中考数学复习指导：求运动中线段扫过的区域面积.doc

求运动中线段扫过的区域面积

近年来，以几何图形的运动为载体，求在运动过程屮图形上某一线段扫过的区域面积问 题，在中考试卷屮屡有出现，不少同学对于此类题型感觉无从下手.下面通过具体实例来说 明此类问题的解法.

一、扫过区域为三角形

例1如图1,等边MBC 中，BC = 6,D 、E 分别在BC 、AC 上，且DE // AC ,

MN 是NBDE 的小位线.将线段DE 从BD=2处开始向AC 平移，当点D 与点C 重合时停 止运动，则在运动过程中线段所扫过的区域面积为 ________________________ .

分析本题是一道动点运动的问题，关键是要搞清随着线段DE 的运动，线段起 始位置和最终位置.图1是起始位置，图2是最终位置.则在运动过程中线段MN 所扫过的区 域为RtAM'N'N 与

RlAM'MN 的面积和.此时M 运动到的中点，N 运动到AC 的中点.

/. Si=—>/3 + = 2\/3 .

2 2

图2

例2如图3,等边三角形ABC 中，BC = 6,D 、E 是边BC 上两点，且BD = CE = \,

点P 是线段DE 上的一个动点，过点P 分别作AC. 4B 的平行线交AB. AC 于点M 、 N ,连结MTV 、AP 交于点G,则点P 由点D 移动到点E 的过程中，求线段BG 扫过的 区域面枳.

分析 求出四边形AMPN 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可得G 是 AP 的中点，然后判断出点G 的运动路线是AAPP'的屮位线，根据三角形的屮位线平行于

第三边并且等于第

1 =—x 2

V3x3 = -V3, S 2

三边的一半求出GG'，再根据等边三角形的性质求11! \BGG f的底边GG' 上的高，然后根据三角

形的而积公式列式计算即可得解.

图3

解•・• PM H AC, PN//AB,

:.四边形AMPN是平行四边形.

-MN与AP相交于点G,

••・G是AP的中点，

・・・如图4,点G的运动路线是AAPP'的中位线.

6-1-1

・・• BC = 6,BD = CE = 1,・・・GG' = -- = 2.

2

••• BC = 6,・・・\BGG f的底边GG'上的高为* x (6 x £)二芈,

•••线段BG扫过的区域面积为»2><晋=琴

点评木题考查了点的轨迹，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于确定出点G的运动轨迹从而确定出3G扫过的区域是三角形.

二、扫过区域为两个三角形

例3如图5,点C在以AB为直径的半圆上，AB = &ZC34 = 3(T,点D在线段AB

上运动，点E与点D关于AC对称，DF丄DE于D,并交EC的延长线于点F.则当D从点4运

动到点B时，线段EF扫过的面积是 ____________________ .

分析首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与MBC的关系, 就可求出线段EF扫过的面积.

解・・•点D与点E关于4C对称，点D与点F关于BC对称，

•・・当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，

图5

点F 的运动路径NB 与AB 关于BC 对称.

・・・EF 扫过的图形就是图6中阴影部分.

/. S 阴影=2S^BC ~ 2x —AC- BC = 4X 4A /3 = 16>/3. 2

•••EF 扫过的而积为16A /3.

三、扫过区域为扇形

例4如图7,正方形ABCD 的边长为2,将长为2的线段07?的两端放在正方形的相邻 的两边上同吋滑动•如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A-B-C-D-A 滑动到

A 止，同时点R 从点

B 出发，沿图中所示方向按B —

C — DfA — B 滑动到B 止，在这

个过程中，线段0R 的中点M 所经过的路线长为（）

解析 根据题意得点M 到正方形各顶点的距离都为1,点M 所走的运动轨迹为以正方 形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形, ・••点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积. 而正方形ABCD 的面积为2X2=4,

90龙

4个扇形的面积为4X —— 二兀，

360

•・・点M 所经过的路线围成的图形的面积为4-龙.

以上这类问题虽然较难，但也有一定的方法可循.首先要弄清在运动过程屮，该线段的 起始和终

点位置，然后画出在这两种情况下的图形，最后再正确描出此时两个图形围成的部

分，即扫过的区域.初中数学中，通常扫过的区域为三角形，有时也可能为多个三角形或其 他特殊图形.通过以上儿道例题的分析，希望帮助同学们能够掌握正确的解题方法

.

(A)2 图6

(B) 4 — 71

(C)龙 (D)>T-1 图8