高三理科数学一轮复习基本不等式复习课件
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第四节基本不等式课件高三数学一轮复习
基本不等式再理解:变形公式
ab a b (a 0,b 0) 2
和定积最大
积定和最小
2.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_x__＝__y__时，x＋y 有
_最___小___值是__2__p___．(简记：积定和最小)
(2)如果和 x ＋y 是定值 p，那么当且仅当_x_＝___y__时，xy 有
答案 (1)C (2)5＋2 6
某厂家拟定在 2018 年举行促销活动，经调查测算，该产 品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m≥0)万 元满足 x＝3－m＋k 1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产 品的年销量只能是 1 万件．已知 2018 年生产该产品的固定投 入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍． (1)将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元 的函数；(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (2)厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？
制 50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小
时耗油
2＋ x2 360
升，司机的工资是每小时
14
元.
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
(1)y＝m(kx2＋9)＝m x
x＋9x
，x∈[1，10].
值，则 a＝________． (2)不等式 x2＋x<a＋b对任意 a，b∈(0，＋∞)恒成立，
高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理
第二十七页，共61页。
2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
第二十八页，共61页。
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
第三十页，共61页。
解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
第四十页，共61页。
方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
第三十六页，共61页。
解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
高三一轮总复习理科数课件：-基本不等式 .ppt..
对于 D，因为 ab>0， 所以ba＋ab≥2 ba·ab＝2. 答案：D
你是我心中最美的云朵
10
2．(2017 届郑州模拟)设 a>0，b>0，若 a＋b＝1，则a1＋b1的最小值是( )
A．2
B．14
C．4
D．8
解析：由题意a1＋b1＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2 ba×ab＝4，当且仅当ab＝ba，
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家 至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
你是我心中最美的云朵
23
解
：
(1)
由
题
意
可
知
，
二
氧
化
碳
每
吨
的
平
均
处
理
成
本
为
y x
＝
1 2
x
＋
80
000 x
－
200≥2
1 80 2x·
你是我心中最美的云朵
22
[自 主 演 练]
首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主 题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转 化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y＝12x2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元．
(2)记 g(x)＝x＋22x5(0<x≤14.5)，显然是减函数，所以 x＝14.5 时，g(x)有最小值， 相应造价 f(x)有最小值，此时宽也不超过 14.5 米．
你是我心中最美的云朵
10
2．(2017 届郑州模拟)设 a>0，b>0，若 a＋b＝1，则a1＋b1的最小值是( )
A．2
B．14
C．4
D．8
解析：由题意a1＋b1＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2 ba×ab＝4，当且仅当ab＝ba，
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家 至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
你是我心中最美的云朵
23
解
：
(1)
由
题
意
可
知
，
二
氧
化
碳
每
吨
的
平
均
处
理
成
本
为
y x
＝
1 2
x
＋
80
000 x
－
200≥2
1 80 2x·
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22
[自 主 演 练]
首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主 题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转 化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y＝12x2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元．
(2)记 g(x)＝x＋22x5(0<x≤14.5)，显然是减函数，所以 x＝14.5 时，g(x)有最小值， 相应造价 f(x)有最小值，此时宽也不超过 14.5 米．
不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
常用变形 ab≤(a＋4b)2≤a2＋2 b2
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件
(a2＋b2) 2
图 1-5-2
解析：∵△ACD∽△CBD，∴CADD＝CBDD， 即 CD＝ AD·BD＝ ab. ∵OC＝A2B＝AD＋2 BD＝a＋2 b， ∴ ab≤a＋2 b.故选 B.
答案：B
考点二 利用基本不等式求最值 考向 1 通过配凑法求最值
[例 2]设 0<x<23，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
2－x x·2－x x＋2＝2，
当且仅当2－x x＝2－x x，即 x＝1 时取等号，所以 y 的最小值为
2.故选 B.
答案：B
2.(考向 2)(2023 年罗湖区校级期中)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋ y＝xy，则 x＋2y 的最小值为( )
A.8
B.8 2
C.9
D.9 2
解析：x＞0，y＞0，且 2x＋y＝xy，可得：1x＋2y＝1，则 x＋2y
错误. (3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致. (4)若 a≥b＞0，则 a≥ a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
考点一 基本不等式的证明 [ 例 1](1)(2023 年广西一模) 《几何原本》中的“几何代数 法”(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现
【变式训练】
如图1-5-2所示，线段AB为半圆的直径，O为
圆心，点 C 为半圆弧上不与 A ，B 重合的点. 作 CD⊥AB于点D，设 AD＝a，BD＝b，则下列不等
式中可以直接表示 CD≤OC 的是( )
A.a2＋abb≤ ab
B. ab≤a＋2 b
C.a＋2 b≤
高考理科数学一轮复习课件基本不等式
特殊性质
当$a < b < 0$时，有$frac{1}{b} < frac{1}{a}$；当$0 < a < b$时，有 $frac{1}{a} > frac{1}{b}$。
D
常见不等式关系
• 算术平均值与几何平均值关系：对于非负实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$，有 $\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}$。
• 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实数序列${a_i}$和 ${bi}$（$i = 1, 2, \ldots, n$），有$\left(\sum{i=1}^{n} ai^2\right) \left(\sum{i=1}^{n} bi^2\right) \geq \left(\sum{i=1}^{n} a_ib_i\right)^2$。
解一元二次不等式方法
配方法
将不等式化为完全平方 的形式，从而确定解集 。
因式分解法
将不等式因式分解，根 据每个因式的符号确定 解集。
数轴标根法
在数轴上标出方程的根 ，根据不等式的性质确 定解集。
图像法
画出抛物线的图像，根 据图像确定不等式的解 集。
03 绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
绝对值不等式分类与解法
一元一次绝对值不等式
形如$|ax + b| > c$或$|ax + b| < c$的不等式。解法：根 据绝对值定义，将不等式转化为两个一元一次不等式组进 行求解。
一元二次绝对值不等式
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
2
＋
b
＝
＋ b ≥2
2
＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1
＝
，
2
��
2
＝，
即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则
的最大值为
1 .
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于
＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4
＋
b
＝
＋ b ≥2
2
＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1
＝
，
2
��
2
＝，
即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则
的最大值为
1 .
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于
＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4
新教材高考数学一轮复习第一章1.3等式不等式的性质与基本不等式课件
ab.其中所有正确结论的序号是(
+
>2;③lg
a2>lg
)
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
(2)(多选)(202X山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式
中正确的是(
)
A.log2(ab)>log2b2
C. <1<
B.ac2>bc2
1 a 1 b
D.( ) >( )
所示,则下列式子中正确的是(
A.b-a<c+a
B.c2<ab
C.
D.|b|c<|a|c
>
)
(2)(2020 山西太原三模,理 3)已知 a>b>1,c<0,则(
A.
<
C.ac<bc
B.ca<cb
D.loga(b-c)>logb(a-c)
)
答案 (1)D
(2)C
解析 (1)(方法1)根据数轴可得c<b<a<0,且|c|>|b|>|a|,对于A:因为c<b,a<0,
<
1
2
2
<0.代入验证①(-1)
<(-2)
成立,代入②
5
>2 成立,代入③lg(-1)2=0<lg
2
2 错误,由此排除 B,C,D 三个选项,故选
(2)由 a>b>0,得 ab>b2,
所以 log2(ab)>log2b2,故 A 正确;
高考理科数学一轮复习不等式全套课件
【互动探究】
比较1816与1618的大小.
解：11861168＝1186161162＝9816 1216＝8 9 216.
∵ 8
9
2∈(0,1)，∴8
9
216＜1.∵1618＞0，∴1816＜1618.
易错、易混、易漏 ⊙忽略考虑等号能否同时成立 例题：设 f(x)＝ ax2＋bx，1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2) 的取值范围. 正解：方法一，设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系 数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b). 即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 则有mn－＋mn＝ ＝4－，2. 解得nm＝＝13.，
ac＞＞db＞＞00⇒ac_＞___bd
⇒
可乘方性 可开方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) a，b 同为正数
a>b>0⇒ n a > n b (n∈N，n≥2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.(2014 年四川)若 a>b>0，c<d<0，则一定有( B )
ab A.d>c
ab B.d<c
ab C.c>d
解析：令 x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题意 x>y， a>b.
因为 a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，所以 a－x ＝b－y.故①不成立；
因为 ax＝－6，by＝－6，所以 ax＝by.故③也不成立； 因为ay＝－33＝－1，bx＝－22＝－1，所以ay＝bx.故⑤不成立.
答案：B
(2)在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，公比q≠1.则( ) A.a1＋a8>a4＋a5 B.a1＋a8<a4＋a5 C.a1＋a8＝a4＋a5 D.不确定
高考一轮复习理科数学课件基本不等式
误选项。
图形结合法
对于涉及图形的问题，可以画 出草图帮助理解题意和分析选
项。
填空题答题策略探讨
准确理解题意
明确题目所给条件和要 求，确定解题方向。
注意单位换算
在涉及单位换算的问题 中，要特别注意单位之 间的转换关系，避免出
错。
利用已知条件
尽量利用题目给出的已 知条件进行计算和推导
，减少运算量。
检查答案合理性
XX
PART 05
解题方法与技巧总结
REPORTING
选择题答题技巧分享
01
02
03
04
仔细审题
注意题目中的关键词和物理过 程，分析各选项之间的差异和
联系。
排除法
对于不确定的选项，可以先排 除明显错误的选项，再结合题 目信息和相关知识进行推断。
特殊值法
在某些情况下，可以代入特殊 值进行验证，从而快速排除错
概率模型中的期望和方差计算问题
01
利用基本不等式求期望和方差的界
在概率模型中，经常需要计算随机变量的期望和方差，这时可以利用基
本不等式来求解其上下界。
02 03
概率不等式证明
对于一些复杂的概率模型，可以通过构造不等式来证明其期望和方差的 性质，这种方法往往需要结合概率模型的特点和基本不等式的性质来进 行。
对于任意一组实数，至少有 $frac{1}{n}$的数与它们的平均数 的差的绝对值不超过平均数与这 组数的最大（或最小）值之差的 绝对值，其中$n$为实数的个数 。
切比雪夫不等式的意 义
反映了一组数的离散程度与它们 的平均数之间的关系。
切比雪夫不等式在代 数式中的应用
可以用于估计一组数的取值范围 、证明不等式等。
图形结合法
对于涉及图形的问题，可以画 出草图帮助理解题意和分析选
项。
填空题答题策略探讨
准确理解题意
明确题目所给条件和要 求，确定解题方向。
注意单位换算
在涉及单位换算的问题 中，要特别注意单位之 间的转换关系，避免出
错。
利用已知条件
尽量利用题目给出的已 知条件进行计算和推导
，减少运算量。
检查答案合理性
XX
PART 05
解题方法与技巧总结
REPORTING
选择题答题技巧分享
01
02
03
04
仔细审题
注意题目中的关键词和物理过 程，分析各选项之间的差异和
联系。
排除法
对于不确定的选项，可以先排 除明显错误的选项，再结合题 目信息和相关知识进行推断。
特殊值法
在某些情况下，可以代入特殊 值进行验证，从而快速排除错
概率模型中的期望和方差计算问题
01
利用基本不等式求期望和方差的界
在概率模型中，经常需要计算随机变量的期望和方差，这时可以利用基
本不等式来求解其上下界。
02 03
概率不等式证明
对于一些复杂的概率模型，可以通过构造不等式来证明其期望和方差的 性质，这种方法往往需要结合概率模型的特点和基本不等式的性质来进 行。
对于任意一组实数，至少有 $frac{1}{n}$的数与它们的平均数 的差的绝对值不超过平均数与这 组数的最大（或最小）值之差的 绝对值，其中$n$为实数的个数 。
切比雪夫不等式的意 义
反映了一组数的离散程度与它们 的平均数之间的关系。
切比雪夫不等式在代 数式中的应用
可以用于估计一组数的取值范围 、证明不等式等。
高三一轮总复习高效讲义第1章第4节基本不等式课件
[对点练] 1．已知 a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则 a＋b 的最小值为________． 解析：因为 3a＋b＝2ab，所以23b ＋21a ＝1，又 a>0，b>0，故 a＋b＝(a＋b)23b＋21a ＝2＋32ab ＋2ba ≥2＋ 3 ，当且仅当32ab ＝2ba 时取等号时，a＋b 的最小值为 2＋ 3 ． 答案：2＋ 3
2．已知 x＜54 ，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5 的最大值为________． 解析：因为 x＜54 ，所以 5－4x＞0， 则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5 ＝－5－4x＋5－14x ＋3≤－2 （5－4x）·5－14x ＋3＝－ 2＋3＝1． 当且仅当 5－4x＝5－14x ，即 x＝1 时，等号成立． 故 f(x)＝4x－2＋4x－1 5 的最大值为 1．
(2)已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则1＋1a 1＋1b 的最小值为________． 解析：1＋1a 1＋1b ＝1＋a＋a b 1＋a＋b b ＝ 2＋ba ·2＋ab ＝5＋2ba＋ab ≥5＋4＝9．当且仅当 a＝b＝12 时，取等号． 答案：9
(3)已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为________． 解析：法一(换元消元法) 由已知得 9－(x＋3y)＝13 ·x·3y≤13 ·x＋23y 2 ，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y ＝1 时取等号． 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6．
4，当且仅当 a＝b＝12 时等号成立． 答案：4
(2)(变条件)若本例(2)中条件变为已知 a>0，b>0，4a＋b＝4，则1＋1a 1＋1b 的最 小值为__________．
高考数学一轮复习规划1.5基本不等式课件
记为：和定积最大).
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
【常用结论】
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
4. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)a1＋2 b1≤ ab≤a＋2 b≤
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.5 基本不等式
1.5 基本不等式
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
掌握基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b≥0). 结合具体实例，能用基本不等式解决 简单的最大值或最小值问题.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
【教材梳理】
1. 基本不等式 如果 a>0，b>0，那么 ab≤a＋2 b，当且仅当 a＝b 时，等号成立. 该式叫基本 不等式，其中，a＋2 b叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平 均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
解：易知1a＋a2＋ab＝2aa＋b＋a2＋ab＝1＋a＋a b＋a2＋ab≥1＋2 2，当且仅当 a＋b＝ 2
a 且 2a＋b＝1，即 a＝ 2－1，b＝3－2 2时等号成立. 故选 B.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
命题角度 4 换元法求最值
(2020 届辽宁黑山中学高三模拟)已知实数 x，y 满足 x2－xy＋y2＝1，则 x＋y
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
考试要求
必备知识
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核心考点
【常用结论】
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
4. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)a1＋2 b1≤ ab≤a＋2 b≤
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.5 基本不等式
1.5 基本不等式
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
掌握基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b≥0). 结合具体实例，能用基本不等式解决 简单的最大值或最小值问题.
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核心考点
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
【教材梳理】
1. 基本不等式 如果 a>0，b>0，那么 ab≤a＋2 b，当且仅当 a＝b 时，等号成立. 该式叫基本 不等式，其中，a＋2 b叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平 均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
解：易知1a＋a2＋ab＝2aa＋b＋a2＋ab＝1＋a＋a b＋a2＋ab≥1＋2 2，当且仅当 a＋b＝ 2
a 且 2a＋b＝1，即 a＝ 2－1，b＝3－2 2时等号成立. 故选 B.
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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
命题角度 4 换元法求最值
(2020 届辽宁黑山中学高三模拟)已知实数 x，y 满足 x2－xy＋y2＝1，则 x＋y
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核心考点
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
解析：选B.任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油
+
+
价为元/升，第一种方案的均价：
=
≥ ；第二种方案的
均价： =
≤ .所以无论油价如何变化，第二种都更划算.故
+
+
��
选B.
2.设等差数列{ }的公差为,其前项和是 ,若 = =
+
− +
+
+
= + ，即 =
=
+
+
，
−
+
<<
，
+ − ≥ − = ，当
= 时，取等号，故 + 的最小值为2.
方法三：因为 + + = ，所以 + + = ，所以
+ 取得最小值
⑧_____.
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小.
1.
+ ≥ （,同号）.
+
2. ≤
+
3.
4.
≥
+
, ∈ .
+
≥
+
≥
, ∈ .
> , > .
1.函数 =
+
+ + ，
+ + − ≥ ，即
+ + + − ≥ ，解得 + ≥ ，
高考理科第一轮复习课件(6.3基本不等式)
【解析】（1）错误.当ab<0时，仍有 ( a b ) 2 0， 因此对于不等
式 ab ( a b )2，当a,b中有0或一个负数时也是成立的.
（2）错误. 虽然由基本不等式可得 f（x） cos x 4
2 cos x
2
4 但由于其中的等号成立的条件是 cos x 4 ， 2 cos x 4， cos x cos x
2
算术平均数 几何平 (4)语言叙述：两个非负数的___________不小于它们的______
均数 _____.
2.基本不等式的变形 （1）a+b≥ 2 ab （a,b≥0）.
2 （2）ab≤ a b ） （a,b∈R）. （
2
2ab （3）a2+b2≥____（a,b∈R）. 3．利用基本不等式求最值 （1）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若x，y
2 （1）ab a b ） 成立的条件是ab≥0.( （
) )
（2）函数 f（x） cos x 4 ，x 0, ） 的最小值等于4.( （
cos x 2
2
（3）x>0且y>0是 x y 2 的充要条件.(
)
y x （4）若a>0，则 a 3 12 的最小值为 2 a. ( ) a 2 2 2 （5）若a,b∈R，则 a b a b ）. ( ) （ 2 2
第三节 基本不等式
1.基本不等式： a b ab
2
a≥0,b≥0 （1）基本不等式成立的条件：__________. a=b (2)等号成立的条件：当且仅当____时取等号. 算术平均数 几何平均数 (3) a b 称为a,b的___________， ab 称为a,b的___________.
(新高考题型版)高三高考数学一轮复习2.2基本不等式课件(75张)
答案 2 3＋2
解析 因为x>1，所以x－1>0，
x2＋2 x2－2x＋1＋2x－2＋3 x－12＋2x－1＋3
则y＝ x－1 ＝
x－1
＝
x－1
＝(x－1)＋
3 x－1
＋2≥2
3
＋2，当且仅当x－1＝
3 x－1
，即x＝
3 ＋1时，取等号．所以
x2＋2 函数y＝ x－1 (x>1)的最小值为2 3＋2.
t>0，且t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y≥6.故x＋3y的最小值为6.
解法二：∵x＋3y＝9－xy≥2 3xy ，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时
取等号．∴( xy )2＋2 3 × xy －9≤0，∴( xy ＋3 3 )( xy － 3 )≤0，∴
0<xy≤3，∴x＋3y＝9－xy≥6，即x＋3y的最小值为6.
解析 答案
角度 利用消元法、换元法求最值
例3 (1)已知正数a，b，c满足2a－b＋c＝0，则abc2的最大值为(
)
A．8
B．2
C．18
D．16
解析 因为a，b，c都是正数，且满足2a－b＋c＝0，所以b＝2a＋c，
所以abc2＝2aa＋c c2＝4a2＋a4cac＋c2＝4ca＋1ac＋4≤2
41ca·ac＋4＝18，当且仅当
2．常数代换法求最值适用的题型及解题通法
当式子中含有两个变量，且条件和所求的式子分别为整式和分式时，
常构造出(ax＋by) mx ＋ny (a，b，m，n为常数且大于0)的形式，利用(ax＋
by)
mx ＋ny
＝am＋bn＋
bmy x
＋
anx y
2025届高中数学一轮复习课件《基本不等式》ppt
(2)2a＋a＋3 b＋a－2 b＝(a＋b)＋(a－b)＋a＋3 b＋a－2 b，∵a>b>0，∴a＋b＋a＋3 b≥2 3，
当且仅当 a＋b＝ 3时等号成立，a－b＋a－2 b≥2 2，当且仅当 a－b＝ 2时等号成立，联
立aa－＋bb＝＝
3， 2，
a＝ 解得
b＝
3＋ 2
3－ 2
2， 2，
a＝ ∴当
高考一轮总复习•数学
第25页
维度 3 常数代换法求最值
典例 3(1)(2024·湖南长沙一中模拟)已知 p，q 为正实数且 p＋q＝3，则p＋1 2＋q＋1 1的最
小值为( )
A．23
B．53
C．74
D．95
(2)(多选)(2024·山东菏泽模拟)已知 a＞0，b＞0，且1a＋1b＝1，则下列说法正确的是( )
高考一轮总复习•数学
第17页
(3)当 x≥2 时，易知 y＝4x－2＋4x－1 5单调递增， x≥2 时，函数的单调性怎么确定呢？转化为复合函数. 即：y＝t＋1t ＋3，t＝4x－5，这 里 t≥3. 由复合函数易知其单调递增． ∴ymin＝4×2－2＋4×12－5＝139.
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 基本不等式a＋2 b≥ ab 1．基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . 2．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立．
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 算术平均数 ， ab叫做正数 a，b 的 几何平均数 ．
高考一轮总复习•数学
当且仅当1a＝1b，即 a＝b＝2 时，等号成立，故 A 错误；因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b＝ (a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，当且仅当ba＝ab，即 a＝b＝2 时，
当且仅当 a＋b＝ 3时等号成立，a－b＋a－2 b≥2 2，当且仅当 a－b＝ 2时等号成立，联
立aa－＋bb＝＝
3， 2，
a＝ 解得
b＝
3＋ 2
3－ 2
2， 2，
a＝ ∴当
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维度 3 常数代换法求最值
典例 3(1)(2024·湖南长沙一中模拟)已知 p，q 为正实数且 p＋q＝3，则p＋1 2＋q＋1 1的最
小值为( )
A．23
B．53
C．74
D．95
(2)(多选)(2024·山东菏泽模拟)已知 a＞0，b＞0，且1a＋1b＝1，则下列说法正确的是( )
高考一轮总复习•数学
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(3)当 x≥2 时，易知 y＝4x－2＋4x－1 5单调递增， x≥2 时，函数的单调性怎么确定呢？转化为复合函数. 即：y＝t＋1t ＋3，t＝4x－5，这 里 t≥3. 由复合函数易知其单调递增． ∴ymin＝4×2－2＋4×12－5＝139.
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
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第5页
一 基本不等式a＋2 b≥ ab 1．基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . 2．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立．
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 算术平均数 ， ab叫做正数 a，b 的 几何平均数 ．
高考一轮总复习•数学
当且仅当1a＝1b，即 a＝b＝2 时，等号成立，故 A 错误；因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b＝ (a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，当且仅当ba＝ab，即 a＝b＝2 时，
专题05基本不等式(PPT)-2025年新高考数学一轮考点题型精准复习(新高考专用)
解：显然， a2 1 0 ，
则， a2 2 a2 1 1 2 a2 1 1 2 ，
a2 1
a2 1
a2 1
当且仅当
a2 1
1
a2 1 ，即 a 0 时，等号成立.
所以， a2 2 的最小值是 2，此时 a 0 .
a2 1
例 14 ．（ 2022 秋 ·云 南 楚 雄 ·高 三 云 南 省 楚 雄 第 一 中 学 校 考 阶 段 练 习 ） 函 数
A．有最大值 4 B．有最小值 4 C．有最大值 4 D．有最小值 4 解： x 0，x 0，
y
x
4 x
(x)
4 x
2
(
x)
4 x
4
，当且仅当
x
2
时等号成立，
故选：A
考点二 拼凑法求最值
例 6．（2023·陕西榆林·统考三模）若 a 1，则 a 9 的最小值为________． a 1
a
2
b
2
a
b2
4a
b
4
0
a
b
2
2
2，
当且仅当 a b 时成立，A 正确；
对于 B， ab 1 a b 2 ab ，即
故答案为：3
例 20．（2023 春·湖南·高一校联考期中）已知正实数 a，b 满足 a 2b 4 ，则 1 1 的最 a b1
小值是（ ）
A．1 B． 33 C． 3 2 2 D．1 3
28
6
3
解：由已知可得，
a
2b
1
6
，所以
1 6
a
2
b
1
1.
又 a,b 0 ，
所
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
+
+
则
所以
<
+
<
−
−
< <
<
+
−
−
<+ Nhomakorabea红旗中学2025届高三一轮复习课件
<
+
基本不等式应用
和定积大，积定和小。
技巧一：凑定和
( − ) 的最大值
( − ) 的最大值
取等号条件？
红旗中学2025届高三一轮复习课件
重要结论
柯西不等式：
+ + ≥ +
当且仅当 = 时，等号成立.
变式.设, 均为正数，且 + + + = ， 则 + + 的最大值为
平方和
解：令 = , , =
红旗中学2025届高三一轮复习课件
基本不等式应用
技巧三：凑形式
例5：已知, 为正实数，且 + + = ，求函数 + 的最小值.
例6.已知, 为正实数，且 + + = ，求函数
① 消元法
② 数形结合法
的最小值.
③ 基本不等式法
例7.已知正实数, 满足 + + = ，求 + 的最大值.
变式3.已知 > , > ，且 + =
+
，求
+
则
所以
<
+
<
−
−
< <
<
+
−
−
<+ Nhomakorabea红旗中学2025届高三一轮复习课件
<
+
基本不等式应用
和定积大，积定和小。
技巧一：凑定和
( − ) 的最大值
( − ) 的最大值
取等号条件？
红旗中学2025届高三一轮复习课件
重要结论
柯西不等式：
+ + ≥ +
当且仅当 = 时，等号成立.
变式.设, 均为正数，且 + + + = ， 则 + + 的最大值为
平方和
解：令 = , , =
红旗中学2025届高三一轮复习课件
基本不等式应用
技巧三：凑形式
例5：已知, 为正实数，且 + + = ，求函数 + 的最小值.
例6.已知, 为正实数，且 + + = ，求函数
① 消元法
② 数形结合法
的最小值.
③ 基本不等式法
例7.已知正实数, 满足 + + = ，求 + 的最大值.
变式3.已知 > , > ，且 + =
+
，求
1.4+基本不等式及其应用+课件——2025届高三数学一轮复习
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
－1＝3，当且仅当
x＝2
时，取等号；当
x<0
时，－x＋
－4 x
≥2
－x×
－4 x
＝4，当且
仅当
x＝－2
时，取等号，所以 f(x)＝－
－x＋
－4 x
－1≤－4－1＝－5.综上，函数
f(x)＝
x2－x＋4的值域是(－∞，－5]∪[3，＋∞)． x
6．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为___5_____．
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
(2)由题意得 Sm＝ma＋12m(m－1)×(－4)＝36，即 a＝3m6＋2m－2≥12 2－2，当且仅当 m2＝18 时，等号成立．因为 m∈N*，所以 a>12 2－2.当 m＝5 时，a＝756；当 m＝4 时，a ＝15<756，所以实数 a 的最小值为 15.
x＝y 时，x＋y 有最 小 值 2 p(简记：
积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当
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利用二次函数求某一区间的最值
配凑成和成 定值
分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜13 则1-3x＞0；
可用均值不等式法 ∵0＜x＜1 ，∴1-3x＞0
∴y=x（1-3x）=
1 3
3x（1-3x3）≤
1 3
(
3x
1 2Biblioteka 3x)2
1 12
当且仅当 3x=1-3x
即x=1 6
时
ymax=
1 12
1
（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
解：1 2x y 2 2xy
错因：
xy 1 即 1 2 2 2 2 xy
1 1 2 1 22 2 4 2 x y xy
即
1 x
1 y
的最小值为 4
2
过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的，
几何意义：
ab
均值不等式的几何解释是:
a
b
半径不小于半弦.
结构特点： 均值不等式的左式为和结
构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正
数的和与两正数的积之间的大小关系, 运
用该不等式可作和与积之间的不等变换.
二、公式的拓展
a 2 b2 2ab(a,b R)
2(a2 b2 ) (a b)2
x
y
1 2
2 2
2 2
即此时 ymin 3 2 2
特别警示：
用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 条件，特别地，如果多次运用均值不等式求 最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取 “=” 成立的诸条件是否相容。
广东碧桂园学校 陟乃赋
（5）错题辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。
∵ △ = (c+3b) -4(c +3b +3bc)
=-3(c+b) ∴ f(a) ≥0 (当且仅当-b=c=a取等号)
四、公式的应用（二）—求函数的最值
（1） 已知 x, y 是正数，x y P（定值），
求 xy的最大值；
（2） 已知 x, y 是正数， xy S（定值），
求 x y 的最小值；
和定积最大 积定和最小
一正二 定三相
等
（3）已知 0 x 1 ，求函数 y x(1 3x) 的最大值；
3
创造条件
（4）已知 x, y是正数，满足 2x y 1 ，
求 1 1 的最小值； xy
注意取等号的条件
（3
）已知：0＜x＜
1 3
，求函数y=x（1-3x）的最大值
分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，
正确解法一 “1”代换法
1 1
6.
9
1
（5）已知正数a、b满足a+2b=1，求
1
的最小值
ab
正解：
11 ab
a 2b a 2b
a
b
3 2b a ab
3 2
2
当且仅当 2b a 即: a 2b 时取“=”号 ab
而 a 2b a 2b 1
故结果错。
广东碧桂园学校 陟乃赋
1
（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
正解：
1 1 xy
2x y 2x y
x
y
3 y 2x xy
3 2
2
“1”代换法
当且仅当 y 2x 即: y 2x 时取“=”号 xy
而 y 2x
2x y 1
b a
1 2 2
2 2 2
即此时 zmin 3 2 2
2
a 0,
b 0,
a b 4,
求
a
1
2
b
1
2
的最小值．
a b
解：由 a b 4, ，得 a 2 b2 (a b)2 2ab 16 2ab.
(a b)2 4ab
2ab ab
ab
ab 2
a2 b2 2
当且仅当a=b时“=”成立 (a, b R )
三、公式的应用（一）—证明不等式
（以下各式中的字母都表示正数）
（1） (a b)(b c)(c a) 8abc
（2） 已知 a b c 1
1.已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1的最小值.
ab
解法一： a, b R , a 1 2，2b 1 2 2
a
b
(a 2b) ( 1 1 ) 2 2 2, 1 1 2 2 1
ab
ab
解法二：由a 2b 1及a、b R , 1 1 (a 2b)( 1 1 )
习题课
不等式定理及其重要变形：
（定理）重要不等式 a2 b2 2ab(a,b R)
（推论）基本不等式（又叫均值不等式）
a b ab
2
(a,b R )
ab (a b)2 2
代数意义：
如果把 a b 看做是两正数a、b 2
的等差中项, ab 看做是两正数a、b 的 等比中项, 那么均值不等式可叙述为: 两 个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
a2 b2 c2 ab bc ca
1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
3ab 3bc 3ca
ab bc ca 1 3
注意:本题条件a,b,c为实数
△法解不等式
求证:a +ac+c +3b(a+b+c) ≥0 证明: 原式=a +(c+3b)a+(c +3b +3bc) ≥0 设f(a)= a +(c+3b)a+(c +3b +3bc)
求证 ( 1 1)(1 1)(1 1) 8
abc
3。已知 : a b c 1
求证：ab bc ca 1 3
证明：a b c 1
(a b c)2
a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
1
a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca
ab
ab
2 2ab 2 1 , 1 1 的最小值为4 2. ab a b
已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1 的最小值. ab
解法三： 1 1 2 1 ，当且仅当a b时""成立, a b ab
又 a 2b 1,a b 1 , 1 1 2 3 ab
配凑成和成 定值
分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜13 则1-3x＞0；
可用均值不等式法 ∵0＜x＜1 ，∴1-3x＞0
∴y=x（1-3x）=
1 3
3x（1-3x3）≤
1 3
(
3x
1 2Biblioteka 3x)2
1 12
当且仅当 3x=1-3x
即x=1 6
时
ymax=
1 12
1
（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
解：1 2x y 2 2xy
错因：
xy 1 即 1 2 2 2 2 xy
1 1 2 1 22 2 4 2 x y xy
即
1 x
1 y
的最小值为 4
2
过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的，
几何意义：
ab
均值不等式的几何解释是:
a
b
半径不小于半弦.
结构特点： 均值不等式的左式为和结
构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正
数的和与两正数的积之间的大小关系, 运
用该不等式可作和与积之间的不等变换.
二、公式的拓展
a 2 b2 2ab(a,b R)
2(a2 b2 ) (a b)2
x
y
1 2
2 2
2 2
即此时 ymin 3 2 2
特别警示：
用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 条件，特别地，如果多次运用均值不等式求 最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取 “=” 成立的诸条件是否相容。
广东碧桂园学校 陟乃赋
（5）错题辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。
∵ △ = (c+3b) -4(c +3b +3bc)
=-3(c+b) ∴ f(a) ≥0 (当且仅当-b=c=a取等号)
四、公式的应用（二）—求函数的最值
（1） 已知 x, y 是正数，x y P（定值），
求 xy的最大值；
（2） 已知 x, y 是正数， xy S（定值），
求 x y 的最小值；
和定积最大 积定和最小
一正二 定三相
等
（3）已知 0 x 1 ，求函数 y x(1 3x) 的最大值；
3
创造条件
（4）已知 x, y是正数，满足 2x y 1 ，
求 1 1 的最小值； xy
注意取等号的条件
（3
）已知：0＜x＜
1 3
，求函数y=x（1-3x）的最大值
分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，
正确解法一 “1”代换法
1 1
6.
9
1
（5）已知正数a、b满足a+2b=1，求
1
的最小值
ab
正解：
11 ab
a 2b a 2b
a
b
3 2b a ab
3 2
2
当且仅当 2b a 即: a 2b 时取“=”号 ab
而 a 2b a 2b 1
故结果错。
广东碧桂园学校 陟乃赋
1
（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
正解：
1 1 xy
2x y 2x y
x
y
3 y 2x xy
3 2
2
“1”代换法
当且仅当 y 2x 即: y 2x 时取“=”号 xy
而 y 2x
2x y 1
b a
1 2 2
2 2 2
即此时 zmin 3 2 2
2
a 0,
b 0,
a b 4,
求
a
1
2
b
1
2
的最小值．
a b
解：由 a b 4, ，得 a 2 b2 (a b)2 2ab 16 2ab.
(a b)2 4ab
2ab ab
ab
ab 2
a2 b2 2
当且仅当a=b时“=”成立 (a, b R )
三、公式的应用（一）—证明不等式
（以下各式中的字母都表示正数）
（1） (a b)(b c)(c a) 8abc
（2） 已知 a b c 1
1.已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1的最小值.
ab
解法一： a, b R , a 1 2，2b 1 2 2
a
b
(a 2b) ( 1 1 ) 2 2 2, 1 1 2 2 1
ab
ab
解法二：由a 2b 1及a、b R , 1 1 (a 2b)( 1 1 )
习题课
不等式定理及其重要变形：
（定理）重要不等式 a2 b2 2ab(a,b R)
（推论）基本不等式（又叫均值不等式）
a b ab
2
(a,b R )
ab (a b)2 2
代数意义：
如果把 a b 看做是两正数a、b 2
的等差中项, ab 看做是两正数a、b 的 等比中项, 那么均值不等式可叙述为: 两 个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
a2 b2 c2 ab bc ca
1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
3ab 3bc 3ca
ab bc ca 1 3
注意:本题条件a,b,c为实数
△法解不等式
求证:a +ac+c +3b(a+b+c) ≥0 证明: 原式=a +(c+3b)a+(c +3b +3bc) ≥0 设f(a)= a +(c+3b)a+(c +3b +3bc)
求证 ( 1 1)(1 1)(1 1) 8
abc
3。已知 : a b c 1
求证：ab bc ca 1 3
证明：a b c 1
(a b c)2
a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
1
a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca
ab
ab
2 2ab 2 1 , 1 1 的最小值为4 2. ab a b
已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1 的最小值. ab
解法三： 1 1 2 1 ，当且仅当a b时""成立, a b ab
又 a 2b 1,a b 1 , 1 1 2 3 ab