦函数的关系是互为余角函数。

$\sin{\theta}=\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)}$，$\cos{\theta}=\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)}$其中，$\cot{\theta}$表示余切函数，是$\tan{\theta}$的倒数。

三、三角函数的性质4. 周期函数的性质及周期的推导，平移性质的运用。

周期函数的性质是三角函数中比较重要的点，需要通过图像理解其性质，轻松解决一些与周期函数有关的题目。

正弦函数和余弦函数都是周期函数，其中，$\sin{\theta}$的周期是$2\pi$，$\cos{\theta}$的周期是$2\pi$。

周期是指函数在一个区间内重复出现的最小距离。

平移性质的运用是解决三角函数题目时比较常见的方法。

其基本公式如下：1. $y=\sin{(x+a)}$的图像向左平移a个单位；其中，$a$为正数。

高二数学必修四任意角和弧度制复习要点梳理

高二数学必修四随意角和弧度制复习重点梳理数学是研究现实世界空间形式和数目关系的一门科学。

以下是查词典数学网为大家整理的高二数学必修四随意角和弧度制复习重点，希望能够解决您所碰到的有关问题，加油，查词典数学网向来陪同您。

1.随意角(1)角的分类：①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.②按终边地点不一样分为象限角和轴线角.(2)终边同样的角：终边与角同样的角可写成+k360(kZ).(3)弧度制：① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 .②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||=， l 是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 .③用弧度做单位来胸怀角的制度叫做弧度制 .比值与所取的 r 的大小没关，仅与角的大小有关 . ④弧度与角度的换算： 360 弧度 ;180 弧度 .⑤弧长公式： l=||r ，扇形面积公式：S 扇形 =lr=||r2.2.随意角的三角函数(1)随意角的三角函数定义：设是一个随意角，角的终边与单位圆交于点P(x， y) ，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin =y ，cos =x，tan =，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 .(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 .3.三角函数线我国古代的念书人 ,从上学之日起 ,就日诵不辍 ,一般在几年内就能识记几千个汉字 ,熟记几百篇文章 ,写出的诗文也是咬文嚼字 ,琅琅上口 ,成为博学多才的文人。

为何在现代化教课的今日 ,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生 ,竟提起作文就头疼 ,写不出像样的文章呢 ?吕叔湘先生早在 1978 年就尖利地提出 : “中小学语文教课成效差,中学语文毕业生语文水平低 , 十几年上课总时数是9160 课时 ,语文是 2749 课时,恰巧是 30%,十年的时间 ,二千七百多课时 ,用来学本国语文,倒是大部分可是关 ,莫非咄咄怪事 ! ”刨根问底 ,其主要原由就是腹中无物。

高中数学必修四同步练习题库：任意角和弧度制(简答题：容易1,较易8,一般26,较难29,困难30)

任意角和弧度制（简答题：容易1，较易8，一般26，较难29，困难30）1、把下列各角用另一种度量制表示出来：；；；.2、如果角的终边经过点，试写出角的集合，并求集合中最大的负角和绝对值最小的角.3、已知扇形的中心角为，扇形所在圆的半径为，若扇形的面积值与周长值的差为，求的最小值及对应的值.4、扇形AOB的周长为8cm，它的面积为3 cm2，求圆心角的大小．5、（本小题满分13分）直角坐标系中，锐角的终边与单位圆的交点为，将绕逆时针旋转到，使，其中是与单位圆的交点，设的坐标为．（Ⅰ）若的横坐标为，求；（Ⅱ）求的取值范围．6、一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.7、一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.8、已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求的弧长；(2)求弓形OAB的面积．9、写出如图所示阴影部分的角α的范围．10、如图，动点，从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，求，第一次相遇时所用的时间及，点各自走过的弧长．11、已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）；（2）；（3）.12、已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：（I）弧的长；（II）扇形所含弓形的面积 (即阴影面积)．13、一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．14、在角的集合{α|α=k•90°+45°，k∈Z}中：（1）有几种终边不相同的角？（2）有几个适合不等式﹣360°＜α＜360°的角？（3）写出其中是第二象限角的一般表示法．15、已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.（1）若，，求扇形的弧长.（2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.16、已知一个扇形的半径为，圆心角为，求这个扇形的面积。

考点25 高中数学弧度制及任意角的三角函数(解析版)

考点25 弧度制及任意角的三角函数【命题解读】了解终边相同的角的意义；了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号【基础知识回顾】1. 角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k ∈Z}． 2. 弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝__lr __，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③弧度与角度的换算：360°＝_2π_rad ；180°＝__π__rad ；1°＝__π180__rad ；1 rad ＝__180π__度． ④弧长公式：__l ＝|α|r__．扇形面积公式：S 扇形＝__12lr__＝__12|α|r 2__． 3. 任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，那么sin α＝__y__，cos α＝__x__，tan α＝yx ()x ≠0．（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．1、下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )【答案】：C【解析】：与角9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )或k ·360°＋45°(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅【答案】：B【解析】：由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B. 3．若α是第四象限角，则π－α是第( )象限角．A . 一 B. 二C. 三D. 四【答案】：C【解析】：∵α是第四象限角，∴－π2＋2k π<α<2k π，k ∈Z ，∴－2k π<－α<－2k π＋π2，k ∈Z ， ∴π－2k π<π－α<－2k π＋32π，k ∈Z ，故π－α是第三象限角． 4．若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为( )A.3π2B.3π4C.3π8 D.3π16【答案】：B【解析】：设扇形的圆心角为α，∵扇形的面积为3π8、半径为1，∴3π8＝12α·12，∴α＝3π4. 5、关于角度，下列说法正确的是( )A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则 α2是第一或第三象限角【答案】： BD【解析】：对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误；对于D ，∵角α的终边在第二象限， ∴2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π＋π4＜ α2＜k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4＜ α2＜2n π＋π2，n ∈Z ，得 α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4＜ α2＜(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得 α2是第三象限角，故正确．考向一角的表示及象限角例1（1）集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )（2）若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【答案】（1）B （2）C.【解析】（1）当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样．（2） ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.变式1、设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．【答案】：四【解析】：由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．变式2、若α是第三象限角，给出下列式子：① sin α＋cos α＜0；② tan α－sin α＜0； ③ tan αsin α＜0；④ sin(cos α)＜0．其中成立的是________．(填序号) 【答案】：①③④【解析】：α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则①、③显然成立，②不成立．又由α是第三象限角知，－1＜cos α＜0，所以sin(cos α)＜0，④成立．方法总结：本题考查象限角、终边相同的角、三角函数值所在象限的符号．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．三角函数值象限的符号牢记：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．考向二扇形的有关运算例2、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．(1) 若α＝60°，R ＝10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2) 若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【解析】：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓．∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴ l ＝103π(cm)．∴ S 弓＝S 扇－S △＝12×103π×10－12×102·sin60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 cm 2． (2) ∵扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴ R ＝C2＋α，∴ S 扇＝12α·R 2＝12α⎝⎛⎭⎫C 2＋α2＝C 22·α4＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216，当且仅当α＝4α，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值C 216．变式1、扇形AOB 的周长为8 cm .(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.【解析】设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6， ∴α＝l r ＝23或6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l·2r ≤14·⎝⎛⎭⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值，∴r ＝2 cm ，∴弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm )．变式2、已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l .(1)若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．【解析】 (1)因为α＝100°＝100×π180＝5π9，所以S 扇形＝12lr ＝12αr 2＝12×5π9×4＝10π9. (2)由题意知，l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，故S 扇形＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25，此时l ＝10，则α＝lr ＝2 方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．考向三三角函数的定义及应用例3、已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值．【解析】：由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2． ∴sin α＝m r ＝2m 4＝m22，因为m ≠0 ∴r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝±5．当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153．变式1、（1）已知角α的终边经过点P(－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝____．（2）已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y ，则sin α·tan α＝_ __．【答案】（1）－23.（2）－32【解析】（1） ∵角α的终边经过点P(－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝y x ＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. （2）由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时sin α·tan α＝－32.变式2、(1)函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P ，则sin α＋cos α的值为( )A.75 B ．65 C.55D.355(2)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.【答案】（1）D （2）－23【解析】(1)因为函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4,2)，且角α的终边过点P ，所以x ＝4，y ＝2，r ＝25，所以sin α＝55，cos α＝255，所以sin α＋cos α＝55＋255＝35 5.故选D.(2)因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－x x 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍)．所以P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，r ＝132，所以 sin α＝－1213.所以tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 方法总结：1．明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．三角函数值只与角的大小有关，与点P 在角的终边上的位置无关，由于P 是除原点外的任意一点，故r 恒为正，本题要注意对变量的讨论．考向四三角函数值的符号及判定例4、已知sin α＜0，tan α＞0． (1) 求α角的集合； (2) 求α2终边所在的象限； (3) 试判断tan α2sin α2cos α2的符号．【解析】：(1) 由sin α＜0，知α的终边在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α|(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z }．(2) 由(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3) 当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0，cos α2＞0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．变式1、(2020·江西九江一模)若sin x <0，且sin(cos x )>0，则角x 是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】 D【解析】 ∵－1≤cos x ≤1，且sin(cos x )>0，∴0<cos x ≤1，又sin x <0，∴角x 为第四象限角，故选D. 变式2、(多选)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m >0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos α D.sin αtan α【答案】CD【解析】由已知得r ＝|OP |＝m 2＋1，则sin α＝m m 2＋1 >0，cos α＝－1m 2＋1<0，tan α＝－m <0，∴sin α＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，sin αtan α＝cos α<0.故选C 、D.方法总结：(1)区域角也称为范围角，表示的是一定范围内角的全体，它是高考的考点之一．表示区域角时要注意考虑问题的范围以及边界的虚实线情况．(2)准确掌握三角函数在各象限的符号．1、在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角α的终边经过点M ⎝⎛⎭⎫－cos π8，sin π8，且0<α<2π，则α＝( ) A.π8 B.3π8C.5π8D.7π8【答案】D【解析】(1)因为角α的终边经过点M ⎝⎛⎭⎫－cos π8，sin π8，且0<α<2π，所以根据三角函数的定义，可知cos α＝－cos π8＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π8＝cos 7π8，则α＝7π8.故选D.2、已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32C.12D.32【答案】C【解析】由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，所以m >0，解得m ＝12.3、（2014新课标I ，文2）若tan 0α>，则A. sin 20α> B ． cos 0α> C ． sin 0α> D ． cos20α>【答案】A【解析】由tan 0α>知，α在第一、第三象限，即2k k ππαπ<<+（k Z ∈），∴222k k παππ<<+，即2α在第一、第二象限，故只有sin 20α>，故选A ．4、（2011全国课标理5文7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ= （A ）45-(B)35- (C) 35 (D) 45【答案】B【解析】在直线2y x =取一点P （1，2），则rsin θ=y r=5， ∴cos2θ=212sin θ-=35-，故选B ．5、（2018•新课标Ⅰ，文11）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= ) A ．15BCD ．1【答案】B【解析】角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，22cos22cos 13αα∴=-=，解得25cos 6α=，|cos |α∴=，|sin |α∴=，|sin ||tan |||||21|cos |b a a b ααα-==-===-，故选B ． 6、若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．【答案】1∶2【解析】设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.7、（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±．由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-．。

(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

必修4数学三角函数基础知识与典型例题复习

数学基础知识与典型例题第四章三角函数三角函数相关知识关系表角的概念１．①与α(0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合):{}Zkk∈+⨯=,360|αββ ；②终边在x轴上的角的集合:{}Zkk∈⨯=,180|ββ;③终边在y轴上的角的集合:{}Zkk∈+⨯=,90180|ββ;④终边在坐标轴上的角的集合：{}Zkk∈⨯=,90|ββ.２. 角度与弧度的互换关系:360°=2π１８0°=π1°=０.0１745 1=57.３0°＝57°18′注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零,熟记特殊角的弧度制．例1．已知２弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为(C)()2A()sin2B2()sin1C()2sin1D例２.已知α为第三象限角,则2α所在的象限是(D )(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限3．弧度制下,扇形弧长公式12rα=,扇形面积公式211||22S R Rα==，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限１.三角函数定义:利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数22x y=+,r=,r=，x=,y=。

例３.已知角α的终边经过6sin15cos 754-==sin313= ( Ｂ）1)2B 3()2C - 3()2D3=3- 6,2== 6,2-=。

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高中数学必修4三角函数知识点总结§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：.α{}Z k k ∈+=,2παββ§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 .rl =α3、弧长公式：.R Rn l απ==1804、扇形面积公式：.lR R n S 213602==π§1.2.1、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：α()y x P ,xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点为角终边上任意一点，那么：（设）(),A x yαr =，，，sin y r α=cos x r α=tan yx α=cot x yα=3、，，在四个象限的符号和三角函数线的画法.αsin αcos αtan 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.α6π4π3π2π23π34ππ32π2πsin αcos αtan α§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：.1cos sin 22=+αα2、商数关系：.αααcos sin tan =3、倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”）Z k ∈1、诱导公式一：（其中：(),cos 2cos ,sin 2sin απααπα=+=+k k ）Z k ∈2、诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-6、诱导公式六：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.在上的五个关键点为： sin y x =[0,2]x π∈30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T ，使得当取定义域内的每一个值时，都有()x f x ，那么函数就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.()()x f T x f =+()x f图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质xysin =xycos =xy tan =图象定义域RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性π2=T π2=T π=T 奇偶性奇偶奇单调性Zk ∈在上单调递增[2,2]22k k ππππ-+在上单调递减3[2,2]22k k ππππ++在上单调递增[2,2]k k πππ-在上单调递减[2,2]k k πππ+在上单调递(,)22k k ππππ-+增对称性Zk ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π=对称中心(,0)2k ππ+无对称轴对称中心,0)(2k π§1.5、函数的图象()ϕω+=x A y sin 1、对于函数：有：振幅A ，周期，初相，相位，频率()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>2T πω=ϕϕω+x .πω21==Tf 2、能够讲出函数的图象与x y sin =的图象之间的平移伸缩变换关系.()sin y A x B ωϕ=++①先平移后伸缩：平移个单位sin y x =||ϕ()sin y x ϕ=+()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的倍1||ω()sin A x Bωϕ=++（上加下减）②先伸缩后平移：sin y =sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍sin y A xω=横坐标变为原来的倍1||ω()sin A x ωϕ=+()sin A x Bωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数，x∈R 及函数，x∈R(A,,为常数，且A ≠0)的周期；sin()y x ωϕ=+cos()y x ωϕ=+ωϕ2||T πω=函数，(A,ω,为常数，且A ≠0)的周期.tan()y x ωϕ=+,2x k k Z ππ≠+∈ϕ||T πω=对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+求函数图像的对称轴与对称中心，只需令与sin()y A x ωϕ=+()2x k k Z πωϕπ+=+∈()x k k Z ωϕπ+=∈解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.x 4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：，.max min 2y y A -=max min2y y B +=要根据周期来求,要用图像的关键点来求.ωϕ§1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：ααsin αcos αtan 12π426-426+32-§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、.()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=6、.()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、，αααcos sin 22sin =.12sin cos sin 2ααα=2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α.α2sin 21-=变形如下：升幂公式：222cos 1cos 22sin ααα=⎨-=⎪⎩降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、.ααα2tan 1tan 22tan -=4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y （其中辅助角所在象限由点的象限决定, ).ϕ(,)a b tan b aϕ=第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度AB AB AB等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.a a2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规λa a λ定如下： ⑵当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.0>λa λa 0<λa λa 2、平面向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使.()0≠a a b λa b λ=§2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，21,e e a 有且只有一对实数，使.21,λλ2211e e a λλ+=§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 .()y x j y i x a ,=+=§2.3.3、平面向量的坐标运算1、设，则：()()2211,,,y x b y x a == ⑴，()2121,y y x x b a ++=+⑵，()2121,y y x x b a --=-⑶，()11,y x a λλλ=⑷.1221//y x y x b a =⇔2、设，则：()()2211,,,y x B y x A .()1212,y y x x AB --=§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设，则()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ⑴线段AB 中点坐标为，()222121,y y x x ++⑵△ABC 的重心坐标为.()33321321,y y y x x x ++++§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 .θb a ⋅2、在.a b θ34.5、 .0=⋅⇔⊥b a b a §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设，则：()()2211,,,y x b y x a ==⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=2、设，则：()()2211,,,y x B y x A3、两向量的夹角公式cos a ba bθ⋅==4、点的平移公式平移前的点为（原坐标），平移后的对应点为（新坐标），平移向量为，(,)P x y (,)P x y '''(,)PP h k '=则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩ 函数的图像按向量平移后的图像的解析式为()y f x =(,)a h k =().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是l AB l AB直线的方向向量.l ⑵．平面的法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量nααn α⊥ n α⊥ 叫做平面的法向量.nα⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面的法向量为．α(,,)n x y z =③求出平面内两个不共线向量的坐标．123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==④根据法向量定义建立方程组.n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.α（如图）建议收藏下载本文，以便随时学习！2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.12,l l a b 、1l 2l a b ()a kb k R =∈　即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即l a αul αa u ⊥ .0a u ⋅= 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.αu βv αβu vu v λ= 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线.3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.12,l l a b、12l l ⊥a b ⊥ 0a b ⋅= 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即l a αu l α⊥a u.a u λ= ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若l a αm n 、0,.a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直.⑶面面垂直若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.αuβv αβ⊥u v ⊥ 0u v ⋅= 即：两平面垂直两平面的法向量垂直.4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是上的任意两点，所成的角为，,a b ,a b ,a b θ 则cos .AC BDAC BDθ⋅=9⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为l a αu θa u ，　则为的余角或的补角ϕθϕϕ的余角.即有：cos s .in a u a uϕθ⋅== ⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线βα--l ，则为二面角的平面角.l BO l AO ⊥⊥,AOB ∠βα--l 如图：②求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角l αβ--m n 、m n 、ϕ的平面角为，则二面角为的夹角或其补角l αβ--θθm n 、ϕ.πϕ-根据具体图形确定是锐角或是钝角：θ◆如果是锐角，则，θcos cos m n m nθϕ⋅== 即；arccos m n m nθ⋅= ◆如果是钝角，则，θcos cos m n m nθϕ⋅=-=- 即.arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线距离l 若Q 为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q 到直线距离为l P l a l b PQ l h =⑵点A 到平面的距离α若点P 为平面外一点，点M 为平面内任一点，αα平面的法向量为，则P 到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.αn αMP n 即cos ,d MP n MP=10n MP MP n MP ⋅=⋅ n MP n⋅= ⑶直线与平面之间的距离a α 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n ⋅= ⑷两平行平面之间的距离,αβ 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅= ⑸异面直线间的距离设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方n ,a b ,,M a P b ∈∈,a b d MP n 向上投影的绝对值. 即.n MP d n⋅= 6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PAa a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AOa a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面内的任一条直线，AD 是的一条斜线AB 在内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB ααα与 α(AD)所成的角为， AD 与AC 所成的角为， AB 与AC 所1θ2θ11成的角为．则.θ12cos cos cos θθθ=8、面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为，它在平面内的射影图形的面积为，平面与β()S S 原α()S S '射α平面所成的二面角的大小为锐二面角，则βθ 'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则l 123l l l 、、123θθθ、、有 .2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。

人教版高中数学必修四第一章三角函数1.1任意角和弧度制(教师版)【个性化辅导含答案】

任意角和弧度制1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。

与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数）（1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或（3）区间角的表示： ①象限角：象限角象限角的集合表示第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α⋅⋅+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α⋅+⋅+∈Z }第三象限角的集合o o o o {|360180<<360270,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第四象限角的集合o o o o {|360270<<360360,x k k k α⋅+⋅+∈Z }②写出图中所表示的区间角：由α的终边所在的象限，来判断2α所在的象限，来判断3α所在的象限 (二)弧度制1 弧度角的规定.它的单位是读作弧度如图：∠1∠2周角=2π 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。

（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径）（3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o角度制=弧度制*180πo rC 2 1 r 2ro A AB2π=360o弧度数α与弧长L 与半径R 的关系：α（可用来求弧长与半径）（4）弧长公式：α；扇形面积公式：221R S α=弧长公式：180rn l π=，扇形面积公式：3602R n S π=扇（初中）2 弧度制与角度制的换算：因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有radrad radrad 01745.018011802360≈===πππ把上面的关系反过来写1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=rad rad π360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.度 0° 30°45°60°90°120° 135° 150° 180° 270° 360°弧度6π4π 3π 2π π32 π43 π65 ππ23 2π类型一：角的概念问题1. 终边相同的角的表示例1 若角α是第三象限的角，则角α-的终边在第象限. 答案：二.解析：因为α是第三象限的角，故o oo o 360270<<360180,k k k α-⋅---⋅-∈Z ，则o 360k ⋅o oo 270<<360180,k k α--⋅-∈Z ，故α-的终边在第二象限.练习：与o610角终边相同的角可表示为. 【答案：oo360250(k k ⋅+∈Z ）】2. 象限角的表示例2 已知角α是第二象限角，问（1）角2α是第几象限的角？（2）角2α终边的位置. 思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k 值来确定象限角.解析：（1）因为α是第二象限的角，故oooo36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，故︒︒︒︒+⋅<<-⋅45180245180k k αo 180k ⋅o oo45<<18090(2k k α+⋅+∈Z ).当k 为偶数时，2α在第一象限；当k 为奇数时，2α在第三象限，故2α为第一或第三象限角.（2）由oooo36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，得o o o 2360180<2<2360k k α⋅+⋅+ o 360(k ∈Z )，故角2α终边在下半平面.点评：已知α所在象限，求(n nα∈N *)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论.结论：类型二：弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的互化例3 把下列各角的度数化为弧度数：解因为1801π=rad ，所以练习：把下列各角的弧度数化为度数：解因为 π rad ＝180，所以例4 （1）设o 750α=，用弧度制表示α，并指出它所在的象限；（2）设35βπ=，用角度制表示β，并在o 720-～o0内找出与它有相同终边的所有角. 导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？解析：（1）257502218066ππαππ=⨯==⨯+，故α在第一象限. （2）o o 31803()10855πππ=⨯=，与它终边相同的角可表示为o o 360180(k k ⋅+∈Z ），由o 720-≤o o o 360180<0k ⋅+，得332<1010k --≤，故2k =-或1k =-，即在o 720-～o 0范围内与β有相同终边的所有角是o612-和o252-.点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键是在[0,2]π内找到与该角终边相同的角.练习：（1）设o 570α=-，用弧度制表示α，并指出它所在的象限；（2）设73βπ=，用角度制表示β，并在o 720-～o 0内找出与它有相同终边的所有角. 解析：（1）195(570)2218066ππαππ=⨯-=-=-⨯+，故α在第二象限. （2）o o 71807()()42033πππ-=⨯-=-，故在o 720-～o 0范围内与β有相同终边的角是o 60-.2.求弧长与扇形面积例5 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R .α第一象限第二象限第三象限第四象限 2α 第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限（1）若3πα=，10R =，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（2）若扇形的周长为一定值(>0)C C ，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值. 导思：（1）扇形的弧长公式是什么？（2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（3）如何用扇形的周长C 表示扇形面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗？解析：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则10(3l π=)，故110110232S S S π∆=-=⨯⨯-⨯弓扇2310sin 50()(332ππ⨯=-2). （2）解法一：由扇形周长2C R l =+，得2l C R =-，故211=(2)22S Rl R C R R =-=-扇221()2416C C RC R +=--+.当4C R =时，S 扇有最大值且最大值为216C .此时22Cl C R =-=，故422l C R Cα==⋅=.故当2α=时，该扇形有最大面积. 解法二：由扇形周长22C R l R R α=+=+，得2CR a=+，故211=22S R αα=⋅扇2()2C α=+22221142442164C C C ααααα⋅=⋅++++≤，当且仅当24α=，即2a =时，扇形面积最大为216C .点评：在应用扇形弧长和面积公式时，如果圆心角用角度表示，则应先化为弧度；注意不要把弓形面积与扇形面积相混淆.练习：设扇形的周长为8，面积为42，则扇形的圆心角的弧度数是.解：1(82)42S r r =-=，即2440r r -+=，解得2r =，故4l =，从而422l r α===. 1、下列角中终边与330°相同的角是（）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630° 答案：B2、－1120°角所在象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 答案：D4、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合．答案：{}372,12,348,708--5、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝答案：D6、已知{第一象限角}，{锐角}，{小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（） A ．∩C B ．B ∪ C ．⊂ D ．答案：B7、下列结论正确的是（）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα答案：D8、若α是第四象限的角，则α- 180是．A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角答案：C9、与1991°终边相同的最小正角是,绝对值最小的角是．答案：191与169-；10、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为．答案：{}Z k k ∈+⋅=,135360|αα基础巩固一、选择题1．已知α＝－3，则角α 的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 1＝()°，则α＝－3＝－()°≈－171.9°，∴α是第三象限角． 2．与－终边相同的角的集合是( ) A ． B ． C ．D ．[答案] D[解析]与－终边相同的角α＝2kπ－，k∈Z，∴α＝(2k－6)π＋6π－＝(2k－6)π＋，(k∈Z)．3．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝()A．∅B．{α|0≤α≤π|C．{α|－4≤α≤4|D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}[答案] D[解析]k≤－2或k≥1时A∩B＝∅；k＝－1时A∩B＝[－4，－π]；k＝0时，A∩B＝[0，π]；故A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D.4．一条弧所对的圆心角是2，它所对的弦长为2，则这条弧的长是()A．B．C．D．[答案] C[解析]所在圆的半径为r＝，弧长为2×＝.5．某扇形的面积为12，它的周长为4 ，那么该扇形的圆心角等于()A．2°B．2C．4°D．4[答案] B[解析]设扇形的半径为r，弧长为l，由题意得错误!，解得错误!.∴该扇形圆心角α＝＝2()，故选B.6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是()A．B．C．D．[答案] A[解析]40°＝40×＝，30°＝30×＝，∴S＝r2·＋r2·＝.二、填空题7．若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是．[答案]、[解析]设两角为α、β则错误!，∴α＝错误!、β＝错误!.8．正n边形的一个内角的弧度数等于．[答案]π[解析]∵正n边形的内角和为(n－2)π，∴一个内角的弧度数是.三、解答题9．已知α1＝－570°、α2＝750°，β1＝，β2＝－.(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与β1、β2有相同终边的角．[解析](1)∵－570°＝－＝－＝－4π＋，∴－570°与终边相同，在第二象限，∴α1在第二象限．∵750°＝＝＝4π＋，∴750°与终边相同，在第一象限，∴α2在第一象限．(2)∵β1＝＝(×180)°＝108°，与其终边相同的角为108°＋k·360°，k∈Z，∴在－720°～0°范围内与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与β2有相同终边的角是－60°.能力提升一、选择题1．扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是弧度．()A．πB．C．D．[答案] C[解析]∵圆心角所对的弦长等于半径，∴该圆心角所在的三角形为正三角形，∴圆心角是弧度．2．在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有()A．α＝－βB．α＝－2kπ±β(k∈Z)C．α＝π＋βD．α＝2kπ＋π＋β(k∈Z)[答案] D[解析]将α旋转π的奇数倍得β.3．在半径为3的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为()A．B．πC．D．[答案] B[解析]由弧长公式得，l＝|α＝×3＝π()．4．下列各组角中，终边相同的角是()A．(2k＋1)π与(4k±1)π，k∈Z B．与kπ＋，k∈ZC．kπ＋与2kπ±，k∈Z D．kπ±与，k∈Z[答案] A[解析]2k＋1与4k±1都表示的是奇数，故选A.二、填空题5．把－写成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是．[答案]－[解析]－＝－－2π＝－4π，∴使|θ|最小的θ的值是－.6．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为.[答案]{θ|－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}[解析]y轴对应的角可用－，表示，所以y轴右侧角的集合为{θ|－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}．三、解答题7．x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2到达第三象限，经过14回到原来的位置，那么θ是多少弧度？[解析]因为0<θ≤π，所以0<2θ≤2π.又因为2θ在第三象限，所以π<2θ<.因为14θ＝2kπ，k∈Z，所以2θ＝，k∈Z.当k分别取4、5时，2θ分别为、，它们都在内．因此θ＝或θ＝.8．设集合A＝{α|α＝kπ，k∈Z}，B＝{β|β＝kπ，≤10，k∈Z}，求与A∩B的角终边相同的角的集合．[解析]设α0∈A∩B，则α0∈A且α0∈B，所以α0＝k1π，α0＝k2π，所以k1π＝k2π，即k1＝k2.因为2|≤10，k2∈Z，且k1∈Z，所以k1＝0，±10.因此A∩B＝{0，－15π，15π}，故与A∩B的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2kπ或γ＝(2k＋1)π，k∈Z}＝{γ|γ＝nπ，n∈Z}．9．已知扇形的周长为8.(1)若这个扇形的面积为32，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长.[解析](1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为x()，依题意有错误!，解得θ＝错误!或6，即圆心角的大小为弧度或6弧度． (2)由于扇形的圆心角θ＝，于是扇形面积S ＝x 2·＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4. 故当x ＝2时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝＝2(弧度)，弦长＝2·21＝41()．即扇形的面积取得最大值时圆心角为2弧度，弦长为41. 备选题目：1.某蒸汽机上的飞轮直径为20cm ，每分钟按顺时针．．．方向旋转180转，则飞轮每秒钟．．．转过的弧度数是；轮周上的一点每秒钟．．．经过的弧长为. 答案：6π- ，60cm π2 . 已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（）（A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)2答案：D3. 下列各角中，与角π3-终边相同的角是（A ）2π3 （B ）4π3 （C ）5π3（D ）7π3答案：C4. 已知)2,0[πα∈，与角3π-终边相同的角是（A ）3π （B ）32π （C ）34π（D ）35π答案：D5. 若0sin >α ，且0cos <α ，则角α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案：B6 .如图，现要在一块半径为1m 圆心角为3π的扇形金属板AOB 上，剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，记MNPQ Y 的面积为S ，则S 的最大值为A.23m B.232m C.233m D.236m O MNABPQ答案：D7 .若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_．答案：(,)42ππ8 ．已知B A ,是圆O 上两点,2=∠AOB 弧度,2=OA ,则劣弧AB 长度是 . 答案：4。

(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(有答案解析)

一、选择题1．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （51AB BC -=）中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④2．在平面直角坐标系中，AB 是单位圆上的一段弧(如右图)，点P 是圆弧AB 上的动点，角α以Ox 为始边，OP 为终边．以下结论正确的是（）A ．tan α<cos α<sin αB ．cos α<tan α<sin αC ．sin α<cos α<tan αD ．以上答案都不对3．已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，则ϕ=（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π4．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（） A ．4149,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．4953,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．3741,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[8,9)5．设函数()2sin cos f x x x x +，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π ②()y f x =的图像关于直线12x π=对称③()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 ④把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的编号是（）. A ．①④B ．②④C ．①②④D ．①②③6．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（） A ．关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线π12x =对称 D ．关于直线π12x =-对称 7．已知()()sin 6f x x a b x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，若()0f x ≤在[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（） A ．56B ．23C ．1D ．28．函数()3sin 22xf x x =-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =10．675︒用弧度制表示为（） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0ϕπ≤≤)的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭12．若函数()22()sin 23cos sin f x x x x =+-的图像为E ，则下列结论正确的是（） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π=-C ．()f x 在7(,)1212ππ上是减函数 D ．由2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位长度可以得到图像E 二、填空题13．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式sin ()0x f x ⋅>，[,]x ππ∈-的解集为_________.14．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为603米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.15．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是_________．①()g x 的最小正周期为π ②()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③12x π=不是函数()g x 图象的对称轴 ④()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-16．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．17．函数(x)Asin(x )f ωϕ=+ (0A >，0>ω,0ϕπ<< )的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________.18．已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到的图象为偶函数，则ϕ的最小值是_______ 19．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与函数()f x 的图象重合，则下列结论正确的是______.①()f x 的一个周期为2π-； ②()f x 的图象关于712x π=-对称； ③76x π=是()f x 的一个零点； ④()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减；20．已知函数()sin f x x =，若对任意的实数(,)46αππ∈--，都存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最大值是____.三、解答题21．已知函数()22sin cos 2cos ,x x R f x x x =+∈.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[]0,π上的单调递减区间；（3）令()18g x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()1tan ln1tan xf x x-=+.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）若()()()1tan tan f xa x g x e x-=-在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，求实数a 的取值范围. 23．已知函数1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）当x ∈R 时，求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及最小值，并指出相应x 的值. 24．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：()()sin ,0,2f t A t B A πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来描述.（1）根据以上数据，求出函数()()sin f t A t B ωϕ=++的表达式；（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？25．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象求方程()12g x =在[]0,π的实数解. 26．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象经过点312π⎛⎝，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设51AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求出,,l m n ，再逐项判断即可得正确选项. 【详解】不妨设51AB =，则2BC =，所以()512l BE π==⨯， ()25135ED =-=所以(352m EG π==⨯，(5135254CG =-=，所以())422n GI ππ==⨯=，所以(())341222m n l πππ⨯+⨯=⨯==+，故①正确；(22227342m π-⨯==，))271222l n ππ-⨯⨯=⋅=，所以2m l n =⋅，故②正确；))51222l n πππ⨯++==，((22332m ππ=⨯⨯-=-，所以2m l n ≠+，故③不正确；11l n l n l n ++===⋅(113232m ππ+==⨯，所以211m l n ≠+，故④不正确；所以①②正确，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，正确求出扇形的半径，利用弧长公式求出弧长即,,l m n 的值.2．D解析：D 【分析】根据三者的符号可得sin cos ,sin tan αααα>>，利用作差法可得tan ,cos αα大小关系不确定，从而可得正确的选项. 【详解】由题设可得AB 上的动点P 的坐标为()cos ,sin αα且()()1122cos ,sin ,cos ,sin A B θθθθ，其中122πθαθπ<<<<，12324ππθθπ<<<<，注意到当13,4παθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，tan 1α≤-，故按如下分类讨论：若1324ππθα<<≤，则sin 0,cos 1,tan 1ααα>>-≤-，故sin cos tan ααα>>. 若234παθ<≤，则sin 0,cos 0,tan 0ααα><<，且20sin sin 2θα<≤<所以22221sin sin 1sin sin 12θθαα+-≤+-<，因为234πθπ<<，故20sin 2θ<<，故22211sin sin 12θθ-<+-<，所以222sin sin 1θθ+-有正有负，所以2sin sin 1αα+-有正有负，而2sin sin 1tan cos cos ααααα+--=，cos 0α<，故tan cos αα-有正有负，故tan ,cos αα大小关系不确定. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角函数式的大小比较，可先依据终边的位置判断出它们的符号，也可以利用作差作商法来讨论，注意根据三角函数值的范围确定代数式的符号.3．B解析：B 【分析】先由点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴,求出ω的范围,再由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出φ. 【详解】由题意得:62484T πππ-=≥, 得1248ππω⨯≤,所以ω4≥. 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调,所以3662T πππ-=≤,得1226ππω⨯≥,所以ω6≤ 所以ω=4或5或6.当ω=4时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 402424460f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3πϕ=.当ω=5时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 502424560f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.当ω=6时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 602424660f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.综上: 3πϕ=.故选:B 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.4．A解析：A 【分析】根据题意问题转化为方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω=，则4149166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解， ∴26x k πωππ=+或52,6x k k Z πωππ=+∈，当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=；当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=；当3k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω=；当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解496x ω=. 则4149166ωω≤<，解得414966ω≤<.5．C解析：C 【分析】根据题意，利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin(2)3f x x π=+，根据2T ωπ=求出最小正周期即可判断①；利用整体代入法求出()y f x =的对称轴，即可判断②；利用整体代入法求出()y f x =的单调减区间，从而可得在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增，即可判断③；根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公式化简，即可求出平移后函数，从而可判断④. 【详解】解：函数()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x π++=+，即：()2sin(2)3f x x π=+，所以()f x 的最小正周期为222T πππω===，故①正确；令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈，当0k =时，则直线12x π=为()y f x =的对称轴，故②正确；令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ，所以()f x 的单调递减区间为：7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故在区间2121,3228,6ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上先减后增，故③错误；把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，得到s 2)2cos 22co 22cos 2126332sin(2y x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦+⎝⎭⎣即平移后得到函数()y f x =的图象，故④正确. 所以所有正确结论的编号是：①②④. 故选：C.关键点点睛：本题考查三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法，以及三角函数的平移伸缩是解题的关键，还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，考查学生化简运算能力.6．B解析：B 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π，可知22T π=，从而可求出2ω=，再由()y f x =的图像向左平移6π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，可得sin 13πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，从而可求出ϕ的值，然后逐个分析各个选项即可【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=. 设将()f x 的图像向左平移6π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ，则()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故(0)1g =±，所以sin 13πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以,6k k Z πϕπ=+∈，因||2ϕπ<，所以6π=ϕ. 又()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ+=+∈，故对称轴为直线,26k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误；令2,6x k k ππ+=∈Z ，故,212k x k Z ππ=-∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，所以A 错误，B 正确. 故选：B 【点睛】此题考查了三角函数的图像变换和三角函数的图像和性质，属于基础题.7．A解析：A 【分析】根据题意分析可得当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，0x a b --≥，从而可得506106a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解方程即可求解.【详解】当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，，故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤时，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，0x a b --≥，即506106a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，所以56a b +=. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的性质、不等式恒成立，考查了基本运算求解能力，属于中档题.8．A解析：A 【分析】求得函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的奇偶性，结合2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值以及排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数()3sin 22xf x x =-，20x -≠，得2x ≠±，所以，函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠±.()()()sin 2sin 222x xf x f x x x --==-=----，函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 选项；又02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．B解析：B 【分析】利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项．【详解】由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ．故选：B ．【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.10．C解析：C 【分析】根据弧度制与角度制的关系求解即可. 【详解】因为180π︒=弧度，所以156********4ππ︒=⨯=，故选：C11．D解析：D 【分析】结合图象，依次求得,,A ωϕ的值. 【详解】由图象可知2A =，2,,22362T T πππππωω⎛⎫=--==== ⎪⎝⎭，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，依题意0ϕπ≤≤，则2333πππϕ-≤-≤，2sin 0,0,6333f ππππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.12．C解析：C 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简函数为()2sin(2+)3f x x π=；根据正弦型函数的性质验证选项得解【详解】()sin 222sin(2+)3f x x x x π==()f x 最小正周期22T ππ==，A 错误； ()2sin[2()+]2sin(2)2sin 2333f x x x x ππππ-=-=-=，B 错误；当7(,)1212x ππ∈时，32(,)322x πππ+∈ ()f x ∴在7(,)1212ππ上是减函数，C 正确；将2sin 2y x =向左平移3π个单位长度得到22sin[2()]2sin(2)33y x x ππ=-=-，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查正弦型函数性质的相关命题的辨析，涉及到二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数的周期性、对称性和单调区间的求解、三角函数平移变换的应用等知识；关键是能够熟练掌握整体对应的方法，通过代入检验，结合正弦函数图象可确定正弦型函数的性质.二、填空题13．【分析】设先分析出的奇偶性然后分类讨论在上的取值情况最后根据的奇偶性求解出在上的解集【详解】设因为为奇函数为偶函数所以且定义域为关于原点对称所以为奇函数因为在上单调递增且当时所以当时所以当时所以当时解析：()()2,02,π-【分析】设()()sin g x x f x =⋅，先分析出()g x 的奇偶性，然后分类讨论()g x 在[]0,π上的取值情况，最后根据()g x 的奇偶性求解出()0g x >在[],ππ-上的解集. 【详解】设()()sin g x x f x =⋅，因为sin y x =为奇函数，()f x 为偶函数，所以()()()()()sin sin g x x f x x f x g x -=-⋅-=-⋅=-，且定义域为R 关于原点对称，所以()g x 为奇函数，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，当0x =时，sin 0x =，所以sin ()0x f x ⋅=，当()0,2x ∈时，()sin 0,0x f x ><，所以sin ()0x f x ⋅<，当2x =时，()20f =，所以sin ()0x f x ⋅=，当()2,x π∈时，()sin 0,0x f x >>，所以sin ()0x f x ⋅>，所以当[]0,x π∈时，若()0g x >，则()2,x π∈，又因为()g x 为奇函数，且[],x ππ∈-，根据对称性可知：若()0g x >，则()()2,02,x π∈-，故答案为：()()2,02,π-.【点睛】方法点睛：已知()f x 的单调性和奇偶性，求解不等式()()00f x ><在指定区间上的解集的常用方法：（1）分类讨论法：根据临界值采用分类讨论的方法将区间分成几段，分别考虑每一段上()f x 的正负，由此求解出不等式的解集；（2）数形结合法：根据题意作出()f x 的草图，根据图象直接写出不等式()()00f x ><的解集.14．【分析】如图作出月牙湖的示意图由题意可得可求的值进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解【详解】如图是月牙湖的示意图是的中点连结可得由条件可知所以所以所以月牙泉的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的解析：(40π+【分析】如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得sin QPO ∠=,QPO QPT ∠∠的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解.【详解】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，连结PO ，可得PO QT ⊥，由条件可知603QT =，60PQ = 所以3sin 2QPO ∠=，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙泉的周长(260303403033l πππ=⨯+⨯=+. 故答案为：(40303π+ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.15．①③④【分析】由函数图像的变换可得结合余弦函数的周期性单调性对称轴等即可判断选项得出答案【详解】的最小正周期为选项A 正确；当时时故在上有增有减选项B 错误；故不是图象的一条对称轴选项C 正确；当时且当即解析：①③④ 【分析】由函数图像的变换可得()cos 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案. 【详解】()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．()g x 的最小正周期为π，选项A 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误；012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，D 正确．故答案为：①③④. 【点睛】本题考查了三角函数图像的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.16．【分析】由图象知三角函数的周期结合函数图象及写出单调递增区间【详解】由图象知：∴的单调递增区间为故答案为：【点睛】思路点睛：1看图定周期特殊函数值：2结合图象由周期对称轴写出增区间解析：37[2,2],44k k k Z ++∈【分析】由图象知，三角函数的周期2T =，结合函数图象及15()()044f f ==，写出单调递增区间. 【详解】由图象知：22||T πω==， 15()()044f f ==， ∴()f x 的单调递增区间为37[2,2],44k k k Z ++∈，故答案为：37[2,2],44k k k Z ++∈ 【点睛】思路点睛：1、看图定周期、特殊函数值：2T =，15()()044f f ==.2、结合图象，由周期、对称轴写出增区间.17．【分析】观察图象可求得进而可得然后求出的值可得；而后由可求得的值得出最后代值计算即可得解【详解】由图象可知∴∴∴又∴（）∴（）∵∴∴则故答案为：【点睛】本题重点考查了正弦型三角函数的图象和性质考查逻【分析】观察图象可求得2A =，311341264T πππ=-=，进而可得T π=，然后求出ω的值，可得()()22f x sin x ϕ=+；而后由26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可求得ϕ的值，得出()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代值计算即可得解. 【详解】由图象可知2A =，311341264T πππ=-=，∴T π=， ∴22πωπ==，∴()()22f x sin x ϕ=+，又26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2262k ππϕπ⨯+=+（k Z ∈），∴26k πϕπ=+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴6π=ϕ， ∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则222cos 4466f sin ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题重点考查了正弦型三角函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.18．【分析】先利用两角和的正弦公式化简的解析式然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式最后由奇偶性可得的最小值【详解】将其图象向左平移个单位长度后得的图象由图象为偶函数图象可得所以令得故答案为：【点解析：6π【分析】先利用两角和的正弦公式化简()f x 的解析式，然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式，最后由奇偶性可得ϕ的最小值. 【详解】1()sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2322f x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3sin 2cos 22226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ，将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得()22266y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，由图象为偶函数图象可得262k ππϕπ+=+()k Z ∈所以62k ϕππ=+ ()k Z ∈令0k =，得6π=ϕ. 故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，以及三角函数的奇偶性，属于中档题.19．①②③【分析】先由图像的平移变换推导出的解析式再分析函数的周期零点对称性单调性判断是否正确【详解】解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合的一个周期为故①正确；的对称轴满足：当时的图象关于对称解析：①②③ 【分析】先由图像的平移变换推导出()f x 的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确．【详解】解：函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位后与函数()f x 的图象重合， ()sin 2sin 2333f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()f x ∴的一个周期为2π-，故①正确；()y f x =的对称轴满足：232x k ππ-=π+，k Z ∈， ∴当2k =-时，()y f x =的图象关于7πx 12=-对称，故②正确；由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，23x k ππ-=得26k x ππ=+， 76x π∴=是()f x 的一个零点，故③正确；当5,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,322x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ()f x ∴在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20．【分析】利用任意性与存在性原命题可转化为有且仅有一个解然后根据三角函数的性质和图像求解即可【详解】由则存在唯一的实数使即有且仅有一个解作函数图像与直线当两个图像只有一个交点时由图可知故实数的最大值是解析：34π【分析】利用任意性与存在性原命题可转化为()12,,22f k k β⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭有且仅有一个解，然后根据三角函数的性质和图像求解即可. 【详解】由()sin f x x =，(,)46αππ∈--，则()212f α⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，即()12,,22f k k β⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭有且仅有一个解，作函数图像()y f β=与直线12,,22y k k ⎛=∈ ⎝⎭，当两个图像只有一个交点时，由图可知，344m ππ<≤，故实数m 的最大值是34π. 故答案为：34π 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质，属于较为基础题.三、解答题21．（1）T π=；（2）5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）()22,+∞. 【分析】（1）化简函数()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由正弦函数的单调性可得答案；（3）化简()2g x x =，根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求得()g x ，再根据题意，得到2a ->，即可求解．【详解】（1）由题意，函数()sin 2cos21214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可得其最小正周期是22T ππ==. （2）由3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 又∵[]0,x π∈，∴5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故单减区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）由()122844g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1cos 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()22g x x ⎡=∈-⎢⎣，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()max 2a g x ->所以2a >+，即求实数a 的取值范围()2+∞. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质综合应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．22．（1）函数()f x 为奇函数，证明见解析；（2）(),0-∞. 【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，计算得出()f x -与()f x 之间的关系，由此可得出结论；（2）由,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得出1tan 0x -<<，1tan 0x ->，利用()0g x =可得出tan 1tan x a x =+，求出函数tan 1tan x y x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）对于函数()1tan ln1tan x f x x -=+，有1tan 01tan xx->+，即tan 10tan 1x x -<+，解得1tan 1x -<<，解得()44k x k k Z ππππ-<<+∈，所以，函数()f x 的定义域为(),44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ， ()()()()11tan 1tan 1tan 1tan ln ln ln ln 1tan 1tan 1tan 1tan x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪+--++⎝⎭，所以，函数()f x 为奇函数；（2）()()()()1tan 1tan 1tan tan 1tan tan f x a x a x x g x ex x x---=-=-+， 04x π-<<，则1tan 0x -<<，1tan 0x ->，所以，0tan 11x <+<，令()0g x =，可得()tan 11tan 1101tan tan 1tan 1x xa x x x +-===-<+++，所以，实数a 的取值范围是(),0-∞. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.23．（1）T π=，单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）12x π=-时函数取得最小值12-，4x π=时函数取得最大值14.【分析】（1）根据周期公式计算，用整体代换法化简222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即可得出单调递增区间；（2）用整体代换法得当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时52636πππ-≤-≤x ，当232x ππ-=-时函数取得最小值12-，当236x ππ-=时函数取得最大值14.【详解】解：（1）()f x 的最小正周期为22T ππ== 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时52636πππ-≤-≤x所以当232x ππ-=-即12x π=-时函数取得最小值12-，当236x ππ-=即4x π=时函数取得最大值14. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.24．（1）()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【分析】由表格易知()()max min 7,3f t f t ==，由()()()()max minmax min,22f t f t f t f t A B -+==，求得A ，B ，再根据14212T =-=和2t =时，函数取得最大值，分别求得,ωϕ即可.（2）根据货船需要的安全水深度为6，由()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭求解.【详解】由表格可知()()max min 7,3f t f t ==,，则()()()()max minmax min2,522f t f t f t f t A B -+====，又214212,6T T ππω=-===，当2t =时，()22sin 2576f πϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以232k ππϕπ+=+，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭. （2）因为货船需要的安全水深度为6，所以()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，即1sin 662t ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以5226666k t k ππππππ+≤+≤+，即12412k t k ≤≤+，又因为[]0,24t ∈，当0k =时，[]0,4t ∈，当1k =时，[]12,16t ∈，所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【点睛】方法点睛：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象或表格确定A ，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准“零点”或“最大（小）值点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 25．（1）()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）0或3π或π. 【分析】（1）先根据函数图象确定出()f x 的最小正周期，再根据最小正周期的计算公式2T ωπ=求解出ω的值，然后代入点,13π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，从而()f x 的解析式可求；（2）先根据图象变换求解出()g x 的解析式，然后根据()12g x =得到关于x 的方程，结合[]0,x π∈，求解出x 的值即为方程的实数解. 【详解】（1）因为由图象可知4362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22T ππω==且0>ω，所以1ω=，所以()()sin f x x ϕ=+，代入点,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭且2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12后得到的函数解析式为：()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为()12g x =，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以266x ππ+=或56π或136π，所以0x =或3π或π，所以方程()12g x =在[]0,π的实数解为：0或3π或π. 【点睛】思路点睛：根据()sin y A ωx φ=+的图象求解函数解析式的步骤：（1）根据图象的最高点可直接确定出A 的值；（2）根据图象的对称轴、对称中心确定出函数的最小正周期，再利用最小正周期的计算公式求解出ω的值；（3）代入图象中非平衡位置的点，结合ϕ的范围求解出ϕ，则函数解析式可求. 26．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3. 【分析】（1）根据函数()f x 最大值与最小值的差为4，求得A ,再由相邻两个零点之间的距离为2π，求得ω，然后由函数()f x 的图象经过点12π⎛ ⎝，求得函数的解析式. （2）令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，结合[]0,x π∈，利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）因为函数()f x 最大值与最小值的差为4，所以A =2,又相邻两个零点之间的距离为2π. 所以T π=，所以 22πωπ==，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数()f x 的图象经过点12π⎛ ⎝，所以()2sin 212f x πϕ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭sin 62πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以263k ππϕπ+=+或2263k ππϕπ+=+，解得26k πϕπ=+或22k πϕπ=+，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或2ππ3x ，所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为Tπω=.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．。

高中数学必修4三角函数常考题型：弧-度-制

弧度制【知识梳理】1．角度制与弧度制(1)角度制．①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的1作为一个360单位．(2)弧度制．①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.3．角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.4．弧度与角度的互化5. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表6．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则题型一、角度与弧度的换算【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.[解] (1)72°＝72×π180＝2π5； (2)－300°＝－300×π180＝－5π3；(3)2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°；(4)－2π9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9×180π°＝－40°.【类题通法】角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数．【对点训练】已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．解：(1)α1＝－570°＝－570π180＝－19π6， α2＝750°＝750π180＝25π6. ∵α1＝－19π6＝－2×2π＋5π6， α2＝25π6＝2×2π＋π6，∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．(2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，则由－720°≤θ<0°，得－720°≤k·360°＋108°<0°(k∈Z)，解得k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°范围内，与β1有相同终边的角是－612°和－252°；β2＝－π3＝－13×180°＝－60°，设γ＝k·360°－60°(k∈Z)，则由－720°≤k·360°－60°<0°(k∈Z)，得k＝－1或k＝0，∴在－720°～0°范围内，与β2有相同终边的角是－60°和－420°.题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用【例2】(1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________．(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？(1)[解析]设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.故扇形的面积S＝12rl＝12×2×4＝4 cm2.[答案] 4 cm 2(2)[解]设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是lR＝2(π－1)，扇形的面积是12Rl＝(π－1)R2.【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．【对点训练】已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－r2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15π＋1<r <15，所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254 cm 2.题型三、用弧度制表示角的集合【例3】用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．[解](1)如图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧ θ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如图②，∵30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z . 【类题通法】用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z }；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝α＋k ·π2，k ∈Z . 在进行区间的合并时，一定要做到准确无误．【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y ＝－x 上的角的集合．解：在0到2π范围内，终边落在直线y ＝－x 上的角有两个，即34π和74π，所有与34π终边相同的角构成的集合为S 1＝⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝34π＋2k π，k ∈Z ，所有与74π终边相同的角构成的集合为S 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝74π＋2k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝34π＋(2k ＋1)π，k ∈Z ，∴终边落在直线y ＝－x 上的角的集合为S＝S 1∪S 2＝αα＝34π＋n π，n ∈Z .【练习反馈】1．下列命题中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析：选D 根据角度制和弧度制的定义可以知道，A 、B 是正确的；1 rad 的角是⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°，故C 也是正确的；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小都与圆的半径无关，故D 错误．2．角α的终边落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C－3π的终边在x轴的非正半轴上，－52π的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．3．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．解析：－135°＝－135×π180＝－34π；113π＝113×180°＝660°.答案：－34π 660°4．把角－690°化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________．解析：法一：－690°＝－⎝⎛⎭⎪⎫690×π180＝－236π. ∵－236π＝－4π＋π6，∴－690°＝－4π＋π6.法二：－690°＝－2×360°＋30°，则－690°＝－4π＋π6.答案：－4π＋π65．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4.根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l·R.联立⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2R＋l＝4，12l·R＝1.解得R＝1，l＝2，∴α＝lR＝21＝2.。

新人教A版高一数学必修四第一章三角函数1.1.2弧度制

[归纳升华] 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数.
1．将下列角度与弧度进行互化： (1)5611π；(2)－71π2 rad；(3)10°；(4)－855°.
解析： (1)5611π＝5611×180°＝15 330°；
2．5 弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为32π<5<2π，因此 5 弧度的角的终边在第四象限．
答案： D
3．扇形圆心角为 216°，弧长为 30π，则扇形半径为________．
解析： 216°＝216×1π80＝6π5 ，l＝α·r＝6π5 r＝30π，∴r＝25. 答案： 25
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
[边听边记] (1)由公式|α|＝rl，可知圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原来的 2 倍时，圆心角大小不变；但扇形面积 S＝12lr，故面积变为原来的 4 倍．
(2)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则 l＋2r＝40，则 S＝12lr＝12(40－2r)r＝20r －r2，所以 r＝10 时，扇形面积最大，此时 l＝40－2r＝20，圆心角的弧度数 α＝rl ＝2100＝2.
π (2)如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－ 6 ，
而 75°＝75×1π80＝51π2 ，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6 ＜θ＜2kπ＋51π2 ，k∈Z.

必修四-第一章-三角函数(知识点与题型整理)

三角函数模块专题复习 ——任意角的三角函数与诱导公式二．要点精讲1．任意角的概念旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。

如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角 3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。

角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=。

弧度与角度互换公式：1rad ＝π180° 1°＝180π〔rad 〕。

弧长公式：r l ||α=〔α是圆心角的弧度数〕，扇形面积公式：2||2121r r l S α==。

4．三角函数定义利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；〔2〕x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；〔3〕yx 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x xα=≠。

5．三角函数线6．同角三角函数关系式〔1〕平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 〔2〕倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 〔3〕商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα== 几个常用关系式：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α·cos α；(三式之间可以互相表示)7．诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限〞。