捷联惯导作业

一、原理分析：

捷联式惯导系统是将惯性器件（陀螺仪和加速度计）直接固连在载体上的系统。图1为捷联式惯导系统的原理图，陀螺仪和加速度计输出分别送入姿态矩阵计算和由载体坐标系至平台坐标系的方向余弦矩阵的计算。有了姿态矩阵，其一可以实现把载体坐标系轴向加速度信息变换到导航坐标系轴，进而可以进行所需的导航参数计算，其二利用姿态矩阵的元素，提取方位和姿态信息。

图1. 捷联式惯导系统的原理图 姿态速率微分方程为:

12b tb

ωΛ=Λ (1)

其中；

()

b b b t t

tb ib t ie et C ωωωω=-- (2)

b

ib ω为陀螺仪测量经补偿后的值；

0cos sin t iex t

t ie

iey ie t ie iez L L ωωωωωω⎡⎤

⎡

⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，为地球自转角速率； tan t

ety t yt etx t t

t etx et

ety xt

t etz t

etx

xt V R V R V L R ωωωω⎡⎤-⎢⎥

⎢

⎥⎡⎤⎢

⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，为地理坐标系相对地球坐标系的转动角速率； 导航坐标系到载体坐标系的姿态矩阵为：

cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos t

t C ψϕψθϕ

ψϕψθϕ

θϕψθ

ψθ

θ

ψϕψθϕ

ψϕψθϕ

θϕ-+-⎡⎤

⎢⎥

=-⎢⎥

⎢⎥+-⎣⎦

(3)

对应的四元素初值为:

0123cos cos cos sin sin sin 2

2

2

22

2

cos sin cos sin cos sin 2

2

2

2

2

2

cos cos sin sin sin cos 2

2

2

2

2

2

cos

sin

sin

sin

cos

cos

2

2

2

2

2

2ψ

θ

ϕ

ψ

θ

ϕ

λψ

θ

ϕ

ψθ

ϕ

λψ

θ

ϕ

ψ

θ

ϕ

λψ

θ

ϕ

ψ

θ

ϕ

λ⎧

=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪=+⎩

(4)

四元素姿态矩阵为：

22220123120313022

2

2

2

12030123

230122221302230101232()

2()2()

2()2()

2()

b

t C λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤

+++++⎢⎥

=--+-+⎢⎥⎢⎥----+⎣

⎦ (5)

将姿态速率微分方程展开成矩阵形式：

0112233001020b

b

b

tbx

tby

tbx b b

b tbx tbz tby b b b

tby tbz

tbx b b

b

tbz tby

tbx

λλωωωλλωωωωωωλλωωωλλ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

(6)

该微分方程的解可用比卡逼近法求解，解得

[]00

0s i n 2()c o s (0)

2t I λλλλλ

λ∆⎧⎫⎪⎪∆=+∆⎨⎬∆⎪⎪

⎩⎭ (7)

其中：22202

((()))b b b tbx tby tbz ωωωλ+∆+=，

220I λλ∆=-∆

将0cos

2

λ∆和

00

sin

2

λλ∆∆展成级数并提取有限项，得到姿态矩阵的算法为：

[]242

000

1(1)(1)()()8384248n I n λλλλλ

λ⎧⎫∆∆∆+=-++-∆⎨⎬⎩⎭ (8)

根据比力方程比力方程：f a G =-

(2)t t t

t

t

t

i e e t

V f V g

ωω

=-+⨯+

(9)

写为分量形式：

0(2)(2)0

(2

)0(2)0(2)(2)0t t t

t t t t

x x

x iez etz iey ety t t t t t t

t y y iez etz iex etx y t t t t t t t iey ety iex etx z z z V f V V f V g f V V ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎡⎤ -+ + ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=- +-++

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+ +-⎣⎦

⎣

⎦⎣⎦

⎣⎦

⎣⎦ (10)

从而有：

(2

s i n )(2c o s )

(2s i n )(2c o s )t

t

t t

t t

x

x x x ie y

ie

z

xt

xt t

t y

t t

t t

x

y y ie x

z

xt yt

t

t

y

t t t

t

x

z x ie

x y xt

yt

V V V f L tgL V L V R R V V V f L tgL V V R R V V V f L V V g

R R ωωωω⎧=++-

+⎪⎪⎪⎪=-+

+

⎨

⎪⎪

⎪=++

+

-⎪

⎩

(11)

其中：

2

2

Re(1sin ())Re(1(23sin ()))

Rxt e L Ryt e L =+=-- (12)