中考数学复习指导：求运动中线段扫过的区域面积.doc
2020年中考数学复习 综合与探究 二次函数与线段、面积问题
综合与探究：函数与几何图形的动态探究题——二次函数与线段、面积问题一、目标认识：1．会结合二次函数有关知识解决运动产生的线段、面积问题． 2．掌握线段的数量关系、线段最值、面积最值等问题的基本方法． 二、类型垫基：【题一】函数与线段最值问题1.如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y=x 上运动，则线段AB 的长度的最小值是 ．22解析：线段AB 长度就是点A 到直线上一点B 的距离，点到直线的距离的最小值为点到直线垂线段的距离，过A 作OB 的垂线交OB 于C ，那么三角形OAC 为等腰直角三角形，斜边AO=1，故AC=22，应填22。
2.如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=（x-1）2+2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为 ． 2 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC ，又∵AC ⊥x 轴且点A 在x 轴上方，∴AC 的长等于A 点的纵坐标， 2122y x =-+≥（） ∴当点A 是顶点时，AC 的长为2，故BD 的最小值为2.【题二】函数与线段之和最小值问题3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，1），直线l 与x 轴，y 轴分别交于点B （-3，0），C （0，3），当x 轴上的动点P 到直线l 的距离PE 与到点A 的距离PA 之和最小时，则点E 的坐标是 ．（21-，25） 解析：点A 的坐标为（3，1），那么点A 关于x 轴对称点A ' 的坐标为（3，1- ）,此时，x 轴上的动点P 到A 与A '距离相等， PE 与到点A 的距离PA 之和等于PE 与PA '之和，要使PE 与PA '之和最小，A '作直线l 的垂线交l 于E 。
又过A '作x 轴的平行线交l 于F ，观察图象，三角形A 'EF 为等腰直角三角形，而直线l 对应解析式为3y x =+，可以得出点E （21-，25），应填（21-，25）。
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求运动中线段扫过的区域面积近年来，以几何图形的运动为载体，求在运动过程屮图形上某一线段扫过的区域面积问 题，在中考试卷屮屡有出现，不少同学对于此类题型感觉无从下手.下面通过具体实例来说 明此类问题的解法.一、扫过区域为三角形例1如图1,等边MBC 中，BC = 6,D 、E 分别在BC 、AC 上，且DE // AC ,MN 是NBDE 的小位线.将线段DE 从BD=2处开始向AC 平移，当点D 与点C 重合时停 止运动，则在运动过程中线段所扫过的区域面积为 ________________________ .分析本题是一道动点运动的问题，关键是要搞清随着线段DE 的运动，线段起 始位置和最终位置.图1是起始位置，图2是最终位置.则在运动过程中线段MN 所扫过的区 域为RtAM'N'N 与RlAM'MN 的面积和.此时M 运动到的中点，N 运动到AC 的中点./. Si=—>/3 + = 2\/3 .2 2图2例2如图3,等边三角形ABC 中，BC = 6,D 、E 是边BC 上两点，且BD = CE = \,点P 是线段DE 上的一个动点，过点P 分别作AC. 4B 的平行线交AB. AC 于点M 、 N ,连结MTV 、AP 交于点G,则点P 由点D 移动到点E 的过程中，求线段BG 扫过的 区域面枳.分析 求出四边形AMPN 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可得G 是 AP 的中点，然后判断出点G 的运动路线是AAPP'的屮位线，根据三角形的屮位线平行于第三边并且等于第1 =—x 2V3x3 = -V3, S 2三边的一半求出GG'，再根据等边三角形的性质求11! \BGG f的底边GG' 上的高，然后根据三角形的而积公式列式计算即可得解.图3解•・• PM H AC, PN//AB,:.四边形AMPN是平行四边形.-MN与AP相交于点G,••・G是AP的中点，・・・如图4,点G的运动路线是AAPP'的中位线.6-1-1・・• BC = 6,BD = CE = 1,・・・GG' = -- = 2.2••• BC = 6,・・・\BGG f的底边GG'上的高为* x (6 x £)二芈,•••线段BG扫过的区域面积为»2><晋=琴点评木题考查了点的轨迹，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于确定出点G的运动轨迹从而确定出3G扫过的区域是三角形.二、扫过区域为两个三角形例3如图5,点C在以AB为直径的半圆上，AB = &ZC34 = 3(T,点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF丄DE于D,并交EC的延长线于点F.则当D从点4运动到点B时，线段EF扫过的面积是 ____________________ .分析首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与MBC的关系, 就可求出线段EF扫过的面积.解・・•点D与点E关于4C对称，点D与点F关于BC对称，•・・当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，图5点F 的运动路径NB 与AB 关于BC 对称.・・・EF 扫过的图形就是图6中阴影部分./. S 阴影=2S^BC ~ 2x —AC- BC = 4X 4A /3 = 16>/3. 2•••EF 扫过的而积为16A /3.三、扫过区域为扇形例4如图7,正方形ABCD 的边长为2,将长为2的线段07?的两端放在正方形的相邻 的两边上同吋滑动•如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A-B-C-D-A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B —C — DfA — B 滑动到B 止，在这个过程中，线段0R 的中点M 所经过的路线长为（）解析 根据题意得点M 到正方形各顶点的距离都为1,点M 所走的运动轨迹为以正方 形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形, ・••点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积. 而正方形ABCD 的面积为2X2=4,90龙4个扇形的面积为4X —— 二兀，360•・・点M 所经过的路线围成的图形的面积为4-龙.以上这类问题虽然较难，但也有一定的方法可循.首先要弄清在运动过程屮，该线段的 起始和终点位置，然后画出在这两种情况下的图形，最后再正确描出此时两个图形围成的部分，即扫过的区域.初中数学中，通常扫过的区域为三角形，有时也可能为多个三角形或其 他特殊图形.通过以上儿道例题的分析，希望帮助同学们能够掌握正确的解题方法.(A)2 图6(B) 4 — 71(C)龙 (D)>T-1 图8。
中考数学：线段旋转所扫边的图形面积
线段旋转所扫边的图形面积线段AB 和点O 在同一平面内，将线段AB 绕点O 旋转，在旋转过程中，线段AB 所扫过的图形面积该如何计算？笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．一、旋转中心O 在线段AB 上如图1，设AO ＝a ，BO ＝b(a ≥b)，旋转角度为α．(1)当0°≤α≤180°时，线段AB 所扫过的图形如图2中的阴影部分所示，其蕊积为扇形OAA'与扇形OB B'的面积和，故()2222360360360S a b a b αααππ=+=+(2)当180°<α≤360°时，线段AB 所扫过的图形如图3中的阴影部分所示，其面积为以AO 为半径的圆的面积减去图中空白部分的面积，故二、旋转中心O 在线段AB 的延长线上如图4，设AO ＝a ，BO ＝b ，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图5中的阴影部分所示，其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-三、旋转中心O 不在直线AB 上(1)当线段AB 的两个端点分别是线段AB 上到旋转中心O 的距离最长的点和距离最短的点时，如图6(1)．设AO ＝a ，BO ＝b(a>b)，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图6(2)中的阴影部分所示．因为△OAB ≌△OA'B'，所以阴影部分的面积可转化为其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-(2)当线段AB 的两个端点不是线段AB 上到旋转中心O 的距离最短的点时，如图7．作OD ⊥AB ，垂足为D ，设OA ＝a ，OB ＝b(a ≥b)，O D ＝h ，∠BOD ＝β，旋转的角度为α．①若0°<α<2β时，线段AB 所扫过的图形如图8中的阴影部分所示，计算线段AB 所扫过的图形面积比较复杂，限于初中学生的知识水平，不需要掌握．②若2β≤α≤360°－2β时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．作OI ⊥A'B'，垂足为I ，则△OAD ≌△OA'I ，所以阴影部分的面积可以用以OA 和OD 为半径的两个扇形的面积差加上一个弓形的面积表示，即()22222tan 360360S a b h bαβπβπ=-+-∙．③若360°－2β<α<360°时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．此时阴影部分的面积以初中学生的知识也不能计算．④若α＝360°时，线段AB 所扫过的图形如图11中的阴影部分所示，为一个圆环的面积，故S ＝π（a 2－h 2）．计算线段AB 绕点O 旋转所形成的图形面积，关键在于准确画出AB 旋转所形成的图形．其形状是由线段AB 的初始位置、终止位置及点A 、B 、D （点D 是线段AB 上到O 点距离最近的点）的运动轨迹所围成的封闭图形．。
2023年中考数学复习之坐标系中的面积计算
第一讲 坐标系中的面积计算知识导航1.铅垂法求三角形的面积是几何问题中常见问题之一，方法较多，比如面积公式、割补、等积变形三角函数，而在坐标系中求三角形面积，最常用为铅垂法.思路概述（1）A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”（2）过点C 做x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅锤高” 公式：22D C B A ABC y y x x S -⋅-=⨯=∆铅锤高水平宽 解题的关键在于求得D 点坐标.所谓“铅垂法”实则就是割补法，对于此类求坐标系中的三角形面积形成了一套完整的解法，即已知三角形三个顶点即可求此三角形面积，取名“铅锤法”，建议解答题最好先证明.引例1：在平面直角坐标系，已知A （1,1）、B （7,3）、C （4,7），求此△ABC 的面积.引例2：（2019•海南改编）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +5经过A （﹣5，0），B （﹣4，﹣3）两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值；思考：在像引例2这种求面积的问题中，一般选取两定点做水平宽，若第三个点并不在两定点之间，则铅锤高如何做？方法总结铅垂法本质即割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，确定出其对应的铅锤高！（1）取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅锤高. 2铅锤高水平宽⨯=-=∆∆∆BCD ABD ABC S S S（2）取BC 作水平宽，过点A 作铅锤高AD.练一练（2019•宜宾改编）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2x +c 与直线y ＝kx +b 都经过A （0，﹣3）、B （3，0）两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标，并求△P AB 面积的最大值．2.最值、定值、等值引例3：如图，抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接BP 、PC.（1）最值问题：①当PBC ∆面积最大时，求面积最大值及P 点坐标.②过点P做PH⊥BC交BC于点H，求PH最大值.（2）定值问题若点P在抛物线上且△PBC的面积为3时，求点P的横坐标.思路1：铅垂法列方程求解思路2：构造等积变形（3）等值问题：若点p在抛物线上且△PBC的面积等于△BOC的面积，求P点的横坐标.思路1：化等值问题为定值问题思路2：等积变形3.四边形的面积对于特殊四边形，考虑面积公式，对于一般四边形，连接对角线即可分两个三角形，求两个三角形面积之和即可.引例4:（2019•东营改编）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y 轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标.真题演练1.（2010•宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（﹣3，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2013•宜宾改编）如图，抛物线y1＝x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．（1）请直接写出抛物线y2的解析式；（2）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．3.（2019•绵阳改编）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；4.（2019•聊城改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0），点B （4，0），与y 轴交于点C （0，8），连接BC ．又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．（1）求抛物线的表达式；（2）作PF ⊥BC ，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt △PFD 面积的最大值．5.（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y=21x ﹣2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于另一点C （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使S △P AB ＝S △OAB ？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；6.（2019•临沂改编）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S ＝S△P AC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．△P AM。
九年级数学图形运动产生的面积问题(三)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：图形运动产生的面积问题的处理思路是什么？1．___________________________．2．分析运动过程，画线段图，分段，定范围．（需关注四要素）①__________________________；②____________——确定分段，状态转折通常是边与顶点碰撞的时刻；③____________——明确方向．3．___________________________．问题2：在设计方案求解时，需要表达线段长，表达线段长有哪些常用的手段？问题3：图形运动产生的面积处理思路跟动点问题处理思路之间有什么样的区别和联系？图形运动产生的面积问题（三）一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，在平面直角坐标系中，点．在Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，则S与h之间的函数关系式为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：、试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题2.如图，在△MNQ中，MN=11，，在矩形ABCD中，BC=4，CD=3，点A与点M重合，AD与MN重合．矩形ABCD沿着直线MQ向上平移，且平移的速度为每秒5个单位长度，当点A与点Q重合时停止运动．（1）MQ的长度为( )A.4B.10C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题3.（上接第2题）（2）当BC与MN重合时，矩形ABCD运动的时间为( )A.5秒B.C.1秒D.2秒答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题4.（上接第2，3题）（3）设矩形ABCD与△MNQ重叠部分的面积为S，运动的时间为t秒，则S与t之间的函数关系式为( )（并写出相应的t的取值范围）A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题。
中考数学之动点与线段、面积关系问题(解析版)
专题动点与线段、面积关系问题【例题精讲】题型一、线段间关系问题【2019·阜阳临泉县期末】已知正方形ABCD中，P为直线AD上一点，以PD为边作正方形PDEF，使点E在线段CD的延长线上，连接AC、AF．若AD PD，则∠CAF的度数为______．【答案】112.5°或67.5°.【解析】解：（1）如图，当点P在线段AD上时，∠四边形ABCD是正方形，∠∠CAD=45°，∠四边形PDEF是正方形，∠DF，∠ADF=45°，∠AD，∠AD=DF，∠∠F AD=∠AFD=67.5°，∠∠CAF=∠CAD+∠DAF=112.5°；（2）如图，当点P在AD的延长线时，同理可得∠ADF=135°，∠∠DAF=22.5°，∠∠CAF=67.5°，综上所述，∠CAF的度数为112.5°或67.5°，故答案为：112.5°或67.5°．题型二、面积间关系问题例1. 【2019·北京101中学期末】已知：如图1，在平面直角坐标中，A（12，0），B（6，6），点C为线段AB的中点，点D与原点O关于点C对称．（1）利用直尺和圆规在图1中作出点D的位置（保留作图痕迹），判断四边形OBDA的形状，并说明理由；（2）在图1中，动点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，到达点A时停止；同时，动点F从点O出发，以每秒a个单位的速度沿OB→BD→DA运动，到达点A时停止．设运动的时间为t（秒）．∠当t=4时，直线EF恰好平分四边形OBDA的面积，求a的值；∠当t=5时，CE=CF，请直接写出a的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图所示：四边形OBDA是平行四边形．理由如下：∠点C为线段AB的中点，∠CB=CA．∠点D与原点O关于点C对称，∠CO=CD．∠四边形OBDA是平行四边形．（2）∠如图所示：∠直线EF恰好平分四边形OBDA的面积，∠直线EF必过C（9，3）．∠t=4，∠OE=4，∠BD∠OA，∠∠COE=∠CDF，∠∠OEC∠∠DFC，∠DF=OE=4，∠BF=12-4=8，由勾股定理得：OB=∠4a=，∠a=2．∠如图所示：当t=5时，OE=5，点E的坐标（5，0）．由勾股定理得：EC=5，∠CE=CF，∠CF=5，∠OB=BA=又OA=12．∠∠OBA为直角三角形，∠∠OBA=90°．（i）在直角∠F1BC中，CF1=5，BC=，∠BF1，∠OF1=，∠a（ii）设F2的坐标为（b，6），可得：(9-b) 2+(6-3)2=25，解得：b=5（舍去）或b=13，∠BF2=13-6=7，∠OB+BF2=7，∠a=75；（iii）∠BO∠AD，∠∠BAD=∠OBA=90°．∠AF3，∠DF3=，∠OB+BD+DF3=12，∠a；综上所述a题型三、其它特殊直线与动点问题例1. 【2019·黄石期中】如图，在直角三角形∠ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm，点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动．设运动时间为t（s）（1）求t为何值时，∠PBQ为等腰三角形？（2）是否存在某一时刻t，使点Q在线段AC的垂直平分线上？（3）点P、Q在运动的过程中，是否存在某一时刻t，直线PQ把∠ABC的周长与面积同时分为1：2两部分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得，AP=2t，BQ=4t，则BP=12-2t，当∠PBQ为等腰三角形时，BP=BQ，即12-2t=4t，解得：t=2；（2）当点Q在线段AC的垂直平分线上时，QC=QA，设BQ=x，则QC=16-x，∠16-x=√122+x2，解得：x=3.5，即BQ=3.5，∠t=3.5÷4=78（秒）；（3）在Rt∠ABC中，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=20，∠ABC的面积=12×AB×BC=96，当直线PQ把∠ABC的周长分为1：2两部分时，∠当AC+AP+CQ=2×（BP+BQ）时，即：20+2t+16-4t=2（12-2t+4t），解得：t=2，PB=12-4=8，BQ=4×2=8，S∠BPQ=12×PB×QB=32，S四边形CAPQ=96-32=64，即，S∠BPQ：S四边形CAPQ=1：2，故当t=2时，直线PQ把∠ABC的周长与面积同时分为1：2两部分；（2）当2（AC+AP+CQ）=BP+BQ时，即2（20+2t+16-4t）=12-2t+4t，解得：t=10（不合题意），综上所述，当t=2时，直线PQ把∠ABC的周长与面积同时分为1：2两部分.【刻意练习】1. 【2019·宜城市期末】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM.（1）菱形ABCO的边长______（2）求直线AC的解析式；（3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设∠PMB的面积为S （S≠0），点P的运动时间为t秒，∠当0＜t＜52时，求S与t之间的函数关系式；∠在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值．【答案】（1）5；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）Rt∠AOH中，由勾股定理得：AO=√AH2+OH2=√42+32=5，所以菱形边长为5；故答案为：5；（2）∠四边形ABCO是菱形，∠OC=OA=AB=5，即C（5，0），设直线AC的解析式y=kx+b，则50 34k bk b+=⎧⎨-+=⎩，解得：1252kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，直线AC的解析式为y=15 22x-+；（3）由（2）知，M点坐标为（0，52），即OM=52, HM=OH-OM=32，∠当0＜t＜52时，BP=BA-AP=5-2t，S=12 BP•HM=12×32（5-2t）=315 24t-+；∠当52＜t≤5时，BP=2t-5，∠四边形AOCB是菱形，∠CM平分∠OCB，∠M到BC的距离等于OM的长，即为52，S=12BP×52=12×52（2t-5）=525 24t-，S=3时，3=31524t-+或3=52524t-，解得：t=12，t=3.7.2. 【2019·惠安县期末】如图，已知矩形AOCB，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）当出发时，点P和点Q之间的距离是10cm；（2）逆向发散：当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为cm；当运动时间为4s时，P、Q两点的距离为cm；【答案】（1）85s 或265s ；（2）；【解析】解：（1）过点P 作PH ∠BC 于点H ，则四边形APHB 为矩形，设时间为t s ，∠PH ＝AB ＝6，BH ＝AP ＝3t ，当PQ ＝10时，由勾股定理得，QH ＝8，∠当点H 在BQ 之间时，QH ＝BC ﹣BH ﹣CQ ＝16﹣5t ，则16﹣5t ＝8，解得：t ＝85，∠当点H 在CQ 之间时，QH ＝CQ ﹣（BC ﹣BH ）＝5t ﹣16，则5t ﹣18＝8，解得：t ＝265， 故答案为：85s 或265s ；（2）当t ＝2 s 时，QH ＝16﹣5t ＝6，则PQ ＝，当t ＝4 s 时，QH ＝5t ﹣16＝4，则PQ ＝故答案为：；；3. 【2017·重庆市期中】已知如图，矩形ABCD中，BD=5cm，BC=4cm，E是边AD上一点，且BE = ED，P 是对角线上任意一点，PF∠BE，PG∠AD，垂足分别为F、G. 则PF+PG的长为（）A.2.5 cmB.2.8 cmC.3 cmD.3.5 cm【答案】C.【解析】解：连接PE，S∠BDE=S∠BEP+S∠DEP1 2·DE·AB=12·BE·PF+12·DE·PG，∠BE=DE，∠AB=PF+PG，∠BD=5，BC=4，∠AB=3，即PF+PG的长为3 cm，故答案为：C.4. 【2019·哈尔滨市期中】如图，在平面直角坐标系中，直线334y x=-+分别与x轴和y轴交于点A和点B. P是线段AB上一动点(不与A、B重合)，过点P分别作PC∠y轴于点C，PD∠x轴于点D.设点P的横坐标为m.(1)如图1，求线段AB的长度；(2)如图2，当15PC AB=时，求点P的坐标；(3)如图3，作直线OP，若直线OP的解析式为14y x=，求四边形OCPD的周长.图1 图2 图3【答案】见解析.【解析】解：（1）在334y x=-+中，当x=0时，y=3；当y=0时，x=4，即OA=4，OB=3，在Rt∠AOB中，由勾股定理得：AB=5.(2)∠15PC AB==1，∠P点横坐标为1，当x=1时，334y x=-+=94，即P点坐标为（1，94）.（3）联立14y x=，334y x=-+，解得：334xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以四边形OCPD的周长为：2（OD+PD）=2×（3+34）=152.5. 【2019·绍兴市期末】在正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接P A，将线段P A绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．（1）如图1，若点P在线段CB的延长线上．过点E作EF⊥BC于H，与对角线AC交于点F．①请根据题意补全图形；②求证：EH＝FH；（2）若点P在射线BC上，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为．【答案】见解析.【解答】解：（1）①补全图形如图所示：②证明：∵线段P A绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，∴P A＝PE，∠APE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠4＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∵EF⊥BC于H，∴∠5＝90°＝∠4，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△APB≌△PEH，∴PB＝EH，AB＝PH，∴BC＝PH，∴PB＝CH，∴CH＝EH，∵∠ACB=45°，∴CH＝FH，∴EH＝FH．（2）①当点P在线段BC上时：CE(CD-CP)．理由：在BA上截取BM＝BP．则△PBM是等腰直角三角形，PM PB．易证△PCE≌△AMP，EC＝PM，∵CD﹣PC＝BC﹣PC＝PB，∴EC＝PM PB CD﹣PC）②当点P在线段BC的延长线上时：CE(CD+CP)．6. 【2019·抚顺市期中】如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝12x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q 的运动时间为t秒；①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②直接写出当t为何值时△APQ的面积等于4.5，并写出此时点Q的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点，∴3＝﹣m+2，解得：m＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，3），把点P的坐标代入y2＝12x+b得，3＝12×（﹣1）+b，解得：b＝72；（2）由（1）得：直线l2的解析式为y＝12x+72，∴C （﹣7，0），A （2，0），①当Q 在A 、C 之间时，AQ ＝2+7﹣t ＝9﹣t （0＜t ＜9），S ＝12AQ •|y P | ＝12×（9﹣t ）×3 ＝272﹣32t ； 当Q 在A 的右边时，AQ ＝t ﹣9（t ＞9），S ＝12AQ •|y P | ＝12×（t ﹣9）×3 ＝32t ﹣272； 综上所述， S ＝()()2730922327922t t t t ⎧-<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩； ②∵S ＝4.5， ∴272﹣32t ＝4.5或32t ﹣272＝4.5 解得：t ＝6或t ＝12，∴Q 的坐标为（﹣1，0）或（5，0）．7. 【2018·赣州市期末】操作探究：数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD ，其中AD =BC =1，AB =CD =5．然后在纸条上任意画一条截线段MN ，将纸片沿MN 折叠，MB 与DN 交于点K ，得到△MNK ．如图2所示：探究：（1）若∠1=70°，∠MKN = °；（2）改变折痕MN位置，△MNK始终是三角形，请说明理由；应用：（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积最小值为12，此时∠1的大小可以为°（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积的最大值．请你求出这个最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AM∥DN．∴∠KNM=∠1．∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，∴∠MKN=40°．故答案为：40；（2）等腰，理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠MND，由折叠性质知：∠1=∠KMN，∠MND=∠KMN，∴KM=KN；故答案为：等腰；（3）如图2，当△KMN的面积最小值为12时，KN=BC=1，KN⊥B′M，∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，∴∠1=∠NMB=45°，故答案为：45°；（4）分两种情况：①如图，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．MK=MB=x，则AM=5-x．由勾股定理得12+（5﹣x）2=x2，解得：x=2.6．∴MD=ND=2.6．S△MNK=S△MND=12×1×2.6=1.3．②如图，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．MK=AK=CK=x，则DK=5﹣x．同理可得：MK=NK=2.6．∵MD=1，∴S△MNK=12×1×2.6=1.3．△MNK的面积最大值为1.3．。
中考数学复习之因动点产生的面积问题解题策略
因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。
九年级上专题复习三：运动路径及不规则图形面积的计算(含答案)
专题复习三 运动路径及不规则图形面积的计算(1)运动路径一般由弧组成，计算时关键在于确定弧的度数与半径；与旋转变换有关的运动路径找到旋转中心最重要.(2)不规则图形的面积一般用“割”或“补”的方法转化为规则图形计算．1.如图所示的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A 到点B ，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是(C ).A.甲先到点BB.乙先到点BC.甲、乙同时到点BD.无法确定(第1题)(第2题)(第3题)2.如图所示，Rt△AB′C′是Rt△ABC 以点A 为中心逆时针旋转90°而得到的，其中AB=1，BC=2，则旋转过程中的长为(A ). A. 25π B. 25π C.5π D. 5π3.如图所示，已知∠ABC=90°，AB=πr ，AB=2BC ，半径为r 的⊙O 从点A 出发，沿A→B→C 方向滚动到点C 时停止.则在此运动过程中，圆心O 运动的总路程为(A ).A.2πrB.3πrC. 23πrD. 25πr 4.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为22cm ，将正方形ABCD 在直线l 上顺时针连续翻转4次，则点A 所经过的路径长为(B ).A.4πcmB.(2+22)πcmC.22πcmD.(4+22)πcm(第4题) （第5题）5.如图所示，分别以五边形ABCDE 的顶点为圆心、1为半径作圆，则图中阴影部分的面积之和为(C ). A. 23π B.3π C. 27π D.2π 6.如图1所示为以AB 为直径的半圆形纸片，AB=6cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形AOC 沿AB 方向平移至扇形A′O′C′，如图2所示.其中O′是OB 的中点，O′C′交于点F,则的长为 π cm ．（第6题）7.如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作∠MON，使∠MON=90°，OM ，ON 分别与⊙O 交于点E ，F ，与正方形ABCD 的边交于点G ，H ，则阴影部分的面积S= π-2 ．(第7题) (第8题)8.如图所示，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交BD 于点E.则阴影部分面积为 6-π （结果保留π）．9.如图所示，线段AB 的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到线段AC ．(第9题)(1)请你用尺规在所给的网格中画出线段AC 及点B 经过的路径．(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(1，3)，点B 的坐标为(-2，-1)，则点C 的坐标为 (5，0) ．(3)在线段AB 旋转到线段AC 的过程中，线段AB 扫过的区域的面积为425π ． 【答案】(1)图略(2)(5，0) (3) 425π（第10题）10.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，E 在AC 上，经过A ，B ，E 三点的⊙O 交BC 于点D ，且.(1)求证：AB 为⊙O 的直径.(2)若AB=8，∠BAC=45°，求阴影部分的面积.（第10题答图）【答案】(1)如答图所示，连结AD.∵，∴∠BAD=∠CAD.又AB=AC ，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∴AB 为⊙O 的直径.(2)连结OE.∵∠BAC＝45°，∴∠BOE ＝90°.∴∠AOE＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∴AO＝OE ＝OB ＝21AB ＝4.∴阴影部分的面积为21×4×4+3604902⨯π=8+4π.11.如图所示，在平面直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动地在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成的图形面积为(C ).A. 2π+21B. 2π+1 C.π+1 D.π+21(第11题)(第12题)12.如图所示，△ABC 为等边三角形，⊙O 的周长与等边三角形的边长相等，⊙O 在△ABC 的边上作无滑动滚动，从点P 出发沿顺时针方向滚动，又回到点P ，滚动的圈数是(D ).A.1B.2C.3D.413.如图1所示，有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，上面有一个以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，将它沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，如图2所示.这时半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是(B ).A.(π-23)cm 2B.（ 316π-43）cm 2 C.（21π+3）cm 2 D.（32π+3）cm 2(第13题)(第14题) 14.如图所示，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，且C 是的中点，若扇形的半径为2，则图中阴影部分的面积等于2π-4 ．15.如图所示，在半径为5，圆心角为45°的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D ，E 在OB 上，点F 在上，则阴影部分的面积为 85π-23 (结果保留π)．(第15题)(第16题)16.已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A ，B 两点触地放置，搬动时，先将扇形以点B 为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A ，B 两点再次触地时停止.若扇形的半径为3m ，则圆心O 所经过的路线长是 6π m(结果保留π).(第17题)17.如图所示，在一个物体的横截面Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1m.工人师傅先将AB 边放在地面(直线l)上．(1)请直接写出AB ，AC 的长．(2)工人师傅要把此物体搬到墙边，先按顺时针方向绕点B 翻转到△A 1BC 1位置(BC 1在l 上)，最后沿BC 1的方向平移到△A 2B 2C 2的位置，其平移的距离为线段AC 的长度(此时A 2C 2恰好靠在墙边).画出在搬动此物的整个过程中点A 所经过的路径，并求出该路径的长度．(3)若没有墙，像(2)那样翻转，将△ABC 按顺时针方向绕点B 翻转到△A 1BC 1位置为第一次翻转，又将△A 1BC 1按顺时针方向绕点C 1翻转到△A 2B 2C 1(A 2C 1在l 上)为第二次翻转，求两次翻转此物的整个过程中点A 经过路径的长度．【答案】(1)AB=2m ，AC=3m.（第17题答图）(2)如答图所示，点A 经过的路径为.∵∠ABA 1=180°-60°=120°，A 1A 2=AC=3 (m). ∴点A 所经过的路径长为1802120⨯π+3=（34π+3）(m). (3)点A 经过的路径为.=1802120⨯π=34π(m), =180390⨯π=23π(m). ∴点A 经过的路径长度为34π+23π（m ）.18.【兰州】如图所示，⊙O 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点(P 与点A ，B ，C ，D 不重合)，过点P 作PM⊥AB 于点M ，PN⊥CD 于点N ，Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径长为(A ).A. 4πB. 2πC. 6πD. 3π（第18题）（第19题） （第19题答图）19.【恩施州】如图所示，在Rt△A BC 中，∠BAC=30°，以直角边AB 为直径作半圆交AC 于点D ，以AD 为边作等边三角形ADE ，延长ED 交BC 于点F ，BC=23，则图中阴影部分的面积为 33-23π .(结果不取近似值) 【解析】如答图所示，设半圆的圆心为O ，连结DO ，过点D 作DG⊥AB 于点G ，过点D 作DN⊥CB 于点N.在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，∠ABC=90°.∵△ADE 是等边三角形，∴∠EAD=∠E＝60°.易知△CDF 是等边三角形.在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，BC=23，∴AC=43，AB=6，∠DOG=60°.∴AO ＝BO ＝3.在Rt△DOG 中，∠DOG ＝60°，OD ＝OB ＝3，∴DG=233.∴AD=33.∴DC=AC -AD=3.在Rt△DCN 中，∠C＝60°，DC ＝3,∴CN＝23，DN=32.∴FC ＝3.则S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形DOB -S △DCF =21×23×6-21×3×233-3603602⨯π-21×23×3=33-23π.20.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，分别以正方形的四个顶点为圆心，边长为半径，在正方形内画圆弧，求图中阴影部分的面积．(第20题) （第20题答图）【答案】如答图所示，设正方形的各部分不规则图形的面积分别为x ，y ，z.S正方形ABCD =x+4y+4z=1，S 扇形ABC =x+3y+2z=4π，S 曲边三角形BEC =x+2y+z=2S 扇形BEC -S △BCE =2×3601602⨯π-43=3π-43，可解得x=3π+1-3.∴图中阴影部分的面积为3π+1-3.。
2019中考数学《面积的计算》专题复习考点讲解(含答案).doc
面积的计算考点图解技法透析面积法是一种重要方法，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：(1)常见图形的面积计算公式：正方形面积＝边长×边长；矩形的面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆的面积＝×半径的平方；扇形面积＝2360n r（n为圆心角，r为半径）(2)计算面积常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形的面积相等；②等底的两个三角形的面积比等于对应高的比；③等高的两个三角形的面积比等于对应底的比；④三角形一边上的中线平分这个三角形的面积．(3)面积计算常用到以下方法：①和差法：把所求图形的面积转化为常见图形面积的和、差表示，运用常见图形的面积公式；②等积法：找出与所求图形面积相等的或者关联的特殊图形，通过代换转化来求出图形的面积；③运动法：通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状；④代数法：通过寻求图形面积之间的关系列方程（组）；把几何问题转化为代数问题．(4)非常规图形的面积计算往往采用“等积变换”，所谓“等积变换”就是不改变几何图形的面积，而是把它的形状改变成能够直接求出面积的图形，等积变换的主要目的，是把复杂的图形变成简单的图形，把不规则的图形变成规则的图形．(5)“等积变换”的方法①公式法，即运用某些图形的面积公式及其有关推论．②分割法，即把一个图形分割成熟知的若干部分图形．③割补法，即把一个图形的某一部分分割出来，然后用与其等积图形填补到某一位置．名题精讲考点1 用面积公式计算常规图形面积例1 如图，将直角三角形BC 沿着斜边AC 的方向平移到 △DEF 的位置（A 、D 、C 、F 四点在同一条直线上）．直角边DE 交BC 于点G ．如果BG ＝4，EF ＝12，△BEG 的面积等于4，那 么梯形ABGD 的面积是 ( )A ．16B ．20C ．24D ．28【切题技巧】【规范解答】 B【借题发挥】 把不能直接求出面积的图形通过转化或找出与它面积相等的特殊图形，从而能够求解．【同类拓展】 1．如图所示，A 是斜边长为m 的等腰直角三角形，B ，C ，D 都是正方形，则A ，B ，C ，D 的面积的和等于 ( )A ．94m 2B ．52m 2C ．114m 2D ．3m 2考点2 用面积的和、差计算非常规图形有面积例2 如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB ＝5， S △PAD ＝2，请你求出S △PAC （即阴影部分的面积）．【切题技巧】 △APC 的底与高显然无法求，则应用已知三角 形的面积的和或差来计算△APC 的面积．【规范解答】【借题发挥】 对于不能直接求的图形可以把图形进行分解和组合，通过图形的面积和或差进行计算．【同类拓展】 2．如图，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为a ， △CDG 的面积为b ，则阴影四边形的面积等于 ( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2a bD ．无法确定考点3 列方程（组）求面积例3 如图所示，△ABC 的面积是1cm 2．AD ＝DE ＝EC ， BG ＝GF ＝FC ，求阴影四边形的面积．【切题技巧】条件中有两组等分点，易知△BCE，△ACF的面积为13，但仍然不能求阴影部分面积，因此，只要求出△BCE中另两块面积即可，【规范解答】如图，设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD．设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y．因为△ABC的面积是1cm2，且AD＝AE＝EC，BG＝GF＝FC．【借题发挥】求一些关系复杂的图形面积，列方程是一个重要方法，它不但可以使我们熟悉列方程和了解方程在几何中的应用，而且能清晰地表明图形面积之间的关系，从而可以化解或降低解题的难度．【同类拓展】3．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S1、S2、…、S8，试比较S3与S2＋S7＋S8的大小，并说明理由．考点4 面积比与线段比的转化例4 如图所示，凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，若△AOD的面积是2，△COD的面积是1，△COB的面积是4，则四边形ABCD的面积是 ( )A．16 B．15 C．14 D．13【切题技巧】分析△AOD，△DOC，△AOB，△COB四个三角形的面积，只有通过线段比联系起来，相邻两个三角形的面积都存在着一种比例关系．【规范解答】【借题发挥】 两三角形的高相等时，面积比等于对应底之比，则可以将面积比与对应线段比相互转化，这是．解答面积问题、线段比等问题的常用技巧．【同类拓展】 4．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则AGCD ABCDS S 四边形矩形等于 ( )A ．56B ．45C ．34D ．23考点5例5 如图所示，在四边形ABCD 中，AM ＝MN ＝ND ， BE ＝EF ＝FC ，四边形ABEM 、MEFN 、NFCD 的面积分别记为S 1，S 2和S 3．求213?S S S =+【切题技巧】 把四边形分割成多个三角形，运用三角形等积变换定理即可求出，【规范解答】 连接A ．E 、EN 、PC 和AC ．【借题发挥】 等积变形的题目中，常将多边形面积转化为三角形面积，再运用等底同高来进行等积代换，因此，在转化时只要抓住题设中的等分点，就可以将多边形面积进行等积变换了．【同类拓展】 5．如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A 处有一口井，张大爷欲想从A 处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水 渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷设计一种引水 渠的方案，画出图形并说明理由． 考点6 格点多边形的面积例6 如图，五边形ABCDE 的面积为多少？我们把方格纸上两组互相平行且垂直的直线的交点叫格点． 顶点在格点上的多边形叫格点多边形．可以通过图形的分割，转化为规则图形，再求面积．【规范解答】如图，标上字母F 、G 、H 、I 、J 点，使得△ABF ， △BCG ，△CDH ，△DEI ，△EAJ 为直角三角形，【借题发挥】 格点多边形面积有如下计算规律：格点多边形的面积等于其所包含有格点个数，加上由其边界上的格点的个数之半，再减去1．此规律对凹多边形也适用．即：若格点多边形的面积为S ，格点多边形内部有且只有n 个格点，它各边上格点的个数和为x ．则S ＝12x ＋n －1． 【同类拓展】 6．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形 格中，阴影部分面积与正方形ABCD 面积的比是 ( ) A ． 3：4 B ．5：8 C ．9：16 D ．1：2 参考答案1．A 2．A 3．S 3＝S 2＋S 7＋S 8． 4．D 5．S △ABF ＝S 四边形AFCD ． 6．B2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，直线a ∥b ．将一直角三角形的直角顶点置于直线b 上，若∠l ＝28°，则∠2的度数是（ ）A.108°B.118°C.128°D.152°2．关于x 的一元二次方程2(2)0x m x m -++=根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B 、C 重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB 于点E ．设BP ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A. B.C. D.4．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，在以下四个结论中，正确的是（ ）A.abc ＞0B.4a+2b+c ＜0C.a ﹣b+c ＞0D.a+b ＞05．如图，是由5个小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列命题中，正确的是（ ） A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形 B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形 C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D ．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形 7．下列计算正确的是（ ） A.224·x x x -= B.()224x x -=C.234·x x x =D.()222m n m n -=-8．阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝﹣b a ，x 1•x 2＝ca．根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2+6x+3＝0的两实数根，则2112x x x x +的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．109．如图，将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，两条斜边互相平行，则∠1=（ ）A．75B．70C．65D．6010．在“纪念抗日战争胜利暨世界反法西斯战争胜利70周年”歌咏比赛中，10位评委给小红的评分情况如表所示：则下列说法正确的是（）A．中位数是7.5分B．中位数是8分C．众数是8分D．平均数是8分11．如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（）A B C D12．如图6, 已知圆锥的高为8，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是A.24B.30C.48D.60二、填空题13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣c＝0有一正一负两个实数根，则实数c的值可以取_____（写出一个即可）．14．圆内一条弦与直径相交成30°的角，且分直径1cm和5cm两段，则这条弦的长为_____．15．如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是_____.16．已知关于x的方程x2﹣4x+t﹣2＝0（t为实数）两非负实数根a，b，则（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是_____．17．在矩形ABCD中，AD＝12，E是AB边上的点，AE＝5，点P在AD边上，将△AEP沿FP 折叠，使得点A落在点A′的位置，如图，当A′与点D的距离最短时，△A′PD的面积为_____．18．如图，在△ABC中，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交AB于点D，同法得到点E，连接DE．若BC＝10cm，则DE＝_____cm．三、解答题19．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．20．如图，△ABC是⊙O的内接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若34,sin5BD DBF=∠=，求DE的长．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连结CF（1）若AE＝BC①求证：△ABE≌△DFA；②求四边形CDFE的周长；③求tan∠FCE的值；（2）探究：当BE为何值时，△CDF是等腰三角形．22．如图1，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点．tanB＝2．（1）求证：AD＝AE；（2）如图2．点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF．线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？并说明理由；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC，上任意一点（P不与点E重合）时，作EF ⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？请在图3中补全图形，直接写出结论．23．解方程：3x（x﹣4）＝4x（x﹣4）．24．某种机器在加工零件的过程中，机器的温度会不断变化.当机器温度升高至40C︒时，机器会自动启动冷却装置控制温度上升的速度；当温度升到100C︒时，机器自动停止加工零件，冷却装置继续工作进行降温；当温度恢复至40C︒时，机器自动开始继续加工零件，如此往复，机器从20C ︒时开始，机器的温度y （C ︒）随时间t （分）变化的函数图象如图所示.（1）当机器的温度第一次从40C ︒升至100C ︒时，求y 与t 之间的函数关系式；（2）冷却装置将机器温度第一次从100C ︒降至40C ︒时，需要多少分钟？（3）机器的温度在98C ︒以上（含98C ︒）时，机器会自动发出鸣叫进行报警.当0154t ≤≤时，直接写出机器的鸣叫时间.25．甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．甲车中途因故停车一段时间，之后以原速维续行驶到达目的地B ，此时乙车同时到达目的地A ，如图，是甲、乙两车离各自出发地的路程y （km ）与时间x （h ）的函数图象．（1）甲车的速度是 km/h ，a 的值为 ；（2）求甲车在整个过程中，y 与x 的函数关系式；（3）直接写出甲、乙两车在途中相遇时x 的值．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．11415．（﹣3，0）.16．﹣15．17．40318．5三、解答题19．（1）见解析；（2）BF＝2．【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC 与三角形ADE 全等，以及AB ＝AC ，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS 得到三角形AEC 与三角形ADB 全等即可；（2）根据∠BAC ＝45°，四边形ADFC 是菱形，得到∠DBA ＝∠BAC ＝45°，再由AB ＝AD ，得到三角形ABD 为等腰直角三角形，求出BD 的长，由BD ﹣DF 求出BF 的长即可．【详解】解：（1）由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE ，且AB ＝AC ，∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC+∠BAE ＝∠DAE+∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中，AE AD CAE DAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△ADB （SAS ）；（2）∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°，∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°，由（1）得：AB ＝AD ，∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°，∴△ABD 为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝，∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2，∴BF ＝BD ﹣DF ＝﹣2．【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．20．(1)见解析（2）9 4【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBF，由等腰三角形的性质得到∠ABD ＝∠ODB，等量代换得到∠DBF＝∠ODB，推出∠ODF＝90°，根据切线的判定定理得到结论；（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据角平分线的定义得到∠DBF＝∠ABD，解直角三角形得到AD＝3，求得DE＝94．【详解】解：（1）连接OD，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠ABD＝∠DBF，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∴∠DBF＝∠ODB，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∴∠ODB+∠BDF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴FD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠DBF＝∠ABD，在Rt△ABD中，BD＝4，∵sin∠ABD＝sin∠DBF＝35，∴AD＝3，∵∠DAC＝∠DBC，∴sin∠DAE＝sin∠DBC＝35，在Rt△ADE中，sin∠DAC＝35，∴DE＝94．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．21．(1)①证明见解析；②12；③12；(2)当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形．【解析】【分析】（1）①如图1中，根据AAS证明：△ABE≌△DFA即可．②利用勾股定理求出BE，即可解决问题．③如图2中，过点F作FM⊥BC于点M．求出FM，MC即可解决问题．（2）分三种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：(1)①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠AEB＝∠DAF．∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°．∴∠B＝∠AFD＝90°，又∵AE＝BC，∴AE＝AD，∴△ABE≌△DFA(AAS)．②如图1中，在Rt△ABE中，∠B＝90°，根据勾股定理，得 BE＝==3，∵△ABE≌△DFA，∴DF＝AB＝DC＝4，AF＝BE＝3．∵AE＝BC＝5，∴EF＝EC＝2，∴四边形CDFE的周长＝2(DC+EC)＝2×(4+2)＝12．③如图2中，过点F作FM⊥BC于点M．AB4BE3sin AEB,cos AEBAE5AE5∴∠==∠==，在Rt△FME中，4836 FM EF,ME EF5555====，616MC ME EC255∴=+=+=，在Rt△FMC中，FM1 tan FCEMC2∠==．(2)如图3﹣1中，当DF＝DC时，则DF＝DC＝AB＝4．∵∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠AFD＝90°，∴△ABE≌△DFA(AAS)．∴AE＝AD＝5，由②可知，BE＝3，∴当BE＝3时，△CDF是等腰三角形．…如图3﹣2中，当CF＝CD时，过点C作CG⊥DF，垂足为点H，交AD于点G，则CG∥AE，DH＝FH．∴AG＝GD＝2.5．∵CG∥AE，AG∥EC，∴四边形AECG是平行四边形，∴EC＝AG＝2.5，∴当BE＝2.5时，△CDF是等腰三角形．…如图3﹣中，当FC＝FD时，过点F作FQ⊥DC，垂足为点Q．则AD∥FQ∥BC，DQ＝CQ，∴AF＝FE＝12 AE．∵∠B＝∠AFD＝90°，∠AEB＝∠DAF，∴△ABE∽△DFA，∴BE AEAF AD=，即AD×BE＝AF×AE．设BE＝x，∴5x解得x1＝2，x2＝8(不符合题意，舍去)∴当BE＝2时，△CDF是等腰三角形．综上所述，当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形互为相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．22．（1）见解析；（2）DF﹣EF AF，见解析；（3）①当EP在线段BC上时，有DF﹣EFAF，②当点F在PD上，DF+EF，③当点F在PD的延长线上，EF﹣DF，见解析.【解析】【分析】（1）首先根据∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证．（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GA⊥AF，交BD于G，通过证△AFE≌△AGD，来得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证．（3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已．【详解】（1）证明：如图1中，∵tanB＝2，∴AE＝2BE；∵E是BC中点，∴BC＝2BE，即AE＝BC；又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD＝BC＝AE；（2）证明：作AG⊥AF，交DP于G；（如图2）∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DPC；∵∠AEP＝∠EFP＝90°，∴∠PEF+∠EPF＝∠PEF+∠AEF＝90°，即∠ADG＝∠AEF＝∠FPE；又∵AE＝AD，∠FAE＝∠GAD＝90°﹣∠EAG，∴△AFE≌△AGD，∴AF＝AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF＝DG；∴FG，且DF＝DG+GF＝EF+FG，故DF﹣EF AF；（3）解：如图3，①当EP在线段BC上时，有DF﹣EF AF，证明方法类似（2）．②如图3﹣1中，点F在PD上，DF+EF AF．理由：将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG∴△AEF≌△ADG，同（1）可得：DG＝EF，AG＝AF，GF，则EF+DF AF．③如图3﹣2，点F在PD的延长线上，EF﹣DF AF，证明方法类似（2）．【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，难度适中，正确地构造出全等三角形是解答此题的关键．23．x 1＝0，x 2＝4．【解析】【分析】先整理方程，把右边的项移到左边，然后利用因式分解法解方程.【详解】3x （x ﹣4）＝4x （x ﹣4），整理得：x 2﹣4x ＝0，x （x ﹣4）＝0，x ＝0，x ﹣4＝0，x 1＝0，x 2＝4．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．24．（1）36y t =+；（2）冷却装置将机器温度第一次从100C ︒降至40C ︒时，需要15分钟；（3）机器工作154分钟会鸣叫5分钟.【解析】【分析】（1）先设函数关系式，再从图中找到时间和温度的对应值，求出自变量，可得机器温度T （℃）与运行时间t （h ）的函数关系式；（2）从函数图象可知机器开始第二次工作时的函数值为40，将y 100=代入函数关系式可求出第一次停机后多少小时机器开始第二次加工；（3）机器温度第一次由100C ︒降至40C ︒的过程中，先求y 与t 之间的函数关系式．根据y 值求t 值可得.【详解】（1）根据图象可设11y k t b =+.由点()4,40和点()44,80在函数图象上，可得11114k b 40,44k b 80,+=⎧⎨+=⎩解得11k 1,b 36,=⎧⎨=⎩∴y 与t 之间的函数关系式为y t 36=+. （2）由（1）可得，当y 100=时，100t 36=+，得t 64=，所以冷却装置将机器温度第一次从100C ︒降至40C ︒时，需要796415-=（分钟）.（3）设机器温度第一次由100C ︒降至40C ︒的过程中，y 与t 之间的函数关系式为22y k t b =+.由点()64,100和点()79,40在函数图象上，可得222264k b 100,79k b 40,+=⎧⎨+=⎩解得22k 4,b 356,=-⎧⎨=⎩∴y 4t 356=-+.当机器的工作温度为98C ︒时，由y t 36=+，得1t 62=；由y 4t 356=-+，得2t 64.5=，21t t 2.5-=（分）.∵()()15447942-÷-=，∴2 2.55⨯=（分），∴机器工作154分钟会鸣叫5分钟. 【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，必须学会从一次函数图象中找到对应的已知条件．25．（1）80,1.5;(2)()()()8001 801 1.58040 1.52y x x y x y x x ⎧=≤≤⎪=≤≤⎨⎪=-≤≤⎩；(3)43.【解析】【分析】()1根据题意和函数图象中的数据可以求得甲车的速度和a 的值；()2根据函数图象中的数据可以求得甲车甲车在整个过程中y 与x 之间的函数关系式； ()3根据题意，乙车行驶80千米所用时间即为甲、乙两车在途中相遇时x 的值．【详解】解：()1由题意可得，甲车的速度是：80180km /h ÷=，()a 1212080 1.5=+-÷=，故答案为：80，1.5；()2当0x 1≤≤时，y 80x =；当1x 1.5≤≤时，y 80=，；当1.5x 2≤≤时，设甲车再次行驶过程中y 与x 之间的函数关系式是y kx b =+，{1.5k b 802k b 120+=+=，解得{k 80b 40==-，即甲车再次行驶过程中y 与x 之间的函数关系式是y 80x 40=-． 故甲车甲车在整个过程中y 与x 之间的函数关系式为：()()()y 80x 0x 1y 801x 1.5y 80x 40 1.5x 2⎧=≤≤⎪=≤≤⎨⎪=-≤≤⎩；()3乙车的速度为：120260(÷=千米/时)，48060(3÷=小时)， 甲、乙两车在途中相遇时x 的值为43． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤：（1）分别以B 、C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交M 、N ；（2）作直线MN ，交AB 于D ，连结CD ，若CD ＝AD ，∠B ＝20°，则下列结论：①∠ADC ＝40°②∠ACD ＝70°③点D 为△ABC 的外心④∠ACD ＝90°，正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．在四张质地、大小相同的卡片上，分别画有如图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为（ ）A ．1B ．34C ．12D ．143．将抛物线y ＝2x 2﹣1沿直线y ＝2x 方向向右上方平移析式为（ ）A.y ＝2（x+2）2+3 B.22(1y x =--C.221y x =+D.y ＝2（x ﹣2）2+34．如图，平行四边形OABC 的顶点O ，B 在y 轴上，顶点A 在反比例函数y ＝﹣5x上，顶点C 在反比例函数y ＝7x上，则平行四边形OABC 的面积是( )A．8 B．10 C．12 D．31 25．改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A.2017年第二季度环比有所提高B.2017年第三季度环比有所提高C.2018年第一季度同比有所提高D.2018年第四季度同比有所提高6．如图，将ABC绕点A逆时针旋转110，得到ADE，若点D在线段BC的延长线上，则ADE的大小为()A．55B．50C．45D．357．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A．25 B．25或32 C．32 D．198．联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是( )A．16B．12C．13D．2391导致乘积减小最大？( )A B C D10．根据下列条件，得不到平行四边形的是（）A.AB＝CD，AD＝BCB.AB∥CD，AB＝CDC.AB＝CD，AD∥BCD.AB∥CD，AD∥BC11．下列式子运算正确的是（）1=-=2= D.(331=-12．某小组长统计组内6人一天在课堂上的发言次数分別为3，3，4，6，5，0．则这组数据的众数是( )A．3 B．3.5 C．4 D．5二、填空题13．我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．（1）＝_____；（2）若6=，则x的取值范围是_____．14．如图，在平面直角坐标系xoy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数3(0)y xx=>的图象上，则△OAB的面积等于_____ .15．计算：23a a ⋅=__________．16．如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点E 、G 为直线BC 上两个动点，BE ＝CC ，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，将△DCC 沿DG 折叠，当对应点F 和H 重合时，BE 的长为_____．17．如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO 为_____．18．单项式9x m y 3与单项式4x 2y n 是同类项，则m+n 的值是_____． 三、解答题 19．化简：2232122444x x x x x x x x x +-+⎛⎫-÷⎪--+-⎝⎭． 20．已知x 1、x 2是一元二次方程（a-6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求实数a 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 1x 2-x 1=4+ x 2，求实数a 的值．21．某公司将农副产品运往市场销售，记汽车行驶时间为t(h)，平均速度为v(km/h)(汽车行驶速度不超过100km/h)，v 随t 的变化而变化．t 与v 的一组对应值如表：(1)写出一个符合表格中数据，v(km/h)关于t(h)的函数解析式；(2)汽车上午7：30出发，能否在上午10：00之前到达市场？请说明理由．22．计算：（﹣12）21）0+|1﹣2|23．计算：2(2)20183---．24．在△ABC 中，将边AB 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AD ，将边AC 绕点A 逆时针旋转120°得到线段AE ，连接DE.（1）、如图①，当∠BAC=90°时，若△ABC 的面积为5，则△ADE 的面积为________； （2）如图②，CF 、BG 分别是△ABC 和△ADE 的高，若△ABC 为任意三角形，△ABC 与△ADE 的面积是否相等，请说明理由；（3）如图③，连接BD 、CE.若AB=4，，四边形CEDB 的面积为，则△ABC 的面积为________.25．如图,两建筑物的水平距离BC 为18m,从A 点测得D 点的俯角α为 30，测得C 点的俯角β为 60° ,求建筑物CD 的高度(结果保留根号).【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．916x ≤< 14．9215．a 516．5． 17．4 18．5 三、解答题 19．42x x -- 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】 原式=221(2)(2)[](2)(2)2x x x x x x x x x +-+--⋅--+=2224(2)(2)1x x x x x x x --+-⋅- =42x x --． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20．（1）a≥0且a≠6；（2）a=24． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算； （2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可． 【详解】（1）∵一元二次方程（a-6）x 2+2ax+a=0有两个实数根， ∴（2a ）2-4（a-6）×a≥0，a-6≠0，解得，a≥0且a≠6；（2）∵x 1、x 2是一元二次方程（a-6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=26a a -， x 1•x 2=6aa -， ∵x 1x 2-x 1=4+x 2， ∴x 1x 2=4+x 2+x 1，即6a a -=4+26aa-， 解得，a=24． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=－b a ，x 1x 2=ca，反过来也成立． 21．(1)v ＝300t；(2)上午10：00前汽车不能到达市场． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据可以写出v （km/h ）关于t （h ）的函数解析式；（2）将t ＝2.5代入（1）中的函数解析式，求出v 的值，然后与100比较大小即可解答本题． 【详解】(1)由表格中的数据可得， vt ＝300， 则v ＝300t， 即v(km/h)关于t(h)的函数解析式是v ＝300t； (2)上午10：00前汽车不能到达市场， 理由：∵当t ＝2.5时，v ＝3002.5＝120＞100， ∴上午10：00前汽车不能到达市场． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．22．14【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝1114++＝14. 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 23．【解析】 【分析】本题根据零指数幂、绝对值、二次根式化简在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式＝4+4﹣1﹣3＝4． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（1）5；（2）相等，理由见解析；（3）【解析】 【分析】（1）继而得∠DAE=∠BAC=90°，可证得△ABC ≌△ADE ，则两三角形面积相等； （2）由∠BAD=60°，∠CAE=120°得∠DAE+∠CAB=180°，根据平角定义可得∠DAE +∠GAE=180°，可得∠FAC=∠GAE ，然后证得 △ACF ≌△AEG ，继而得CF=BG ，根据等底等高的两个三角形面积相等可求出结论；（3）如图，分别作出△ABD 和△AEC 的高AH ，AF. 求得等边三角形△ABD 的面积为△AECDE 的面积 则△ADE 和△ABC 的面积之和为 再证得 △ABC ≌△ADE ，从而证得△ADE 和△ABC 的面积都是. 【详解】（1）根据旋转的性质可得AC=AE ，AB=AD ，∠BAD=60°，∠CAE=120°， ∵∠BAC=90° ∴∠DAE=90° ∴∠BAC=∠DAE ∴△ABC ≌△ADE ， ∵△ABC 的面积为5∴△ADE 的面积为5. （2）解：相等， 理由如下：由旋转，得AC=AE ，AB=AD ，∠BAD=60°，∠CAE=120°， ∴∠BAD+∠CAE=180°， ∴∠DAE+∠CAB=180°， ∵∠DAE +∠GAE=180°， ∴∠FAC=∠GAE.∵CF 、BG 分别是△ABC 和△ADE 的高， ∴∠AFC=∠AGE =90°， ∴△ACF ≌△AEG ， ∴CF=BG ，∴△ABC 与△ADE 的面积相等.（3）如图，分别作出△ABD 和△AEC 的高AH ，AF.∵AC=AE ，∠BAD=60°， ∴△ABD 是等边三角形，∴=∴S △ABD =12BD AH ⨯⨯=同理可得S △AEC∴S △ADE +S △ABC =S 四边形CEDB - S △ABD -S △AEC 又△ABC ≌△ADE ，∴S △ADE 【点睛】本题考查几何变换综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．25．建筑物CD的高度为【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，依题可得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，根据矩形性质得DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义求得AB长；在Rt△ADE中，根据正切函数的定义求得AE长；由CD=BE=AB−AE即可求得答案.【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE是矩形,由题意得,∠ACB=β=60∘,∠ADE=α=30∘，BC=18m，∴DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中,AB=BC⋅tan∠ACB=18×tan60∘=(m)在Rt△ADE中,AE=DE⋅tan∠ADE=18×tan30∘= (m)∴CD=BE=AB−AE= =答：建筑物CD的高度为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．。
专题29 动态几何之线动形成的面积问题(压轴题)
《中考压轴题》专题29：动态几何之线动形成的面积问题一、选择题1.如下图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是【】A ．B ．C ．D ．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y 1x 2=经过平移得到抛物线21x 2y 2x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【】A ．2B ．4C ．8D ．163.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．4.如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．5.如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题1.直角三角形两直角边长是3cm和4cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是cm2．（结果保留π）2.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下．其中正确的说法列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为1是．（把你认为正确的说法的序号都填上）三、解答题1.如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）.第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为▲，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH的形状为▲，此时AE与BF的数量关系是▲；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．2.如图1，抛物线23y x 16=-平移后过点A （8，,0）和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S 影阴；（2）如图2，直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上一动点，PMN ∠为直角，边MN 与AP 相交于点N ，设OM t =，试探求：①t 为何值时，△MAN 为等腰三角形？②t 为何值时，线段PN 的长度最小，最小长度是多少？3.如图①，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（1，﹣2），点B 的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x 2的图象为l 1．（1）平移抛物线l 1，使平移后的抛物线经过点A ，但不过点B ．①满足此条件的函数解析式有个．②写出向下平移且经点A 的解析式．（2）平移抛物线l 1，使平移后的抛物线经过A ，B 两点，所得的抛物线l 2，如图②，求抛物线l 2的函数解析式及顶点C 的坐标，并求△ABC 的面积．（3）在y 轴上是否存在点P ，使S △ABC =S △ABP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线2y ax 8ax 12a =-+（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）请直接写出A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PAC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y 轴的直线m 从点D 出发沿x 轴向右平行移动，到点A 停止．设直线m 与折线DCA 的交点为G ，与x 轴的交点为H （t ，0）．记△ACD 在直线m 左侧部分的面积为s ，求s 关于t 的函数关系式及自变量t 的取值范围．5．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设O′A′B′C′与OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？7.如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A （1，0），B （0，2），抛物线21y x bx 22=+-的图象过C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？（3）点P 是抛物线上一动点，是否存在点P ，使四边形PACB 为平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．8.如图，抛物线2y ax bx c =++关于直线x 1=对称，与坐标轴交于A 、B 、C 三点，且AB=4，点D 322⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线上，直线l 是一次函数()y kx 2k 0=-≠的图象，点O 是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l 交于M 、N 两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.9.如图①，已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积S （图②中阴影部分）．10.如图1，已知抛物线C经过原点，对称轴x=3-与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，∠=。
中考数学《面积的计算》专题复习考点讲解(含答案)
中考数学《面积的计算》专题复习考点讲解(含答案)2面积的计算考点图解技法透析面积法是一种重要方法，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：(1)常见图形的面积计算公式：正方形面积＝边长×边长；矩形的面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆的面积＝×半径的平方；扇形面积＝2360nr （n 为圆心角，r 为半径）(2)计算面积常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形的面积相等；②等底的两个三角形的面积比等于对应高的比；③等高的两个三角形的面积比等于对应底的比；④三角形一边上的中线平分这个三角形的面积．(3)面积计算常用到以下方法：①和差法：把所求图形的面积转化为常见图形面积的和、差表示，运用常见图形的面积公式；②等积法：找出与所求图形面积相等的或者关联的特殊图形，通过代换转化来求出图形的面积；③运动法：通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状；④代数法：通过寻求图形面积之间的关系列方程（组）；把几何问题转化为代数问题．(4)非常规图形的面积计算往往采用“等积变换”，所谓“等积变换”3就是不改变几何图形的面积，而是把它的形状改变成能够直接求出面积的图形，等积变换的主要目的，是把复杂的图形变成简单的图形，把不规则的图形变成规则的图形．(5)“等积变换”的方法①公式法，即运用某些图形的面积公式及其有关推论．②分割法，即把一个图形分割成熟知的若干部分图形．③割补法，即把一个图形的某一部分分割出来，然后用与其等积图形填补到某一位置．名题精讲考点1用面积公式计算常规图形面积例1 如图，将直角三角形BC沿着斜边AC 的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边DE交BC于点G．如果BG＝4，EF＝12，△BEG4的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是( )A．16 B．20 C．24 D．28 【切题技巧】【规范解答】 B【借题发挥】把不能直接求出面积的图形通过转化或找出与它面积相等的特殊图形，从而能够求解．【同类拓展】1．如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形，则A，B，C，D的面积的和等于( )A．94m2B．52m2C．114m2D．3m2考点2用面积的和、差计算非常规图形有面积例2 如图，P是平行四边形ABCD内一56点，且S △PAB ＝5，S △PAD ＝2，请你求出S △PAC （即阴影部分的面积）．【切题技巧】 △APC 的底与高显然无法求，则应用已知三角形的面积的和或差来计算△APC 的面积．【规范解答】【借题发挥】 对于不能直接求的图形可以把图形进行分解和组合，通过图形的面积和或差进行计算．【同类拓展】 2．如图，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为a ，△CDG 的面积为b ，则阴影四边形的面积等于( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2a b D ．无法确定考点3 列方程（组）求面积例 3 如图所示，△ABC的面积是1cm2．AD＝DE＝EC，BG＝GF＝FC，求阴影四边形的面积．【切题技巧】条件中有两组等分点，易知△BCE，△ACF的面积为13，但仍然不能求阴影部分面积，因此，只要求出△BCE中另两块面积即可，【规范解答】如图，设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD．设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y．因为△ABC的面积是1cm2，且AD＝AE＝EC，BG＝GF＝FC．7【借题发挥】求一些关系复杂的图形面积，列方程是一个重要方法，它不但可以使我们熟悉列方程和了解方程在几何中的应用，而且能清晰地表明图形面积之间的关系，从而可以化解或降低解题的难度．【同类拓展】3．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S1、S2、…、S8，试比较S3与S2＋S7＋S8的大小，并说明理由．考点4面积比与线段比的转化例4 如图所示，凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，若△AOD的面积是2，△COD的面积是1，89△COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是 ( )A ．16B ．15 C．14 D ．13【切题技巧】 分析△AOD ，△DOC ，△AOB ，△COB 四个三角形的面积，只有通过线段比联系起来，相邻两个三角形的面积都存在着一种比例关系．【规范解答】【借题发挥】 两三角形的高相等时，面积比等于对应底之比，则可以将面积比与对应线段比相互转化，这是．解答面积问题、线段比等问题的常用技巧．【同类拓展】 4．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则AGCD ABCD SS四边形矩形等于 ( )A．56B．45C．34D．23考点5例5如图所示，在四边形ABCD中，AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，四边形ABEM、MEFN、NFCD 的面积分别记为S1，S2和S3．求213?S S S =+【切题技巧】把四边形分割成多个三角形，运用三角形等积变换定理即可求出，【规范解答】连接A．E、EN、PC和AC．【借题发挥】等积变形的题目中，常将多边形面积转化为三角形面积，再运用等底同10高来进行等积代换，因此，在转化时只要抓住题设中的等分点，就可以将多边形面积进行等积变换了．【同类拓展】5．如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由．考点6格点多边形的面积例6如图，五边形ABCDE的面积为多少？我们把方格纸上两组互相平行且垂直的直线的交点叫格点．顶点在格点上的多边形叫格点多边形．可以通过图形的分割，转化为规则图形，再求面积．【规范解答】如图，标上字母F、G、H、I、J点，使得△ABF，△BCG，△CDH，△DEI，△EAJ为直角三角形，【借题发挥】格点多边形面积有如下计算规律：格点多边形的面积等于其所包含有格点个数，加上由其边界上的格点的个数之半，再减去1．此规律对凹多边形也适用．即：若格点多边形的面积为S，格点多边形内部有且只有n个格点，它各边上格点的个数x＋n－1．和为x．则S＝12【同类拓展】6．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD面积的比是( )A．3：4 B．5：8 C．9：16 D．1：2参考答案1．A2．A3．S3＝S2＋S7＋S8．4．D5．S S四边形AFCD．6．B△ABF＝。
2024年中考复习-13 二次函数中求线段,线段和,面积等最值问题(解析版)
抢分秘籍13二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一二次函数中求线段的最值问题【例1】（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线()22131y x n x n =-++++交x 轴于点()10A -，和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，已知点P 是位于BC 上方的抛物线上的一点，作PM BC ⊥，垂足为M ，求线段PM 长度的最大值；(3)如图2，已知点Q 是第四象限抛物线上一点，45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．设()234P m m m -++，，则∴(2222PM PE ==∵202->，∴PM 有最大值，最大值为（3）解：作BG CQ ⊥∵()10A -，，()40B ，，∴1OA =，OB OC ==∵45ACQ ∠=︒，OCB ∠∴ACO GCB ∠=∠，∴tan tan ACO GCB ∠=∠∴1442BG =，本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键．【例2】（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数2y =+的图象与x 轴分别交于点,O A ，顶点为B ．连接,OB AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，连接BC ．点,D E 分别在线段,OB BC 上，连接,,,AD DE EA DE 与AB 交于点,60F DEA ∠=︒．(1)求点A ，B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．∵()2313y x =--+，∴抛物线对称轴为1x =，即ON ∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴BAC 是等边三角形，1．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于0()1,A -，B 两点，与y 轴交于点C (0,3)-．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是抛物线上位于第四象限内一动点，PD BC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，点E 是抛物线的顶点，点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合），过点M 作MN x ⊥轴于N ，是否存在点M ，使CMN 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x =--(2)当32m =时，PD 取得最大值为928．此时315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭或()323,6212--【分析】（1）把点,A C 坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求线BC 的解析式，设点p 的横坐标为m ，再用m 的代数式表示PD 的长度建立二次函数求解即可；（3）先求直线BE 的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）由题意得103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩．则抛物线的解析式为：223y x x =--；（2）过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点G当0y =时，2230x x --=，解得=1x -或3，∴(3,0)B 设直线BC 的解析式为：1y kx b =+，则11303k b b +=⎧⎨=-⎩解得：113k b =⎧⎨=-⎩∴3y x =-则263n -=-，∴32n =，∴M ③当90MCN ∠=︒时，过点M∵90MCF NCO ∠+∠=︒，CNO ∠∴MCF CNO ∠=∠，又90MFC CON ∠=∠=︒，∴MFC CON ∽，∴CF MF NO CO =，∴()3263n n n ---=，【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C -．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标．设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,4Q t ⎛- ⎝∴231133444PQ t t t ⎛⎫=---+-= ⎪⎝⎭∵AQE PQD ∠=∠，AEQ QDP ∠=∠∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，如图，二次函数213442y x x =--的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的表达式；(2)如图1，若点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，交直线BC 于点M ，N ，试探究线段MN 长的最大值；(3)如图2，若点Q 是二次函数图象上的一个动点，直线BQ 与y 轴交于点H ，连接CD ，在点Q 运动的过程中，是否存在点H ，使以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A -，，()80B ，，()04C -，，直线BC 的表达式为1y x 42=-；(2)线段MN 长的最大值为45；(3)点Q 的坐标为3954⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()46-，．【分析】（1）令0y =，求得x 的值，令0x =，求得y 的值，可求得A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的表达式；（2）设213442P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，证明PNM OBC ∠=∠，利用正切函数的定义推出2PN PM =，求得225MN PN PM PM =+=，得到MN 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）利用勾股定理求得25AC =，5AD OC ==，作DG AC ⊥于点G ，用正切函数的定义推出OCA BCH ∠=∠，分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，分别求得点H 的坐标，求得直线BH 的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则2134042x x --=，解得12x =-，28x =，令0x =，则4y =-，∴()20A -，，()80B ，，()04C -，，设直线BC 的表达式为4y kx =-，代入()80B ，得084k =-，解得12k =，∴直线BC 的表达式为1y x 42=-；∵PN OB ∥，PM OC ∥，∴PNM OBC ∠=∠，∴4tan tan 8OC PNM OBC OB ∠=∠===∴2PN PM =，22MN PN PM =+=∴(2155244MN m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭①当BC BH =时，∵BO CH ⊥，∴OH OC =，∴()04H ，，同理求得直线BH 的表达式为142y x =-+联立得241234412x x x ---+=，【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．题型二将军饮马河求二次函数中线段和最值问题【例1】（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标；(3)将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A '，点C 的对应点为点C '，当MA MC ''+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为，MA MC ''+的最小值为．设直线AC 的解析式为y =将()0,2A ，()4,0C 代入y 240m k m =⎧⎨+=⎩，解得122k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为y =由平移的性质可知，MA '∴MA MC ''+的值最小就是显然点M '在直线=2y -上运用，作出点C 关于直线=2y -得最小值，即为AC ''的长度，∵点C 关于直线=2y -对称的对称的点是点∴()4,4C ''-，∴()(min MA MC M A '''+=+设直线AC ''的解析式是：将点()0,2A ，()4,4C ''-代入得：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M 向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．【例2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，抛物线2y x bx =-＋与x 轴交于点A ，与直线y x =-交于点()4,4B -，点()0,4C -在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．(1)求抛物线2y x bx =-＋的表达式；(2)当BP =时，请在图1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC OD ，，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；(3)如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ PC ，，求CP BQ ＋的最小值． OH PH ∴=，POH ∠连接BC ，4OC BC == ，42OB ∴=．22BP = ，22OP OB BP ∴=-=在OA 上方作OMQ ，使得4OC BC == ，BC ⊥45CBP ∴∠=︒，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ = ，CBP ∠=(SAS)CBP MOQ ∴△≌△CP MQ ∴=，1．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点()00O ，，()55A ，，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时；求点B 的坐标．(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，求P 的坐标以及PA PB -的最大值．【答案】(1)24.y x x =-(2)()2,8B (3)()2,12,P -PA PB -的最大值为32.【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =解得：1,k =可得直线OA 为：,y x =则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=⨯⨯- 列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB -=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【详解】（1）解： 抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+ 抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a+=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩解得：1,4a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线为：24.y x x =-（2）解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：y kx =55,k \=解得：k =∴直线OA 为：y =()2,2,Q ∴OAB BOQ ABQ S S S ∴=+ 12515,2y =-⨯=解得：8y =或4,y =-()()5,5,2,8,A B ()(2525AB ∴=-+设AB 为：y k x b '=+55,28k b k b '''+=⎧∴⎨+=⎩'解得：1,10k b =-⎧⎨='⎩'∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x =-+⎧∴⎨=-⎩解得：52,,512x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴-【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB -最大时P 的位置是解本题的关键．2．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，5OB OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．图1图2图3(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标；(2)如图2，点Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC △的周长；(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．设直线BC 的解析式为5y kx =+代入点()50B ，得055k =+，解得∴直线BC 的解析式为y x =-+当2x =，253y =-+=，∴()23Q ，，∵点()10A -，，∵221526=+=AC ，设点M 的坐标为(24m m -+，∵顶点D 的坐标为()29，，∴()2945MH m m =--++=()22945GN n n n =--++=-由题意得H G MDN ∠=∠=∠∴90MDH NDG ∠=︒-∠=∠∴MDH DNG ∽△△，∴当20x -=即2x =时，8y =，∴无论m n 、为何值，直线MN 总会经过定点()28，，∴直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线2Ly ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =．(1)求直线AB 的解析式及抛物线的解析式；(2)如图①，点P 为第一象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求当点P 的横坐标为多少时，PD AD +最大；(3)如图②，将抛物线2L y ax bx c =++∶向左平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M 、N 两点，若点B 是线段MN 的中点，求抛物线'L 的解析式．题型三胡不归求二次函数中线段和最值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·三模）已知抛物线2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0)a ≠与x 轴交于点()A -、点B 两点，与y 轴交于点()0,2C ，对称轴为x =(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限，过M 作MN AC ⊥于点N ，求AN 的最大值．设AC 的解析式为y kx b =+2302k b b ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，32k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴AC 的解析式为33y x =23AO = ，2CO =，3CO本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含30︒的直角三角形三边关系，解直角三角形的应用，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．【例2】（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B -和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值．1．（2024·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++交x 轴于()4,0A 、B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线表达式中的b 、c ；(2)点P 是直数AC 上方抛物线上的一动点，过点F 作PF y 轴交AC 于点E ，作PE AC ∥交x 轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移1y ，请直接写出新抛物线1y 的表达式______．()4,0A ，()0,4C ，∴直线AC 的解析式为y =-PE y ∥Q 轴，PE x ∴⊥轴，90AOC ∴∠=︒，，，．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内的抛物线上的一个动点，①当P 为抛物线的顶点时，求证：PBC 直角三角形；②求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；③过点P 作PN x ⊥轴，垂足为N ，PN 与BC 交于点E ．当PE 的值最大时，求点P 的坐标．∴45HCP ∠=︒又∵在Rt BOC 中，OB =∴45OCB ∠=︒，∴90PCB ∠=︒∴PCB 是直角三角形②设直线BC 的解析式为∴(),3E x x -+，∴(223PE x x x =-++--∴1122PBCS PE OB =⨯⨯= 当32x =时，PBC 的最大面积为∴(),3E x x -+，∴(223PE x x x =-++--∵()0,3C ，()3,0B ，∴3OC OB ==，3BN =∴45OBC OCB ∠=∠=︒，3．（2023·山东济南·一模）抛物线()2122y x a x a =-+-+与x 轴交于(),0A b ，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,C c ，点P 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．(1)求a ，b ，c 的值；(2)如图1，连接BC 、AP ，交点为M ，连接PB ，若14PMB AMB S S =V V ，求点P 的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为9(0)0αα︒<<︒，连接E B '，E C '，求34E B E C ''+的最小值．设BC l ：y kx b =+，将()0,4，BC l ∴：4y x =-+，设21,42P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则21PD y y m m =-=-++根据旋转得性质得出：OE ∵9494OF OC ⋅=⨯=，2OE OF OC '∴=⋅，∴OE OC OF OE '='，题型四化简求值的解法【例1】（2024·四川广元·二模）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于原点O 和点()40A ，，经过点A 的直线与该函数图象交于另一点()13B ，，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数解析式及点C 的坐标．(2)点P 是抛物线上位于直线AB 上方的一个动点，过点P 作直线PE x ⊥轴于点E ，与直线AB 交于点D ，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，连接OP ，与BF 交于点G ，连接DG ．求四边形GDEF 面积的最大值．(3)抛物线上是否存在这样的点Q ，使得45BOQ ∠=︒若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．∵点()13B ，，∴13BN ON ==，．又点()40A ，，∴点()43M ，．∴3BM =．又MH BN =，ONB BMH ∠∠=∴()SAS OBN BHM ≌．∴OB HB =，且OB HB ⊥．∴45BOH ∠=︒．∴OH 与抛物线的交点Q 即为所求的点．∵1MH =，∴点()42H ，．本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形面积的综合，等腰直角三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【例2】（2024·安徽宣城·一模）如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴的交点为()()4,0,2,0A D -，与y 轴交点为C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)设点C 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，在抛物线的A ~B 段上存在点P ，求五边形APBCD 面积的最大值ax M S ；(3)问该抛物线上是否还存在与点P 不重合的点Q ，使以A 、B 、C 、D 、Q 五点为顶点的凸五边形面积等于题（2）中五边形APBCD 面积的最大值ax M S ，若存在，直接写出．．．．所有满足条件的点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．（3）解：由（2）可知，S 五边形由对称性可知，点P 与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点∵抛物线解析式为238y x =-∴顶点坐标为2718⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴顶点与B 、C 组成的三角形面积为1．（2024·山东济南·一模）如图，直线132y x=-+交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线214y x bx c=-++经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点(),0P m顺时针旋转90︒得到线段O A''，若线段O A''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．设21,34M x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，令0y =，得2134y x x =-++解得：2x =-，或6x =，∴PO PO m '==，'='A O OA ∴(),O m m '，()3,A m m '+，当()3,A m m '+在抛物线上时，有解得，326m =-±，，与轴交于点1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，E 为抛物线的顶点．图1图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC PB BC 、、，设点P 的横坐标为t ．①当t 为何值时，PBC 的面积最大？并求出最大面积；②当t 为何值时，PBC 是直角三角形？(3)如图2，过E 作EF x ⊥轴于F ，若(),0M m 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若90MNC ∠=︒，请直接写出实数m 的取值范围．。
2020年九年级数学中考复习专题：运动中的面积问题 课件(共16张PPT)
典例精析
例 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点 C，点B在x轴的正半轴上，且AB＝4，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C. (1)求抛物线的表达式；
(1)解：直线y＝x＋3交x轴于点A，交y轴于C，令x＝0，则y＝3；
令y＝0，则x＝－3，
∴A(－3，0)，C(0，3)，
∵AB＝4，且点B在x轴正半轴，
∴B(1，0)，
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，
∴ 9a－3b＋c＝0，解得 a＝－1 ，
a＋b＋c＝0
b＝ －2
c＝3
c＝ 3
∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3；
(2)如图，点D为抛物线的顶点，DE是抛物线的对称轴，点E在x轴上，在抛物线 上存在点Q，使得△QAE的面积与△CBE的面积相等，请直接写出点Q的坐标；
温馨提示：△QAE与△CBE的底边AE＝BE.要使两三角形面积
相等，只要高相等．
解：Q点的坐标为(－2，3)或(0，3)或(－1＋ 7，－3)或(－1－ 7 ，－3)；
分析：如图，依题意，AE＝BE，
∴当△QAE的边AE上的高为3时，△QAE的面积与△CBE的面积相等． ①当y＝3时，－x2－2x＋3＝3，解得x1＝－2，x2＝0， ∴点Q的坐标为(－2，3)或(0，3)． ②当y＝－3时，－x2－2x＋3＝－3，解得x＝－1± 7， ∴点Q的坐标为(－1＋ 7 ，－3)或(－1－ 7 ，－3)． 综上所述，点Q的坐标为(－2，3)或(0，3)或(－1＋ 7，－3)或(－1－ 7 ，－3)．
∵－3<－32<0 ，
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2021年中考数学专题复习 第3讲-二次函数中的线段与面积问题
Section 1 线段、面积的最值问题知识总结【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）12S =⨯水平宽铅垂高．【引例2】如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P作PH⊥x轴交BC边于点H，求PH的最大值；（2）求△PBC面积的最大值；（3）求点P到BC距离的最大值．经典例题【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -，点(4,0)B ，与y轴交于点(0,8)C ，连接BC ，又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．（1）求抛物线的表达式；（2）作PF BC ⊥，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt PFD ∆面积的最大值．Section 2 二次函数中的面积问题知识总结【引例3】如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．P 是抛物线上一点，连接PB 、PC ．（1）若点P 满足△PBC 的面积等于△BOC 的面积，求点P 坐标．（2）若△PBC 面积为3，求点P 坐标．（3）若点P 满足直线CP 将△ABC 分成面积比为1:3的两部分，求点P 坐标．经典例题【例2】在平面直角坐标系中，直线2=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y x2(0)=++<经过点A、B．y ax bx c a（1）求a、b满足的关系式及c的值．∆的面积为1？若存在，请求出（2）如图，当1a=-时，在抛物线上是否存在点P，使PAB符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】综合与探究：如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值；【例4】如图抛物线经2y ax bx c =++过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【例5】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是 ．【例6】在平面直角坐标系中，过点(3,4)A 的抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)B -，与y 轴交于点C ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ． （1）求抛物线的解析式．（2）如图，点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，连接PD 交AB 于点Q ，连接AP ，当2AQD APQ S S ∆∆=时，求点P 的坐标．TA BCDP【例7】如图，已知二次函数的图像与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为(5,0)，点D 的坐标为(1,3)． （1）求该二次函数的表达式；（2）试问在该二次函数图像上是否存在点G ，使得ADG ∆的面积是BDG ∆的面积的35？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【例1】（1）228y x x =-++；（2）根据B 、C 两点坐标得直线BC 解析式：y =-2x +8， 设点P 坐标为()2,28m m m -++，则点D 坐标为(),28m m -+，故线段PD =-m ²+2m +8-（-2m +8）=-m ²+4m ，当m =2时，PD 取到最大值4，此时PF ==，FD =，11625PFDS==．【例2】（1）点A 坐标为（-2,0），点B 坐标为（0,2），代入解析式可得：c =2，4a -2b +2=0（2）考虑A 、B 水平距离为2，△P AB 的面积为1，故对应的铅垂高为1．当a =-1时，可得b =-1，抛物线解析式为y =-x ²-x +2． 取点C （0,3）作AB 的平行线，其解析式为：y =x +3，联立方程-x ²-x +2=x +3，解得x =-1，故点1P 坐标为（-1,2） 取点D （0,1）作AB 的平行线，其解析式为：y =x +1， 联立方程-x ²-x +2=x +1，解得11x =-21x =- 点2P坐标为(1-+、点3P坐标为(1-．【例3】（1）可重设解析式为交点式：()()24y a x x =+-，展开得：228y ax ax a =--，常数项对应相等，-8a =6，解得：34a =-，故抛物线解析式为：233642y x x =-++．（2）考虑△AOC 和△BCD 并无太多关联，并且△AOC 是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导△BCD 的面积．1=26=62AOC S ⨯⨯，3396442BCD AOC S S =⨯=⨯=，铅垂法可解得：m=3．此问题变为面积定值问题，就不难了． 【例4】（1）解析式为223y x x =-++，对称轴为直线x =1． （2）连接CP ，可将四边形CBP A 分为△CAP 和△CBP ．即:3:5CAPCBPSS=或:5:3CAPCBPSS=．考虑△CAP 和△CBP 共底边CP ，记CP 与x 轴交于点M ，则::CAPCBPSSAM BM =①AM ：BM =5：3，点M 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式：23y x =-+，联立方程：22323x x x -++=-+，解得：10x =（舍），24x =． 故P 点坐标为（4，-5）．②AM ：BM =3：5，点M 坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式为：63y x =-+，联立方程：22363x x x -++=-+，解得：10x =（舍），28x =． 故P 点坐标为（8，-45）． 【例5】法1：构造“A ”字型AP 、AT 均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段． 构造“A ”字型线段比：过点P 作PQ ∥DB 与AB 的延长线交于点Q ，由平行得：AP AQ AT AB =，若要APAT取到最大值，只要AQ 最大即可．BC =3，39344BM =⨯=，515344CM =⨯=，15121234520PM =+=， 1235412034MQ =⨯=，41941244AQ =+-=，故最大值为1234AP AQ AT AB ===．法2：构造“8”字型分别过A 、P 向BD 边作垂线，垂足分别记为M 、N ， 则TP PN AT AM=，考虑到AM 是定值，故只需PN 最大，比值即最大．如上右图所示，当PN 过点C 时，PN 取到最大值，即可求出本题的最大值．QTA BCDPM PDCBATQMN T ABCD PMNT A BCDP（1）抛物线解析式为234y x x =-++ （2）转化面积比为底边比：::2:1AQDAPQDQ PQ SS==，考虑P 、Q 均为动点，故可转化底边之比为“A ”字型线段比：∵BD =4，∴取E （-3,0）满足BE =2，过点E 作AB 平行线，与抛物线交点即为所求P 点． 解得点P坐标为(14++，(14．（1）设顶点式()213y a x =-+，代点B （5,0），解得：316a =-， 故抛物线解析式为()231316y x =--+． （2）当点G 在x 轴下方时，如图所示，记DG 与x 轴交点为M 点，化面积比为线段比：::ADG BDG S S AM BM =考虑AM =8，当AM ：BM =3：5时，M 点坐标为（0,0） 又D 点坐标为（1,3），故直线DM 解析式为：y =3x ，与抛物线联立方程：23345316816x x x -++=，解得115x =-，21x =（舍）故第1个G 点坐标为（-15，-45）．当点G 在x 轴上方时，如图所示，此时△ADG 和△BDG 共底边DG ，但高并不易求，故可用铅垂法分别算两三角形面积．过点G 作x 轴的垂线分别交AD 、BD 的延长线于M 、N 两点，1422ADG S GM GM =⨯⨯=（A 、D 两点之间水平距离为4）1422BDG S GN GN =⨯⨯=（B 、D 两点之间的水平距离为4）∴:3:5ADG BDG S S =，即GM ：GN =3:5， 设G 点坐标为23345,16816m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，AD 解析式为：3944y x =+，BD 解析式为：31544y x =-+， 故M 、N 坐标分别为39,44m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、315,44m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，22334539339168164416816GM m m m m m ⎛⎫=-++-+=--+ ⎪⎝⎭2231533453915441681616816GN m m m m m ⎛⎫=-+--++=-+ ⎪⎝⎭223393168163915516816m m m m --+=-+，解得：m =0或1（舍） 故第2个G 点坐标为450,16⎛⎫⎪⎝⎭．这个计算量是不是有点大，所以，其实，可以，再转化一下： 化底边之比为其他线段之比．记AD 、GD 、ND 与y 轴交点分别为P 、Q 、R ，则GM ：GN =QP ：QR可求P 点坐标为90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，R 点坐标为150,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，当PQ ：PR =3：5时，Q 点坐标为450,16⎛⎫⎪⎝⎭．接下来根据D 、Q 求G ：由D 、Q 坐标求直线DQ 解析式为：3451616y x =+， 与抛物线联立方程：23345345168161616x x x -++=+，解得10x =，21x =（舍）， 故G 点坐标为450,16⎛⎫⎪⎝⎭，巧了，本题G 、Q 重合．放大DNGMP QR。
专题14动态中的路径扫过的图形问题(教师)
一、路径长问题动态中的路径长和扫过图形面积问题 3.如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，边CD 在直线L 上，将矩形ABCD 沿直线L 作无滑动翻滚，当点A 第一次翻滚到点A1位置时，则点A 经过的路线长为.1.如图，在方格纸中，每个小方格都是边长为 1cm 的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上，将△ABC 绕点 O 逆时针旋转90°后得到∆A'B'C'(其中 A、B、C 的对应点分别为A', B', C')，则点 B 在旋转过程中所经过的路线的长是cm。
(结果保留π)2.如图，正六边形硬纸片ABCDEF 在桌面上由图1 的起始位置沿直线l 不滑行地翻滚一周后到图2 位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O 运动的路程为cm．4.如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P 是CD 上一动点，分别以AP、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O1O2中点G 的运动路径的长是．5.如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝4，BC ＝3，矩形在直线 l 上绕其右下角的顶点 B 向右旋转 90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转 90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转 2 015 次后，顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ( )A ．2 015πB ．3 019.5πC ．3 018πD ．3 024π③第三次相遇甲乙行的路程和为4a ，甲行的路程为4a× 1 1+ 3 在 DC 边相遇； ④第四次相遇甲乙行的路程和为4a ，甲行的路程为4a × 11+ 3 在 AB 边相遇； ⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a ，甲行的路程为4a × 11+ 3=a ，乙行的路程为4a × 31+ 3=a ，乙行的路程为4a × 3 1+ 3=a ，乙行的路程为4a × 3 1+ 3 =3a ，=3a ，=3a ，90π×490π×5 5π 在 AD 边相遇；…解析 转动一次 A 的路线长是： 180 ＝2π，转动第二次的路线长是： 90π×3 3180 ＝ 2 ，因为 2015= 503 3⨯ 4 ，所以它们第 2015 次相遇在边 AB 上．故答案为：AB ．47．如图，等腰梯形 MNPQ 的上底长为 2，腰长为 3，一个底角为 60°．等边△ABC 的边长为 转动第三次的路线长是： 180 ＝ π，转动第四次的路线长是：0，1，它的一边 AC 在 MN 上，且顶点 A 与 M 重合．现将等边△ABC 在梯形的外面沿边 MN 、NP 、PQ 进 290π×4行翻滚，翻滚到有一个顶点与 Q 重合即停止滚动．转动五次 A 的路线长是： 180 ＝2π，以此类推，每四次循环，3π 5π故顶点 A 转动四次经过的路线长为： 2 ＋ 2 ＋2π＝6π，2 015÷4＝503 余 3.顶点 A 转动四次经过的路线长为：6π×504＝3 024π. 答案 D6．如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点 A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的 3 倍，则它们第 2015 次相遇在边 上．（1）请在所给的图中，画出顶点 A 在等边△ABC 整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求等边△ABC 在整个翻滚过程中顶点 A 所经过的路径长； 答案： 解：（1）如右图所示：（2）点 A 所经过的路线长： 11π38.如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E ，F 分别在边 AB ，BC 上，AE ＝BF ＝1，小球 P 从点 E 出发沿直线向点 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球 P 第一次碰到点 E 时，小球 P 与正方形的边碰撞的次数为 ，小球 P 所经过的路程为 ．解析 为了方便地画出小球 P 走过的路线，将给定的正方形分成 3×3 的正方形网格，根据已知中的点 E ，F 的位置，由入射角等于反射角，第一次碰撞点为 F ，在反射的过程中，根据入 射角等于反射角可画出小球 P 走过的路线如图；由勾股定理可以得出 EF ＝FL ＝HM ＝MR ＝ 5，NE1＝NR ＝LG ＝GH ＝ 25，故小球经过的路程为 6 5，答案 6 6 53 9．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 是边 BC 上的动点，BF⊥AE 交 CD 于点 F ，垂足为 G ，连结 CG ．下列说法：①AG＞GE ；②AE=BF；③点 G 运动的路径长为 π；④CG 的最小值为 5－1．其中正确的说法是．于点 N ．若点 P 是线段 ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥PA ，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动，求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是A ． 1πB ． 2C ．2D ． 2 24解：∵在正方形 ABCD 中，AE 、BD 垂直平分，∴当 E 移动到与 C 重合时，AG=GE ，故①错误；∵BF⊥AE， ∴∠AEB+∠CBF=90°， ∵∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， 在△ABE 和△BCF 中，，∴△ABE≌△BCF（AAS ），∴故②正确；解：由题意可知，OM=，点 N 在直线 y=﹣x 上，AC⊥x 轴于点 M ，则△OMN 为等腰直角三角形OM=× = ．如答图①所示，设动点 P 在 O 点（起点）时，点 B 的位置为 B 0，动点 P 在 N 点（终点）时， 点 B 的位置为 B n ，连接 B 0B n ．∵AO⊥AB 0，AN⊥AB n ，∴∠OAC=∠B 0AB n ，又∵AB 0=AO•tan30°，AB n =AN•tan30°，∴AB 0：AO=AB n ：AN=tan30°， ∴△AB 0B n ∽△AON，且相似比为 tan30°，如图：根据题意，G 点的轨迹是以 AB 为直径的 1 4如图：CG 的最小值为 5－1，故④正确； 圆弧的长， π 2，故③错误； ∴B 0B n =ON•tan30°==．现在来证明线段 B 0B n 就是点 B 运动的路径（或轨迹）．如答图②所示，当点 P 运动至 ON 上的任一点时，设其对应的点 B 为 B ，连接 AP ，AB ，B B ．综上所述，正确的结论有②④．10．如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点 P 从点 E 出发沿 EA 方向运动，连接 PD ， 以 PD 为边，在 PD 右侧按如图方式作等边△DPF，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长是（ ）A ． 8B ． 10C ． 3πD ． 5πi∵AO⊥AB 0，AP⊥AB i ，∴∠OAP=∠B 0AB i ，又∵AB 0=AO•tan30°，AB i =AP•tan30°，∴AB 0：AO=AB i ：AP ， ∴△AB 0B i ∽△AOP，∴∠AB 0B i =∠AOP． 又∵△AB 0B n ∽△AON，∴∠AB 0B n =∠AOP， ∴∠AB 0B i =∠AB 0B n ，∴点 B i 在线段 B 0B n 上，即线段 B 0B n 就是点 B 运动的路径（或轨迹）．综上所述，点 B 运动的路径（或轨迹）是线段 B 0B n ，其长度．i0 i解析： 连结 DE ，作 FH⊥BC 于 H ，如图，根据等边三角形的性质得∠B=60°，过 D 点作 DE′ ⊥AB，则 BD=2，则点 E′与点 E 重合，所以∠BDE=30°，DE=BE=2 ，接着证明△DPE≌△FDH 得到 ，于是可判断点 F 运动的路径为一条线段，此线段到 BC 的距离为 ，当点 P 在 E 点时，作等边三角形 DEF 1，则 DF 1⊥BC，当点 P 在 A 点时，作等边三角形 DAF 2，作 F 2Q ⊥BC 于 Q ，则△DF 2Q≌△ADE，所以 DQ=AE=8，所以 F 1F 2=DQ=8，于是得到当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长为 811．如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为2 的一个定点，AC ⊥ x 轴于点 M ，交直线 y = -x12.如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点 A 、B 的坐标分别是 A (3，2)，B (1，3)．△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到△A 1OB 1.(1)点 A 关于点 O 成中心对称的点的坐标为 ； (2)点 A 1 的坐标为 ； (3)在旋转过程中，求点 B 经过的路径的长．CD 2 + CD 2 矩形EFCG = （ 解 (1)(－3，－2)；(2)如图，在坐标系中画出△A 1OB 1，点 A 1 的坐标为(－2，3)︵ ︵90×π× 10 10 答案：（1）∵CE 是⊙O 的直径，点 F 、G 在⊙O 上，∴∠EFC =∠EGC =90°，又∵EG ⊥EF ，∴∠FEG =90°，∴四边形 EFCG 是矩形（2）①∵四边形 EFCG 是矩形，∴∠BCD =90°，∴ tan ∠ BDC = BC = AD = 4.(3)点 B 经过的路径为BB ，OB ＝ 12＋32＝ 10，BB 的长＝ ＝ π.CDAB31 1180 2∵∠CEF=∠BDC，∴ tan ∠ CEF = tan ∠ BDC ，即 CF = 4 ，∴ EF = 3CF .13．如图 1，已知正方形 OABC 的边长为 2，顶点 A 、C 分别在 x 、y 轴的正半轴上，M 是 BC的中点．P (0,m )是线段 OC 上一动点（C 点除外），直线 PM 交 AB 的延长线于点 D ．∴ S 矩形EFCG= EF • C F = 3CF 2. 4EF 3 4（1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示）； （2）设过 P 、M 、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E ，过点 O 作直线 ME 的垂线，垂足为 H （如图 2）．当点 P 从 O 向 C 运动时，点 H 也随之运动．请直接写出点 H 所经过的路长（不必写 ∵当点 F 与点 B 重合时，CF=BC =4； 当⊙O 与射线 BD 相切时，点 F 与点 D 重合， 此时 CF =CD =3；解答过程）．当 CF ⊥BD 时， S = BC • CD = 12 .∴ 12 ≤ CF ≤ 4 .5矩形EFCGBD5∴当 CF = 12 cm 时， S 5 矩形EFCG取得最小值108 cm 225图 1 图 2 图 4 图 5当 CF =4cm 时， S 取得最大值12cm 2 . ②如答图 4，连接 DG ，并延长 DG 交 BC 得延长线与点 G ’.解：（1）因为 PC //DB ，所以 CP = PM = MC = 1 ．因此 PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以 AD ＝4BDDMMB∵∠BDG =∠FEG =90°，又∵∠DCG ’=90°， ∴点 G 的移动路线为线段 DG ’,－m ．于是得到点 D 的坐标为(2，4－m )．∵CD =3cm ， ∴CG ’= 3 CD = 9 ,∴DG ’= 15 cm ）. （2）点 H 所经过的路径长为 5 π ．思路是这样的：4如图 4，在 Rt△OHM 中，斜边 OM 为定值，因此以 OM 为直径的⊙G 经过点 H ，也就是说点 H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图 5，P 与 O 重合时，是点 H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．14.如图，矩形 ABCD 的边 AB =3cm ，AD =4cm ，点 E 从点 A 出发，沿射线 AD 移动，以 CE 为直径作圆 O ，点 F 为圆 O 与射线 BD 的公共点，连接 EF 、CF ，过点 E 作 EG ⊥EF ，EG 与圆 O 相交于点 G ，连接 CG .（1）试说明四边形 EFCG 是矩形； （2）当圆 O 与射线 BD 相切时，点 E 停止移动，在点 E 移动的过程中， ①矩形 EFCG 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点 G 移动路线的长.444二、扫过图形面积问题1.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标（﹣2，0），△ABO 是直角三角形，∠AOB=60°．现将 Rt△ABO 绕原点 O 按顺时针方向旋转到 Rt△A′B′O 的位置，则此时边 OB 扫过的面积为 ．解：∵点 A 的坐标（﹣2，0），∴OA=2，∵△ABO 是直角三角形，∠AOB=60°， ∴∠OAB=30°， ∴OB=OA=1，∴边 OB 扫过的面积为：= π．AC2 + AB2291 1-=。
2022年中考数学复习：一次函数(求直线围成的图形面积)(word版、无答案)
2022中考数学复习：一次函数（求直线围成的图形面积） 1．如图，已知直线m 的解析式为y =﹣12x +1，与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，且△BAC =90°，点P 为直线x =1上的动点，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等．(1)求△ABC 的面积；(2)求点P 的坐标．2．如图，()6,2A -、(),4B n -两点是一次函数y kx b =+和反比例函数m y x=图象的两个交点．(1)求反比例函数与一次函数表达式．(2)求AOB 的面积．3．如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点O 是坐标原点，点A 的坐标为（4，4），点B 的坐标为（6，0），动点P 从O 开始以每秒1个单位长度的速度沿y 轴正方向运动，设运动的时间为t 秒，过点P 作PN ∥x 轴，分别交直线AO ，直线AB 于点M ，N ．(1)填空：AO 的长为_______，AB 的长为______；(2)当t ＝1时，求点N 的坐标；(3)当04t <<时，请直接写出MN 的长为______（用含t 的代数式表示）；(4)当△AMN 的面积为3时，请直接写出t 的值．4．已知反比例函数1k y x=的图像与一次函数2y ax b =+的图像交于点()1,4A 和点(),2B m -．(1)求这两个函数的表达式；(2)求ABO 的面积；(3)观察图像，△直接写出12y y >时自变量x 的取值范围；△直接写出方程k ax b x=+的解．5．如图，已知直线y ＝kx ＋b 经过点()5,0A 和点()1,6B -．(1)求直线AB 的解析式；(2)若直线y ＝2x －1与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点C ，求△ADC 的面积．6．已知：如图一次函数12y x =--与24y x =-的图象相交于点A ．(1)求点A 的坐标；(2)若一次函数12y x =--与24y x =-的图象与x 轴分别相交于点B 、C ，求ABC 的面积．(3)结合图象，直接写出12y y ≤时x 的取值范围．7．如图，直线1y x =--与双曲线2y x-=交于A 、B 两点．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围；(3)连接OA 、OB ，求△AOB 的面积．8．如图，直线1l ：12y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与直线2l ：26y x =-交于点C ，且OA ＝8．(1)求直线1l 的解析式：(2)若2l 与y 轴交于点D ，求△BCD 的面积，(3)在线段上BC 是否存在一点E ，过点E 作EF y ∥轴与直线CD 交于点F ，使得四边形OBEF 是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标：若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：y x a =+与y 轴交于点Q ，且与直线2l ：12y x =-相交于点P ，其中点P 纵坐标为1．(1)求点P 的坐标及a 的值；(2)求△PQO 的面积；(3)直接写出不等式12x x a -≤+的解集．10．如图1，直线y 32=x +6与x 轴交于点A ，直线y ＝﹣x +m （m ＞0）与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，并与直线y 32=x +6相交于点D ，若AB ＝5．(1)求直线BC 的解析式；(2)求出四边形AOCD 的面积；(3)如图2，若P 为直线AD 上一动点，当△PBD 的面积是四边形AOCD 的面积的一半时，求点P 的坐标．11．如图，已知函数12y x =+的图象与y 轴交于点A ，一次函数2y kx b =+的图象经过点()0,4B ，与x 轴交于点C ，与12y x =+的图象交于点D ，且点D 的坐标为1(,)2n(1)求k 和b 的值；(2)若12y y >，写出x 的取值范围；(3)求四边形AOCD 的面积．12．如图，平面直角坐标系中，直线l 经过原点O 和点A （6，4），经过点A 的另一条直线交x 轴于点B （12，0）．（1）求直线l 的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）在直线l 上求点P ，使S △ABP ＝13S △AOB ．13．如图，过点B （1，0）的直线l 1：y 1＝kx ＋b 与直线l 2：y 2＝2x ＋4相交于点P （－1，a ）．（1）求直线l 1的解析式．（2）不等式y 1≥y 2的解集为____________；（直接写出答案）（3）求四边形P AOC 的面积；14．如图，直线1l ：12y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点(,3)P m 为直线1l 上一点，另一直线2l ：212y x b =+过点P ． （1）写出列各点的坐标A ，B ；（2）求点P 坐标和b 的值；（3）若点M 在x 轴上，且ABM 是以AB 为腰的等腰三角形，则符合条件的M 点有 个．（4）若点C 是直线2l 与x 轴的交点，动点Q 从点C 开始以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动，设点Q 的运动时间为t 秒；当t 为何值时APQ 的面积等于4.5，并求出此时点Q 的坐标．（5）若直线3l ：1y kx =+．与1l ，2l 可以围成三角形，直接写出k 的取值范围 ．15．如图所示，直线l 1：y ＝﹣43x ﹣4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线l 1向上平移6个单位得到直线l 2与y 轴交于点C ，已知直线l 3：y ＝83x ＋c 经过点C 且与直线l 1交于点D ，连接AC ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标；（2）求直线l 3的解析式；（3）求△ACD 的面积．16．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 交x 轴于点(1,0)A ，交y 轴于点(0,B ，直线BC 与直线AB 关于y 轴对称，且直线BC 与x 轴相交于点C ．（1）求直线AB 的解析式；（2）判断线段AB 与线段AC 是否相等，并说明理由；（3）将直线AB 向上平移m ，求直线m 与直线BC 以及y 轴围成的三角形的面积．17．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l 1：y 1＝kx +b （k ≠0）与x 轴交于点A 且与直线l 2：y 2＝32x 交于点B ，并且有如下信息：①当x ＞2时，y 1＜y 2；当x ＜2时，y 1＞y 2．②当y 1＜0时，x ＜﹣4．根据信息解答下列问题：（1）求直线l1的表达式．（2）过点A的直线l3：y3＝122x--与直线l2交于点C，求△ABC的面积．（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．18．如图，已知直线AB过点A（5，0）、B（0，﹣5），交直线OC于点C，且直线OC的解析式为y32x =-．（1）求直线AB的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）若点P在直线OC上，且△BCP的面积是△AOC面积的2倍，求点P的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，直线1l：43y x=与直线2l：y kx b=+相交于点A，点A的横坐标为3，直线2l交y轴负半轴于点B，且OB OA=．（1）求点B 的坐标及直线2l 的函数表达式；（2）过点B 作31//l l 交x 轴于点C ，连接AC ，求ABC 的面积．20．在如图所示的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2）且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴正半轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，且AB ＝BC ，求直线l 的函数表达式．。
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求运动中线段扫过的区域面积
近年来，以几何图形的运动为载体，求在运动过程屮图形上某一线段扫过的区域面积问 题，在中考试卷屮屡有出现，不少同学对于此类题型感觉无从下手.下面通过具体实例来说 明此类问题的解法.
一、扫过区域为三角形
例1如图1,等边MBC 中，BC = 6,D 、E 分别在BC 、AC 上，且DE // AC ,
MN 是NBDE 的小位线.将线段DE 从BD=2处开始向AC 平移，当点D 与点C 重合时停 止运动，则在运动过程中线段所扫过的区域面积为 ________________________ .
分析本题是一道动点运动的问题，关键是要搞清随着线段DE 的运动，线段起 始位置和最终位置.图1是起始位置，图2是最终位置.则在运动过程中线段MN 所扫过的区 域为RtAM'N'N 与
RlAM'MN 的面积和.此时M 运动到的中点，N 运动到AC 的中点.
/. Si=—>/3 + = 2\/3 .
2 2
图2
例2如图3,等边三角形ABC 中，BC = 6,D 、E 是边BC 上两点，且BD = CE = \,
点P 是线段DE 上的一个动点，过点P 分别作AC. 4B 的平行线交AB. AC 于点M 、 N ,连结MTV 、AP 交于点G,则点P 由点D 移动到点E 的过程中，求线段BG 扫过的 区域面枳.
分析 求出四边形AMPN 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可得G 是 AP 的中点，然后判断出点G 的运动路线是AAPP'的屮位线，根据三角形的屮位线平行于
第三边并且等于第
1 =—x 2
V3x3 = -V3, S 2
三边的一半求出GG'，再根据等边三角形的性质求11! \BGG f的底边GG' 上的高，然后根据三角
形的而积公式列式计算即可得解.
图3
解•・• PM H AC, PN//AB,
:.四边形AMPN是平行四边形.
-MN与AP相交于点G,
••・G是AP的中点，
・・・如图4,点G的运动路线是AAPP'的中位线.
6-1-1
・・• BC = 6,BD = CE = 1,・・・GG' = -- = 2.
2
••• BC = 6,・・・\BGG f的底边GG'上的高为* x (6 x £)二芈,
•••线段BG扫过的区域面积为»2><晋=琴
点评木题考查了点的轨迹，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于确定出点G的运动轨迹从而确定出3G扫过的区域是三角形.
二、扫过区域为两个三角形
例3如图5,点C在以AB为直径的半圆上，AB = &ZC34 = 3(T,点D在线段AB
上运动，点E与点D关于AC对称，DF丄DE于D,并交EC的延长线于点F.则当D从点4运
动到点B时，线段EF扫过的面积是 ____________________ .
分析首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与MBC的关系, 就可求出线段EF扫过的面积.
解・・•点D与点E关于4C对称，点D与点F关于BC对称，
•・・当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，
图5
点F 的运动路径NB 与AB 关于BC 对称.
・・・EF 扫过的图形就是图6中阴影部分.
/. S 阴影=2S^BC ~ 2x —AC- BC = 4X 4A /3 = 16>/3. 2
•••EF 扫过的而积为16A /3.
三、扫过区域为扇形
例4如图7,正方形ABCD 的边长为2,将长为2的线段07?的两端放在正方形的相邻 的两边上同吋滑动•如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A-B-C-D-A 滑动到
A 止，同时点R 从点
B 出发，沿图中所示方向按B —
C — DfA — B 滑动到B 止，在这
个过程中，线段0R 的中点M 所经过的路线长为（）
解析 根据题意得点M 到正方形各顶点的距离都为1,点M 所走的运动轨迹为以正方 形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形, ・••点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积. 而正方形ABCD 的面积为2X2=4,
90龙
4个扇形的面积为4X —— 二兀，
360
•・・点M 所经过的路线围成的图形的面积为4-龙.
以上这类问题虽然较难，但也有一定的方法可循.首先要弄清在运动过程屮，该线段的 起始和终
点位置，然后画出在这两种情况下的图形，最后再正确描出此时两个图形围成的部
分，即扫过的区域.初中数学中，通常扫过的区域为三角形，有时也可能为多个三角形或其 他特殊图形.通过以上儿道例题的分析，希望帮助同学们能够掌握正确的解题方法
.
(A)2 图6
(B) 4 — 71
(C)龙 (D)>T-1 图8。