初中数学中的动点最值基本模型

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2023年中考数学常见几何模型之最值模型瓜豆原理

专题13 最值模型-瓜豆原理动点轨迹问题是中考的重要题型，受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线模型1-1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．模型1-2如图，在△APQ中AP=AQ，∠P AQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。

2022~2023学年度中考数学几何最值模型第3讲隐含圆问题

1.2
在点P处，则点P到边AB距离的最小值是______.
3、隐含圆问题-例题精讲
【模型2：动点到定点定长】
2、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，
N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,则
−1
A′C长度的最小值是________.
3、隐含圆问题-例题精讲

远距离，PB为P到圆上最短距离。

【3】如图，AB为圆O的一条定弦，点C为圆上一动点。

点C在优

弧上

（1）如图①.若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心

图①：点C在优弧上

O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC 的

图②：点C在劣弧上
面积最大。（2）如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB
则弦AB所对的圆周角都相等（注意：
后语：若有一固定线段AB及线段AB所对的
∠C大小固定，C在圆O的优弧ACB上均可
（至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，
小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则
C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动）

弦AB在劣弧）AB上也有圆周角，需
要根据题目灵活运用
2α

∠ACB=90°，则C在以AB为直径的圆上。
前言：在圆中，AB为直径，则始
终有AB所对的∠C=90°

（此类型本来属于定弦定角，但考频较高，
且较为特殊故单独归为一类）
【模型四：四点共圆】

1

3

初中数学动点最值问题19大模型+例题详解,彻底解决压轴难题

动点最值问题永远都是中考最难的压轴类题目，很多同学都反应不知道该怎么下手寻找思路。

其实这类题目的题型有限，全部总结归纳就是这19种，希望同学们对每一种都能掌握技巧，再遇见类似的就能及时找到思路。

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1、将军饮马模型（对称点模型）
2、利用三角形两边差求最值
3、手拉手全等取最值
4、手拉手相似取最值
5、平移构造平行四边形求最小
6、两点对称勺子型连接两端求最小
7、两点对称折线连两端求最小
8、时钟模型，中点两定边求最小值
9、时钟模型，相似两定边求最小值
10、转化构造两定边求最值
11、面积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化一法求最值
14、三角函数化一求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三角形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定角动弦
19、隐圆最值-动角定弦。

动点问题最值

A动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。

一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。

方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。

1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是〔〕 A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径的圆上2．〔2015•XX 〕如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是②③．〔把你认为正确的说法的序号都填上〕提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为ABC4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转. 〔1〕求证：AD=PB〔2〕若∠CPB=135°，求BD；〔3〕∠PBC=时，BD∠PBC=时，BD有最小值，并画图说明.分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由〔1〕知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°BD≥AB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，，F为BE中点.〔1〕求CF的长〔2〕将△ADE绕A旋转一周，求点F运动的路径长；〔3〕△ADE绕点A旋转一周，求线段CF的X围.A BAACCAGDAGDA提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF∽△BAE,且12OF AE==7、如图，AB=4，O为AB中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以点P为直角顶点的等腰△PBC〔点P，B，C按逆时针方向排列〕则线段AC的取值X提示：发现定等腰直角△AOC与等腰直角△OBE，从而得到相似。

初中数学动点最值基本模型

动点最值根本模型一、最值类型1.饮马型：即将军饮马型,通常为两条线段之和的最值问题,利用对称性质将其中一条线段进行转换,再利用两点之间线段最短〔或三角形三边关系〕得到结果.2.小垂型：即小垂回家型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为直线,利用垂线段最短的性质得到结果.3.穿心型：即一箭穿心型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为圆或弧,利用点与圆的位置关系得到结果.4.转换型：即一加半型,通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题,即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换,再利用饮马或小垂或穿心.5.三边型：即三角形三边关系关系型,通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大〔小〕值.6.结合型：即以上类型的综合运用,大多为饮马+小垂【如包河一模20题】【瑶海一模第10题】、小垂+穿心【如庐阳二模第10题】、饮马+穿心【如瑶海二模第10题】饮马+转换【如蜀山二模第10题】等※二、分类例析、饮马型例1：如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,CE=3, DE=1,点P在AC上,贝U PE+PD 的最小值是.解析：如图例2：如下图,正方形ABCD的面积为12, A ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD 内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,那么这个最小值为一.换型图,P 四、转例5:如为菱形Z C = 90°, AC = 8, BC = 6,点 P 是 AB 上的任意一点, 作PD X AC 于点D , PE X CB 于点E ,连接DE ,贝U DE 的最小值为解析：如下列图三、穿心型例4：如图,在边长为4的菱形ABCD 中,N ABC=120°, M 是AD 边的中点,N 是AB 边上一动点,SA AMN 沿MN 翻折得到^A ,MN ,连接A ' C ,那么A ’ C 长度的最小值是—.解析：如下列图解析：如下列图、小垂型例3：如图,在Rt A ABC 中,D ADABCD内一点,且P到A、B两点的距离相等,假设N C=60°, CD=4,那么的最小值为解析：由于P到A、B两点的距离相等,所以P在AB的垂直平分线上,又因菱形ABCD 中N C为60°,所以4ABD为等边三角形,AB的垂直平分线经过点D,如下列图由N ADP=30度,可将PD的一半进行转换,即过点P作AD的垂线.如图,即B、P、F三点共线,且BF X AD时最短五、三边型例6：如图,N MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM, ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2, BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为解析：如下列图由于AB为定长,所以取其中点E,那么OE为定值,在^ODE中,DE为定值,OE为定值,根据三角形三边关系即可得到OD的最大值.例7：如图,△ABC中,N ACB=90°,BC=4, AC=8,点 D 在AC 上,且AD=6,将线段AD绕点A旋转至AD', F为BD’的中点,连结CF,那么线段CF的取值范围.解析:解法一：瓜豆原理,点F的轨迹为圆,一箭穿心便可以求出其取值范围.解法二：如下列图,取AB的中点M,连接FM,CM,由斜边上的中线等于斜边的一半得CM 为定值,由三角形中位线得FM为定值,所以在4CFM中,三边关系可得到CF的取值范围.r C例8：如图,BA=1,BC=2,以AC为一边做正方形AEDC,使E,B两点落在直线AC的两侧,当N ABC变化时,求BE的最大值.解析：将^AEB以点A中央顺时针旋转90°,得到△ACB,,如下列图所示,连接BB’,所以B' C=BE,在A BB' C中,BB'为定值,BC为定值,三角形三边关系即可得到B' C的最大值,即BE的值.6.结合型例9：如图,正方形ABCD中,AB=4, E为CD边的中点,F、G为AB、AD边上的点,且AF=2GD,连接E、DF相交于点P,当AP为最小值时,DG=解析：由AF=2GD, AD=2DE,得△AFD s^DGE.如下列图A GE X DF,那么线段AP中,A点为定点,P为动点,由N DPE为直角,所以P的轨迹为一以DE 中点为圆心的一段弧.如下列图由一箭穿心可得到AP的最小值为A,P,M三点共线,而此时,由△DMP s^FAP可得到AP=AF 即可得到结果.AG D A※三、模考分析【庐阳二模第10题】如图,在平面直角坐标系中,A(6,0),BO8),点C在y轴正半轴上, 点D 在x的正半轴上,且CD=6,以CD为直径在第一象限作半圆,交线段AB于点E、F,那么线段EF 的最大值为如图,在平面直角坐标系中,46,0)1(0,8),点C在y轴正半轴上,点D在x的正半轴上,且CD=6,以CD为直径在第一象限作半圆,交线段AB于点E、F,那么线段EF的最大值为解析：线段EF由于半圆的变化而变化,所以应将其作为弦的变化来看,而弦长又与弦心距存在变量之间的关系,所以首先作出弦心距.如下动图,所以当PQ最小时,EF最大.9方法一：穿心十小垂(P点为以O点圆心,OP为半径的弧上)求出OQ的最值,即PQ 的最小值,再由勾股定理和垂径定理可求得EF.方法二：三边+小垂〔三角形OPQ〕求出OQ的最值【期山二模第10题】如图,在当面直角坐标系中,觉物线f二一工工+2后工的顶点为A点,且与戈轴的正半轴交于点以P点为该抛物线对称轴上一点.那么.尸+—WP的最小值为: 2、3+2而口3+2右广3Aa 5 L . □解析：由抛物线解析式可求出点A、B的坐标分别为,所以N OAP=30°,如下列图问题是.尸+上/P,转换型最值,2即过P点作PD_L03于点D,1饮马+小垂】【瑶海二模第10题】如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点, 且EF=2,点G为EF的中点,点P为BC上一动点.那么PA+PG的最小值为〔〕A.3B.4C.2J5D.5解析：由于G为EF的中点,EF=2,所以点G的轨迹为以D为圆心DG为半径的弧,【饮马+穿心】即A', P, G, D四点共线时,PA+PG最小〔PA+PG=PA' +PG+DG〕【练习1】如图,圆O的半径为13,弦AB长为24,弦CD长为10,点N为CD的中点,O 到弦AB的距离为OM,那么MN的最小值是【练习2】如图,A,B为圆O上两点,以AB边直角边作等腰直角三角形ABC,假设圆O的半径为5,那么OC的最小值为8。

2022年中考数学几何模型之动点最值之隐圆模型(讲+练)(解析版)

专题13 动点最值之隐圆模型模型一、动点定长模型若P 为动点，但AB=AC=AP ，则B 、C 、P 三点共圆，A 圆心，AB 半径例. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A `MN ，连接A `C ，则A `C 长度的最小值是__________．．【解析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M．【变式训练1】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．【解析】考虑到将△FCE 沿EF 翻折得到△FPE ，可得P 点轨迹是以F 点为圆心，FC 为半径的圆弧．过F 点作FH ⊥AB ，与圆的交点即为所求P 点，此时点P 到AB 的距离最小．由相似先求FH ，再减去FP ，即可得到PH ．答案为1.2.A'NMABCDA'N MA BCDDCBA MN A'ABCEFPABCEFP【变式训练2】如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．【答案】8【解析】F 点轨迹是以E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点D 关于BC 对称点D ’，连接PD ’，PF +PD 化为PF +PD ’．连接ED ’，与圆的交点为所求F 点，与BC 交点为所求P 点，勾股定理先求ED ‘,再减去EF 即可．模型二、直角圆周角模型固定线段AB 所对动角∠C 恒为90°，则A 、B 、C 三点共圆，AB 为直径例.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =8，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．【答案】4Q ABC DEFPD'PFE D CBAQPABC【解析】∵∠PBC +∠PBA =90°，∠PBC =∠P AB ，∴∠P AB +∠PBA =90°，∴∠APB =90°， ∴P 点轨迹是以AB 为直径的圆弧．当O 、P 、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求OC ，再减去OP 即可．【变式训练1】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 向终点C 、D 运动，连接AM 、BN ，交于点P ，连接PC ，则PC 长的最小值为（）A ．2 B ．2 C ．1 D ．【答案】A【详解】由题意得：BM ＝CN ，∵四边形ABCD 是正方形，∵∵ABM ＝∵BCN ＝90°，AB ＝BC ＝4，在∵ABM 和∵BCN 中，AB ＝BC ，∵ABM ＝∵BCN ，MB ＝CN ，∵∵ABM∵∵BCN （SAS ），∵∵BAM ＝∵CBN ， ∵∵ABP ＋∵CBN ＝90°，∵∵ABP ＋∵BAM ＝90°，∵∵APB ＝90°，∵点P 在以AB 为直径的圆上运动，设圆心为O ，运动路径一条弧BG ，是这个圆的14，连接OC 交圆O 于P ，此时PC 最小，∵AB ＝4，∵OP ＝OB ＝2，由勾股定理得：OC∵PC ＝OC−OP ＝；故选：A ．【变式训练2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．【解析】根据条件可知：∠DAG =∠DCG =∠ABE ，易证AG ⊥BE ，即∠AHB =90°，所以H 点轨迹是以AB 为直径的圆弧当D 、H 、O 共线时，DH1【变式训练3】如图，点M 是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，过点B 作BN∵AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ，若AB=6，AD=4，则DP 的长的最小值为（）A ．2 BC ．4D ．5【答案】A【详解】解：∵BN∵AM ，∵∵APB ＝90°，∵AB ＝6为定长，则P 点的运动轨迹是以AB 为直径，在AB 上方的半圆，取AB 的中点为O ，连接OD ，OD 与半圆的交点P′就是DP 长的最小值时的位置，如图所示：HGAB CDEFαααHGABCDE F∵AB ＝6，AD ＝4，∵OP′＝OA ＝12AB ＝3，OD ＝5， ∵DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，∵DP 的长的最小值为2，故选：A ．模型三、四点共圆模型固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C ，则A 、B 、C 、P 四点共圆例.如图，ABC ∆∵ADE ∆，90BAC DAE ︒∠=∠=，4AB =，3AC =，F 是DE 的中点，若点E 是直线BC 上的动点，连接BF ，则BF 的最小值是（）A ．52B ．2C ．65D ．4【答案】B【详解】解：∵∵ABC∵∵ADE ，ADE ＝∵ABE ，∵点A ，D ，B ，E 四点共圆，∵∵DAE ＝90°，∵∵DBE ＝90°，∵F 是DE 的中点，∵BF ＝12DE ，∵当DE 最小时，BF 的值最小， ∵若点E 是直线BC 上的动点，∵当AE∵BC 时，AE 最小，此时，DE 最小， ∵∵BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，∵BC ＝5，∵AE ＝125AB AC BC ⨯=， ∵∵ABC∵∵ADE ，∵AC BC AE DE=，∵35125DE =， ∵DE ＝4，∵BF ＝2，故选B ．【变式训练1】如图，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AC 为对角线，过点D 作DF ∠AB ，垂足为E ，交CB 延长线于点F ，若AC ＝CF ，∠CAD ＝∠CFD ，DF ﹣AD ＝2，AB ＝6，则ED 的长为．【解答】解：∠∠CAD ＝∠CFD ，∠点A ，F ，C ，D 四点共圆， ∠∠F AD +∠DCF ＝180°，∠F AC ＝∠FDC ，∠∠DCF ＝90°，∠∠F AD ＝90°，∠AC ＝FC ，∠∠F AC ＝∠AFC ， ∠DF ∠AB ，∠∠ABF +∠BFE ＝∠CDF +∠BFE ＝90°， ∠∠ABF ＝∠CDF ，∠∠AFB ＝∠ABF ，∠AF ＝AB ＝6，∠DF ﹣AD ＝2，∠DF ＝AD +2，∠DF 2＝AF 2+AD 2，∠（2+AD ）2＝62+AD 2，解得：AD ＝8，∠DF ＝10， ∠∠F AD ＝90°，AE ∠DF ，∠∠ADE ∠∠DAF ，∠＝，∠DE ＝＝＝，故答案为：．【变式训练2】如图，P 为菱形ABCD 内一动点，连接PA ，PB ，PD ，60APD BAD ∠=∠=︒，2AB =，则PB PD +的最大值为（）A ．332B ．433C ．132+D ．312+ 【答案】B【详解】如图，连接BD ．在菱形ABCD 中，AB AD =．又60BAD ∠=︒．∵ABD △是等边三角形，∵DA DB =，60ABD ∠=︒．又∵60APD BAD ∠=∠=︒．∵动点P 一定在ABD △的外接圆O 的劣弧BD 上， ∵120BPD APD APB APD ADB ∠=∠+∠=∠+∠=︒．在AP 上取AE BP =，连接DE ．∵AE BP =，DAE DBP ∠=∠，DA DB =，∵AED BPD △≌△，DE DP ∴=，120AED BPD ∠=∠=︒，60DEP ∴∠=︒，∵PDE △为等边三角形，PE PD ∴=，AP AE EP BP PD ∴=+=+．当AP 为O 的直径时，BP PD +的值最大，此时90ABP ∠=︒，30PAB ∠=︒．又2AB =，PB PD ∴+的最大值为2cos30=︒B ．【变式训练3】如图，在∵ABC 中，BC ＝9，AC ＝12，AB ＝15，D 为直线AB 上方一点，连接AD ，BD ，且∵ADB ＝90°，过D 作直线BC 的垂线，垂足为E ，则线段BE 的长度的最大值为_____．【答案】12．【详解】解：在∵ABC 中，BC ＝9，AC ＝12，AB ＝15，22281,144,225BC AC AB ===， 222BC AC AB ∴+=，90C ∴∠=︒，∵∵ADB ＝90°，A C D B ∴、、、共圆取AB 的中点O 连接DO ，过点O 作OF EB ⊥于点F如图，当//OD BC 时， BE 最大，此时OD AC ⊥，OD DE ⊥ ，119//,,9222OF AC OF OD BF BC ∴⊥==⨯=，∴四边形ODEF 是矩形，111515222EF OD AB ∴===⨯=， 9151222BE BF EF ∴=+=+=，故答案为：12．课后训练1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．【解析】连接CE ，由于CD 为直径，故∠CED =90°，考虑到CD 是动线段，故可以将此题看成定线段CB 对直角∠CEB ．取CB 中点M ，所以E 点轨迹是以M 为圆心、CB 为直径的圆弧．连接AM ，与圆弧交点即为所求E 点，此时AE值最小，22AE AM EM =-=．2．如图，AB 是半∵O 的直径，点C 在半∵O 上，AB ＝5cm ，AC ＝4cm ．D 是BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ∵AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为（）A ．1 B2 C ．1 D ．3【答案】B【详解】解：如图，连接BO ′、BC ．∵CE ∵AD ，∵∵AEC ＝90°，∵在点D 移动的过程中，点E 在以AC 为直径的圆上运动， ∵AB 是直径，∵∵ACB ＝90°，B在Rt∵ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∵3BC==，O′E＝2，在Rt∵BCO′中，BO'=∵O′E+BE≥O′B，∵当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E2，故选：B．3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以AB为边向右作等边ABE，F为边CD上一点，DF＝2，连接EF，则EF的最小值为___．【答案】6【详解】解：如图，在AB上取点O，使得AO=2，则AO=DF，∵A O∵DF，∵四边形AOFD是平行四边形，∵OF=AD=6，即：点F在以O为圆心，6为半径的圆上，连接OE，当点F恰好在OE上时，EF最小，过点E作EH∵AB，在等边ABE中，AB=AE=8，AH=4，∵HE =∵在Rt OHE中，OH=4-2=2，∵OE=∵EF=6，即EF的最小值为6．⊥，4．如图，正方形ABCD的边长为5，点O是中心，点M在边AB上，连接OB，OM，过O作ON OM交边BC 于点N ．若2BM =，则BN 的长是__________．【答案】3【详解】连接MN 、OC ，∵∵MON ＝90︒ ，∵MBN ＝90︒，∵M 、O 、N 、B 四点共圆， ∵∵BOM +∵BNO ＝180︒，∵∵BNO +∵ONC ＝180︒，∵∵BMO ＝∵ONC ，∵点O 是正方形ABCD 的中心，∵OB ＝OC ，∵BOC ＝90︒， ∵∵MON ＝∵MOB +∵BON ＝90︒，∵BOC ＝∵BON +∵NOC ＝90︒， ∵∵MOB ＝∵NOC ，∵∵MOB ∵∵NOC ，∵NC ＝MB ＝2，∵正方形ABCD 的边长为5，∵BC ＝5，∵BN ＝BC ﹣NC ＝5﹣2＝3．故答案为：3．5.在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝12，点D 为线段BC 上一动点．以CD 为∠O 直径，作AD 交∠O 于点E ，连BE ，则BE 的最小值为 8 ．【解答】解：如图，连接CE ，∠∠CED ＝∠CEA ＝90°，∠点E 在以AC 为直径的∠Q 上， ∠AC ＝10，∠QC ＝QE ＝5，当点Q 、E 、B 共线时BE 最小， ∠BC ＝12，∠QB ＝＝13，∠BE ＝QB ﹣QE ＝8，∠BE 的最小值为8，故答案为8．6．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 边上一动点，过点B 作BE AD ⊥交AD 的延长线于E ．若2AC =，4BC =，则ADDE的最小值为（）AB ．1CD【答案】D【详解】如图1，过点E 作EF BC ⊥于F ， ∵90C ∠=︒，∵//AC EF ，∵ACD EDF ∽，∵AD ACDE EF=， ∵AC 是定值，∵当EF 取最大值时AD ACDE EF=有最小值，又∵AE BE ⊥，∵A ，B ，E ，C 四点共圆，设AB 的中点为O ，连接OE ，当OE BC ⊥时，EF 有最大值，如图2，当点E 是BC 中点时，EF 的值最大，此时，E ，F ，O 共线．∵2AC =，4BC =，∵AB =，∵OE OB == ∵OE BC ⊥，∵122BF BC ==，∵1OF ==，∵1EF OE OF =-=，∵AD AC DE EF ===∵AD DEＤ．7.如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为．GF EDCB A【解析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE =CF ，BG ⊥EF ，但∠BGE 所对的BE 边是不确定的．重点放在AE =CF ，可得EF 必过正方形中心O 点，连接BD ，与EF 交点即为O 点．∠BGO 为直角且BO 边为定直线，故G 点轨迹是以BO 为直径的圆．记BO 中点为M 点，当A 、G 、M 共线时，AG 取到最小值，利用Rt △AOM 勾股定理先求AM ，再减去GM8.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把∠BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则四边形AGCD的面积的最小值为．【解答】解：∠四边形ABCD 是矩形，∠CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5， ∠AB ＝3，AE ＝2，∠点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为h ，∠S 四边形AGCD ＝S ∠ACD +S ∠ACG ＝AD ×CD +AC ×h ＝×4×3+×5×h ＝h +6， ∠要四边形AGCD 的面积最小，即：h 最小，∠点G 是以点E 为圆心，BE ＝1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点， ∠EG ∠AC 时，h 最小，即点E ，点G ，点H 共线．由折叠知∠EGF ＝∠ABC ＝90°，延长EG 交AC 于H ，则EH ∠AC ，在Rt∠ABC 中，sin∠BAC ＝，在Rt∠AEH 中，AE ＝2，sin∠BAC ＝， ∠EH ＝AE ＝，∠h ＝EH ﹣EG ＝﹣1＝，∠S 四边形AGCD 最小＝h +6＝+6＝．故答案为：AB CDEF G。

中考数学动点最值问题归纳及解法

中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。

②一个动点速度是参数字母。

③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。

④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。

①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。

⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

动点最值初二数学

动点最值初二数学
动点最值是数学中的一个概念，它指的是在一定条件下，某个函
数在某个区间上的最大值或最小值。

在初二数学中，我们通常会学习
一元一次函数、一元二次函数和简单的三角函数等。

对于一元一次函数，例如y=2x+3，它的最大值或最小值会出现在区间的端点上。

在这个例子中，端点分别有一个最小值和一个最大值。

对于一元二次函数，例如y=x²-2x+1，它的最大值或最小值会发生在顶点处。

为了求出顶点的坐标，我们可以使用顶点公式x=-b/2a
来计算。

对于三角函数，我们经常考虑它们的最大值或最小值。

例如
sin(x)和cos(x)函数的最大值是1，最小值是-1。

这是因为这两个函
数的取值范围在[-1,1]之间。

总结来说，初二数学中的动点最值可以通过观察函数的图像、求
导数和解方程等方法来求解。

通过这些方法，我们可以确定函数在给
定区间上的最大值和最小值。

初中数学几何模型与最值问题08专题-瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题(含答案)

初中数学几何模型与最值问题专题8瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。

【知识精讲】所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【例题】如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）A．2B．4C．6D．8【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．6B．C．D．【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边1、如图，已知等边三角形ABC边长为A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A-1B．3C．3D．2、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．3、如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，6AB =，以线段AB 为边向外作等边ABD △，点E 是线段AB 的中点，连结CE 并延长交线段AD 于点F .(1)求证：四边形BCFD 为平行四边形；(2)求平行四边形BCFD 的面积；(3)如图，分别作射线CM ，CN ，如图中ABD △的两个顶点A ，B 分别在射线CN ，CM 上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CD 的最大长度.4、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若4,60BC ABC =∠=︒，则线段MN 的最大值为（）A ．4B ．8C ．D ．6【模型】三、借助构建全等图形1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接B P，以B P为边作等边△B P Q，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．2、如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．6B．3C．2D．1．5【模型】四、借助中位线1、如图，在等腰直角∆ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接B P，取B P的中点M，则CM的最小值为（）A．B．C-D．2、如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．322C ．52D ．3专题8瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题答案【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

2022年中考数学几何模型之动点最值之阿氏圆模型(讲+练)(解析版)

专题15 动点最值之阿氏圆模型背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P 在一个以O 为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP ∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k 的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A 、B 点，则需【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB②计算出这两条线段的长度比OPk OB = ③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM△△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =④则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例1.如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作△C ，P 为△C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（）A ．7B ．C ．4D ．【答案】B【详解】如图，在CA 上截取CM ，使得CM ＝1，连接PM ，PC ，BM ． △PC ＝3，CM ＝1，CA ＝9，△PC 2＝CM •CA ，△PC CMCA CP=， △△PCM ＝△ACP ，△△PCM △△ACP ，△13PM PC PA AC ==，△PM 13=PA ，△13AP +BP ＝PM +PB ，△PM +PB ≥BM ，在Rt△BCM 中，△△BCM ＝90°，CM ＝1，BC ＝7，△BM =，△13AP +BP △13AP +BP 的最小值为B ．例2.在ABC 中，AB =9，BC =8，△ABC =60°，△A 的半径为6，P 是A 上一动点，连接PB ，PC ，则32PC PB+的最小值_____________+PB 的最小值_______【答案】21【详解】①连接AP ，在AB 上取点Q ，使AQ =4，连接CQ ， △△A 的半径为6，即AP =6，△23AB AP =，又6923AP AB ==，且PAQ BAP ∠=∠， △APQ ABP ∆∆∽，△23PQ AP P AB B ==，△23PQ BP =，△()232333PC PB PC BP PC PQ ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，当P C Q 、、三点共线时，PC PQ +的值最小，最小值为CQ 的长，过C 作CI △AB 于I ，△90CIB CIQ ∠∠==︒，在Rt △CIB 中，△60CBI ∠=︒，BC =8，sin CI CBI BC ∠==，△CI =△4BI ，9441QI AB AQ BI =--=--=，在Rt △CIQ 中，7CQ ==，△32PC PB +的最小值为()321PC PQ +=；故答案为：21；②连接AP ，由①得：在Rt △CIA 中，AC在AC 上取点G ，使AG PG ，BG ，△736AG AP ==，△AP AC ==△P P AC A AG A =，且GAP PAC ∠=∠，△AGP APC ∆∆∽，△GP AG A P P C ==△GP =，△PB PB GP =+，当G P B 、、三点共线时，PB GP +的值最小，最小值为BG 的长，过G 作GH △AB 于H ，△90GHA GHB ∠∠==︒，在Rt △CIA 中，sin C CI AI AC ∠==Rt △GAH 中，sin GH GAH AG ∠==△GH =，△18073AH ，18047797373BH AB AH =-=-=，在Rt △GHB 中，BG =△PB例题3. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．【解析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM=DM 为最大值152．【变式训练1】如图，已知菱形ABCD 的边长为4，60B ∠=︒，B 的半径为2，P 为B 上一动点，则12PD PC +的最小值_______．+PC 的最小值_______【详解】①如图，在BC 上取一点G ，使得BG =1，连接PB 、PG 、GD ，作DF △BC 交BC 延长线于F ．AB CDP△221PB BG ==，422BC PB ==，△PB BCBG PB=， △PBG PBC ∠=∠，△PBG CBP ∆∆，△12PG BG PC PB ==，△12PG PC =，△12PD PC DP PG +=+，△DP PG DG +≥，△当D 、P 、G 共线时，PD +12PC 的值最小，最小值为DG ，在Rt △CDF 中，△DCF =60°，CD =4，△DF =CD •sin CF =2，在Rt △GDF 中，DG =②如图，连接BD ，在BD 上取一点M ，使得BM PB 、PM 、MC ，过M 作MN △BC 于N ．△四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒， △AC △BD ，△AOB =90︒，△ABO =△CBO =12△ABC =30︒，△AO =12AB =2，BO △BD =2 BO =△32BM PB ==PB BD =△BM PB PB BD ==△MBP =△PBD ，△△MBP ~△PBD ，△PM PB PD BD ==△PM =，△PC PC PM MC =+≥，△当M 、P 、C 共线时，PC 的值最小，最小值为CM ，在Rt △BMN 中，△CBO =30︒，BM △MN =12BM BN 12=，△CN =4-1722=，△MC 3=，△PC ．【变式训练2】如图，正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上一动点，则最小值为，的最大值为 .【答案】最小值为5，最大值为5【解析】在BC上取一点G，使得BG＝1，连接PG、DG，如图所示：∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，最小值为；当点P在DG的延长线时，DG，最大值为5.【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，的最小值是.【答案】5【解析】取点K（1，0），连接OP、PK、BK，如图所示：∵OP ＝2，OA ＝4，OK ＝1，，∵∠POK ＝∠AOP ，∴△POK ∽△AOP ，在△PBK 中，，的最小值为BK 的长，∵B （4，4），K （1，0），，∴的最小值为5.【变式训练4】如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60︒，A 与BC 相切于点E ，在A 上任取一点P ，则PB 的最小值为___________．【详解】解：在AD 上截取AH =1.5，连接PH 、AE ，过点B 作BF △DA 延长线，垂足为F ，△AB =2，△ABC =60°，△BE =AF =1，AE =BF △AP AD AH AP ==△△PAD =△PAH ，△△ADP △△APH ，△DP AD PH AP ==，△PH ，当B 、P 、H 共线时，PB 的最小，最小值为BH 长，BH =课后训练1.如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（）A B C D 【答案】C【详解】解：如图，连接BP ，取BE 的中点G ，连接PG ， △2AD BC BP ===，4AB =，△2142BP BA ==，△G 是BE 的中点，△12BG BP =，△BP BGBA BP=， △PBG ABP ∠=∠，△BPG BAP ，△12PG BP AP BA ==，△12PG AP =，则12AP DP PG DP +=+，当P 、D 、G 三点共线时，取最小值，即DG 长，DG C ．2.如图，在平面直角坐标系中，A （2，0）、B （0，2）、C （4，0）、D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ＝135º，则2PD ＋PC 的最小值是 .【解析】依题意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135º，∴点P的轨迹是以原点为圆心，OA长为半径的圆O上的劣弧AB，构造圆O，连接OP，在OC上截取OE＝1，连接PE、ED，过点D作DF⊥OC于点F，如图所示：，∠POC＝∠EOP，∴△POC ∽△EOP，，，，当E、P、D三点共线时，PD＋PE的值最小，最小值为DE的值，∵DF⊥OC于点F，则DF＝2，EF＝2，，∴的最小值为2DE.3.如图，在Rt ABC中，△C=90°，CA=3，CB=4．C的半径为2，点P是C上一动点，则12AP BP+的最小值______________23+PB PA的最小值_______【详解】①在BC上取点D，使CD=14BC=1，连接AD，PD，PC，由题意知：PC =2，△12DC PC PC BC ==，△PCD =△BCP ，△PDC BPC ∆∆∽，△12PD PB =，且12PA PB PA PD AD +=+≥，△AD =△2PA PB 1+②在AC 上取点E ，使CE =43，连接PE ，BE ，PC ，△42323CE PC ==，23PC AC =，△23CE PC PC AC ==，且△PCE =△ACP ， △PEC APC ∆∆∽，△23PE PC PA AC ==，△23PE PA =，△23PB PA PB PE BE +=+≥，△BE =△23+PB PA ．4.如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC ＝1，BD ＝2，点P 为弧AB 上一动点，求的最小值.【解析】当A、P、D三点共线时，的值最小.连接PB、CO，AD与CO相交于点M，如图所示：∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切线,∴∠ABD＝90º,∠BAD＝∠D＝45º,∵AB是⊙O直径,∴∠APB＝90º,∴∠PAB＝∠PBA＝45º,∴PA＝PB,PO⊥AB,∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,∴AC∥PO,∠CAO＝90º∵AC＝PO＝1,∴四边形AOPC是平行四边形,而OA＝OP,∠CAO＝90º,∴四边形AOPC是正方形,PC＋PD＝PM＋PD＝DM,∵DM⊥OC,∴由"垂线段最短"PC＋PD的值最小，最小值为.5.（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；△AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，△AE＝AD，△AB＝AC，△A＝△A，AD＝AE，△△BAD△△CAE（SAS），△BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．△P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，△P A2＝AE•AD，△＝，△△P AE＝△DAP，△△P AE△△DAP，△＝＝，△PE＝PD，△PC+PD＝PC+PE，△PC+PE≥EC，△PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝6，DE＝，△EC＝＝，△PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．△MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，△MA2＝AE•AE，△＝，△△MAE＝△DAM，△△MAE△△DAM，△＝＝＝，△ME＝MD，△MC+MD＝MC+ME，△MC+ME≥EC，△MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，△EC＝＝2，△MC+MD的最小值为2．6.如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E’A＋E’B的最小值．【解答】（1；（2）m＝2；（3【解析】（1）令y＝0，则ax2＋（a＋3）x＋3＝0，∴（x＋1）（ax＋3）＝0，∴x＝﹣1或，∵抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴＝4，∴a＝．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线AB解析式为．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，，∵NE∥OB，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为，∴PN＝﹣（，，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，，∴M′E BE′，∴AE′＋′＝AE′＋E′M′＝AM′，此时AE′＋BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝．。

动点最值问题方法+经典例题

动点最值问题方法＋经典例题
动点最值是初中数学的难点内容，它考察的知识点很多，动点最值有很多类型，本次课程我们不仅总结了解决最值问题的基本方法，还给大家准备了经典例题基本方法
1最经济问题2利用三角形两边差求最值
3转化垂直求最值4平移构造平行四边形求最值5勺子形连两端求最值6对称连两端求最值
7构造两定边求最值8转化构造两定边求最值
9面积转化法求最值10相似转化法求最值
11系数化一法求最值12胡不归原理13轨迹最值14三动点的最值三角形15费马点今天就讲到这儿，还有很多内容我一下子没办法讲完，只能一点点讲。

同学们，下课。

中考数学常见几何模型最值模型-费马点问题

专题12 最值模型-费马点问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】结论1：如图，点M 为△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA +MB +MC 的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A 。

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）【模型证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ．△△ABE 为等边三角形，△AB ＝BE ，△ABE ＝60°．而△MBN ＝60°，△△ABM ＝△EBN ．在△AMB 与△ENB 中，△AB BEABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AMB △△ENB （SAS ）．连接MN ．由△AMB △△ENB 知，AM ＝EN ．△△MBN ＝60°，BM ＝BN ，△△BMN 为等边三角形．△BM ＝MN ．△AM +BM +CM ＝EN +MN +CM ．△当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM +BM +CM的值最小．此时，△BMC ＝180°﹣△NMB ＝120°；△AMB ＝△ENB ＝180°﹣△BNM ＝120°；△AMC ＝360°﹣△BMC ﹣△AMB ＝120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC 的AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接CE 、BF ，设交点为M ，则点M 即为△ABC 的费马点。

动点最值之胡不归模型(解析版)中考数学几何模型专项复习与训练

专题14 动点最值之胡不归模型背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A 在驿道下方作射线AE ，夹角为，且，作DG ⊥AE 于点G，则，将转化为DG ＋DB ，再过点B 作BH ⊥AE 于点H就是我们要找的点，此时DG ＋DB 的最小值为BH ，，综上，所需时间的最小值为2驿道解决思路：构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CHk AC=，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例题1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是_______．【解析】∵tan A =2，∴△ABE三边之比为1:2sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H点，则DH =．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此时CD DH CH BE +===例2.如图，△ABC 在直角坐标系中，AB ＝AC，C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A→D→C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为（）A ．（0，B ．（0） C ．（0，）D ．（0）M MABCDEHEDCBA ABCDEH【答案】D【解析】假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＋CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以，所以，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，最小，就是要DH＋BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以即所以，所以点D的坐标应为.例3.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA＝，设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，∴AD＋DH的最小值为AQ的长，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝∴OC＝4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y＝kx＋b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为，解方程组得或，则E，∴蚂蚁从A爬到Gs），即蚂蚁从A到E的最短时间为【变式训练1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB的最小值等于________．【解析】已知∠A=60°，且，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得PH，∴PB=PB+PH．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．【变式训练2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是.A BCD PMHPD CBA A BCD PHM【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2＋4a2，∴a2＝20，，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴∴CD＋DH≥CM，.【变式训练3】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则________．过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP＝∠DAB＝60°，∴当点B、P、Q三点共线时，的最小值为.课后训练1.如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE△CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH△BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ△BP于点Q，△△ACB＝90°，△ABC＝30°，AB＝4，△AC＝CP＝2，BP＝AB＝4△△ABP是等边三角形，△△FBH＝30°，△Rt△FHB中，FH＝FB△当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值△AE△CD于点G，△△AGC＝90°，△O为AC中点，△OA＝OC＝OG＝AC△A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在△O上运动，△当点G运动到OQ上时，GH取得最小值△Rt△OPQ中，△P＝60°，OP＝3，sin△P＝△OQ＝OP＝，△GH最小值为故选：C．2.如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：△的度数为120°，△△C＝60°，△AC是直径，△△ABC＝90°，△△A＝30°，作BK△CA，DE△BK于E，OM△BK于M，连接OB．△BK△AC，△△DBE＝△BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，△OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，△△BAO＝△ABO＝30°，△△OBM＝60°，在Rt△OBM中，△OB＝2，△OBM＝60°，△OM＝OB•sin60°＝，△DB+OD的最小值为，故选：B．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则＋PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【解答】（1）（2）；【解析】（1）由题意解得，∴抛物线解析式为，∵（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P PB＋PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO ABO＝30°，∴PH＝PB，∴＋PD＝PH＋PD＝DH，∴此时＋PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°DH＝，∴＋PD的最小值为；4.如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【答案】（1）见解析；（2）（3）AB＝8【解析】（1）连接OC，如图，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝，∴OC＝h，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，则∠AOF＝∠COF＝AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴＋OD＝DH＋FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD＋OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝＝6，则OF＝，AB＝2OF＝．∴当＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．5.如图，已知抛物线y＝x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－＋b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【答案】（1）；（2）或；（3）当点F坐标为（﹣2）时，点M在整个运动过程中用时最少.【解析】（1）抛物线y＝x＋2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线经过点B（4，0），∴×4＋b＝0，解得b＝，∴直线BD当x＝﹣5时，y＝，∴D（﹣5）．∵点D（﹣5）在抛物线y＝x＋2）（x﹣4）上，∴5＋2）（﹣5﹣4）＝，∴．∴抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，∴．∴P（x x＋k），代入抛物线解析式y＝x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：．②若△ABC ∽△PAB ，则有∠ABC ＝∠PAB ，如答图2﹣2所示．设P （x ，y ），过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，则ON ＝x ，PN ＝y ． tan ∠ABC ＝tan ∠PAB ，即：，∴．∴P （x ，x ），代入抛物线解析式y ＝（x ＋2）（x ﹣4），得（x ＋2）（x ﹣4x ＋x 2﹣4x ﹣12＝0，解得：x ＝6或x ＝﹣2（与点A 重合，舍去），∴P （6，2k ）． ∵△ABC ∽△PAB ，，∴，解得，∵k ＞0，∴，综上所述，．（3）作DK ∥AB ，AH ⊥DK ，AH 交直线BD 于点F ，∵∠DBA ＝30°，∴∠BDH ＝30°，∴FH ＝DF ×sin30°，∴当且仅当AH ⊥DK 时，AF ＋FH 最小，点M ，∵lBD ：，∴F X ＝A X ＝﹣2，∴F （﹣2）．。

动点求最值方法总结

动点求最值方法总结一、引言动点求最值是一类经典数学问题，在各个学科领域中都有广泛的应用。

它可以通过将问题转化为数学模型，通过解析方法或数值计算方法求解。

本文将对动点求最值的方法进行总结和探讨，深入探究这类问题的解决思路和技巧。

二、常见的动点求最值问题2.1 直线上的动点问题在一条直线上，给定两个固定点A和B，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值或最大值。

这类问题可以通过求解P点的坐标来实现。

2.2 平面内的动点问题在平面内，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。

这类问题涉及到平面几何和三角函数的运用。

2.3 空间内的动点问题在三维空间中，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。

这类问题需要运用空间几何和向量的知识。

三、解决动点求最值问题的方法3.1 几何解法几何解法是通过绘制几何图形，利用几何性质和定理来解决问题。

在直线上的动点问题中，可以通过绘制线段和圆等图形来分析，确定最值点的位置。

在平面内和空间内的动点问题中，可以借助几何图形的相似性和对称性来求解。

3.2 代数解法代数解法是通过建立方程或运用代数方法来求解问题。

在直线上的动点问题中，可以通过设定P点的坐标，利用距离公式建立相应的方程，并通过求导或配方法求解。

在平面内和空间内的动点问题中，可以利用向量运算和三角函数关系建立方程，然后通过求解方程组来得到最值点的坐标。

3.3 数值计算方法如果问题比较复杂，无法通过几何或代数的方法得到解析解，可以使用数值计算方法进行近似求解。

常用的数值计算方法包括最优化算法、数值优化算法和遗传算法等。

这些方法通过迭代计算，逐步逼近最值点的位置。

四、案例分析4.1 直线上的动点问题案例假设直线上有两个点A(1, 2)和B(3, 4)，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值。

通过建立P点的坐标(x, y)，利用距离公式可得：d=√(x−1)2+(y−2)2+√(x−3)2+(y−4)2通过求导可以得到最小值点的坐标：∂d=0∂x∂d=0∂y解得最小值点为P(2, 3)。