初中数学培优竞赛讲座第19讲__丰富的图形世界

第十九讲丰富的图形世界

我们生活在一个数字化时代，也生活在一个图形的世界里，图形有黑色的，也有彩色的；有静止的，也有运动的；有平面的，有立体的；有具体的，有抽象的，它既可以是艺术中的绘画和雕塑，也可以是科学上的表达或记录．

数学既研究数，又研究形，数与形是数学这棵大树上的不同分支，这两者互相结合，常常有助于问题的解决．

历史上一些著名科学家，如阿基米德、牛顿、罗素、爱因斯坦，都曾被欧基里德几何迷住过，早在公元前四世纪，古希腊哲学家柏拉图曾在他设立哲学科学院的大门上写着：“不懂几何的人，不准入门．”

在学习几何的起始阶段，我们可以自己动手实验、操作，在观察和实验中，掌握知识的来龙去脉，学到发现规律的方法，感受到发现的欢乐，促进科学思维能力的提高．

例题

【例1】爸爸给女儿圆圆买了一个圆柱形的生日蛋糕，圆圆想把蛋糕切成大小不一定相等的若干块(不少于10块)，分给l0个小朋友，若沿竖直方向切分这块蛋糕，至少需要切刀．(“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨把蛋糕看作一个圆面，每切一刀在蛋糕上留下的刀印可以看作一条线段，于是问题转化为：在一个圆内画两个端点在圆周上的线段，这些线段把圆分成若干部分，问至少画几条线段才可以把圆分成不少于10部分．

注：小学阶段学的是实验几何，即时一些简单图形性质的认识，往往是通过观察和实验，对一些图形的研究也仅侧重于面积和体积的计算，只告诉你应该这样，并没有告诉你为什么这样，并没向你介绍证明结论的普遍性，更没教你证明结论普遍性的方法．

初中学习的是推理几何，是在学习知识的同时发展能力，使你学习逻辑分析、论证的方法，使你逐步具备可持续发展的能力．

爱因斯坦曾说：“推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后成就所必需的信心．”

【例2】图中有一个正方体的纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪成一个平面图形，则展开图应当是( )．

思路点拨展开与折叠是两个步骤相反的过程，只需验证展开图能否折成符合要求的正方体的前、后、左、右、上、下六个面．

【例3】棱长为a的正方体，摆放成如图所示的形状．

(1)如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；

(2)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．

(河北省竞赛题)

思路点拨由题中图示，从上、下、左、右、前、后等六个方向直视的

平面图相同，每个方向上均有6个等面积的小正方形．

【例4】用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体．

(1)如图①，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形通孔，

打孔后的橡皮泥块的表面积为cm；

(2)如果在第(1)题打孔后，再在正面中心位置处(按图②中的虚线)从前到后打一个边长为lcm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为cm2；

(3)如果把第(2)题中从前到后所打的正方形通孔扩成一个长xcm、宽lcm的长方形通孔，能不能使所得橡皮泥块的表面积为130cm2？如果能，请求出x；如果不能，请说明理由．(第16届江苏省竞赛题) 思路点拨对于(3)，扩孔有不同的方案，通过一一列举、计算比较，求x的值．

注：学习几何的方法与学习算术、代数相比有较大突变，我们应通过剪拼、折叠，设计等操作活动，去感受图形运动变化规律，还应注意利用图形直观，仔细观察．从图形的结构分析，提高抽象、概括能力．【例5】请以给定的图形“OO、△△、＝”(两个圆、两个三角形、两条平行线段)为构件，构思尽可能多独特且有意义的图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词．(俞学明等著《基础教育新概念一创造教育》) 思路点拨解答本例需要利用给定的6个元素，充分展开想象的翅膀，组合成各种有意义的图形．此外，还要有一定的生活经验和一定的文学修养．

学力训练

1．如图，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N的4组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空．

A与对应；B与对应；C与对应；D与对应．(江西省中考题)

2．图①是一个正方体形状的纸盒，把它沿某些棱剪开并摊平在桌面上，可得到图②的图形，如果把图②的纸片重新恢复成图①的纸盒，那么与点G重合的点是．(江苏省竞赛题)

3．你可以依次剪6张正方形纸片拼成如图示意的图形．如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，那么正方形⑤的面积为．

4．一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中该正方体A、B、C三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是．

5．我们从不同的方向观察同——物体时，可能看到不同的图形．如图，图①是由若干个小正方体所搭成的几何体，图②是从图①的上面看这个几何体所看到的图形，那么从图①的左面看这个几何体所看到的图形是( )．(无锡市中考题)

6．下面几个图片都是由6个相同的正方形组成的，其中不能折成正方体的是( )．(连云港市中考题)

7．图①是一个水平放置的小正方体木块，图②、③是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形时，小正方体木块总数应是( )．(宁波市中考题) A．25 D．66 C．91 D．120

8．一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它摆成如图的形式，然后，他把露出的表面都染上颜色，那么被她染上颜色的面积有( )平方米．

A．21 B．24 C．33 D．37 E．42

9．如图是“毕达哥拉斯树”，它是由一个正方形不断“生长”而得的，找出它的“生长”规律，并画出一个更大的“枝繁叶茂”的毕达哥拉斯树．

10．现有两块可以重叠的三角板，在相等长的两边重合时，能拼出多少种不同的三角形?画图说明．11．把两个长3cm、宽2cra、高lcm的小长方体先粘合成一个大长方体，再把它切成两个大小相同的小长方体，最后一个小长方体的表面积最多可比起初一个小长方体的表面积

大cm2．

12．一个长方体的长、宽、高分别为9cm、6cm、5 cm，先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次的剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，那么，经三次切割后剩余部分的体积为cm2．

13．

现将上述大小相同、颜色、花朵分布完全一样的四个正方体拼成一个平面放置的长方体，那么长方体的下底共有朵花．

14．如图是正方体分割后的一部分，它的另一部分是下列图形中的( )．(山西省中考题)